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专题13 导数的应用


樊老师经典资料数学一轮复习

答疑电话:18629155293

专题 13 导数的应用
姓名:
一、选择题 1 .已知一组抛物线 y ?
1 2 ax
2

分数:
a 为 2,4,6,8 中任取的一个数,b 为 1,3,5,7 中任取的一个数, ( )

? bx ? 1 ,其中

从这些抛物线中任意抽取两条,它们在与直线 x=1 交点处的切线相互平行的概率是 A.
1 12

B.
π 2

7 60

C.

6 25

D.

5 25

2 .若 0 ? x ?

,则下列命题中正确的是
3 π x



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s in x ?



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s in x ?

3 π

x



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s in x ?

4 π
2

x

2



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s in x ?

4 π
2

x

2

2 3 .已知二次函数 f ( x ) ? a x ? b x ? c 的导数为 f ? ( x ) , f ? (0 ) ? 0 ,对于任意实数 x ,有 f ( x ) ≥ 0 ,则

f (1) f ?( 0 )

的最小值为
5
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3



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2



3
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2

2

4 .对于 R 上可导的任意函数 f ( x ) ,若满足 ( x ? 1) f ? ( x ) ≥ 0 ,则必有





A. f (0 ) ? f ( 2 ) ? 2 f (1) C. f (0 ) ? f ( 2 ) ≥ 2 f (1)

B. f (0 ) ? f ( 2 ) ≤ 2 f (1) D. f (0 ) ? f ( 2 ) ? 2 f (1)

? 5 . f ( x ) 是定义在 (0, ? ) 上的非负可导函数,且满足 xf ? ( x ) ? f ( x ) ≤ 0 .对任意正数 a, b ,若 a ? b ,

则必有 A. a f ( b ) ≤ b f ( a ) B. b f ( a ) ≤ a f ( b ) C. a f ( a ) ≤ f ( b )

( D. b f ( b ) ≤ f ( a )



3 6 .已知函数 f ( x ) 的导数为 f ? ( x ) ? 4 x ? 4 x , 且 f ( x ) 图象过点(0,-5) ,当函数 f ( x ) 取得极小值-6

时,x 的值应为 A.0
3

( B.-1 C.± 1 D.1 (



7 .若函数 f ( x ) ? x ? 6 bx ? 3 b 在(0,1)内有极小值,则实数 b 的取值范围是



A. (0,1)
8 .函数 f ( x ) ?
ln x x

B. (-∞,1) 在

C. (0,+∞)

D. (0,

1 2

) ( )

A. (0, 1 0 ) 上是增函数 B. (0, 1 0 ) 上是减函数 C. (0 , e ) 上是增函数 D. (0 , e ) 上是减函数
g 9 .已知对任意实数 x ,有 f ( ?x ) ? ? f (x ) , ( ?x ) ? g (x )

,且 x ? 0 时, f ? ( x ) ? 0, g ?( x ) ? 0 ,则 x ? 0



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A C

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f ? ( x ) ? 0, g ? ( x ) ? 0 f ? ( x ) ? 0, g ? ( x ) ? 0
p x ? p 2

B

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f ? ( x ) ? 0, g ? ( x ) ? 0 f ? ( x ) ? 0, g ? ( x ) ? 0

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D

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10.若函数 f (x) = x ?

在(1,+∞)上是增函数,则实数 p 的取值范围是 C. ( ?? , ? 1] D. ( ?? , 1]

A. [ ? 1, ? ? )

B. [1, ? ? )

11.设 f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时, f ? ( x ) g ( x ) ? f ( x ) g ? ( x ) >0.且 g(3)=0.则

不等式 f(x)g(x)<0 的解集是 A.(-3,0)∪(3,+∞) B.(-3,0)∪(0, 3)
12.若 f(x)= ?
1 2
2

C.(-∞,- 3)∪(3,+∞)

( D.(-∞,- 3)∪(0, 3) (



x ? b ln ( x ? 2 ) 在 ( - 1 , + ? ) 上是减函数,则 b 的取值范围是



A.[-1,+∞]
13.函数 f

B. (-1,+∞)
3 2

C. (-∞,-1)

D. (-∞,-1)
m
2

?x?

