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2014高考数学一轮复习模拟试题集[文科数学]


2014 文科数学课时作业复习资料

第一章
第1讲

集合与逻辑用语
集合的含义与基本关系

1.(2011 年江西)若全集 U={1,2,3,4,5,6},M={2,3},N={1,4},则集合{5,6}等于( ) A.M∪N B.M∩N C.(?UM)∪(?UN) D.(?UM)∩(?UN) 2.(2011 年湖南)设全集 U=M∪N={1,2,3,4,5},M∩?UN={2,4},则 N=( ) A.{1,2,3} B.{1,3,5} C.{1,4,5} D.{2,3,4} ?1? 3.已知集合 A={1,2a},B={a,b},若 A∩B=?2?,则 A∪B 为( ) ? ? 1? ?1 ? ? A.?2,1,b? B.?-1,2? ? ? ? ? 1? 1 ? ? ? C.?1,2? D.?-1,2,1? ? ? ? ? 4.已知全集 U=R,集合 M={x|-2≤x-1≤2}和 N={x|x=2k-1,k=1,2,?}的关系 的韦恩(Venn)图如图 K1-1-1 所示,则阴影部分所示的集合的元素共有( )

图 K1-1-1 A.3 个 B.2 个 C.1 个 D.无穷多个 5.(2011 年广东)已知集合 A={(x,y)|x,y 为实数,且 x2+y2=1},B={(x,y)|x、y 为实 数,且 y=x},则 A∩B 的元素个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 ? ? 1 y= ,x>2 ?,则?UP=( 6.(2011 年湖北)已知 U={y|y=log2x,x>1},P=?y? ) x ? ? ? 1 ? A.? ?2,+∞? 1 0, ? B.? ? 2? C.(0,+∞) 1 ? D.(-∞,0)∪? ?2,+∞? 7. (2011 年上海)若全集 U=R, 集合 A={x|x≥1}∪{x|x≤0}, 则?UA=________________. 2 8.(2011 年北京)已知集合 P={x|x ≤1},M={a}.若 P∪M=P,则 a 的取值范围是 ____________. 9.(2011 年安徽合肥一模)A={1,2,3},B={x∈R|x2-ax+b=0,a∈A,b∈A},求 A∩B

=B 的概率.

10.(2011 届江西赣州联考)已知函数 y=ln(2-x)[x-(3m+1)]的定义域为集合 A,集合 B
? x-?m2+1? ? <0?. =?x| x-m ? ?

(1)当 m=3 时,求 A∩B; (2)求使 B?A 的实数 m 的取值范围.

第2讲

命题及其关系、充分条件与必要条件

1.(2011 年湖南)设集合 M={1,2},N={a2},则“a=1”是“N?M”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 2.(2010 年陕西)“a>0”是“|a|>0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.a、b 为非零向量,“a⊥b”是“函数 f(x)=(ax+b)· (xb-a)为一次函数”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 1 4.(2010 年广东)“m< ”是“一元二次方程 x2+x+m=0”有实数解的( ) 4 A.充分非必要条件 B.充分必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分必要条件 5.对任意实数 a,b,c,给出下列命题: ①“a=b”是“ac=bc”的充要条件; ②“a+5 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件; ③“a>b”是“a2>b2”的充分条件; ④“a<5”是“a<3”的必要条件. 其中真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 6.(2011 年山东)已知 a,b,c∈R,命题“若 a+b+c=3,则 a2+b2+c2≥3”的否命题 是( ) A.若 a+b+c≠3,则 a2+b2+c2<3 B.若 a+b+c=3,则 a2+b2+c2<3 C.若 a+b+c≠3,则 a2+b2+c2≥3 D.若 a2+b2+c2≥3,则 a+b+c=3 π 7.(2010 年上海)“x=2kπ+ (k∈Z)”是“tanx=1”成立的( ) 4 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分条件 D.既不充分也不必要条件 8.给定下列命题: ①若 k>0,则方程 x2+2x-k=0 有实数根; ②“若 a>b,则 a+c>b+c”的否命题; ③“矩形的对角线相等”的逆命题; ④“若 xy=0,则 x,y 中至少有一个为 0”的否命题. 其中真命题的序号是________. 9.已知 p:|x-4|≤6,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),且綈 p 是綈 q 的必要不充分条件,

求实数 m 的取值范围.

10.已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a,b∈R,对命题“若 a+b≥0,则 f(a) +f(b)≥f(-a)+f(-b)”. (1)写出逆命题,判断其真假,并证明你的结论; (2)写出逆否命题,判断其真假,并证明你的结论.

第3讲

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

1.(2011 年北京)若 p 是真命题,q 是假命题,则( ) A.p∧q 是真命题 B.p∨q 是假命题 C.綈 p 是真命题 D.綈 q 是真命题 2.(2010 年湖南)下列命题中的假命题是( ) A.?x∈R,lgx=0 B.?x∈R,tanx=1 C.?x∈R,x3>0 D.?x∈R,2x>0 3.下列四个命题中的真命题为( ) A.若 sinA=sinB,则∠A=∠B B.若 lgx2=0,则 x=1 1 1 C.若 a>b,且 ab>0,则 < a b D.若 b2=ac,则 a,b,c 成等比数列 4.若函数 f(x)=x2+ax(a∈R),则下列结论正确的是( A.?a∈R,f(x)是偶函数 B.?a∈R,f(x)是奇函数 C.?a∈R,f(x)在(0,+∞)上是增函数 D.?a∈R,f(x)在(0,+∞)上是减函数

)

5 5.(2011 年广东揭阳市二模)已知命题 p:?x∈R,cosx= ;命题 q:?x∈R,x2-x+ 4 1>0.则下列结论正确的是( ) A.命题 p∧q 是真命题 B.命题 p∧綈 q 是真命题 C.命题綈 p∧q 是真命题 D.命题綈 p∧綈 q 是假命题 6.(2011 届广东汕头水平测试)命题“?x>0,都有 x2-x≤0”的否定是( ) A.?x>0,使得 x2-x≤0 B.?x>0,使得 x2-x>0 C.?x>0,都有 x2-x>0 D.?x≤0,都有 x2-x>0 7.如果命题 P:?∈{?},命题 Q:??{?},那么下列结论不正确的是( ) A.“P 或 Q”为真 B.“P 且 Q”为假 C.“非 P”为假 D.“非 Q”为假 8.(2010 年四川)设 S 为实数集 R 的非空子集.若对任意 x,y∈S,都有 x+y,x-y,xy ∈S,则称 S 为封闭集.下列命题: ①集合 S={a+b 3|a,b 为整数}为封闭集; ②若 S 为封闭集,则一定有 0∈S; ③封闭集一定是无限集; ④若 S 为封闭集,则满足 S?T?R 的任意集合 T 也是封闭集. 其中的真命题是________(写出所有真命题的序号). 9.设函数 f(x)=x2-2x+m. (1)若?x∈[0,3],f(x)≥0 恒成立,求 m 的取值范围; (2)若?x∈[0,3],f(x)≥0 成立,求 m 的取值范围.

4 10.已知 m∈R,设命题 P:|m-5|≤3;命题 Q:函数 f(x)=3x2+2mx+m+ 有两个不同 3 的零点.求使命题“P 或 Q”为真命题的实数的取值范围.

第二章
第1讲

函数

函数与映射的概念

1.下列函数中,与函数 y=

1 有相同定义域的是( x

)

1 A.f(x)=lnx B.f(x)= x C.f(x)=|x| D.f(x)=ex 2.(2010 年重庆)函数 y= 16-4x的值域是( ) A.[0,+∞) B.[0,4] C.[0,4) D.(0,4) 3.(2010 年广东)函数 f(x)=lg(x-1)的定义域是( ) A.(2,+∞) B.(1,+∞) C.[1,+∞) D.[2,+∞) 4.给定集合 P={x|0≤x≤2},Q={y|0≤y≤4},下列从 P 到 Q 的对应关系 f 中,不是映 射的为( ) A.f:x→y=2x B.f:x→y=x2 5 C.f:x→y= x D.f:x→y=2x 2 f?2x? 5.若函数 y=f(x)的定义域是[0,2],则函数 g(x)= 的定义域是( ) x-1 A.[0,1] B.[0,1) C.[0,1)∪(1,4] D.(0,1) 6.若函数 y=f(x)的值域是[1,3],则函数 F(x)=1-2f(x+3)的值域是__________. 7.已知函数 f(x),g(x)分别由下表给出: x f(x) x g(x) 1 1 1 3 2 3 2 2 3 1 3 1

则 f[g(1)]的值为________; 满足 f[g(x)]>g[f(x)]的 x 的值是________. 8 . (2011 年 广 东 广 州 综 合 测 试 二 ) 将 正 整 数 12 分 解 成 两 个 正 整 数 的 乘 积 有 1×12,2×6,3×4 三种,其中 3×4 是这三种分解中,两数差的绝对值最小的,我们称 3×4 为 p 12 的最佳分解.当 p×q(p≤q 且 p,q∈N*)是正整数 n 的最佳分解时,我们规定函数 f(n)= , q 3 例如 f(12)= .关于函数 f(n)有下列叙述: 4 1 3 4 9 ①f(7)= ;②f(24)= ;③f(28)= ;④f(144)= .其中正确的序号为________(填入所有 7 8 7 16

正确的序号). lg?x2-2x? 9.(1)求函数 f(x)= 的定义域; 9-x2 (2)已知函数 f(2x)的定义域是[-1,1],求 f(log2x)的定义域.

10.等腰梯形 ABCD 的两底分别为 AD=2a,BC=a,∠BAD=45° ,作直线 MN⊥AD 交 AD 于 M,交折线 ABCD 于 N,记 AM=x,试将梯形 ABCD 位于直线 MN 左侧的面积 y 表示 为 x 的函数,并写出函数的定义域.

第2讲

函数的表示法

1.设 f(x+2)=2x+3,则 f(x)=( ) A.2x+1 B.2x-1 C.2x-3 D.2x+7 2 ? ?x ?x>0?, ? 2.(2011 年浙江)已知 f(x)= 则 f(2)+f(-2)的值为( ) ?f?x+1??x≤0?, ? A.6 B.5 C.4 D.2 3.设 f,g 都是由 A 到 A 的映射,其对应关系如下表(从上到下): 映射 f 的对应关系 1 2 3 4 原象 3 4 2 1 象 映射 g 的对应关系 1 2 3 4 原象 4 3 1 2 象 则与 f[g(1)]值相同的是( ) A.g[f(1)] B.g[f(2)] C.g[f(3)] D.f[f(4)] 4.(2010 届广州海珠区第一次测试)直角梯形 ABCD 如图 K2-2-1(1), 动点 P 从点 B 出 发,由 B→C→D→A 沿边运动,设点 P 运动的路程为 x,△ABP 的面积为 f(x).如果函数 y

=f(x)的图象如图(2),则△ABC 的面积为(

)

(1) 图 K2-2-1 A.10 B.32 C.18 D.16

(2)

? ?x>0?, ?2x 5. (2011 年福建)已知函数 f(x)=? f(a)+f(1)=0, 则实数 a 的值等于( ) ?x+1 ?x≤0?, ? A.-3 B.-1 C.1 D.3 x+1 6.已知 f(x)= (x≠± 1),则( ) x-1 A.f(x)· f(-x)=1 B.f(-x)+f(x)=0 C.f(x)· f(-x)=-1 D.f(-x)+f(x)=1 ? ?x<1?, ?3x+2 7.(2010 年陕西)已知函数 f(x)=? 2 若 f[f(0)]=4a,则实数 a=________. ?x +ax ?x≥1?, ? ?2 x,x∈?-∞,1?, ? 8.(2011 年广东广州调研)设函数 f(x)=? 2 若 f(x)>4,则 x 的取值范 ? ?x ,x∈[1,+∞?. 围是____________.


9.二次函数 f(x)满足 f(x+1)-f(x)=2x+3,且 f(0)=2. (1)求 f(x)的解析式; (2)求 f(x)在[-3,4]上的值域; (3)若函数 f(x+m)为偶函数,求 f[f(m)]的值; (4)求 f(x)在[m,m+2]上的最小值.

10.定义:如果函数 y=f(x)在定义域内给定区间[a,b]上存在 x0(a<x0<b),满足 f(x0)= f?b?-f?a? ,则称函数 y=f(x)是[a,b]上的“平均值函数”,x0 是它的一个均值点.如 y=x4 是 b-a [-1,1]上的平均值函数,0 就是它的均值点. (1)判断函数 f(x)=-x2+4x 在区间[0,9]上是否为平均值函数?若是,求出它的均值点; 若不是,请说明理由; (2)若函数 f(x)=-x2+mx+1 是区间[-1,1]上的平均值函数,试确定实数 m 的取值范围.

第3讲

函数的奇偶性与周期性

1.已知函数 f(x)=ax2+bx+3a+b 是定义域为[a-1,2a]的偶函数,则 a+b 的值是( ) 1 A.0 B. 3 C.1 D.-1 4x+1 2.(2010 年重庆)函数 f(x)= x 的图象( ) 2 A.关于原点对称 B.关于直线 y=x 对称 C.关于 x 轴对称 D.关于 y 轴对称 3.(2011 年广东)设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的 是( ) A.f(x)+|g(x)|是偶函数 B.f(x)-|g(x)|是奇函数 C.|f(x)|+g(x)是偶函数 D.|f(x)|-g(x)是奇函数 4.(2011 年湖北)若定义在 R 上的偶函数 f(x)和奇函数 g(x)满足 f(x)+g(x)=ex,则 g(x)= ( ) - - - ex+e x e x-ex ex-e x - A.ex-e x B. C. D. 2 2 2 5.(2010 年山东)设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=2x+2x+b(b 为常数), 则 f(-1)=( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3 x 6.(2011 年辽宁)若函数 f(x)= 为奇函数,则 a=( ) ?2x+1??x-a? 1 2 3 A. B. C. D.1 2 3 4 7.(2011 年湖南)已知 f(x)为奇函数,g(x)=f(x)+9,g(-2)=3,则 f(2)=________. 8.函数 f(x)对于任意实数 x 满足条件 f(x+2)f(x)=1,若 f(1)=-5,则 f(-5)=________. 9.已知函数 f(x),当 x>0 时,f(x)=x2-2x-1. (1)若 f(x)为 R 上的奇函数,求 f(x)的解析式; (2)若 f(x)为 R 上的偶函数,能确定 f(x)的解析式吗?请说明理由.

