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湖北省宜昌市金东方高级中学2014-2015学年高二6月月考数学(理)试题


宜昌金东方高级中学 2015 年春季学期 6 月月考

高二数学试题(理)
命题: 王波 审题: 翁平 本试题卷共 2 页,三大题 22 小题。全卷满分 150 分。考试用 时 150 分钟。 ★祝考试顺利★ 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.复数

1 ? 2i 的共轭复数是 2?i 3i A. B. ?i 5

C. i

D. ?

3i 5

2.下列说法正确的是( ) 2 2 A.命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为“若 x =1,则 x≠1” 2 2 B.命题“?x0∈R,x0+x0-1<0”的否定是“?x∈R,x +x-1>0” C.命题“若 x=y,则 sin x=sin y”的逆否命题为假命题 D.若“p 或 q”为真命题,则 p,q 中至少有一个为真命题
2 3.已知命题 p : 2 ? x ? 3 , q : x ? 5x ? 4 ? 0 ,则 p 是 q 的

A.充分不必要条件 C.充要条件 4.定积分?1(2x+e )dx 的值为(
x

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) C.e D.e-1 ) D.

?0

A.e+2

B.e+1

5.函数 f ( x) ? a ln x ? x 在 x ? 1 处取到极值,则 a 的值为( A. ?1 B. ?

1 2

C.0

1 2

5 ? 2 1? 6.若直线 x+ay-1=0 与 4x-2y+3=0 垂直,则二项式?ax - ? 的展开式中 x 的系数为

?

x?

(

) A.-40

B.-10

C.10

D.40

7. A、B、C、D、E五人站成一排,如果A 必须站在B的左边(A、B可以不相邻),则不同排法有 ( ) A.24种 B.60种 C.90种 D.120种

→ → 1→ → 8. 正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1, 点 M 在AC1上且AM= MC1, N 为 B1B 的中点, 则|MN|为( 2

)

A.

15 6
2 2

B.

6 6

C.

21 6

D.

15 3

9. 设圆(x+1) +y =25 的圆心为 C,A(1,0)是圆内一定点,Q 为圆周上任一点,线段 AQ 的 垂直平分线与 CQ 的连线交于点 M,则 M 的轨迹方程为( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 4x 4y 4x 4y 4x 4y 4x 4y A. - =1 B. + =1 C. - =1 D. + =1 21 25 21 25 25 21 25 21 10.已知 m,n 为两 个不相等的非零实数,则方程 mx-y+n=0 与 nx +my =mn 所表示
2 2

的曲线可能是(
y



y o

y o

y o

o

x

x

x

x

A

B

C

D

11 在区间 [0,1] 上任取三个数 a 、 b 、 c ,若点 M 在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐标为 (a, b, c) , 则 OM ? 1 的概率是 A.
π 24 π 12 π 6 3π 32

B.

C.

D.

12.棱长为 2 的正四面体 ABCD 在空间直角坐标系中移动,但保持点 A 、 B 分 别在 x 轴、y 轴上移动,则棱 CD 的中点 E 到坐标原点 O 的最远距离为 ( ) A. 2 2 B. 2 3 C. 3 ? 1 D. 2 ? 1

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.请将答案填在答题卡对应题号的位 置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. 13.曲线 y ? 2 x ? x 在 x ? ?1 处的切线方程为
3



14. 已 知 随 机 变 量 ξ 于 。

服 从 二 项 分 布 ξ ~ B(n , p ) , 且 Eξ =7 , Dξ =6 , 则 p 等

15. 先后掷一枚质地均匀骰子(骰子的六个面上分别标有 1 、2 、3 、4 、5 、6 个点)两次, 落在水平桌面后,记正面朝上的点数分别为 x , y ,设事件 A 为“ x ? y 为偶数”, 事件 B 为 “ x , y 中有偶数且 x ? y ”,则概率 P( B | A) 等于 。

16.直线 ax ? 2by ? 1 与圆 x ? y ? 1相交于 A,B 两点(其中 a,b 是实数) ,且 ?AOB 是
2 2

直角三角形(O 是坐标原点) ,则点 P ? a, b? 与点(1,0)之间距离的最小值为_______. 三、解答题:本题共 6 小题,共 70 分,解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17. (本小题满分 10 分)已知 p:{x| x ? 3 ? 2}, q:{x |(x -m+1)(x -m-1) ? 0} ,若 ?p

是 ?q 充分而不必要条件,求实数 m 的取值范围.