? ? x ? 2 x ? 4 x ,当 x ? ? ? 3, 3 ? 时,有 f 1 B. ? 3,1 ?

?x? ?

? 1 4 m 恒成立,则实数 m 的取值范围是 7 D. ? 2, ?

1 A. ? ? 3,1 ?

1 C. ? 3,1 ?

14.在半径为 R 的半球内有一内接圆柱,则这个圆柱的体积的最大值是

A

2 3 9

?R

3

B.

4 3 9

?R

3

C.

2 3 3

?R

3

D ?R
9

4

3

3 2 3] , 15. 已知曲线 C:y ? 1 x ? x ? 4 x ? 1 , 直线 l : x ? y ? 2 k ? 1 ? 0 , x ? [ ?3 当

3

时, ( )

直线 l 恒在曲线 C 的上方,则实数 k 的取值范围是 A. k ? ? 5
6

B. k ? ? 5
6

C. k ? ? 3
4

D. k ? ? 3
4

二、填空题 16 . 若 函 数 f ( x ) ? x ? ax
3 2

? b 在 x ? 4 处 取 得 极 值 0 , 则 该 函 数 f ( x ) 在 ?? 5 , 5 ? 上 的 最 大 值 为

___________.
17.函数 f ( x ) ? x ? a x ? b x ? a , 在 x ? 1 时有极值 1 0 ,那么 a , b 的值分别为________
3 2 2
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18.若关于 x 的方程 x ? 19. f ( x ) ? x ? 设
3

1 x

? k ? 0 在 x ? (0 ,1] 没有实数根,则 k 的取值范围___________。

1 2

x ? 2 x ? 5 ,当 x ? [ ? 1, 2 ] 时, f ( x ) ? m 恒成立,则实数 m 的取值范围为_____________
2

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20.已知函数 f

?x? ?

3 2 ? 2 ? x ? a x ? 2 x ? 5 在 ? ? , 1 ? 上单调递减,在 ? 1, ? ? ? 上单调递增,且函数 f ? x ? 的 ? 3 ?

导数记为 f ? ? x ? ,则下列结论正确的个数是________. ① ?
2 3

是方程 f ? ? x ? ? 0 的根②1 是方程 f ? ? x ? ? 0 的根③ 有极小值 f ? 1 ?
? ?
2?

④有极大值 f ? ?

? 3?

⑤ a??

1 2
1 3
3

21.已知 a ? 2 b ? 0 ,且关于 x 的函数 f(x)=

x

?

1 2

a x

2

? a ? bx

在 R 上有极值,则 a 与 b 的夹

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角范围为______.
22.设函数 f(x)=xsinx 在 x=x0 处取得极值,则(1+ x 0 )(1+cos2x0)=________________.
2

23.已知函数 f ( x ) 的定义域为[-2,+∞),部分对应值如下表, f ? ( x ) 为 f ( x ) 的导函数,函数 y ? f ? ( x ) 的

图象如右图所示,若两正数 a,b 满足 f ( 2 a ? b ) ? 1 ,则

b ? 3 a ? 3

的取值范围是___.

x f (x)

-2 1

0 -1

4 1 -2

y O x

24. f ( x ) 是定义在 ( 0 , ?? ) 上的非负可导函数,且满足 xf ? ( x ) ? f ( x ) ? 0, 对任意正数 a,b 若 a<b,给出下

列四个结论: (1) bf ( b ) ? af ( a ) ; (2) af ( a ) ? bf ( b ) ; (3) bf ( a ) ? af ( b ) (4) af ( b ) ? bf ( a ) . 其中正确结论的序号是______
25.设函数 f ( x ) ? x ? x ,若 0 ? ? ?
3

?
2

时, f ( m co s ? ) ? f (1 ? m ) ? 0 恒成立,则实数的取值范围是_________.

三、解答题 26.已知函数 f ( x ) ? x ? 3 a x ? 1, a ? 0
3

??? 求 ? ?? ? 若

f ( x ) 的单调区间; f ( x ) 在 x ? ? 1 处取得极值,直线 y=m 与 y ? f ( x ) 的图象有三个不同的交点,求 m 的取值范围?