-2x+a 10.已知定义在 R 上的函数 f(x)= x+1 (a,b 为实常数). 2 +b (1)当 a=b=1 时,证明:f(x)不是奇函数; (2)设 f(x)是奇函数,求 a 与 b 的值; (3)当 f(x)是奇函数时,证明对任何实数 x,c 都有 f(x)<c2-3c+3 成立.

第4讲

函数的单调性与最值

1.(2011 年全国)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数是( ) A.y=x3 B.y=|x|+1 - C.y=-x2+1 D.y=2 |x| 2.(2011 届广东惠州调研)已知定义域为(-1,1)的奇函数 y=f(x)又是减函数,且 f(a-3) +f(9-a2)<0.则 a 的取值范围是( ) A.(3, 10) B.(2 2,3) C.(2 2,4) D.(-2,3) f?x?-f?-x? 3. 设奇函数 f(x)在(0, +∞)上为增函数, 且 f(1)=0, 则不等式 <0 的解集为( ) x A.(-1,0)∪(1,+∞) B.(-∞,1)∪(0,1) C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-1,0)∪(0,1) 1 1 + 4.(2010 年北京)给定函数①y=x ;②y=log (x+1);③y=|x-1|;④y=2x 1,其中在 2 2 区间(0,1)上单调递减的函数序号是( ) A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 5.(2011 届上海十三校联考)设函数 y=f(x)在 R 内有定义,对于给定的正数 k,定义函数 ? ?f?x? ?f?x?≤k?, 1 fk(x)=? 取函数 f(x)=log2|x|.当 k= 时, 函数 fk(x)的单调递增区间为________. 2 ?k ?f?x?>k?. ? 6.(2011 年江苏)函数 f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是__________. 7.(2011 年上海)设 g(x)是定义在 R 上、以 1 为周期的函数,若 f(x)=x+g(x)在[3,4]上的 值域为[-2,5],则 f(x)在区间[-10,10]上的值域为____________. 2 ? ?x ?x≥2?, 8. (2011 年北京)已知函数 f(x)=? 若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同

? ??x-1?3 ?x<2?,

的实根,则数 k 的取值范围是________.

x2+ax+4 9.已知函数 f(x)= (x≠0). x (1)若 f(x)为奇函数,求 a 的值; (2)若 f(x)在[3,+∞)上恒大于 0,求 a 的取值范围.

10.(2011 年广东广州综合测试)已知函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)满足 f(0)=0,对于任意 1 ? ? 1 ? x∈R 都有 f(x)≥x,且 f? ?-2+x?=f?-2-x?,令 g(x)=f(x)-|λx-1|(λ>0). (1)求函数 f(x)的表达式; (2)求函数 g(x)的单调区间.

第三章
第1讲

基本初等函数(Ⅰ)

指数式与指数函数

aπ 1.(2011 年山东)若点(a,9)在函数 y=3x 的图象上,则 tan 的值为( 6 3 A.0 B. C.1 D. 3 3 2 2.函数 y=(a -3a+3)ax 是指数函数,则 a 的值为( ) A.1 或 2 B.1 C.2 D.a>0 且 a≠1 的所有实数 3.下列函数中值域为正实数的是( ) A.y=-5x 1?1-x B.y=? ?3? 1?x C.y= ? ?2? -2

)

D.y= 1-2x 4.若函数 f(x)=ax+b-1(a>0 且 a≠1)的图象经过第二、三、四象限,则一定有( A.0<a<1 且 b>1 B.a>1 且 b>0 C.0<a<1 且 b<0 D.a>1 且 b<0

)

?2? x ? 1( x ? 0), ? 5.设函数 f(x)= ? 1 若 f(x0)>1,则 x0 的取值范围是( 2 ? (x >0) ?x

)

A.(-1,1) B.(-1,+∞) C.(-∞,-2)∪(0,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 6.已知命题 p:关于 x 的函数 y=x2-3ax+4 在[1,+∞)上是增函数,命题 q:函数 y =(2a-1)x 为减函数,若 p∧q 为真命题,则实数 m 的取值范围是( ) 2 1 1 2 1 A.a≤ B.0<a< C. <a≤ D. <a<1 3 2 2 3 2 x 2 7.方程 2 +x =3 实数解的个数为______. 8.关于 x 的不等式 2· 32x-3x+a2-a-3>0,当 0≤x≤1 时恒成立,则实数 a 的取值范 围为________________________________________________________________________. 2x-1 9.已知函数 f(x)= x . 2 +1 (1)求 f(x)的定义域; (2)求 f(x)的值域; (3)证明 f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.

1?x 10.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 x≥0 时,f(x)=? ?2? . (1)求 f(-1)的值; (2)求函数 f(x)的值域 A; (3)设函数 g(x)= -x2+?a-1?x+a的定义域为集合 B,若 A?B,求实数 a 的取值范围.

第2讲

对数式与对数函数

1.(2010 年浙江)已知函数 f(x)=log2(x+1),若 f(a)=1,a=( A.0 B.1 2.(2011 年北京)如果 log 1 x< log 1 y<0,那么(
2 2

) D.3

C.2 )

A.y<x<1 B.x<y<1 C.1<x<y D.1<y<x 3.(2010 年山东)函数 f(x)=log2(3x+1)的值域为( ) A.(0,+∞) B.[0,+∞) C.(1,+∞) D.[1,+∞) 4. 已知 A={x|2≤x≤π}, 定义在 A 上的函数 y=logax(a>0 且 a≠1)的最大值比最小值大 1,则底数 a 的值为( ) 2 π π 2 A. B. C.π-2 D. 或 π 2 2 π 5.(2011 年天津)已知 a=log23.6,b=log43.2,c=log43.6,则( ) A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.c>a>b x ? ?x≤0?, ?2 6.(2011 年广东佛山质量检测)已知函数 f(x)=? 则 f[f(-1)]=( ) ?log2x ?x>0?, ? A.-2 B.-1 C.1 D.2 1-x ? ?x≤1?, ?2 7.(2011 年辽宁)设函数 f(x)=? 则满足 f(x)≤2 的 x 的取值范围是 ?1-log2x ?x>1?, ? ( ) A.[-1,2] B.[0,2] C.[1,+∞) D.[0,+∞) 8.(2011 年湖北)里氏震级 M 的计算公式为:M=lgA-lgA0,其中 A 是测震仪记录的地 震曲线的最大振幅,A0 是相应的标准地震的振幅,假设在一次地震中,测震仪记录的最大振 幅是 1 000,此时标准地震的振幅为 0.001,则此次地震的震级为________级.9 级地震的最大

振幅是 5 级地震最大振幅的______倍. 9.已知函数 f(x)=lg(ax2+2x+1). (1)若 f(x)的定义域为 R,求实数 a 的范围; (2)若 f(x)的值域为 R,求实数 a 的范围.

10.若方程 lg(-x2+3x-m)=lg(3-x)在 x∈(0,3)内有唯一解,求实数 m 的取值范围.

第3讲

一次函数、反比例函数及二次函数

(

x1+x2? 1.设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),如果 f(x1)=f(x2)(其中 x1≠x2),则 f? ? 2 ?等于 ) 4ac-b2 b b A.- B.- C.c D. 2a a 4a 2.已知二次函数 f(x)的图象如图 K3-3-1 所示,则其导函数 f′(x)的图象大致形状是 )

(

图 K3-3-1

a 在区间[1,2]上都是减函数,则 a 的取值范围是( ) x+1 A.(-1,0)∪(0,1) B.(-1,0)∪(0,1] C.(0,1) D.(0,1] 4.设 b>0,二次函数 y=ax2+bx+a2-1 的图象为图 K3-3-2 所示四个图中的一个, 则 a 的值为( ) 3.若 f(x)=-x2+2ax 与 g(x)=

图 K3-3-2 A.1 B.-1 -1- 5 C. 2 ) -1+ 5 D. 2

x-2 5.函数 y= 的图象是( x-1

6.已知函数 f(x)是 R 上的增函数,A(0,-1),B(3,1)是其图象上的两点,那么|f(x+1)| <1 的解集是( ) A.(1,4) B.(-1,2) C.(-∞,1)∪[4,+∞) D.(-∞,-1)∪[2,+∞)

7.若函数 f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数 a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则 该函数的解析式 f(x)=__________. 8.设函数 y=x2+(a+2)x+3,x∈[a,b]的图象关于直线 x=1 对称,则 b=______. 9.已知函数 f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5]. (1)当 a=-1 时,求 f(x)的最大值和最小值; (2)求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数.

10.定义:已知函数 f(x)在[m,n](m<n)上的最小值为 t,若 t≤m 恒成立,则称函数 f(x) 在[m,n](m<n)上具有“DK”性质. (1)判断函数 f(x)=x2-2x+2 在[1,2]上是否具有“DK”性质,说明理由; (2)若 f(x)=x2-ax+2 在[a,a+1]上具有“DK”性质,求 a 的取值范围.

第4讲

幂函数

1.下列结论中正确的个数有(

)

①幂函数的图象不可能过第四象限; ②幂函数的图象过定点(0,1)和(1,1); ③幂函数 y=xα,当 α>0 时,幂函数是增函数;当 α<0 时,幂函数是减函数; ④当 α=0 时,y=xα 的图象是一条直线. A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 1 ? ? 2. 设 α∈?-1,1,2,3?, 则使函数 y=xα 的定义域为 R 且为奇函数的所有 α 的值为( ? ? A.1,3 B.-1,1 C.-1,3 D.-1,1,3 1 3.在同一坐标系内,函数 y=xa(a≠0)和 y=ax- 的图象可能是 ( ) a

)

4.给出命题:若函数 y=f(x)是幂函数,则函数 y=f(x)的图象不过第四象限.在它的逆 命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是( ) A.3 B.2 C.1 D .0 5.已知函数 f(x)=ax,g(x)=xa,h(x)=logax(a>0 且 a≠1),在同一直角坐标系中画出其 中两个函数在第一象限内的图象,其中正确的是( )

3? 5 ?2? 5 ?2? 5 6.(2010 年安徽)设 a=? ?5? ,b=?5? ,c=?5? ,则 a,b,c 的大小关系是( A.a>c>b B.a>b>c C.c>a>b D.b>c>a

2

3

2

)

1 ? ? 7.(2011 年广东揭阳一模)已知 α∈?-1,2,1,2?,则使函数 y=xα 在[0,+∞)上单调
? ?

递增的所有 α 值为_______________________________________________. 8.请把图 K3-4-1 所示幂函数图象的代号填入表格内.

图 K3-4-1 ①y=x
2 3 1 1 -2 ;②y=x ;③y=x 2 4 ?

;④y=x 1;


1

5

⑤y=x 3 ;⑥y=x 3 ;⑦y=x 2 ;⑧y=x 3 . 函数代号 ① ② ③ ④ 图象代号 9.将下列各数从小到大排列起来:









?2? ? 3 ,?3?1,3 3 ,?2? 2 , ?3? ?5?2 ?5? ?3? 3 ,?5?0,(-2)3,?5? ? 3 . ?2? ?6? ?3?
2 1

1

2

1

10.已知函数 f(x)=(m2-m-1)x 5m 3,m 为何值时,f(x)是: (1)幂函数; (2)幂函数,且是(0,+∞)上的增函数; (3)正比例函数; (4)反比例函数; (5)二次函数.
- -

第5讲

函数的图象

1.(2011 年安徽)若点(a,b)在 y=lgx 图象上,a≠1,则下列点也在此图象上的是( 1 ? 10 2, ? A.? B.(10a,1-b) C.? ?a,b? ? a ,b+1? D.(a 2b) 2.下列四个函数中,图象如图 K3-5-1 所示的只能是( )

)

图 K3-5-1 A.y=x+lgx B.y=x-lgx C.y=-x+lgx D.y=-x-lgx 3.(2011 年陕西)方程|x|=cosx 在(-∞,+∞)内( ) A.没有根 B.有且仅有一个根 C.有且仅有两个根 D.有无穷多个根 - 4.与函数 y=0.1lg(2x 1)的图象相同的函数是( ) 1 1 1 ?x>1? D.y=? 1 ? x> ? B.y= A.y=2x-1? C . y = 2 ? ? ?2x-1? 2x-1 2x-1? 2? 5.(2011 年陕西)设函数 f(x)(x∈R)满足 f(-x)=f(x),f(x+2)=f(x),则函数 y=f(x)的图象 是( )

A

B

C D 6.方程 lgx=sinx 的实根的个数为( ) A.1 个 B.2 个 C .3 个 D.4 个 7.在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点,如果函数 f(x)的图象 恰好通过 n(n∈N*)个整点,则称函数 f(x)为 n 阶整点函数.有下列函数: 1?x ①f(x)=sin2x;②g(x)=x3;③h(x)=? ?3? ;④φ(x)=lnx. 其中是一阶整点函数的是( ) A.①②③④ B.①③④ C.①④ D.④ 8.关于 x 的方程|x2-4x+3|-a=0 有三个不相等的实数根,则实数 a 的值是____. 1?x ? ?? -2 ?x≤-1?, ? 9.(2011 年陕西 3 月模拟)已知函数 f(x)=? 2? 如果方程 f(x)=a ??x-2??|x|-1? ?x>-1?, ?

有四个不同的实数根,求实数 a 的取值范围.

10.设 a 为实数,函数 f(x)=x3-x2-x+a. (1)求 f(x)的极值; (2)当 a 在什么范围内取值时,曲线 y=f(x)与 x 轴仅有一个交点.