18. (本小题满分 12 分)4 月 15 日,亚投行意向创始成员国已经截止,意向创始成员国敲定 57 个,其中,亚洲国家 34 个,欧洲国家 18 个,非洲和大洋洲各 2 个;南美洲 1 个.18 个欧 洲国家中 G8 国家有 5 个(英法德意俄).亚投行将设立理事会、董事会和管理层三层管理架 构.假设理事会由 9 人组成,其中 3 人由欧洲国家等可能产生. (1)这 3 人中恰有 2 人来自于 G8 国家的概率; (2)设 X 表示这 3 人来自于 G8 国家的人数,求 X 的分布列和期望.

19. (本小题满分 12 分)运货卡车以每小时 x 千米的速度匀速行驶 130 千米(50≤x≤100)(单 位:千米/小时).假设汽油的价格是每升 2 元,而汽车每小时耗油(2+ 是每小时 14 元. (1)求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式; (2)当 x 为何值 时,这次行车的总费用 最低,并求出最低费用的值. )升,司机的工资 360

x2

20.(本小题满分 12 分)已知四边形 ABCD 满足 AD∥BC,BA=AD=DC=

1 BC=a,E 是 BC 的中 2

点,将△BAE 沿 AE 折起到 ?B1 AE 的位置,使平面 B1 AE ? 平面 AECD ,F 为 B1D 的中点. (Ⅰ)证明:B1E∥平面 ACF; (Ⅱ)求平面 ADB1 与平面 ECB1 所成锐二面角的余弦值.

21. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C :

x2 y 2 6 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,长轴长为 2 a b 3

2 6.
(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ) 设 F 为椭圆 C 的右焦点, T 为直线 x ? t (t ? R, t ? 2) 上纵坐标不为 0 的任意一点, 过F

作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P,Q. (ⅰ)若 OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点),求 t 的值; (ⅱ)在(ⅰ)的条件下,当

| TF | 最小时,求点 T 的坐标. | PQ |

22. (本题满分12分) 设函数 f ( x) ? ( x ? a)2 ( x ? b)e x ,a、b ? R ,x=a是 f ( x) 的一个极大值 点. ... (1)若 a ? 0 ,求b的取值范围;

x 是 f ( x) 的3个极值点, (2) 当a是给定的实常数 , 设 x1 , x 问是否存在实数b, 可找到 x4 ? R , 2 ,3 ...
使得 x1 , x2 , x3 , x4 的某种排列 xi1 , xi2 , xi3 , xi4 (其中 {i1 , i2 , i3 , i4 } ? {1,2,3,4} )依次成等差数列?若存 在,求所有的b及相应的 x4 ;若不存在, 请说明理由.

宜昌金东方高级中学 2015 年春季学期 6 月月考

高二数学试题(理)
命题: 王波 审题: 翁平 本试题卷共 4 页,三大题 22 小题。全卷满分 150 分。考试用 时 150 分钟。 ★祝考试顺利★ 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每个小题给出 的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. BDACA ABCDC CD

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.请将答案填在答题卡对应题号的位 置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.

13. x ? y ? 2 ? 0
1 7 1 15. 3

14.

16. 2 ? 1 三、解答题:本题共 6 小题,共 70 分,解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17.已知 p:{x| x ? 3 ? 2}, q:{x |(x-m+1)(x -m-1) ? 0} ,若 ?p 是 ?q 充分而不必要 条件,求实数 m 的取值范围.