27.已知函数 f ( x ) ? ln ( e x ? 1) ? a x ( a ? 0 ) .

(1)若函数 y ? f ( x ) 的导函数是奇函数,求 y ? f ? ( x ) 的值域; (2)求函数 y ? f ( x ) 的单调区间.
28.已知函数 f ? x ? ? x ? a ln x
2

(I)当 a ? ? 2 e 时,求函数 f ? x ? 的单调区间和极值; (II)若函数 g ( x ) ? f ( x ) ?
2

2 x

在 ?1, 4 ? 上是减函数,求实数 a 的取值范围.
x

29.已知函数 f ( x ) ? ( x ? a x ? 2 a ? 3) e ,

(1)若 x ? 2 是函数 f ( x ) 的一个极值点,求实数 a 的值; (2)设 a ? 0 ,当 x ? [1, 2 ] 时,函数 f ( x ) 的图象恒不在直线 y ? e 上方,求实数 a 的取值范围?
2

30.已知 x ? 3 是函数 f ( x ) ? ( x ? ax ? 2 a ? 3 ) e
2

3? x

的极值点.

(1)求 f ( x ) 的单调区间(用 a 表示); (2)设 a ? 0 , g ( x ) ? ( a ? 8 ) e ,若存在 ? 1 , ? 2 ? [ 0 , 4 ] 使得
2 x

f (? 1 ) ? g (? 2 )

? 3 成立,求 a 的取值范围

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专题 13 导数的应用参考答案 一、选择题 1 .B 2 .D 3 .C 4 .C 5 .A 6 .C 7 .D 8 .C 9 .B 10.A 11.A 12.C 13.C 14. 设圆柱的高为 h,则圆柱的底面半径为
R ?h
2 2

,圆柱的体积为 V= ? ( R ? h ) h = ? ? h ? ? R h
2 2
3 2

(0<h<R), V ? ? ? 3? h ? ? R ? 0 , h ?
2 2

R 3

时 V 有最大值为 V ?

2 3 9

?R 。
3

15.B 二、填空题 16.32 17. 4 , ? 1 1
f ( x )? 3 x ? 2 a x ?
' 2

b,

'

f ( 1?)

2a ?

b ?

3 ?

0 ,f

(?1 ) a ?
2

a ?

b ?

? 1

10

?2a ? b ? ?3 ?a ? ?3 ?a ? 4 ,? ,或 ? ,当 a ? ? 3 时, x ? 1 不是极值点 ? 2 a ? a ? b ? 9 ?b ? 3 ?b ? ?11 ?

18. k ? 0

19. ( 7 , ? ? )

x ? [ ? 1, 2 ] 时, f ( x ) m ax ? 7

20.①②③④⑤; 21. ( 22.2 23. ?
?3 7? , ? ?5 3?

?
3

,? ]

24. (1) (4) 25.(-∞,1) 三、解答题 26.解:(1) f ( x ) ? 3 x ? 3 a ? 3( x ? a ),
' 2 2

当 a ? 0 时,对 x ? R ,有 f ( x ) ? 0 ,
'

? 当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调增区间为 ( ? ? , ? ? )

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' 当 a ? 0 时,由 f ( x ) ? 0 解得 x ? ? a 或 x ?

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a ;

' 由 f ( x ) ? 0 解得 ? a ? x ?

a ,
a ), ( a , ? ? ) ; f ( x ) 的单调减区间为 ( ? a, a)?

? 当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调增区间为 ( ? ? , ?

(2)? f ( x ) 在 x ? ? 1 处取得极大值,
? f ( ? 1) ? 3 ? ( ? 1) ? 3 a ? 0,? a ? 1 .
' 2

? f ( x ) ? x ? 3 x ? 1, f ( x ) ? 3 x ? 3,
3 ' 2

由 f ( x ) ? 0 解得 x1 ? ? 1, x 2 ? 1 ?
'

由(1)中 f ( x ) 的单调性可知, f ( x ) 在 x ? ? 1 处取得极大值 f ( ? 1) ? 1 , 在 x ? 1 处取得极小值 f (1) ? ? 3 ?
? 直线 y ? m 与函数 y ? f ( x ) 的图象有三个不同的交点,又 f ( ? 3) ? ? 1 9 ? ? 3 , f (3) ? 1 7 ? 1 ,

结合 f ( x ) 的单调性可知, m 的取值范围是 ( ? 3,1)
27.(1)由已知得 f ? ( x ) ?
e
x x

e ?1

? a.
f ?( ? x ) ? ? f ?( x )

∵ 函 数
x

y ? f (x)

的 导 函 数 是 奇 函 数 .∴
1 2
? a ?1? 1 e ?1
x

, 解 得 a?