第6讲

函数与方程

? ?-x ?x≤0?, 1.(2011 年浙江)设函数 f(x)=? 2 若 f(a)=4,则实数 a=( ?x ?x>0?. ?

)

A.-4 或-2 B.-4 或 2 C.-2 或 4 D.-2 或 2 2.由下表知 f(x)=g(x)有实数解的区间是( ) x 0 1 2 3 -1 f(x) 3.011 5.432 5.980 7.651 -0.677 g(x) 3.451 4.890 5.241 6.892 -0.530 A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) 3.设函数 f(x)=x3-4x+3+lnx(x>0),则 y=f(x)( ) 1 1 ? ? ? A.在区间? ?0,2?,?2,2?内均无零点 1? ?1 ? B.在区间? ?0,2?,?2,2?内均有零点 1? ?1 ? C.在区间? ?0,2?内无零点,在区间?2,2?内有零点 1 1 0, ?内有零点,在区间? ,2?内无零点 D.在区间? 2 ? ? ?2 ? 4.(2011 年陕西)函数 f(x)= x-cosx 在[0,+∞)内( ) A.没有零点 B.有且仅有一个零点 C.有且仅有两个零点 D.有无穷多个零点 5.若关于 x 的方程 x2+2kx-1=0 的两根 x1,x2 满足-1≤x1<0<x2<2,则 k 的取值范围 是( ) 3 ? ? 3 ? ? 3? ? 3? A.? ?-4,0? B.?-4,0? C.?0,4? D.?0,4? 6. (2011 年陕西)设 n∈N*, 一元二次方程 x2-4x+n=0 有整数根的充要条件是 n=______. 2 7.函数 f(x)=ln(x+2)- 的零点所在区间是(n,n+1),则正整数 n=____. x 8. 下面是用区间二分法求方程 2sinx+x-1=0 在[0,1]内的一个近似解(误差不超过 0.001) 的算法框图,如图 K3-6-1 所示,则判断框内空白处应填入____________,才能得到需要 的解.

图 K3-6-1

9.已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0. (1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求 m 的范围; (2)若方程两根均在区间(0,1)内,求 m 的范围.

10.已知函数 f(x)=ex+2x2-3x. (1)求证: 函数 f(x)在区间[0,1]上存在唯一的极值点, 并用二分法求函数取得极值时相应 x 的近似值(误差不超过 0.2); (2)当 x≥1 时,若关于 x 的不等式 f(x)≥ax 恒成立,试求实数 a 的取值范围(参考数据 e≈2.7, e≈1.6,e0.3≈1.3).

第7讲

抽象函数

1.(2010 年陕西)下列四类函数中,有性质“对任意的 x>0,y>0,函数 f(x)满足 f(x+y) =f(x)f(y)”的是( ) A.幂函数 B.对数函数 C.指数函数 D.余弦函数 2. 设 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 且在(-∞, 0)上是增函数, 已知 x1>0, x2<0, 且 f(x1)<f(x2), 那么一定有( ) A.x1+x2<0 B.x1+x2>0 C.f(-x1)>f(-x2) D.f(-x1)· f(-x1)<0 3? 3. 已知函数 f(x)是定义在 R 上的函数且满足 f? 若 x∈(0,3)时, f(x)=log2(3x ?x+2?=-f(x), +1),则 f(2 011)=( ) A.4 B.-2 C.2 D.log27 4.已知定义域为 R 的偶函数 f(x)的一个单调递增区间是(2,6),那么 x 的函数 f(2-x)有 ( ) A.对称轴为 x=-2,一个递减区间是(4,8) B.对称轴为 x=-2,一个递减区间是(0,4) C.对称轴为 x=2,一个递增区间是(4,8) D.对称轴为 x=2,一个递增区间是(0,4) 5.若定义在 R 上的函数 f(x)满足:对任意 x1,x2∈R,有 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,则 下列说法一定正确的是( ) A.f(x)为奇函数 B.f(x)为偶函数 C.f(x)+1 为奇函数 D.f(x+1)为偶函数 6. 已知定义在 R 上的奇函数 f(x), 满足 f(x-4)=-f(x), 且在区间[0,2]上是增函数, 则( ) A.f(-25)<f(11)<f(80) B.f(80)<f(11)<f(-25) C.f(11)<f(80)<f(-25) D.f(-25)<f(80)<f(11) 7.对于函数 f(x)定义域中任意的 x1,x2(x1≠x2),有如下结论: ①f(x1+x2)=f(x1)· f(x2); ②f(x1· x2)=f(x1)+f(x2); f?x1?-f?x2? ③ >0; x1-x2 f?x1?-1 ④ <0(x1≠0); x1 1 ⑤f(-x1)= . f?x1? x 当 f(x)=2 时,上述结论中正确结论的序号是________. π? 8.已知 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 y=f? ?x+2?为偶函数,对于函数 y=f(x)有下 列几种描述:

①y=f(x)是周期函数; ②x=π 是它的一条对称轴; ③(-π,0)是它图象的一个对称中心; π ④当 x= 时,它一定取最大值. 2 其中描述正确的是____________. 9.设函数 y=f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,并且同时满足下面两个条件: ①对正数 x,y 都有 f(xy)=f(x)+f(y); 1? ②f? ?2?=1. (1)求 f(1)和 f(4)的值; (2)求满足 f(x)+f(5-x)>-2 的 x 的取值范围.

10.函数 f(x)对任意的 a,b∈R,都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当 x>0 时,f(x)>1. (1)求证:f(x)是 R 上的增函数; (2)若 f(4)=5,解不等式 f(3m2-m-2)<3.

第8讲

函数模型及其应用

1.在一定范围内,某种产品的购买量 y 吨与单价 x 元之间满足一次函数关系.如果购买 1 000 吨, 每吨为 800 元; 购买 2 000 吨, 每吨为 700 元. 一客户购买 400 吨, 单价应该是( ) A.820 元 B.840 元 C.860 元 D.880 元 2.用长度为 24 的材料围一矩形场地,中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙 的长度为( ) A.3 B.4 C.6 D.12 3.(2011 届山东聊城调研)已知某驾驶员喝了 m 升酒后,血液中酒精的含量 f(x)(毫克/毫 x -2 ?0≤x≤1?, ?5 升)随时间 x(小时)变化的规律近似满足表达式 f(x)=?3 ?1?x ?5· ? 3? ?

?

?x>1?,

《酒后驾车

与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定:驾驶员血液中酒精含量不超过 0.02 毫克/毫升,此 驾驶员至少要过( )小时后才能开车(精确到 1 小时).( ) A.2 B.3 C.4 D.5 4.进货单价为 80 元的商品 400 个,按 90 元一个可以全部卖出,已知这种商品每涨价 1 元,其销售量就减少 20 个,问售价( )元时获得的利润最大?( ) A.85 B.90 C.95 D.100 5.某产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系式是 y=3 000+20x-0.1x2,x∈ (0,240).若每台产品的售价为 25 万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产 量为______台. 6.(2010 年浙江)某商家一月份至五月份累计销售额达 3 860 万元,预测六月份销售额为 500 万元,七月份销售额比六月份递增 x%,八月份销售额比七月份递增 x%,九、十月份销 售总额与七、八月份销售总额相等.若一月至十月份销售总额至少达 7 000 万元,则 x 的最 小值是______. 7.某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠,商场规定: ①如一次购物不超过 200 元,不予以折扣; ②如一次购物超过 200 元,但不超过 500 元,按标价予以九折优惠; ③如一次购物超过 500 元的, 其中 500 元给予九折优惠, 超过 500 元的给予八五折优惠; 某人两次去购物, 分别付款 176 元和 432 元, 如果他只去一次购买同样的商品, 则应付款______ 元. 8. (2011 届海淀区统测)如图 K3-8-1(1)是反映某条公共汽车线路收支差额(即营运所得 票价收入与付出成本的差)y 与乘客量 x 之间关系的图象.由于目前该条公交线路亏损,公司 有关人员提出了两种调整的建议,如图 K3-8-1(2)(3)所示.

图 K3-8-1 给出以下说法: (1)图(2)的建议是:提高成本,并提高票价;

(2)图(2)的建议是:降低成本,并保持票价不变; (3)图(3)的建议是:提高票价,并保持成本不变; (4)图(3)的建议是:提高票价,并降低成本. 其中所有说法正确的序号是________. 9.已知某企业原有员工 2 000 人,每人每年可为企业创利润 3.5 万元.为应对国际金融 危机给企业带来的不利影响,该企业实施“优化重组,分流增效”的策略,分流出一部分员 工待岗.为维护生产稳定,该企业决定待岗人数不超过原有员工的 5%,并且每年给每位待 岗员工发放生活补贴 0.5 万元.据评估,当待岗员工人数 x 不超过原有员工 1%时,留岗员工 81 ? 每人每年可为企业多创利润? ?1-100x?万元;当待岗员工人数 x 超过原有员工 1%时,留岗员 工每人每年可为企业多创利润 0.959 5 万元.为使企业年利润最大,应安排多少员工待岗?

10.(2011 年湖北)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情 况下,大桥上的车流速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的 车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米 时,车流速度为 60 千米/小时.研究表明:当 20≤x≤200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一 次函数. (1)当 0≤x≤200 时,求函数 v(x)的表达式; (2)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/ 小时)f(x)=x· v(x)可以达到最大,并求出最大值(精确到 1 辆/小时).

第四章
第1讲

导数

导数的意义及运算

1.已知函数 f(x)=sinx+a2,则 f′(x)=( ) A.cosx+2a B.cosx C.sinx+2a D.2a f?x0-k?-f?x0? 2.若 f′(x0)=2,则lim 等于( ) → 2k k 0 1 A.-1 B.-2 C.-1 D. 2 3.若函数 y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象 可能是( )

4.(2011 年山东)曲线 y=x3+11 在点 P(1,12)处的切线与 y 轴交点的纵坐标是( ) A.-9 B.-3 C.9 D.15 5.设函数 f(x)=g(x)+x2,曲线 y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为 y=2x+1,则曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为( ) 1 1 A.4 B.- C.2 D.- 4 2 6. (2011 年“江南十校”联考)已知函数 f(x)的导函数为 f′(x), 且满足 f(x)=2xf′(1)+lnx, 则 f′(1)=( ) A.-e B.-1 C.1 D.e 1 7.已知函数 y=f(x)的图象在点 M(1,f(1))处的切线方程是 y= x+2,则 f(1)+f′(1)= 2 ________. 1 8.物体的运动方程是 s=- t3+2t2-5,则物体在 t=3 时的瞬时速度为________,加速 3 度为________. 1 1 9.(2010 年全国)若曲线 y=x- 在点(a,a- )处的切线与两个坐标围成的三角形的面积 2 2 为 18,求 a 的值.

10.已知曲线 y=2x2+3. (1)求曲线在点 P(1,5)处的切线方程; (2)求曲线过点 Q(2,9)的切线方程.

第2讲

导数在函数中的应用

1.(2011 届河北唐山一中统测)若函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 有极值,则导函数 f′(x)的 图象不可能是( )

3 ? 2.(2011 年海南海口调研测试)函数 y=f(x)在定义域? ?-2,3?内可导,其图象如图 K4-2 -1 所示,记 y=f(x)的导函数为 y=f′(x),则不等式 f′(x)≤0 的解集为( )

图 K4-2-1 3 1? A.? ?-2,2?∪[1,2) 1 - ,1?∪[2,3) C.? ? 3 ? 1? ?4 8? B.? ?-1,2?∪?3,3? 3 1 4 8 - ,-1?∪? , ?∪? ,3? D.? 2 2 3 ? ? ? ? ?3 ?

3.已知 f(x)=x3-6x+m(m 是常数)在[-1,1]上的最小值是 2,则此函数在[-1,1]上的最 大值是( ) A.10 B.11 C.12 D.13 4.(2011 年福建)若 a>0,b>0,且函数 f(x)=4x3-ax2-2bx+2 在 x=1 处有极值,则 ab 的最大值等于( ) A.2 B.3 C.6 D.9 5.(2011 年浙江)设函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R).若 x=-1 为函数 f(x)ex 的一个 极值点,则下列图象不可能为 y=f(x)的图象是( )

6.如图 K4-2-2 为函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的图象,f′(x)为函数 f(x)的导函数,则 不等式 x· f′(x)<0 的解集为__________________________________________________.

图 K4-2-2 7.(2011 年辽宁)已知函数 f(x)=ex-2x+a 有零点,则 a 的取值范围是____________. 8. 已知函数 f(x)=x3+3mx2+nx+m2 在 x=-1 时有极值 0, 则 m=________, n=________. 1 9.已知函数 f(x)=x3- x2+bx+c. 2 (1)若 f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,求 b 的取值范围; (2)若 f(x)在 x=1 处取得极值,且 x∈[-1,2]时,f(x)<c2 恒成立,求 c 的取值范围.

10.(2011 年福建)已知 a,b 为常数,且 a≠0,函数 f(x)=-ax+b+axlnx,f(e)=2(e= 2.718 28?是自然对数的底数). (1)求实数 b 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间; (3)当 a=1 时,是否同时存在实数 m 和 M(m<M),使得对每一个 t∈[m,M],直线 y=t ?1 ?? 与曲线 y=f(x)? ?x∈?e,e??都有公共点?若存在,求出最小的实数 m 和最大的实数 M;若不 存在,说明理由.