解:由题意 p: ? 2 ? x ? 3 ? 2 ∴ 1? x ? 5 ∴ ?p : x ? 1或x ? 5
q: m ? 1 ? x ? m ? 1 (3分)

∴ ?q : x ? m ? 1或x ? m ? 1
又∵ ?p 是 ?q 充分而不必要条件

(3分)

?m ? 1 ? 1 ∴? ?m ? 1 ? 5

∴2 ? m ? 4

(4分)

18. (本小题满分 12 分)4 月 15 日,亚投行意向创始成员国已经截止,意向创始成员国 敲定 57 个,其中,亚洲国家 34 个,欧洲国家 18 个,非洲和大洋洲各 2 个;南美洲 1 个.18

个欧洲国家中 G8 国家有 5 个(英法德意俄).亚投行将设立理事会、董事会和管理层三层管 理架构.假设理事会由 9 人组成,其中 3 人由欧洲国家等可能产生. (1)这 3 人中恰有 2 人来自于 G8 国家的概率; (2)设 X 表示这 3 人来自于 G8 国家的人数,求 X 的分布列和期望.
1 C52 C13 65 19.解:(1) P ? ??????????5 分 ? 3 408 C18

(2) X 可能的取值为 0 、 1 、 2 、 3

P( X ? 0) ?

3 C13 143 ? 3 C18 408 1 C52 C13 65 ? 3 408 C18

P( X ? 1) ?

1 2 C5 C13 195 ? 3 408 C18 3 C5 5 ? 3 C18 408

P( X ? 2) ?
X

P( X ? 3) ?
3 5 408

P

0 143 408

1 195 408

2 65 408

???10 分

EX ?

5 ????????????????????12 分 6
x2

19 运货卡车以每小时 x 千米的速度匀速行驶 130 千米(50≤x≤100)(单位: 千米/小时). 假 设汽油的价格是每升 2 元,而汽车每小时耗油(2+ (1)求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式; (2)当 x 为何值 时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值. 解:(1)行车所用时间为 t=
2

) 升,司机的工资是每小时 14 元. 360

130 (h),

x

y=

130 x 14×130 ×2×(2+ )+ ,x∈. x 360 x

所以,这次行车总费 用 y 关于 x 的表达式是

y=

2340 13 + x,x∈.6 分 x 18

2340 13 2340 13 (2)y= + x≥26 10,当且仅当 = x, x 18 x 18 即 x=18 10时,上述不等式中等号成立. 当 x=18 10时,这次行车的总费用最低,最低费用为 26 10元 6分

20.(本小题满分 12 分)已知四边形 ABCD 满足 AD∥BC,BA=AD=DC=

1 BC=a,E 是 BC 2

的中点,将△BAE 沿 AE 折起到 ?B1 AE 的位置,使平面 B1 AE ? 平面 AECD ,F 为 B1D 的中 点. (Ⅰ)证明:B1E∥平面 ACF; (Ⅱ)求平面 ADB1 与平面 ECB1 所成锐二面角的余弦值.

20(1)连结 ED 交 AC 于 O,连结 OF,因为 AECD 为菱形,OE=OD 所以 FO∥B1E, 所以 B1E / /面ACF 。??????4 分 (2) 取 AE 的中点 M,连结 B1M,连结 MD,则∠AMD= 90 0 , 分 别 以 ME,MD,MB1 为 x,y,z 轴 建 系 , 则 3 3 3 a a a ,0) , B 1 (0,0, a ,0) A (? ,0,0) , D (0, a) , 所 以 1 , E ( ,0,0) , C (a , 2 2 2 2 2 a 3a a 3a a 3a EB 1 ? (? ,0, ) , AD ? ( , ) ,设面 ECB1 的法向 ,0) , AB 1 ? ( ,0, 2 2 2 2 2 2 ?a 3 ay ? 0 ? x ? 3 3 ?2 2 , ) ,?8 分 量为 u ? (x , y , z ) , ? ,令 x=1, u ? (1,? 3 3 3 ? a ? x ? az ? 0 ? 2 ? 2

3 3 ,? ) ????10 分 3 3 1 1 1? ? 3 3 3 所以 cos ? u ,v ?? ? , 1 1 1 1 5 1? ? ? 1? ? 3 3 3 3 3 故面 ADB1与面ECB1 所成锐二面角的余弦值为 ???? 12 分 5
同理面 ADB1 的法向量为v ? (1,?