1 2

.



f ?( x ) ?

e ?1?1 e ?1
x

?

1 2

, f ?( x ) ?

?

1 e ?1
x

,所以 f ? ( x ) ? ? ?
?

?

1 1? , ? 2 2?

(2)由(1) f ? ( x ) ?

e
x

x

e ?1

? a.

当 a ≥ 1 时 , f ? ( x ) ? 0 恒成立,∴当 a ≥ 1 时,函数 y=f(x)在 R 上单调递减; 当 0<a<1 时,由 f ? ( x ) ? 0 得 (1 ? a )( e x ? 1) ? 1, 即 e x ? ? 1 ?
? ? a 1? a ? , ?? ? ?

1 1? a
? ?

, x ? ln

a 1? a

,

∴当 0 ? a ? 1时 , y ? f ( x ) 在 ? ln

内单调递增,在 ? ? ? , ln

a ? ? 内单调递减. 1? a ? ? ?

故当 a ≥ 1 时,函

数 y=f(x)在 R 上单调递减;当 0<a<1 时, y ? f ( x ) 在 ? ln
?

?

? , ?? ? 1? a ? a

内单调递增;在 ? ? ? , ln

? ? 内单调递减 1? a ? a

28.解:(I)函数 f ? x ? 的定义域为 ? 0 , ?? ? ,当 a ? ? 2 e 时 f ? ? x ? ? 2 x ?

2e x

?

2 x?

?

e x? x

??

e

?

当 x 变化时, f ? ? x ?, f ? x ? 的变化情况如下:(此表略) 由上表可知,函数 f ? x ? 单调区间是 ?0 , e ? ; 单调递增区间是 ? e , ?? ? , 极小值是 f

? e?? 0

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a x ? 2 x
2

(II)由 g ? x ? ? x ? a ln x ?
2

2 x

得 g ?? x ? ? 2 x ?

?又函数 g ? x ? ? x ? a ln x ?
2

2 x

为[1,4]上单调减
2 x ? 2x 在
2

函数, 则 g ? ? x ? ? 0 在[1,4]上恒成立,所以不等式 2 x [1,4]上恒成立. 又? ? x ? ?
2 x

?

2 x
2

?

a x

? 0

在 ?1, 4 ? 上恒成立. 即 a ?

2 ? 2 x 在[1,4]为减函数, 所以 ? ? x ? 的最小值为 ? ? 4 ? ? ? 63 所以 a ? ? 63

2
2 x

2

29.解:(1)由 f ( x ) ? ( x ? a x ? 2 a ? 3) e 可得
x 2 x 2 x f ? ( x ) ? ( 2 x ? a ) e ? ( x ? a x ? 2 a ? 3) e ? [ x ? ( 2 ? a ) x ? a ? 3]e

? ( x ? a ? 3)( x ? 1) e

x

∵ x ? 2 是函数 f ( x ) 的一个极值点,∴ f ? ( 2 ) ? 0 ∴ (a ? 5)e ? 0 ,
2

解得 a ? ? 5

x x 代入 f ? ( x ) ? ( x ? a ? 3)( x ? 1) e ? ( x ? 2 )( x ? 1) e ,

当 1 ? x ? 2 时, f ? ( x ) ? 0 ,当 x ? 2 时, f ? ( x ) ? 0 可知 x ? 2 是函数 f ( x ) 的一个极值点? ∴ a ? ?5 (2)要 x ? [1, 2 ] 时,函数 f ( x ) 的图象恒不在直线 y ? e 上方,
2