第3讲

导数的综合应用

1.设 f(x)=2x2-x3,则 f(x)的单调递减区间是( ) 4 4 ? ? ? A.? ?0,3? B.?3,+∞? 4 ? C.(-∞,0) D.(-∞,0)和? ?3,+∞? 2.(2011 年江西)若 f(x)=x2-2x-4lnx,则 f′(x)>0 的解集为( ) A.(0,+∞) B.(-1,0)∪(2,+∞) C.(2,+∞) D.(-1,0) 3.对于 R 上可导的任意函数 f(x),若满足(x-1)f′(x)≥0,则必有( ) A.f(0)+f(2)<2f(1) B.f(0)+f(2)≤2f(1) C.f(0)+f(2)≥2f(1) D.f(0)+f(2)>2f(1) 2 4.某厂生产某种产品 x 件的总成本 C(x)=1 200+ x3(万元),又知产品单价的平方与产 75 品件数 x 成反比,生产 100 件这样的产品单价为 50 万元,则产量定为( )元时总利润最 大.( ) A.10 B.25 C.30 D.40 5.已知某生产厂家的年利润 y(单位:万元)与年产量 x(单位:万件)的函数关系式为 y= 1 3 - x +81x-234,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( ) 3 A.13 万件 B.11 万件 C.9 万件 D.7 万件 6.(2011 年辽宁)函数 f(x)的定义域为 R,f(-1)=2,对任意 x∈R,f′(x)>2,则 f(x)> 2x+4 的解集为( ) A.(-1,1) B.(-1,+∞) C.(-∞,-1) D.(-∞,+∞) 7.(2011 年湖南)设直线 x=t 与函数 f(x)=x2,g(x)=lnx 的图象分别交于点 M,N,则当 |MN|达到最小时,t 的值为( ) 1 5 2 A.1 B. C. D. 2 2 2 8.(2010 届湖南师大附中调研)若函数 f(x)=2x2-lnx 在其定义域内的一个子区间(k-1, k+1)内不是单调函数,则实数 k 的取值范围是__________. 1 9.(2011 年江西)设 f(x)= x3+mx2+nx. 3 (1)如果 g(x)=f′(x)-2x-3 在 x=-2 处取得最小值-5,求 f(x)的解析式; (2)如果 m+n<10(m,n∈N*),f(x)的单调递减区间的长度是正整数, 试求 m 和 n 的值(注: 区间(a,b)的长度为 b-a).

10.(2011 年福建)某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 y(单位:千克) a 与销售价格 x(单位:元/千克)满足关系式 y= +10(x-6)2,其中 3<x<6,a 为常数,已知 x-3 销售价格为 5 元/千克时,每日可售出该商品 11 千克. (1)求 a 的值; (2)若该商品的成本为 3 元/千克, 试确定销售价格 x 的值, 使商场每日销售该商品所获得 的利润最大.

第五章
第1讲

不等式

不等式的概念与性质

1 1.(2011 年浙江)若 a,b 为实数,则“0<ab<1”是“b< ”的( a A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

)

1 1 2.已知四个条件:①b>0>a;②0>a>b;③a>0>b;④a>b>0,能推出 < 成立的 a b 有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 3.在等比数列{an}中,an>0(n∈N),公比 q≠1.则( ) A.a1+a8>a4+a5 B.a1+a8<a4+a5 C.a1+a8=a4+a5 D.不确定 c d 4.已知三个不等式:ab>0;bc-ad>0; - >0(其中 a,b,c,d 均为实数),用其中 a b 两个不等式作为条件,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,可组成的正确命题的个数 是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 5.(2010 届湖北八校联考)若 a<b<0,则下列不等式中不一定成立的是( ) 1 1 1 1 A. > B. > a b a-b b C. -a> -b D.|a|>-b 6.(2011 年湖北黄冈质检)已知 x>y>z,且 x+y+z=0,下列不等式中成立的是( ) A.xy>yz B.xz>yz C.xy>xz D.x|y|>z|y| + ?-1?n 1 7. 若不等式(-1)na<2+ 对于任意正整数 n 恒成立, 则实数 a 的取值范围是( ) n 3? 3? ? A.? ?-2,2? B.?-2,2? 3? 3? ? C.? ?-3,2? D.?-3,2? 8.用若干辆载重为 8 吨的汽车运一批货物,若每辆汽车只装 4 吨,则剩下 20 吨货物; 若每辆汽车装 8 吨,则最后一辆汽车不满也不空.则有汽车______辆. a2? 2 ?b2? 2 2 2 9.a>0,b>0,求证? ? b ? +? a ? ≥a +b .
1 1 1 1

sinα 10.已知 α∈(0,π),比较 2sin2α 与 的大小. 1-cosα

第2讲

一元二次不等式及其解法

1.(2011 年福建)若关于 x 的方程 x2+mx+1=0 有两个不相等的实数根,则实数 m 的取 值范围是( ) A.(-1,1) B.(-2,2) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 2.如果 kx2+2kx-(k+2)<0 恒成立,则实数 k 的取值范围是( ) A.-1≤k≤0 B.-1≤k<0 C.-1<k≤0 D.-1<k<0 ? ?x+2,?x≤0?, 3.已知函数 f(x)=? 则不等式 f(x)≥x2 的解集是( ) ?-x+2,?x>0?, ? A.[-1,1] B.[-2,2] C.[-2,1] D.[-1,2] ax+b 4.关于 x 的不等式 ax-b>0 的解集是(1,+∞),则关于 x 的不等式 >0 的解集是 x-2

(

) A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-1,2) C.(1,2) D.(-∞,1)∪(2,+∞) 5.(2011 年湖南)已知函数 f(x)=ex-1,g(x)=-x2+4x-3,若有 f(a)=g(b),则 b 的取值 范围为( ) A.[2- 2,2+ 2] B.(2- 2,2+ 2) C.[1,3] D.(1,3) 2-x 6.(2010 年上海)不等式 >0 的解集是__________. x+4 x+1 7.(2011 年上海)不等式 ≤3 的解为____________. x 1 ? 8.不等式 ax2+bx+c>0 的解集区间为? ?-3,2?,对于系数 a,b,c,则有如下结论: ①a<0; ②b>0; ③c>0; ④a+b+c>0; ⑤a-b+c>0, 其中正确的结论的序号是_________. 2 9.已知不等式 >1 的解集为 A,不等式 x2-(2+a)x+2a<0 的解集为 B. x+1 (1)求集合 A 及 B; (2)若 A?B,求实数 a 的取值范围.

10.已知 a,b,c∈R 且 a<b<c,函数 f(x)=ax2+2bx+c 满足 f(1)=0,且关于 t 的方程 f(t)=-a 有实根(其中 t∈R 且 t≠1). (1)求证:a<0,c>0; b (2)求证:0≤ <1. a

第3讲

算术平均数与几何平均数

1. A 为两正数 a, b 的等差中项, G 为 a, b 正的等比中项, 则 ab 与 AG 的大小关系为( ) A.ab≤AG B.ab≥AG C.ab>AG D.ab<AG 2.(2011 年上海)若 a,b∈R,且 ab>0,则下列不等式中,恒成立的是( ) 2 2 A.a +b >2ab B.a+b≥2 ab 1 1 2 b a C. + > D. + ≥2 a b ab a b 1 1 3.设 a>0,b>0.若 3是 3a 与 3b 的等比中项,则 + 的最小值为( ) a b 1 A.8 B.4 C.1 D. 4 1 4.(2011 年重庆)若函数 f(x)=x+ (x>2)在 x=a 处取最小值,则 a=( ) x-2 A.1+ 2 B.1+ 3 C.3 D.4 5.对于函数 f(x)=x2+2x,在使 f(x)≥M 成立的所有常数 M 中,我们把 M 的最大值-1 a2+b2 叫做 f(x)=x2+2x 的下确界,则对于 a,b∈R 且 a,b 不全为 0, 的下确界为( ) ?a+b?2 1 1 A. B.2 C. D.4 2 4 1 x2+ 2?· 6.(2011 年湖南)设 x,y∈R,且 xy≠0,则? y? ? 1 2 ? 2+4y ?的最小值为________. ?x ? 7.(2011 年浙江)若实数 x,y 满足 x2+y2+xy=1,则 x+y 的最大值是__________. 2ab 8.(2011 年湖北模拟)设 a>0,b>0,称 为 a,b 的调和平均数.如图 K5-3-1,C a+b 为线段 AB 上的点,且 AC=a,CB=b,O 为 AB 中点,以 AB 为直径作半圆.过点 C 作 AB 的垂线交半圆于 D.连接 OD,AD,BD.过点 C 作 OD 的垂线,垂足为 E.则图中线段 OD 的长 度是 a,b 的算术平均数,线段________的长度是 a,b 的几何平均数,线段________的长度 是 a,b 的调和平均数.

图 K5-3-1

2 1 9.已知 x>0,y>0,且 + =1,若 x+2y>m2+2m 恒成立,求实数 m 的取值范围. x y

10. 投资生产某种产品, 并用广告方式促销, 已知生产这种产品的年固定投资为 10 万元, 每生产 1 万件产品还需投入 18 万元,又知年销量 W(万件)与广告费 x(万元)之间的函数关系 kx+1 为 W= (x≥0),且知投入广告费 1 万元时,可销售 2 万件产品.预计此种产品年销售收 x+1 入 M(万元)等于年成本(万元)(年成本中不含广告费用)的 150%与年广告费用 50%的和. (1)试将年利润 y(万元)表示为年广告费 x(万元)的函数; (2)当年广告费为多少万元时,年利润最大?最大年利润是多少万元?

第4讲

简单的线性规划

x≥1, ? ? 1.(2011 年天津)设变量 x,y,满足约束条件?x+y-4≤0, ? ?x-3y+4≤0, 则目标函数 z=3x-y 的最大值为( 4 A.-4 B.0 C. D.4 3 )

x+2y-5≥0, ? ? 2. (2011 年浙江)若实数 x, y 满足不等式组?2x+y-7≥0, ? ?x≥0,y≥0, A.13 B.15 C.20 D.28

则 3x+4y 的最小值是(

)

x-y≥-1, ? ? 3.(2011 届安徽淮南模拟)若实数 x,y 满足不等式组?x+y≥1, ? ?3x-y≤3, 成的平面区域的面积是( ) 5 A.3 B. C.2 2 D.2 2

则该约束条件所围

2x+y-19≥0, ? ? 4 .设二元一次不等式组 ?x-y-8≤0, ? ?x+2y-14≤0

所表示的平面区域为 M ,使函数 y =

logax(a>0,a≠1)的图象过区域 M 的 a 的取值范围是( ) A.[1,3] B.[2, 10] C.[2,9] D.[ 10,9] 5. (2011 年湖北)已知向量 a=(x+z,3), b=(2, y-z), 且 a⊥b.若 x, y 满足不等式|x|+|y|≤1, 则 z 的取值范围为( ) A.[-2,2] B.[-2,3] C.[-3,2] D.[-3,3] x+y≥2, ? ? 6. (2011 年福建)已知点 O 是坐标原点, 点 A(-1,1), 若点 M(x, y)为平面区域?x≤1, ? ?y≤2 → → 上的一个动点,则OA· OM的取值范围是( ) A.[-1,0] B.[0,1] C.[0,2] D.[-1,2] 7.(2011 年四川)某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人,有 8 辆载重为 10 吨的甲型卡 车和 7 辆载重为 6 吨的乙型卡车.某天需运往 A 地至少 72 吨的货物,派用的每辆车需满载 且只运送一次.派用的每辆甲型卡车需配 2 名工人,运送一次可得利润 450 元;派用的每辆 乙型卡车需配 1 名工人,运送一次可得利润 350 元,该公司合理计划当天派用两类卡车的车 辆数,可得最大利润为( ) A.4 650 元 B.4 700 元 C.4 900 元 D.5 000 元

8.(2010 年北京)若点 p(m,3)到直线 4x-3y+1=0 的距离为 4,且点 p 在不等式 2x+y< 3 表示的平面区域内,则 m=_____________________________________. 9.已知甲、乙、丙三种食物的维生素 A、B 含量及成本如下表.若用甲、乙、丙三种食 物分别为 x 千克,y 千克,z 千克配成 100 千克混合食物,并使混合食物内至少含有 56 000 单位维生素 A 和 63 000 单位维生素 B. 甲 乙 丙 600 700 400 维生素 A(单位/千克) 800 400 500 维生素 B(单位/千克) 11 9 4 成本(元/千克) (1)用 x,y 表示混合食物成本 c 元; (2)确定 x,y,z 的值,使成本最低.

10.(2010 年广东)某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合物,6 个单位蛋白质和 6 个单位的维生素 C;一个单位的晚餐含 8 个单位 的碳水化合物, 6 个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C.另外, 该儿童这两餐需要的营养中 至少含 64 个单位的碳水化合物, 42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C.如果一个单位的 午餐、晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元,那么要满足上述的营养要求,并且花费最少,应当 为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐?

第5讲

不等式的应用

1.某汽车运输公司,购买了一批豪华大客车投入营运,据市场分析每辆客车营运的总利 润 y(单位:10 万元)与营运年数 x 的函数关系为 y=-(x-6)2+11(x∈N*),则每两客车营运多 少年,其运营的年平均利润最大( )

A.3 B.4 C.5 D.6 2.某商场中秋前 30 天月饼销售总量 f(t)与时间 t(0<t≤30)的关系大致满足 f(t)=t2+10t f?10? +16,则该商场前 t 天平均售出?如前10天的平均售出为 10 ?的月饼最少为( ) ? ? A.18 B.27 C.20 D.16 x+y≤1, ? ? 3. (2011 年安徽)设变量 x, y 满足?x-y≤1, ? ?x≥0, 则 x+2y 的最大值和最小值分别为( )

A.1,-1 B.2,-2 C.1,-2 D.2,-1 4.某单位用 2 160 万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少 10 层、每层 2 000 平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为 x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为 560+ 48x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,则楼房应建为( ) A.10 层 B.15 层 C.20 层 D.30 层 5.已知等比数列{an}中 a2=1,则其前 3 项的和 S3 的取值范围是( ) A.(-∞,-1] B.(-∞,0)∪(1,+∞) C.[3,+∞) D.(-∞,-1]∪[3,+∞) 6. 某工厂投入 98 万元购买一套设备, 第一年的维修费用 12 万元, 以后每年增加 4 万元, 每年可收入 50 万元.就此问题给出以下命题:①前两年没能收回成本;②前 5 年的平均年利 润最多;③前 10 年总利润最多;④第 11 年是亏损的;⑤10 年后每年虽有盈利但与前 10 年 比年利润有所减少(总利润=总收入-投入资金-总维修费).其中真命题是______. 2 7.(2011 年江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,过坐标原点的一条直线与函数 f(x)= 的图 x 象交于 P,Q 两点,则线段 PQ 长的最小值是________. 8.汽车在匀速行驶过程中,汽油平均消耗率 g(即每小时的汽油耗油量,单位:L/h)与汽 1 车行驶的平均速度 v(单位:km/h)之间满足:g= (v-40)2+3(0<v<150),若定义“汽油 1 600 的使用率最高”为每千米汽油平均消耗量最少(单位:L/km),则汽油的使用率最高时,汽车 速度是________km/h. 9.迎世博,要设计如图 K5-5-1 的一张矩形广告,该广告含有大小相等的左中右三个 矩形栏目,这三栏的面积之和为 60 000 cm2,四周空白的宽度为 10 cm,栏与栏之间的中缝 空白的宽度为 5 cm,怎样确定广告矩形栏目高与宽的尺寸(单位:cm),能使整个矩形广告面 积最小.