21 . (本小题满分 13 分)已知椭圆 C :

x2 y 2 6 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,长轴长为 2 a b 3

2 6.
(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ) 设 F 为椭圆 C 的右焦点, T 为直线 x ? t (t ? R, t ? 2) 上纵坐标不为 0 的任意一点, 过F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P,Q. (ⅰ)若 OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点),求 t 的值; (ⅱ)在(ⅰ)的条件下,当

| TF | 最小时,求点 T 的坐标. | PQ |

21.解: (1)由已知解得 a 2 ? 6 b2 ? 2

x2 y 2 ? ? 1 . ………………………………(3 分) 所以椭圆 C 的标准方程是 6 2
(2) (ⅰ)由(1)可得,F 点的坐标是(2,0). x=my+2, ? ?2 2 设直线 PQ 的方程为 x=my+2,将直线 PQ 的方程与椭圆 C 的方程联立,得?x y ? ? 6 + 2 =1. 消去 x,得(m2+3)y2+4my-2=0,其判别式 Δ=16m2+8(m2+3)>0. -2 -4m 12 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 y1+y2= 2 ,y1y2= 2 .于是 x1+x2=m(y1+y2)+4= 2 . m +3 m +3 m +3 设 M 为 PQ 的中点,则 M 点的坐标为 (

6 ? 2m , 2 ). m ?3 m ?3
2

????6 分

因为 TF ? PQ ,所以直线 FT 的斜率为 ? m ,其方程为 y ? ?m( x ? 2) . 当 x ? t 时, y ? ?m?t ? 2? ,所以点 T 的坐标为 ?t ,?m?t ? 2??,

? m?t ? 2 ? m(2 ? t ) x. ,其方程为 y ? t t 6 ? 2m ? 2m m( 2 ? t ) 6 , 2 ) 代入,得 2 ? ? 2 将 M 点的坐标为 ( 2 . m ?3 m ?3 m ?3 t m ?3 解得 t ? 3 . …… …………………………………………8 分
此时直线 OT 的斜率为 (ⅱ)由(ⅰ)知 T 为直线 x ? 3 上任意一点可得,点 T 点的坐标为 (3,?m) . 于是 | TF |? m ? 1 ,
2

| PQ |?

24(m 2 ? 1) . m2 ? 3

????10 分

所以

| TF | m2 ? 3 1 (m2 ? 3)2 ? m2 ? 1 ? ? ? | PQ | m2 ? 1 24(m2 ? 1) 24

?

1 (m2 ? 3)2 1 (m2 ? 1)2 ? 4(m2 ? 1) ? 4 ? ? ? m2 ? 1 m2 ? 1 24 24

?

1 4 1 3 ? m2 ? 1 ? 2 ?4 ? ? 2 4?4 ? . m ?1 3 24 24

?????12 分

3 4 |TF| 当且仅当 m2+1= 2 ,即 m=± 1 时,等号成立,此时 取得最小值 . |PQ| m +1 3
|TF| 故当 最小时,T 点的坐标是(3,1)或(3,-1). |PQ| ?????12 分

22. (本题满分12分) 设函数 f ( x) ? ( x ? a)2 ( x ? b)e x ,a、b ? R ,x=a是 f ( x) 的一个极大值 点. ... (1)若 a ? 0 ,求b的取值范围;

x 是 f ( x) 的3个极值点, (2) 当a是给定的实常数 , 设 x1 , x 问是否存在实数b, 可找到 x4 ? R , 2 ,3 ...
使得 x1 , x2 , x3 , x4 的某种排列 xi1 , xi2 , xi3 , xi4 (其中 {i1 , i2 , i3 , i4 } ? {1,2,3,4} )依次成等差数列?若存 在,求所有的b及相应的 x4 ;若不存在,请说明理由. 解析: (1) a ? 0 时, f ? x ? ? x
2

? x ? b? ex ,
2 2

? x 2 2 x ? x 2 ,……1分 ? f ?? x? ? ? ? x ? x ? b ?? ? e ? x ? x ? b? ?e ? ? e x ? ? x ? ? b ? 3? x ? 2b ? ?
令 g ? x ? ? x ? ? b ? 3? x ? 2b ,? ? ? ? b ? 3? ? 8b ? ? b ? 1? ? 8 ? 0 ,
2

