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2.4正态分布学案


任丘一中数学新授课导学案

转身,要比眼泪快,这是必须的!

§2.4 正态分布
编者:

学习目标
通过实际问题,借助直观(如实际问题的直方图) ,认识正态分布曲线的特点及曲线所表 示的意义;会求服从正态分布的随机变量 X 的概率分布。 教学重点:正态分布曲线的性质、标准正态曲线 N ? 0,1? ; 教学难点:通过正态分布的图形特征,归纳正态曲线的性质;

学习过程
使用说明: (1)预习教材 P32~ P36,用红色笔画出疑惑之处,并尝试完成下列问题,总结规律方法; (2)用严谨认真的态度完成导学案中要求的内容; (3)不做标记的为 C 级,标记★为 B 级,标记★★为 A 级。

预习案(20 分钟)
一.知识链接 1.函数 f ( x) ? 当x?

1 2?

e

?

x2 2

的定义域是 值,是

;它是 .

(奇或偶)函数;

时,函数有最
2

2.已知抛物线 y ? ? x ? 2 x ? 3 ,则其对称轴为 x 轴所围的成的图形的面积是?

;该曲线与直线 x ? 1 , x ? 2 ,

二.新知导学 问题 1:正态曲线

当样本容量越大,分组越来越细, 频率直方图上面的折线就会无限 接近于一条光滑曲线,这条曲线 叫做总体密度曲线.

频率/组距

总体密度曲线

- 1 单位
O

a

b

随时给自己一个微笑,告诉自己:我也可以很勇敢,加油!

它反映了总体在各个范围内取值的概率.根据这条曲线,可求出总体在区间 ?a, b ? 内取值 的概率等于总体密度曲线与直线 x ? a, x ? b 和 x 轴所围图形的面积. 思考 1.X 是一个随机变量 .X 落在区间 (a,b] 的概率为 : 正态曲线可用下面函数的图象来表示或近似表示: 这个函数是:

? ? ,? ( x) ?

1 2? ?

e

?

? x ? ? ?2
2? 2

, x ? ?? ?. ? ? ?

式中的实数 ? 、 ? (? ? 0) 是参数,分别表示总体的平均数与标准差, ?? ,? ( x) 的 图象为正态分布密 度曲线 , 简称正态曲 线. 问题 2:正态分布 如果对于任何实数 a ? b ,随机变量 X 满足, P(a ? X ? b) = 则称 X 的分布为正态分布.记作: X ~ N ( 去估计。 问题 3:正态曲线的性质: ) .其中 ? 和 ? 分别用

, 和

结合 ? ? ,? ( x) 的解析式、正态分布曲线及概率的的性质特点,来研究正态分布的性质。

(1)曲线位于 x 轴 (3) 曲线在

,与 x 轴 处达到峰值

; (2)曲线是单峰的,它关于直线 ; (4)曲线与 x 轴之间的面积为 - 2 -

对称; .

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问题 4:正态曲线随着 ? 和 ? 的变化情况: ①当 ? 一定时,曲线随着 ? 的变化而沿 x 轴 ②当 ? 一定时,曲线的 由 ? 确定.
” ,表示总体的分布越 ” ,表示总体的分布越 问题 5:正态分布中的三个概率: ; P( ? ? ? ? X ? ? ? ? ) ?

; ; .

? 越小,曲线越“ ? 越大,曲线越“

P(? ? 2? ? X ? ? ? 2? ) ? P(? ? 3? ? X ? ? ? 3? ) ? 问题 6:小概率事件与 3? 原则:

; .

可以看到,正态总体几乎总取值于区间( ? - 3? , ? + 3? )之内,而在此区间以外 取值的概率只有 0.0026,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生 . 发生概率一般不超过 5%的事件, 即事件在一次试验中几乎不可能发生, 称之为小概 率事件 .
2 3? 原则: 在实际应用中, 通常认为服从于正态分布 N (?, ? ) 的随机变量 X 只取 (μ

- 3? , μ + 3? ) 之间的值, 并简称之为 3? 原则.因此我们时常只在区间 ( ? - 3? ,? + 3? ) 内研究正态总体分布情况,而忽略其中很小的一部分 .

探究案(30 分钟)
三.新知应用
【知识点一】正态曲线 例 1:下列函数是正态密度函数的是( A. f ( x ) ? C. f ( x) ? )
x2

1 2??

( x?? )2

e

2?

2

2? ? 2 , ? , ? (? ? 0) 是实数 B. f ( x) ? e 2?
D. f ( x ) ?

1 2 2?

e

?

( x ?1) 2 4

1 2?

e

x2 2

变式 1:把一个正态曲线 a 沿着横轴方向向右移动 2 个单位,得到新的一条曲线 b ,下列 说法中不正确的是( ) . A.曲线 b 仍然是正态曲线 B.曲线 a 和曲线 b 的最高点的纵坐标相等 C.以曲线 b 为概率密度曲线的总体的期望比以曲线 a 为概率密度曲线的总体的期望大 2 D.以曲线 b 为概率密度曲线的总体的方差比以曲线 a 为概率密度曲线的总体的方差大 变式 2: (1)若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数,且该函数的最大值等于

1 4 2?


,该正态分布的概率密度函数的解析式 、

- 3 -

随时给自己一个微笑,告诉自己:我也可以很勇敢,加油!

【知识点二】有关正态分布的概率计算 例 2.在某次数学考试中,考生的成绩 ? 服从一个正态分布,即 ? ~N(90,100). (1)试求考试成绩 ? 位于区间(70,110)上的概率是多少? (2)若这次考试共有 2 000 名考生,试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有 多少人?

变式 1:若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数,且该函数的最大值为 (1)求该正态分布的概率密度函数的解析式; 概率.