图 K5-5-1

10.(2011 届深中、广雅、华附、省实四校联考)某单位为解决职工的住房问题,计划征 用一块土地盖一幢总建筑面积为 A m2 的宿舍楼.已知土地的征用费为 2 388 元/m2,且每层 的建筑面积相同,土地的征用面积为第一层的 2.5 倍.经工程技术人员核算,第一、二层的 建筑费用都为 445 元/m2,以后每增高一层,其建筑费用就增加 30 元/m2.试设计这幢宿舍楼 的楼高层数,使总费用最小,并求出其最小费用(总费用为建筑费用和征地费用之和).

专题一

函数、导数与不等式

1.已知 c<0,在下列不等式中成立的是( A.2c>1 1?c C.2c<? ?2? 1?c B.c>? ?2? 1?c D.2c>? ?2?

)

1?x-2 2.若函数 y=x3 与 y=? ?2? 的图象的交点为(x0,y0),则 x0 所在的区间为( A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 12x 3.已知 m<0,f(x)=mx3+ ,且 f′(1)≥-12,则实数 m=( m A.2 B.-2 C.4 D.-4 )

)

1 1 4.已知 a,b 都是正实数,函数 y=2aex+b 的图象过(0,2)点,则 + 的最小值是( a b 3 A. + 2 B.3+2 2 C.4 D.2 2 1 2 4 5.(2011 年重庆)设 a=log 1 ,b=log 1 ,c=log3 ,则 a,b,c 的大小关系是( 2 3 3
3 3

)

)

A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a 6. (2011 年安徽“江南十校”联考)已知函数 f(x)的导函数为 f′(x), 且满足 f(x)=2xf′(1) 2 +x ,则 f′(1)( ) A.-1 B.-2 C.1 D.2 7.已知函数 f(x)=ax4+bcosx-x,且 f(-3)=7,则 f(3)的值为________. 5 1 1,- ? 8.(2011 年四川宜宾模拟)曲线 y= x3-2 以点? 3? ? 3 为切点的切线的倾斜角为________. + ?-1?n 2 013 + 9.若数列{an},{bn}的通项公式分别是 an=(-1)n 2 012· a,bn=2+ ,且 an<bn n 对任意 n∈N*恒成立,则常数 a 的取值范围是________________. 10.(2011 年浙江)设函数 f(x)=a2lnx-x2+ax,a>0. (1)求 f(x)的单调区间; (2)求所有实数 a,使 e-1≤f(x)≤e2 对 x∈[1,e]恒成立.注:e 为自然对数的底数.

11.某公园准备建一个摩天轮,摩天轮的外围是一个周长为 k 米的圆.在这个圆上安装 座位,且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连.经预算,摩天轮上的每个座位与 支点相连的钢管的费用为 8k 元/根,且当两相邻的座位之间的圆弧长为 x 米时,相邻两座位 ??1 024 x+20?x ?k 元.假设座位等距离分布,且 之间的钢管和其中一个座位的总费用为? +2? 100 ? ? 至少有两个座位,所有座位都视为点,且不考虑其他因素,记摩天轮的总造价为 y 元. (1)试写出 y 关于 x 的函数关系式,并写出定义域; (2)当 k=100 米时,试确定座位的个数,使得总造价最低.

12.(2011 年广东广州综合测试)已知函数 f(x)=ax+xlnx 的图象在点 x=e(e 为自然对数 的底数)处的切线斜率为 3. (1)求实数 a 的值; f?x? (2)若 k∈Z,且 k< 对任意 x>1 恒成立,求 k 的最大值. x-1

第六章
第1讲

三角函数

弧度制与任意角的三角函数

25π 1.tan 的值为( ) 6 3 3 A.- B. C. 3 D.- 3 3 3 2.已知 cosθ· tanθ<0,那么角 θ 是( ) A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角 C.第三或第四象限角 D.第一或第四象限角 3.若 α=5 rad,则角 α 的终边所在的象限为( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.若角 α 的终边经过点 P(1,m),且 tanα=-2,则 sinα=( ) 5 5 2 5 2 5 A. B.- C. D.- 5 5 5 5 5.设 α 是第四象限角,则以下函数值一定是负值的是( ) α α α A.tan B.sin C.cos D.cos2α 2 2 2 6.若 sinα<0 且 tanα>0,则 α 是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 7.已知两角 α,β 之差为 1° ,其和为 1 弧度,则 α,β 的大小分别为( ) π π A. 和 B.28° 和 27° 90 180 180+π 180-π C.0.505 和 0.495 D. 和 360 360 3 8.α 的终边经过 P(-b,4)且 cosα=- ,则 b 的值为( ) 5 A.3 B.-3 C.± 3 D.5 9.给出下列四个命题:①终边相同的角的三角函数值必相等;②终边不同的角的同名三 角函数值必不等;③若 sinα>0,则 α 必是第一、第二象限角;④如果 α 是第三象限角,则 α tan <0.其中正确的命题有( ) 2 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 10.判断下列各式的符号: 7π 23π cos tan 12 12 (1)tan125° · sin278° ;(2) . 11π sin 12

11.已知扇形的周长为 20,当圆心角 θ 为何值时,扇形的面积最大,最大值是多少?

1-a 3a-1 12.已知 sinθ= ,cosθ= ,若 θ 是第二象限角,求实数 a 的值. 1+a 1+a

第2讲

同角三角函数的基本关系式与诱导公式

1.sin330° 等于( ) 3 1 1 3 A.- B.- C. D. 2 2 2 2 12 2.α 是第四象限角,cosα= ,sinα=( ) 13 5 5 5 5 A. B.- C. D.- 13 13 12 12 π ? 3 3.已知 θ∈? ) ?2,π?,sinθ=5,则 tanθ=( 3 3 4 4 A. B.- C. D.- 4 4 3 3 2sinα-cosα 4.若 tanα=2,则 的值为( ) sinα+2cosα 3 5 A.0 B. C.1 D. 4 4 5.已知 tanθ=2,则 sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ=( ) 4 5 3 4 A.- B. C.- D. 3 4 4 5 2 6.若 sinα+sin α=1,则 cos2α+cos4α=( ) A.0 B.1 C.2 D.3 7.若 cosα+2sinα=- 5,则 tanα=( ) 1 1 A. B.2 C.- D.-2 2 2 4 8.若 sinθ=- ,tanθ>0,则 cosθ=________. 5 cos?-α-π?· sin?π-α?· sin2?2π-α? 3 9.已知 sinα=- ,则 5 sin?-π-α?· cos?π+α?· cos2?-α? 的值为________. 10.已知 sinα=-2cosα,求 sinα、cosα、tanα.

π 11.已知 0≤θ≤ ,若 sinθ+cosθ=t. 2 (1)将 sinθ· cosθ 用 t 表示; 3 (2)将 sin θ+cos3θ 用 t 表示.

π π? ?π ? 12.是否存在 α,β,α∈? ?-2,2?,β∈(0,π)使等式 sin(π-α)= 2cos?2-β?, 3cos(- α)=- 2cos(π+β) 同时成立?若存在,求出 α,β 的值;若不存在,请说明理由.

第3讲

三角函数的图象与性质

x π? 1.(2010 年湖北)函数 f(x)= 3sin? ) ?2-4?,x∈R 的最小正周期为( π A. B.π C.2π D.4π 2 2.下列关系式中正确的是( ) A.sin11° <cos10° <sin168° B.sin168° <sin11° <cos10° C.sin11° <sin168° <cos10° D.sin168° <cos10° <sin11° π 2x+ ?的图象,只要把函数 f(x)=sin2x 的图象( 3.要得到函数 y=sin? ) 3? ? π π A.向右平移 个单位 B.向左平移 个单位 3 3 π π C.向右平移 个单位 D.向左平移 个单位 6 6 4.关于 x 的方程 m=2sinx+3 有实数解,则实数 m 的取值范围是( ) A.(1,5) B.(1,5] C.[1,5) D.[1,5] π? 5.设函数 f(x)=sin? ) ?2x-2?,x∈R,则 f(x)是( A.最小正周期为 π 的奇函数 B.最小正周期为 π 的偶函数 π C.最小正周期为 的奇函数 2 π D.最小正周期为 的偶函数 2 π π? 6.已知函数 f(x)=2sinωx(ω>0)在区间? ?-3,4?上的最小值是-2,则 ω 的最小值等于 ( ) 2 3 A. B. C.2 D.3 3 2 sinx 7.函数 f(x)= 是( ) x sinx+2sin 2 A.以 4π 为周期的偶函数 B.以 2π 为周期的奇函数 C.以 2π 为周期的偶函数 D.以 4π 为周期的奇函数 sinx 8.y= 的最大值是________,最小值是________. 2+sinx π? 5π? π? π? 9. 在下列函数中: ①y=4sin? ②y=2sin? ③y=2sin? ④y=4sin? ?x-3?; ?x- 6 ?; ?x+6?; ?x+3?; 7 x- π?. ⑤y=sin? ? 3 ? 5π 关于直线 x= 对称的函数是__________(填序号). 6

10.已知 f(x)=sinx+ 3cosx(x∈R). (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求函数 f(x)的最大值,并指出此时 x 的值.

π? 11. 如图 K6-3-1, 函数 y=2sin(πx+φ), x∈R? ?其中0≤φ≤2?的图象与 y 轴交于点(0,1). (1)求 φ 的值; → → (2)设 P 是图象上的最高点,M,N 是图象与 x 轴的交点,求PM与ΡΝ的夹角的余弦值.

图 K6-3-1

12.(2010 年北京)已知函数 f(x)=2cos2x+sin2x-4cosx. π? (1)求 f? ?3?的值; (2)求 f(x)的最大值和最小值.

第4讲

函数 y=Asin(ωx+φ)的图象

1.(2010 年陕西)函数 f(x)=2sinxcosx 是( A.最小正周期为 2π 的奇函数 B.最小正周期为 2π 的偶函数 C.最小正周期为 π 的奇函数 D.最小正周期为 π 的偶函数

)

π 2.(2010 年四川)将函数 y=sinx 的图象上所有的点向右平行移动 个单位长度,再把所 10 得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是( ) π π ? ? ? A.y=sin? ?2x-10? B.y=sin?2x-5? 1 π? ?1 π ? C.y=sin? ?2x-10? D.y=sin?2x-20? 1 π? 3.函数 y=tan? ) ?2x-3?在一个周期内的图象是(

π? π? ? 4.(2010 年全国)为了得到函数 y=sin? ?2x-3?的图象,只需把函数 y=sin?2x+6?的图象 ( ) π A.向左平移 个长度单位 4 π B.向右平移 个长度单位 4 π C.向左平移 个长度单位 2 π D.向右平移 个长度单位 2 π? 5.(2010 年重庆)已知函数 y=sin(ωx+φ)? ?ω>0,|φ|<2? 的部分图象如图 K6-4-1 所示,则( )

图 K6-4-1 π π A.ω=1,φ= B.ω=1,φ=- 6 6

π π C.ω=2,φ= D.ω=2,φ=- 6 6 π? 6. 将函数 y=sinx 的图象向左平移 φ(0≤φ<2π)的单位后, 得到函数 y=sin? ?x-6?的图象, 则 φ 等于( ) π 5π 7π 11π A. B. C. D. 6 6 6 6 π? 7.若函数 f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R? ?其中ω>0,|φ|<2? 的最小正周期是 π,且 f(0)= 3,则( 1 π 1 π A.ω= ,φ= B.ω= ,φ= 2 6 2 3 π π C.ω=2,φ= D.ω=2,φ= 6 3 )

π? 4π 8.(2010 年辽宁)设 ω>0,函数 y=sin? ?ωx+3?+2 的图象向右平移 3 个单位后与原图象 重合,则 ω 的最小值是( ) 2 4 3 A. B. C. D.3 3 3 2 π? 9.(2010 年江苏)定义在区间? ?0,2?上的函数 y=6cosx 的图象与 y=5tanx 的图象的交点 为 P,过点 P 作 PP1⊥x 轴于点 P1,直线 PP1 与 y=sinx 的图象交于点 P2,则线段 P1P2 的长 为________. 10.(2010 年广东广州一模)已知函数 f(x)=sinxcosφ+cosxsinφ(其中 x∈R,0<φ<π). (1)求函数 f(x)的最小正周期; π 1? π , 在函数 y=f?2x+ ?的图象上,求 φ 的值. (2)若点? 6? ?6 2? ?

π? 11.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R? ?其中A>0,ω>0,0<φ<2? π 的图象与 x 轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为 ,且图象上一个最低点为 2 2π ? M? ? 3 ,-2?. (1)求 f(x)的解析式; π π? (2)当 x∈? ?12,2?,求 f(x)的值域.