可设 x1 ? x2 是 g ? x ? ? 0 的两个根,……………………………………2分 ①当 x1 ? 0 或 x2 ? 0 时,则 x ? 0 不是极值点,不合题意; ②当 x1 ? 0 且 x2 ? 0 时,由于 x ? 0 是 f ? x ? 的极大值点, (2) f ? ? x ? ? e
x
2 ? x ? a? ? ? x ? (3 ? a ? b) x ? 2b ? ab ? a ? ?,

故 x1 ? 0 ? x2 . ? g ? 0 ? ? 0 ,即 2b ? 0 ,? b ? 0. 故b的取值范围是 (??,0) . ……5分 令 g ( x) ? x 2 ? (3 ? a ? b) x ? 2b ? ab ? a , 则 ? ? (a ? b ? 1)2 ? 8 ? 0 ,于是,假设 x1,x2 是 g ? x ? ? 0 的两个实根,且 x1 ? x2 . 由(1)可知,必有 x1 ? a ? x2 ,且 x1、a、x2 是 f ? x ? 的三个极值点,

(a ? b ? 3) ? (a ? b ? 1)2 ? 8 (a ? b ? 3) ? (a ? b ? 1)2 ? 8 . ……6分 , x2 ? 2 2 假设存在 b 及 x4 满足题意,不妨只考虑公差大于零的情形,即:
则 x1 ? ①当排列为 x4 , x1 , a, x2 或 x1 , a, x2 , x4 ,则 2a ? x1 ? x2 ? a ? b ? 3 ,即 b ? ? a ? 3 时, 于是 x4 ? 2 x2 ? a 或 x4 ? 2 x1 ? a 即 x4 ? 2 x2 ? a ? a ? b ? 3 ?

(a ? b ? 1) 2 ? 8 ? a ? a ? 2 6

或 x4 ? 2 x1 ? a ? a ? b ? 3 ? (a ? b ? 1) 2 ? 8 ? a ? a ? 2 6 ……………………8分 ②当排列为 x1 , a, x4 , x2 或 x1 , x4 , a, x2 ,则 x2 ? a ? 2(a ? x1 ) 或 (a ? x1 ) ? 2( x2 ? a ) (i)若 x 2 ? a ? 2?a ? x1 ? ,于是 3a ? 2 x ? x ? 3?a ? b ? 3? ? 1 2 即

?a ? b ? 1?2 ? 8 ,
2
2

?a ? b ? 1?2 ? 8 ? ?3?a ? b ? 3?. 两边平方得 ? a ? b ? 1?

? 9 ? a ? b ? 1? ? 17 ? 0 ,

? a ? b ? 3 ? 0, 于是 a ? b ? 1 ?
此时 x4 ?

?9 ? 13 7 ? 13 ,从而 b ? ? a ? , 2 2

a ? x2 2a ? (a ? b ? 3) ? 3(a ? b ? 3) 1 ? 13 ? ? ?b ? 3 ? a ? ………10分 2 4 2

3 a ? b ? 3? ? (ii)若 (a ? x1 ) ? 2( x2 ? a ) ,于是 3a ? 2 x ? x ? ? 2 1


? a ? b ? 1?
2

2

?8 ,

? a ? b ? 1?

2

? 8 ? 3 ? a ? b ? 3? . 两边平方得 ? a ? b ? 1? ? 9 ? a ? b ? 1? ? 17 ? 0 ,
2

?9 ? 13 7 ? 13 ,从而 b ? ? a ? 2 2 a ? x1 2a ? (a ? b ? 3) ? 3(a ? b ? 3) 1 ? 13 此时 x4 ? ? ? ?b ? 3 ? a ? 2 4 2 7 ? 13 综上所述,存在b满足题意,当b=-a-3时, x4 ? a ? 2 6 ;当 b ? ? a ? 时, 2 1 ? 13 7 ? 13 1 ? 13 . ………12分 ; b ? ?a ? 时, x4 ? a ? x4 ? a ? 2 2 2

? a ? b ? 3 ? 0, 于是 a ? b ? 1 ?


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