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高中数学2.1圆周角定理课件新人教A版选修4_1_图文

2.1 圆周角定理 栏 目 链 接 1.理解圆周角定理. 2.理解圆心角定理及其推论. 3.能正确应用以上定理解决几何问题. 栏 目 链 接 题型一 角、弦、弧长计算 例1 在半径为5 cm的圆内有长为5 cm的弦 AB,求此弦所对的圆周角. 解析:如图所示, 栏 目 链 接 过点 O 作 OD⊥AB 于点 D.因为 OD⊥AB,OD 经过圆心,所以 AD=BD = 5 3 5 cm.在 Rt△AOD 中,OD= OA2-AD2= cm,所以∠OAD=30°, 2 2 1 所以∠AOD=60°.所以∠AOB=2∠AOD=120°,所以∠ACB= ∠AOB 2 栏 目 ︵ ︵ 链 =60°.因为∠AOB=120°,所以AEB的度数为 120°,ACB的度数为 240° . 接 1 所以∠AEB= ×240°=120°.所以此弦所对的圆周角为 60°或 120°. 2 点评:弦所对的圆周角有两个,易丢掉 120°而导致错误.另外,求圆周角时 应用到解三角形的知识. ?变式训练 1.若AB为⊙O的直径,AC为弦,OD∥BC,交AC 于D,BC=4 cm,则OD=________ 2 cm . 2.(2015· 汕尾市高三学生调研考试)如图所示,圆O 上一点C在直径AB上的射影为D,CD=4,BD=8, 5 圆O的半径r=________ . 栏 目 链 接 题型二 证明问题 例2 已知AD是△ABC的高,AE是△ABC的外接圆 的直径,求证:∠BAE=∠DAC. 分析:题目中出现圆的直径,想到直径所对的圆周 角是直角.因此,连接BE,得到∠ABE=90°.同 时,在△ABE与△ADC中,又有同弧所对的圆周角 ∠C与∠E相等,从而结论得以证明. 栏 目 链 接 证明:如图,连接BE. ∵AE为直径, ∴∠ABE=90°. ∵AD是△ABC的高, ∴∠ADC=90°, 栏 目 链 接 ∴∠ADC=∠ABE. 又∵∠AEB=∠ACB, ∴∠BAE=∠DAC. 例3 如图,已知⊙O中,AB=AC,D是BC延长线 上的一点,AD交⊙O于E,求证:AB2=AD· AE. 栏 目 链 接 证明:∵AB=AC. 连接 BE(如图), ︵ ︵ ∴AB=AC. ∴∠ABD=∠AEB. 在△ABE 和△ADB 中, ∠BAE=∠DAB,∠AEB=∠ABD, ∴△ABE∽△ADB. ∴ AB AE = ,即 AB2=AD· AE. AD AB 栏 目 链 接 点评:当题目结论与比例式有关时,可考虑证明三角形相 似. 3.在⊙O 内有一个内接四边形 ABCD,AC 与 BD 交于点 E, AE AD 求证: = . BE BC ︵ ︵ 证明:由AB=AB, 得∠ADE=∠ACB. 又∠AED=∠BEC, AE AD ∴△AED∽△BEC,即 = . BE BC 栏 目 链 接 4.如图所示,已知⊙O中,∠AOB=2∠BOC, 求证∠ACB=2∠BAC. 分析:利用圆周角定理证明. 证明:∵∠ACB=∠AOB, ∠AOB=2∠BOC, ∴∠ACB=∠BOC. 栏 目 链 接 又∵∠BAC=∠BOC, ∴∠ACB=2∠BAC. 析疑难 提 能 力 栏 目 链 接 例 已知⊙O 中的弦 AB 长等于半径,求弦 AB 所对的圆心角和圆周角的度数. 【错解】根据题意画出大致示意图如图所示,∠AOB 和∠C 分别 是弦 AB 所对的圆心角和圆周角. ∵AB=OA=OB, ∴△OAB 为等边三角形, ∴∠AOB=60°,∴∠C=30°, ∴AB 所对的圆心角为 60°,它所对的圆周角为 30°. 分析:同弧所对的圆周角相等,同弧所对的圆周角相等或互补, 错解中漏掉了一个圆周角. 栏 目 链 接 【正解】根据题意画出大致示意图如图所示,∠AOB 为弦 AB 所对的圆心角,∠C 和∠D 是弦 AB 所对的圆周角. ∵AB=OA=OB, ∴△AOB 为等边三角形, ∴∠AOB=60°,∴∠C=30°,∴∠D=150°, ∴弦 AB 所对的圆心角为 60°,所对的圆周角为 30°或 150°. 易错点:对圆周角的概念理解不清 【疑难点辨析】顶点在圆上且两边都和圆相交的角叫做圆周角,一 条弦所对的圆周角应有两种情况. 栏 目 链 接


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