12.(2010 年山东)已知函数 f(x)=sin(π-ωx)cosωx+cos2ωx(ω>0)的最小正周期为 π. (1)求 ω 的值; 1 (2)将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,得到函数 y=g(x) 2 π ? 的图象,求函数 y=g(x)在区间? ?0,16?上的最小值.

第5讲

两角和与差及二倍角的三角函数公式

1.sin163° sin223° +sin253° sin313° 等于( ) 1 1 3 3 A.- B. C.- D. 2 2 2 2 π π 2.log2sin +log2cos 的值为( ) 12 12 A.4 B.-4 C.-2 D.2 π ? 1 3.(2011 年辽宁)设 sin? ) ?4+θ?=3,则 sin2θ=( 7 1 1 7 A.- B.- C. D. 9 9 9 9 1 4.若 3sinα+cosα=0,则 2 的值为( ) cos α+sin2α 10 5 2 A. B. C. D.-2 3 3 3 5. (2011 年湖北)已知函数 f(x)= 3sinx-cosx, x∈R, 若 f(x)≥1, 则 x 的取值范围为( ? ? ? π A.?x?kπ+3≤x≤kπ+π,k∈Z ? ? ? π ? ? B.?x|2kπ+3≤x≤2kπ+π,k∈Z? ? ? ? ? ? π 5π C.?x?kπ+6≤x≤kπ+ 6 ,k∈Z ? ? ? ? ? ? π 5π D.?x?2kπ+6≤x≤2kπ+ 6 ,k∈Z ? ? ? 6.函数 y=2cos2x+sin2x 的最小值是______________. 4 7.(2010 年全国)已知 α 是第二象限的角,tan(π+2α)=- ,则 tanα=________. 3 π 2 ? 8.(2010 年浙江)函数 f(x)=sin? ?2x-4?-2 2sin x 的最小正周期是________. 3π ? 3 ? π? 12 ? π? 9.已知 α,β∈? ? 4 ,π?,sin(α+β)=-5,sin?β-4?=13,则 cos?α+4?=________. 10.已知向量 a=(cosθ,sinθ),向量 b=( 3,1). (1)当 a⊥b 时,求 tan2θ; (2)求|a+b|的最大值.

)

AC cosB 11.(2010 年天津)在△ABC 中, = . AB cosC (1)证明:B=C; π? 1 (2)若 cosA=- ,求 sin? ?4B+3?的值. 3

12.(2010 年四川)(1)证明两角和的余弦公式 Cα+β:cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ; 由 Cα+β 推导两角和的正弦公式 Sα+β:sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ; 3π? 4 1 ?π ? (2)已知 cosα=- ,α∈? ?π, 2 ?,tanβ=-3,β∈?2,π?,求 cos(α+β)的值. 5

第6讲

三角函数的求值、化简与证明

1.计算 sin43° cos13° -sin13° cos43° 的值等于( 1 3 2 3 A. B. C. D. 2 3 2 2 1 2.下列各式中,值为 的是( ) 2 π A.sin15° cos15° B.2cos2 -1 12 C.

)

1+cos30° tan22.5° D. 2 1-tan222.5° 5π ? 3.函数 f(x)=x2cos? ) ? 2 -x?(x∈R)是( A.奇函数 B.偶函数 C.减函数 D.增函数 4.(2011 年全国)已知角 θ 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直线 y =2x 上,则 cos2θ( ) 4 3 3 4 A.- B.- C. D. 5 5 5 5 1 1 5.已知 cosα-cosβ= ,sinα-sinβ= ,则 cos(α-β)=( ) 2 3 59 59 5 1 A. B.- C. D. 72 72 6 6 π ω>0,|φ|< ?的最小正周期为 π, 6.(2011 年全国)设函数 f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)? 2? ? 且 f(-x)=f(x),则( ) π ? A.f(x)在? ?0,2?单调递减 π 3π? B.f(x)在? ?4, 4 ?单调递减 π? C.f(x)在? ?0,2?单调递增 π 3π? D.f(x)在? ?4, 4 ?单调递增 π ? 1 π π 3 ? π β? ? β? 7.(2011 年浙江)若 0<α< ,- <β<0,cos? ?4+α?=3,cos?4-2?= 3 ,则 cos?α+2? 2 2 =( ) 3 3 5 3 6 A. B.- C. D.- 3 3 9 9 8. (2011 年上海)函数 y=2sinx-cosx 的最大值为_________________________________. π ? 5 9. (2011 年全国)已知 α∈? sinα= , 则 tan2α=_____________________________. ?2,π?, 5 10.(2010 年湖南)已知函数 f(x)=sin2x-2sin2x. (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求函数 f(x)的最大值及 f(x)取最大值时 x 的集合.

π? 11.已知函数 f(x)=sin2ωx+ 3sinωxsin? ?ωx+2?(ω>0)的最小正周期为 π. (1)求 ω 的值; 2π? (2)求函数 f(x)在区间? ?0, 3 ?上的取值范围.

π 3π? 12.已知 A,B,C 的坐标分别为 A(3,0),B(0,3),C(cosα,sinα),α∈? ? 2, 2 ? . → → (1)若|AC|=|BC|,求角 α 的值; 2sin2α+sin2α → → (2)若AC· BC=-1,求 的值. 1+tanα

第七章
第1讲

解三角形

正弦定理和余弦定理

1.若△ABC 的三个内角满足 sinA∶sinB∶sinC=5∶11∶13,则△ABC( ) A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 2.(2011 年广东广州调研)△ABC 的三个内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,已 sinA 知 a=2,b=3,则 =( ) sin?A+C? 2 3 2 3 A. B. C.- D.- 3 2 3 2 3.在△ABC 中,已知 BC=8,AC=5,三角形面积为 12,则 cos2C=( ) 7 7 24 24 A.- B. C.- D. 25 25 25 25 4.(2011 年全国)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 acosA=bsinB, 则 sinAcosA+cos2B=( ) 1 1 A.- B. C.-1 D.1 2 2 5. 在△ABC 中, 如果 lga-lgc=lgsinB=-lg 2, 并且 B 为锐角, 则△ABC 的形状是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 π 6. (2011 年北京)在△ABC 中. 若 b=5, ∠B= , tanA=2, 则 sinA=________; a=________. 4 7.(2011 年重庆)若△ABC 的内角 A,B,C 所对的边 a,b,c 满足(a+b)2-c2=4,且 C =60° ,则 ab 的值为________. π 8.(2011 届广东广州海珠调研)已知 A,B,C 是△ABC 的内角,A= .a,b,c 分别是其 3 对边长,向量 m=(cosB,sinB),n=(cosC,-sinC). (1)求 m· n 的大小; 3 (2)若 a=2,cosB= ,求 b 的长. 3

9.(2010 年广东惠州调研)已知 A,B,C 为△ABC 的三内角,且其对边分别为 a,b,c, A A? A? 1 ? A 若 m=? n= . ?-cos2 ,sin 2 ?,n=?cos 2 ,sin 2?,且 m· 2 (1)求角 A 的值; (2)若 a=2 3,b+c=4,求 ABC 的面积.

高考尝试 10. (2011 年湖南)在△ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c 且满足 csinA=acosC. (1)求角 C 的大小; π? (2)求 3sinA-cos? ?B+4?的最大值,并求取得最大值时角 A,B 的大小.

第2讲

解三角形应用举例

1.等腰△ABC 中,腰 AB 长为 3,底 BC 长为 2.则底角的余弦值为( 1 1 2 2 2 A. B. C. D. 2 3 2 3 → → 2.在△ABC 中,AB=3,BC=5,CA=7,则AB· BC=( ) 15 15 15 3 15 3 A.- B. C.- D. 2 2 2 2

)

图 K7-2-1 3.如图 K7-2-1,边长为 2 的正三角形 ABC 内接于圆 O,在圆 O 内随机撒一把豆子, 豆子落在正三角形 ABC 内的概率为( ) 3 3 3 3 3 A. B. C. D. 4 4π 4π 4π 4.(2011 年广东广州一模)△ABC 的三个内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,已 π 知 c=3,C= ,a=2b,则 b 的值为______. 3 5.已知 a,b,c 分别为△ABC 的三个内角的所对的边,若 a=1,b= 3,A+C=2B, 则 sinC=________. 6.已知 a,b,c 分别为△ABC 的三个内角的所对的边,若 a= 2,b=2,sinB+cosB= 2,则角 A 的大小为______. b a tanC tanC 7.在锐角三角形 ABC 中,A,B,C 的对边分别为 a,b,c, + =6cosC,则 + a b tanA tanB =________. α? α? ?4 8.(2011 年广东深圳调研)已知向量 a=? ?-1,sin2?与向量 b=?5,2cos2?垂直,其中 α 为第二象限角. (1)求 tanα 的值; (2)在△ABC 中, a,b,c 分别为∠A, ∠B , ∠C 所对的边, 若 b2+c2-a2= 2bc, 求 tan(α +A)的值.

9. (2011 年全国)△ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c.己知 asinA+csinC- 2asinC =bsinB. (1)求 B;

(2)若 A=75° ,b=2,求 a,c.

cosA-2cosC 10.(2011 年山东)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 = cosB 2c-a . b sinC (1)求 的值; sinA 1 (2)若 cosB= ,△ABC 的周长为 5,求 b 的长. 4

第八章
第1讲

平面向量

平面向量及其线性运算

1.已知向量 a=(2,1),b=(sinα,cosα),且 a∥b,则 tanα=( ) 1 1 A.2 B.-2 C. D.- 2 2 1→ → → 2.已知OM=(-3,2),ON=(5,1),则 MN等于( ) 2 1? 1? ? A.(8,1) B.(-8,1) C.? ?4,-2? D.?-4,2? 3.(2011 年广东深圳调研)如图 K8-1-1 所示的方格纸中有定点 O,P,Q,E,F,G, → → H,则OP+OQ=( )

图 K8-1-1 → → → → A.OH B.OG C.FO D.EO → 1→ 2→ → → 4.已知平面内不共线的四点 O,A,B,C 满足OB= OA+ OC,则|AB|∶|BC|=( ) 3 3 A.1∶3 B.3∶1 C.1∶2 D.2∶1 5.(2011 年广东广州二模)已知向量 a=(1,2),b=(x,4),若|b|=2|a|,则 x 的值为( ) A.2 B.4 C.± 2 D.± 4 6.已知向量 a,b 满足|a|=1,b|=2,a 与 b 的夹角为 60° ,则|a-b|=________. → → → 7.若 ABCD 为正方形,E 是 CD 的中点,且AB=a,AD=b,则BE等于________. → → → → → 8. (2010 年湖北)已知△ABC 和点 M 满足MA+MB+MC=0.若存在实数 m 使得AB+AC= → mAM成立,求 m 的值.

9.如图 K8-1-2,△ABC 中,D 为 BC 的中点,G 为 AD 的中点,过点 G 任作一直线 1 1 → → → → MN 分别交 AB,AC 于 M,N 两点,若AM=xAB,AN=yAC,试问: + 是否为定值? x y

图 K8-1-2

→ → → → 10.已知 A,B,C 是直线 l 上三点,点 O 不在直线 l 上.向量OA,OB,OC满足:OA= → → (y+1)OB-OClnx. (1)求函数 y=f(x)的表达式; 1 ? (2)若不等式 2x2≤f(x)+m2-2bm-1 时 x∈? ?2,1?及 b∈[-1,1]都恒成立,求实数 m 的取 值范围.

第2讲

平面向量的数量积

1.若向量 a=(3,m),b=(2,-1),a· b=0,则实数 m 的值为( ) 3 3 A.- B. C.2 D.6 2 2 1 1? 2.设向量 a=(1,0),b=? ) ?2,2?,则下列结论中正确的是( 2 A.|a|=|b| B.a· b= 2 C.a∥b D.a-b 与 b 垂直 3.(2011 年广东广州测试)△ABC 的三个内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c.设向 量 m=(a+b,c),n=(a-b,b-c).若 m⊥n,则角 A 的大小为( ) π π 2π 5π A. B. C. D. 6 3 3 6 4.已知 a=(λ,2),b=(-3,5),且 a 与 b 的夹角为钝角,则 λ 的取值范围是( ) 10 10 10 10 A.λ> B.λ≥ C.λ< D.λ≤ 3 3 3 3 → → 2 2 5.已知双曲线 x -y =2 的左、右焦点分别是 F1,F2,点 P(x0,1)在双曲线上.则F1P· F2P =( ) A.-12 B.-2 C.0 D.4 3 → → 6.(2011 年广东江门一模)若△ABC 的面积是 2,cosA= ,则AB· AC=______. 5 1 7.设 P 是双曲线 y= 上一点,点 P 关于直线 y=x 的对称点为 Q,点 O 为坐标原点,则 x → → OP· OQ=______. 15 → → → → 8.已知△ABC 中,AB· AC<0,△ABC 的面积 S△ABC= ,|AB|=3,|AC|=5,求∠BAC 4 的大小.

9.已知向量 a=?

-1 ? 1 ?sinx,sinx?,b=(2,cos2x).

π? (1)若 x∈? ?0,2?,试判断 a 与 b 能否平行? π 0, ?,求函数 f(x)=a· (2)若 x∈? b 的最小值. ? 3?

→ → → → 10.在△ABC 中,A(2,3),B(4,6),C(3,-1),点 D 满足:CA· CD=CB· CD. (1)求点 D 的轨迹方程; → → (2)求|AD|+|BD|的最小值.

11.(2011 年广东东莞一模)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知向量 m A A? A? ? A =? n=-1. ?2cos 2 ,sin 2 ?,n=?cos 2 ,-2sin 2 ?,m· (1)求 cosA 的值; (2)若 a=2 3,b=2,求 c 的值.

12.(2010 年江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1). (1)求以线段 AB,AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长; → → → (2)设实数 t 满足(AB-tOC)· OC=0,求 t 的值.