即 x ? [1, 2 ] 时, f ( x ) ? e 恒成立,
2

只要 x ? [1, 2 ] 时, f ( x ) m ax ? e 成立
2
x 由(1)知 f ? ( x ) ? ( x ? a ? 3)( x ? 1) e ,令 f ? ( x ) ? 0 ,解得 x1 ? ? a ? 3, x 2 ? 1

当 a ? ? 5 时, ? a ? 3 ? 2 ,∴ f ( x ) 在 x ? [1, 2 ] 上单调递减,
f ( x ) m ax ? f (1) ? ( ? a ? 2 ) e ? e , a ? ? e ? 2 与 a ? ? 5 矛盾,舍去
2

当 ? 5 ? a ? ? 4 时, 1 ? ? a ? 3 ? 2 ,
f ( x ) 在 x ? (1, ? a ? 3) 上单调递减,在 x ? ( ? a ? 3, 2 ) 上单调递增

∴ f ( x ) m a x 在 f (1) 或 f ( 2 ) 处取到
f (1) ? ( ? a ? 2 ) e , f ( 2 ) ? e
2

∴只要 f (1) ? ( ? a ? 2 ) e ? e ,解得 ? e ? 2 ? a ? ? 4
2

当 ? 4 ? a ? 0 时, ? a ? 3 ? 1 ,∴ f ( x ) 在 x ? [1, 2 ] 上单调递增,
f ( x ) m ax ? f ( 2 ) ? e
2

符合题意

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综上所述, a 的取值范围是 a ? [ ? e ? 2, 0 )
30.解:(1) f ( x ) ? ( 2 x ? a ) e
' 3? x

? (x
3? x

2

? ax ? 2 a ? 3 )( ? 1) e ? ?[ x
2

3? x

? [? x

2

? ( 2 ? a ) x ? 3 a ? 3 ]e
3? x

? ( a ? 2 ) x ? 3 ( a ? 1)] e

3? x

? ? ( x ? 3 )[ x ? ( a ? 1)] e

∵ x ? 3 是函数 f ( x ) 的极值点 ∴ ? ( a ? 1) ? 3 即 a ? ? 4 (i)当 ? ( a ? 1) ? 3 即 a ? ? 4 时 当 x ? ( ?? , ? a ? 1] 和 [ 3 , ?? ) 时, f ( x ) ? 0 , f ( x ) 单调递减
'

当 x ? ( ? a ? 1, 3 ) 时, f ( x ) ? 0 , f ( x ) 单调递增?
'

(ii)当 ? ( a ? 1) ? 3 即 a ? ? 4 时 当 x ? ( ?? , 3 ] 和 [ ? a ? 1, ?? ) 时, f ( x ) ? 0 , f ( x ) 单调递减
'

当 x ? ( 3 , ? a ? 1) 时, f ( x ) ? 0 , f ( x ) 单调递增?
'

(2)∵ a ? 0 ,∴ ? ( a ? 1) ? 0 ∴当 x ? [ 0 , 3 ] 时 f ( x ) 单调递增,当 x ? [ 3 , 4 ] 时 f ( x ) 单调递减 ∴当 x ? [ 0 , 4 ] 时, f max ( x ) ? f ( 3 ) ? a ? 6 ∵ g ( x ) ? ( a ? 8 ) e 在 x ? [ 0 , 4 ] 时是增函数, g min ( x ) ? g ( 0 ) ? a ? 8
2 x 2

又∵ a ? 8 ? ( a ? 6 ) ? a ? a ? 2 ? ( a ?
2 2

1 2

) ?
2

7 4

? 0

∴ g min ( x ) ? f max ( x ) ,∴当 x ? [ 0 , 4 ] 时, g ( x ) ? f ( x ) 恒成立? ∴若存在 ? 1 , ? 2 ? [ 0 , 4 ] 使得
f (? 1 ) ? g (? 2 ) ? 3

只要 g min ( x ) ? f max ( x ) ? 3 即可
1? 2 1? 2 5 5 1? 2 5

即 a ? 8 ? (a ? 6) ? 3 ? a ? a ? 1 ? 0 ?
2 2

? a ?

所以 a 的取值范围为 ( 0 ,

)?


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