1 4 2?

.

(2)求正态总体在(-4,4)的

变式 2: 设X

N ?1 ,2

2

(1)P ? ?1 ? X ? 3? ; (2)P ? 3 ? X ? 5? ; (3)P ? X ? 5? ? ,试求:

当堂检测
1.若 f ( x) ?

1 2?

e

( x ?1) 2 ? 2

,则下列正确的是( ) .

A.有最大值、最小值 B.有最大值,无最小值 C.无最大值,有最小值 D.无最大值、最小值 2.设随机变量 ? ~ N (2,4) ,则 D( ? ) = ( A.1 B.2 C.

1 2

) .

1 D. 4 2 2 3.若随机变量满足正态分布 N (?, ? ) ,则关于正态曲线性质的叙述正确的是(
A. ? 越大,曲线越“矮胖” , ? 越小,曲线越“高瘦” B. ? 越小,曲线越“矮胖” , ? 越大,曲线越“高瘦” C. ? 的大小,和曲线的“高瘦” 、 “矮胖”没有关系 D.曲线的“高瘦” 、 “矮胖”受到 ? 的影响

) .

2 4. 已知随机变量 ? 服从正态分布 N 2, ? , 则 P ?? ? 0? 等于 ( P ?? ? 4? ? 0.84 ,

?

?



A.0.16 B.0.32 C.0.68 5.若随机变量 X ~ N (1,1) ,则 P(3 ? X ? 4) ? 若随机变量 X ~ N (5,2 ) ,则 P(3 ? X ? 7) ? 若随机变量 X ~ N (? ,1) ,则 P( ? ? 3 ? X ? ? ? 2) ?
2

D.0.84 . . .

- 4 -

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§2.4 正态分布课后巩固
1.已知 ? ~N(0, ? A.0.1

2

)且 P(-2≤ ? ≤0)=0.4,则 P( ? >2)的值为 B.0.2 C.0.3

( D.0.4



2. 在一次英语考试中, 考试的成绩服从正态分布 (100,36) , 那么考试成绩在区间 ?88,112? 内的概率是( A.0.6826 ) B.0.3174

C.0.9544

D.0.9974 )

3.已知随机变量 ? 服从正态分布 N(2, ? 2 ),P( ? ≤4)=0.84,则 P( ? <0)=( A.0.16 B.0.32 C.0.68 D.0.84

4.设随机变量 X~N( ? , ? 2 ) ,则随着 ? 的增大,概率 P(|x- ? |<3 ? )将会( A.单调增加 B.单调减少 C.保持不变 5.已知 X~N (0,1),则 X 在区间 (??,?2) 内取值的概率等于( A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 D.0.0228 10.设 X~N( 0 ,1) 。 ①P(-ε <X<0)=P(0<X<ε ) ; ③已知 P(│X│<1)=0.6826,则 P(X<-1)=0.1587; ④若 P(│X│<2)=0.9544,则 P(X<2)=0.9772; ⑤若 P (│X│<3) =0.9974, 则P (X<3) =0.9987; 其中正确的有 A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个
1 9



D.增减不定 ) ②P(X<0)=0.5;



) 。

6..在正态分布 N(0, )中,数值落在(-∞,-1)∪(1,+∞)内的概率为 (



A.0.097 B.0.046 C.0.03 D.0.003 7..某次市教学质量检测,甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多, 成绩分布的直方图可视为正态分布) ,则由如图曲线可得下列说法中正确的一个是 ( )

A.甲科总体的标准差最小 B.丙科总体平均数最小 C.乙科总体的标准差及平均数都居中 D.甲、乙、丙的总体的平均数不相同 2 8.设随机变量ξ ~N (μ , σ ) , 且P (ξ ≤C) =P (ξ >C) =p, 那么 p 的值为 (
- 5 -



随时给自己一个微笑,告诉自己:我也可以很勇敢,加油!

A. 0

B. 1

C.

1 2

D. 不确定,与 ? 有关 ) 。

9.设某长度变量 X~N(1,1) ,则下列结论正确的是(

A. E(X)=D(X) B. D(X)= D( X ) C. E(X)= D( X ) D. E(X)=D(X)= D( X ) 10.已知一次考试共有 60 名同学参加,考生的成绩 X~N(110,5 ) ,据此估计,大约应 有 57 人的分数在下列哪个区间内? ( ) A.(90,110] B.(95,125] C.(100,125] D.(105,115] 11.已知正态分布总体落在区间(0.2,+∞)的概率为 0.5,那么相应的正态曲线 f(x) x= 达到最高点. 12. 已知正态总体的数据落在(-3,-1)里的概率和落在(3,5)里的概率相等,那么这个 正态总体的数学期望是 。 13.若随机变量 X 的概率分布密度函数是 ? ? ,? ( x) ?
2

1 2 2?

e

?

? x ? 2 ?2
8

, ( x ? R) ,则

E (2 X ? 1) =



14.在某项测量中,测量结果 ? 服从正态分布 N(1, ? 2 )( ? >0).若 ? 在(0,1)内取值 的概率为 0.4,则 ? 在(0,2)内取值的概率为 .
1 9

15.工厂制造的某机械零件尺寸 X 服从正态分布 N(4, ),问在一次正常的试验中,取 1 000 个零件时,不属于区间(3,5)这个尺寸范围的零件大约有多少个?

16.某人乘车从 A 地到 B 地,所需时间(分钟)服从正态分布 N(30,100) ,求此人在 40 分钟至 50 分钟到达目的地的概率.

17.某年级的一次信息技术测验成绩近似的服从正态分布 N(70. 10 2 ) ,如果规定低于 60 分为不及格,求: (1)成绩不及格的人数占多少?(2)成绩在 80~90 内的学生占多少?

- 6 -



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