第3讲

平面向量的应用举例

→ → → 1.若 O 是△ABC 内一点,OA+OB+OC=0,则 O 是△ABC 的( ) A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心 2.定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下:对任意的 a=(m,n),b=(p,q),令 a⊙b =mq-np,下面说法错误的是( ) A.若 a 与 b 共线,则 a⊙b=0 B.a⊙b=b⊙a C.对任意的 λ∈R,有(λa)⊙b=λ(a⊙b) D.(a⊙b)2+(a· b)2=|a|2|b|2 - 3.将函数 y=3x-1 的图象按向量 a 平移得到函数 y=3x 1 的图象,则( ) A.a=(-1,-1) B.a=(1,-1) C.a=(1,1) D.a=(-1,1) 4.已知|a|=|b|=2,a 在 b 上的投影为-1,则向量 a 与向量 b 的夹角为( ) A.150° B.120° C.60° D.30° → → 5.平面上 O,A,B 三点不共线,设OA=a,OB=b,则△OAB 的面积等于( ) 2 2 2 2 2 2 A. |a| |b| -?a· b? B. |a| |b| +?a· b? 1 1 C. |a|2|b|2-?a· b?2 D. |a|2|b|2+?a· b?2 2 2 → → 6 .已知点 A( - 2,0) , B(3,0) ,动点 P(x , y) 满足 PA · PB = x2 ,则点 P 的轨迹方程是 ____________. → → → 7.若正方形 ABCD 的边长为 1,点 P 在对角线线段 AC 上运动,求AB· (PB+PD)的取值 范围.

8.已知向量 a 和 b 的夹角为 θ,定义 a×b 为向量 a 和 b 的“向量积”,a×b 是一个向 量,它的长度|a×b|=|a|· |b|· sinθ,如果 u=(2,0),u-v=(1,- 3),求|u×(u+v)|的值.

→ → 9. 如图 K8-3-1, 三定点 A(2,1), B(0, -1), C(-2,1); 三动点 D, E, M 满足AD=tAB, → → → → BE=tBC,DM=tDE,t∈[0,1]. (1)求动直线 DE 斜率的变化范围; (2)求动点 M 的轨迹方程.

图 K8-3-1

10.(2010 年安徽)设△ABC 是锐角三角形,a,b,c 分别是内角 A,B,C 所对边长,并 π 2 ? ?π ? 且 sin2A=sin? ?3+B?sin?3-B?+sin B. (1)求角 A 的值; → → (2)若AB· AC=12,a=2 7,求 b,c(其中 b<c).

11.已知直线 l 过点 A(0,2)且斜率为 k,直线 l 与⊙C:(x-2)2+y2=1 相交于 M,N 两点. (1)求实数 k 的取值范围; → → (2)求证:AM· AN为定值; → → (3)若 O 为坐标原点,且OM· ON=3,求 k 的值.

专题二

三角函数与平面向量

1.(2011 年湖北)若向量 a=(1,2),b=(1,-1),则 2a+b 与 a-b 的夹角等于( ) π π π 3π A.- B. C. D. 4 6 4 4 π 2.(2011 年全国)设函数 f(x)=cosωx(ω>0),将 y=f(x)的图象向右平移 个单位长度后, 3 所得的图象与原图象重合,则 ω 的最小值等于( ) 1 A. B.3 C.6 D.9 3 → → → → → → → → 3. 已知 O, N, P 在△ABC 所在平面内, 且|OA|=|OB|=|OC|, NA+NB+NC=0, 且PA· PB → → → → =PB· PC=PC· PA,则点 O,N,P 依次是△ABC 的( ) A.重心 外心 垂心 B.重心 外心 内心 C.外心 重心 垂心 D.外心 重心 内心 (注:三角形的三条高线交于一点,此点为三角形的垂心) π? ?π π? 4.(2011 年山东)若函数 f(x)=sinωx(ω>0)在区间? ?0,3?上单调递增,在区间?3,2?上单 调递减,则 ω=( ) 3 2 A.3 B.2 C. D. 2 3 π 5. (2011 年江西)已知两个单位向量 e1, e2 的夹角为 , 若向量 b1=e1-2e2, b2=3e1+4e2, 3 则 b1· b2=__________. 6.(2011 年江苏)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 是常数,A>0,ω>0)的部分图象如图 K2-1 所示,则 f(0)=________.

图 K2-1 → → 7. (2011 年上海)在正三角形 ABC 中, D 是 BC 上的点, AB=3, BD=1, 则AB· AD=________. π 1 2 ? 8.(2011 年福建)若 α∈? ?0,2?,且 sin α+cos2α=4,则 tanα=________. 9. (2011 年福建)若△ABC 的面积为 3, BC=2, C=60° , 则边 AB 的长度等于________. π 1? 10. 已知函数 f(x)=Asin(x+φ)(A>0,0<φ<π), x∈R 的最大值是 1, 其图象经过点 M? ?3,2?. (1)求 f(x)的解析式; π? 3 12 (2)已知 α,β∈? ?0,2?,且 f(α)=5,f(β)=13,求 f(α-β)的值.

π? 1 11.已知函数 f(x)=cos2? ?x+12?+2sin2x. (1)求 f(x)的最值; (2)求 f(x)的单调增区间.

13 12.(2011 年福建)已知等比数列{an}的公比 q=3,前 3 项和 S3= . 3 (1)求数列{an}的通项公式; π (2)若函数 f(x)=Asin(2x+φ)(A>0,0<φ<π)在 x= 处取得最大值, 且最大值为 a3, 求函数 f(x) 6 的解析式.

第九章
第1讲

数列

数列的基本概念

1.已知数列{an}对任意的 p,q∈N*满足 ap+q=ap+aq,且 a2=-6,那么 a10 等于( A.-165 B.-33 C.-30 D.-21 2.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn=n2+2n-1,则( ) * A.an=2n+1(n∈N ) B.an=2n-1(n∈N*) ?2,?n=1?, ? C.an=? * ? ?2n+1,?n≥2,n∈N ?

)

? ?2,?n=1?, D.an=? * ?2n-1,?n≥2,n∈N ? ? 3.在数列{an}中,已知 a1=1,且当 n≥2 时,a1a2?an=n2,则 a3+a5 等于( ) 7 61 31 11 A. B. C. D. 3 16 15 4 4.(2010 年安徽)设数列{an}的前 n 项和 Sn=n2,则 a8 的值为( ) A.15 B.16 C.49 D.64 5. (2011 年江西)已知数列(an)的前 n 项和 Sn 满足: Sn+Sm=Sn+m, 且 a1=1, 那么 a10=( ) A.1 B.9 C.10 D.55 6.已知数列{an}满足:a4n-3=1,a4n-1=0,a2n=an,n∈N*,则 a2 009=________,a2 014 =________.

7.我们可以利用数列{an}的递推公式 an= ?a , n为偶数时 ,(n∈N*)求出这个数列各 n

?n,n为奇数时, ? ? ?
2

项的值,使得这个数列中的每一项都是奇数.则 a24+a25=________;研究发现,该数列中 的奇数都会重复出现,那么第 8 个 5 是该数列的第________项. 2 n? ? 8.(2011 年浙江)若数列?n?n+4??3? ?中的最大项是第 k 项,则 k=__________. ? ?

9.(2011 年广东广州)数列{an}的前 n 项和记为 Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n≥1),求{an} 的通项公式.

10?n * 10.已知数列{an}的通项公式为 an=(n+1)? ?11? (n∈N ),则当 n 为多大时,an 最大?

第2讲

等差数列

1.(2011 年重庆)在等差数列{an}中,a2=2,a3=4,则 a10=( ) A.12 B.14 C.16 D.18 2.(2011 届广东汕头)在等差数列{an}中,a2+a12=32,则 2a3+a15 的值是( ) A.24 B.48 C.96 D.无法确定 3.(2011 年广东湛江测试)等差数列{an}前 17 项和 S17=51,则 a5-a7+a9-a11+a13= ( ) A.3 B.6 C.17 D.51 4.已知 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 a1+a7+a13 是一确定的常数,下列各式: ①a21;②a7;③S13;④S14;⑤S8-S5.其结果为确定常数的是( ) A.②③⑤ B.①②⑤ C.②③④ D.③④⑤ 5.(2010 年福建)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=-11,a4+a6=-6,则当 Sn 取最小值时,n 等于( ) A.6 B.7 C.8 D.9 6.(2011 年全国)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 a1=1,公差 d=2,Sk+2-Sk=24, 则 k=( ) A.8 B.7 C.6 D.5 Sn 7n+1 a7 7.等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn,Tn.若 = (n∈N*),则 =________. Tn 4n+27 b7 8.(2011 年辽宁)Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,S2=S6,a4=1,则 a5=______. 9.(2011 年福建)已知等差数列{an}中,a1=1,a3=-3. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}的前 k 项和 Sk=-35,求 k 的值.

10.已知 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,Sn=12n-n2. (1)求|a1|+|a2|+|a3|; (2)求|a1|+|a2|+|a3|+?+|a10|; (3)求|a1|+|a2|+|a3|+?+|an|.

第3讲

等比数列

1.(2010 年重庆)在等比数列{an}中,a2 010=8a2 007,则公比 q 的值为(

)

A.2 B.3 C.4 D.8 2.(2011 年广东调研)在等比数列{an}中,已知 a1a3a11=8,那么 a2a8=( ) A.16 B.12 C.6 D.4 a1+a3+a5 3.设公差 d≠0 的等差数列{an}中,a1,a3,a9 成等比数列,则 =( ) a2+a4+a6 7 5 3 4 A. B. C. D. 5 7 4 3 4.(2011 年辽宁)若等比数列{an}满足 anan+1=16n,则公比为( ) A.2 B.4 C.8 D.16 S5 5.(2010 年浙江)设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,8a2+a5=0,则 =( ) S2 A.11 B.5 C.-8 D.-11 6.在等比数列{an}中,a5· a11=3,a3+a13=4,则公比 q 的个数有( ) A.1 B.2 C.3 D.4 7.(2011 年天津)已知{an}为等差数列,其公差为-2,且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项,Sn 为{an}的前 n 项和,n∈N*,则 S10 的值为( ) A.-110 B.-90 C.90 D.110 1 8.(2011 年北京)在等比数列{an}中,a1= ,a4=-4,则公比 q=__________;|a1|+|a2| 2 +?+|an|=__________. 9.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S1,S3,S2 成等差数列. (1)求{an}的公比 q; (2)若 a1-a3=3,求 Sn.

1 1 10.(2011 年全国)已知等比数列{an}中,a1= ,公比 q= . 3 3 1-an (1)Sn 为{an}的前 n 项和,证明:Sn= ; 2 (2)设 bn=log3a1+log3a2+?+log3an,求数列{bn}的通项公式.

第4讲

数列的求和

1. 在各项都为正数的等比数列{an}中, 首项 a1=3, 前三项和为 21, 则 a3+a4+a5=(

)

A.33 B.72 C.84 D.189 2.若等比数列的前 n 项和是 48,前 2n 项和为 60,则前 3n 项的和为( ) A.183 B.108 C.75 D.63 3.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a2+a5+a8=15,则 S9=( ) A.18 B.36 C.45 D.60 - 4.(2011 年皖北联考)数列 1,1+2,?,1+2+22+?+2n 1 的前 n 项和为 Sn,则 Sn 等于 ( ) + A.2n B.2n 1-n-2 n+1 C.2 -n D.2n-n 1 5. 等比数列{an}中, a1=512, 公比 q=- , 用 Πn 表示它的前 n 项之积: Πn=a1· a2· ?· an, 2 则 Πn 中最大的是( ) A.Π11 B.Π10 C.Π9 D.Π8 6.(2011 年安徽)若数列{an}的通项公式是 an=(-1)n· (3n-2),则 a1+a2+?a10=( ) A.15 B.12 C.-12 D.-15 7.(2011 年安徽百校论坛三模)在等差数列{an}中,a1>0,a10· a11<0,若此数列的前 10 项 和 S10=36,前 18 项和 S18=12,则数列{|an|}的前 18 项和 T18 的值是________. 8.如图 K9-4-1,它满足:(1)第 n 行首尾两数均为 n;(2)图中的递推关系类似杨辉三 角,则第 n(n≥2)行的第 2 个数是________. 1 2 2 3 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 5 ? 图 K9-4-1 9.(2010 年山东)已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26.{an}的前 n 项和为 Sn. (1)求 an 及 Sn; 1 (2)令 bn= 2 (n∈N*),求数列{bn}的前 n 项和 Tn. an-1

2n 1an 10.(2011 年“江南十校”联考)数列{an}满足 a1=1,an+1= (n∈N*). an+2n n ?2 ? (1)证明:数列?a ?是等差数列; ? n? (2)求数列{an}的通项公式 an; (3)设 bn=n(n+1)an,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.


第5讲

利用几类经典的递推关系式求通项公式

1.(2010 年北京)在等比数列{an}中,a1=1,公比|q|≠1.若 am=a1a2a3a4a5,则 m=( ) A.9 B.10 C.11 D.12 2.已知 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,a1=2,若数列{1+an}也是等比数列,则 Sn 等 于( ) A.2n B.3n + C.2n 1-2 D.3n-1 3.(2011 年四川)数列{an}的首项为 3,{bn}为等差数列且 bn=an+1-an(n∈N*),若 b3= -2,b10=12,则 a8=( ) A.0 B.3 C.8 D.11 4.(2010 年福建)在等比数列{an}中,若公比 q=4,且前 3 项之和等于 21,则该数列的 通项公式 an=________. 2 * 5.设{an}是首项为 1 的正项数列,且(n+1)a2 n+1-nan+an+1an=0(n∈N ),则数列{an}的 通项 an=________. an 6. 已知数列{an}满足 a1=1, an+1= , 则 an=__________________________________. 3an+1 7.已知数列{an}满足 a1=2,an+1=2an-1,则 an=________. 8.已知数列{an}中,a1=1,an+1=3an+3n,则 an=________. 9.已知数列{an}满足条件 nan+1=(n+1)an+2n2+2n,n∈N*,a1=1,设 bn=an+n. (1)求数列{bn}的通项公式; 1 1 1 (2)求和:S= + +?+ . b2-2 b3-2 bn-2

10.已知数列{an}中,a1=5 且 an=2an-1+2n-1(n≥2 且 n∈N*). ?an-1? (1)证明:数列? n ?为等差数列; ? 2 ? (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn.

专题三

数列的综合应用

1.(2011 年福建泰宁调研)已知等比数列{an}中有 a3a11=4a7,数列{bn}是等差数列,且 a7=b7,则 b5+b9=( ) A.2 B.4 C.8 D.16 2.(2011 年福建泰宁调研)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=n-n2,则 a4=( ) A.-6 B.-8 C.-12 D.-14 3.若数列{an}是公比为 4 的等比数列,且 a1=2,则数列{log2an}是( ) A.公差为 2 的等差数列 B.公差为 lg2 的等差数列 C.公比为 2 的等比数列 D.公比为 lg2 的等比数列 4.一个四边形的四个内角成等差数列,最小角为 40° ,则最大角为( ) A.140° B.120° C.100° D.80° Sn 7n+45 an 5.等差数列{an}、{bn}的前 n 项和分别为 Sn、Tn,且 = ,则使得 为整数的正 Tn n-3 bn 整数 n 的个数是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 1 6.数列{an}中,a1=1,an,an+1 是方程 x2-(2n+1)x+ =0 的两个根,则数列{bn}的前 bn n 项和 Sn=( ) 1 1 n n A. B. C. D. 2n+1 n+1 2n+1 n+1 7.已知数列 an=?
? ?n-1 ?n ?

?n为奇数?, ?n为偶数?,

则 a1+a100=________,a1+a2+a3+a4+?+a99

+a100=________. 8.(2011 年江苏)设 1=a1≤a2≤?≤a7,其中 a1,a3,a5,a7 成公比为 q 的等比数列,a2, a4,a6 成公差为 1 的等差数列,则 q 的最小值是________. 9.(2011 年广东茂名模拟)等差数列{an}中 a1=3,前 n 项和为 Sn,等比数列{bn}各项均 S2 为正数,b1=1,且 b2+S2=12,{bn}的公比 q= . b2 (1)求 an 与 bn; 1 1 1 1 2 (2)证明: ≤ + +?+ < . 3 S1 S 2 Sn 3

10.(2010 年湖北)已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为 a(单位:m2),其中有部分 旧住房需要拆除.当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的 10%建设新住房,同时也拆 除面积为 b(单位:m2)的旧住房. (1)分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式; (2)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了 30%, 则每年拆除的 旧住房面积 b 是多少(计算时取 1.15=1.6)?

3 1 -(bn+2) 11.已知数列{bn}前 n 项和 Sn= n2- n.数列{an}满足 a3 (n∈N*),数列{cn}满 n= 4 2 2 足 cn=anbn. (1)求数列{an}和数列{bn}的通项公式; (2)求数列{cn}的前 n 项和 Tn; 1 (3)若 cn≤ m2+m-1 对一切正整数 n 恒成立,求实数 m 的取值范围. 4

第十章
第1讲

推理与证明

合情推理和演绎推理

1.(2011 年黑龙江双鸭山测试)设△ABC 的三边长分别为 a,b,c,△ABC 的面积为 S, 2S 内切圆半径为 r,则 r= .类比这个结论可知:四面体 S-ABC 的四个面的面积分别为 a+b+c S1,S2,S3,S4,内切球半径为 r,四面体 S-ABC 的体积为 V,则 r=( ) V 2V A. B. S1+S2+S3+S4 S1+S2+S3+S4

3V 4V C. D. S1+S2+S3+S4 S1+S2+S3+S4 2.(2010 年山东)观察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cosx)′=-sinx,由归纳推理可得:若 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)=f(x),记 g(x)为 f(x)的导函数,则 g(-x)=( ) A.f(x) B.-f(x) C.g(x) D.-g(x) 1 2 3 3.已知 x>0,由不等式 x+ >2;x2+ >3;x3+ >4?可以推广为( ) x x x n n A.xn+ >n B.xn+ >n+1 x x n + 1 n-1 C.xn+ >n+1 D.xn+ >n x x 4.(2011 年福建)在整数集 Z 中,被 5 除所得余数为 k 的所有整数组成一个“类”,记为 [k],即[k]={5n+k|n∈Z},k=0,1,2,3,4.给出如下四个结论: ①2011∈[1]; ②-3∈[3]; ③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]; ④整数 a,b 属于同一“类”的充要条件是“a-b∈[0]”. 其中,正确结论的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 5.(2010 广东广州测试)如图 K10-1-1,在平面上,用一条直线截正方形的一个角则截 下一个直角三角形按图所标边长,由勾股定理得 c2=a2+b2.设想正方形换成正方体,把截线 换成如图的截面,这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥 O-ABC,若用 s1,s2,s3 表示三个侧面面积,s4 表示截面面积,你类比得到的结论是____________________.

图 K10-1-1 π 1 π 2π 1 π 2π 3π 1 6.(2011 年广东揭阳测试)已知 cos = ,cos cos = ,cos cos cos = ,?,根据 3 2 5 5 4 7 7 7 8 以上等式,可猜想出的一般结论是____________________________________. 7.(2011 年广东佛山测试)如图 K10-1-2 的数表,为一组等式: s1=1, s2=2+3=5, s3=4+5+6=15, s4=7+8+9+10=34, s5=11+12+13+14+15=65, ?? 图 K10-1-2 某学生根据上表猜测 S2n-1=(2n-1)(an2+bn+c),老师回答正确,则 a+b+c=______. 8.(2011 年四川)函数 f(x)的定义域为 A,若 x1,x2∈A 且 f(x1)=f(x2)时总有 x1=x2,则称 f(x)为单函数.例如,函数 f(x)=2x+1(x∈R)是单函数.下列命题: ①函数 f(x)=x2(x∈R)是单函数; ②指数函数 f(x)=2x(x∈R)是单函数; ③若 f(x)为单函数,x1,x2∈A 且 x1≠x2,则 f(x1)≠f(x2); ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数. 其中的真命题是____________(写出所有真命题的编号).

9.如图 K10-1-3(1), 若射线 OM,ON 上分别存在点 M1,M2 与点 N1,N2,则 =

S? OM 1 N1 S? OM 2 N 2

OM1 ON1 · ;如图 K10-1-3(2),若不在同一平面内的射线 OP,OQ 和 OR 上分别存在点 OM2 ON2 P1,P2,点 Q1,Q2 和点 R1,R2,则类似的结论是什么?这个结论正确吗?说明理由.

图 K10-1-3

x y x y 10.是否存在常数 c,使得不等式 + ≤c≤ + 对任意正数 x,y 恒成 2x+y x+2y x+2y 2x+y 立?

第2讲

直接证明与间接证明

1.已知 p3+q3=2,关于 p+q 的取值范围的说法正确的是( ) A.不大于 2 2 B.不大于 2 C.不小于 2 D.不小于 2 2 2.已知等比数列{an}的首项为 16,Sn 是其前 n 项的和,某同学经过计算得 S2=40,S3 =72,S4=130,后来该同学发现,其中一个值错了,则该值为( ) A.S1 B.S2 C.S3 D.S4 3.若 a,b,c 是不全相等的实数,求证:a2+b2+c2≥ab+bc+ac.其证明过程如下: ∵a,b,c∈R,∴a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,a2+c2≥2ac. 又 a,b,c 不全相等,∴2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ac), ∴a2+b2+c2≥ab+bc+ac.此证法是( ) A.分析法 B.综合法 C.反证法 D.分析法与综合法并用 4.如下证明 7-1> 11- 5的过程,其证法是( ) 要证 7-1> 11- 5, 只需证 7+ 5> 11+1, 即证( 7+ 5)2>( 11+1)2, 35> 11,35>11.∵35>11,∴ 7-1> 11- 5. A.分析法 B.综合法 C.间接证法 D.分析法与综合法并用 5.给出下面类比推理命题(其中 Q 为有理数集,R 为实数集,C 为复数集): ①“若 a,b∈R,则 a-b=0?a=b”类比推出“若 a,b∈C,则 a-b=0?a=b”; ②“若 a,b,c,d∈R,则复数 a+bi=c+di?a=c,b=d”类比推出“若 a,b,c,d ∈Q,则 a+b 2=c+d 2?a=c,b=d”; ③“若 a,b∈R,则 a-b>0?a>b”类比推出“若 a,b∈C,则 a-b>0?a>b”. 其中类比结论正确的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 1 1 1 6.已知 a,b,c 都是正数,则三数 a+ ,b+ ,c+ ( ) b c a A.都大于 2 B.都小于 2 C.至少有一个不大于 2 D.至少有一个不小于 2 7.α,β 是两个不同的平面,m,n 是平面 α 及 β 之外的两条不同的直线,给出四个论断: ①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α. 以其中的三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题 ________________. 8.下列表中的对数值有且仅有一个是错误的: x 3 5 8 lgx 2a-b a+c 3-3a-3c 请将错误的一个改正为______________. a2 b2 c2 9.设 a,b,c>0,证明: + + ≥a+b+c. b c a

9 4a-2b

15 3a-b+c+1

10.设数列{an}满足 a1=0,4an+1=4an+2 4an+1+1,令 bn= 4an+1. (1)试判断数列{bn}是否为等差数列? 1 (2)若 cn= ,求{cn}前 n 项的和 Sn; an+1 (3)是否存在 m,n(m,n∈N*)使得 1,am,an 三数成等比数列?

第十一章

直线与圆的方程

第1讲

直线的方程

2 1.直线 l 过点(-1,2)且与直线 y= x 垂直,则 l 的方程是( ) 3 A.3x+2y-1=0 B.3x+2y+7=0 C.2x-3y+5=0 D.2x-3y+8=0 2.已知直线 ax+by+c=0 不经过第二象限,且 ab<0,则( ) A.c>0 B.c<0 C.ac≥0 D.ac≤0 π 3.直线 xtan +y+2=0 的倾斜角 α 是( ) 3 π π 2π π A. B. C. D.- 3 6 3 3 4.(2010 年安徽)过点(1,0)且与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程是( ) A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 5.过点 P(1,2),且在两坐标轴的截距是相反数的直线方程为________________. 6.若直线 l 沿 x 轴负方向平移 3 个单位,再沿 y 轴正方向平移 1 个单位后,又回到原来 位置,那么直线 l 的斜率是________. 7.曲线 y=x3-2x+4 在点(1,3)处的切线的倾斜角为__________________. 8.(2011 年安徽)在平面直角坐标系中,如果 x 与 y 都是整数,就称点(x,y)为整点,下 列命题中正确的是________(写出所有正确命题的编号). ①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点; ②如果 k 与 b 都是无理数,则直线 y=kx+b 不经过任何整点; ③直线 l 经过无穷多个整点,当且仅当 l 经过两个不同的整点; ④直线 y=kx+b 经过无穷多个整点的充分必要条件是:k 与 b 都是有理数; ⑤存在恰经过一个整点的直线. 9.(2010 年宁夏银川)设直线 l 的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R). (1)若 l 在两坐标轴上截距相等,求 l 的方程; (2)若 l 不经过第二象限,求实数 a 的取值范围.

10.求经过点 A(-2,2)且在第二象限与两个坐标轴围成的三角形面积最小时的直线的 方程.

第2讲

两直线的位置关系

1. 已知直线 l1: (k-3)x+(4-k)y+1=0 与 l2: 2(k-3)x-2y+3=0 平行, 则 k 的值是( ) A.1 或 3 B.1 或 5 C.3 或 5 D.1 或 2 2.若过点 A(4,sinα)和 B(5,cosα)的直线与直线 x-y+c=0 平行,则|AB|的值为( ) A.6 B. 2 C.2 D.2 2 3. 将直线 y=3x 绕原点逆时针旋转 90° , 再向右平移 1 个单位长度, 所得到的直线为( ) 1 1 1 A.y=- x+ B.y=- x+1 3 3 3 1 C.y=3x-3 D.y= x+1 3 4.已知两直线 l1:mx+y-2=0 和 l2:(m+2)x-3y+4=0 与两坐标轴围成的四边形有 外接圆,则实数 m 的值为( ) A.1 或-3 B.-1 或 3 1 1 C.2 或 D.-2 或 2 2 5.若三条直线 l1:x-y=0;l2:x+y-2=0;l3:5x-ky-15=0 围成一个三角形,则 k 的取值范围是( ) A.k∈R 且 k≠± 5 且 k≠1 B.k∈R 且 k≠± 5 且 k≠-10 C.k∈R 且 k≠± 1 且 k≠0 D.k∈R 且 k≠± 5 6.已知点 A(0,2),B(2,0).若点 C 在函数 y=x2 的图象上,则使得△ABC 的面积为 2 的 点 C 的个数为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 7.(2011 年浙江)若直线 x-2y+5=0 与直线 2x+my-6=0 互相垂直,则实数 m= ________. 8.(2010 年湖南)若不同两点 P、Q 的坐标分别为(a,b),(3-b,3-a),则线段 PQ 的垂 直平分线 l 的斜率为 ________ ;圆 (x - 2)2 + (y - 3)2 = 1 关于直线 l 对称的圆的方程为 ____________. 9.已知正方形的中心为 G(-1,0),一边所在直线的方程为 x+3y-5=0,求其他三边所 在直线方程.

10.已知点 A(-3,5),B(2,15),在直线 l:3x-4y+4=0 上求一点 P,使|PA|+|PB|最小.

第3讲

圆的方程

1.(2011 年四川)圆 x2+y2-4x+6y=0 的圆心坐标是( ) A.(2,3) B.(-2,3) C.(-2,-3) D.(2,-3) 2.(2011 年安徽)若直线 3x+y+a=0 过圆 x2+y2+2x-4y=0 的圆心,则 a 的值为( ) A.-1 B.1 C.3 D.-3 3.(2011 年广东深圳高级中学测试)已知点 M(1,0)是圆 C:x2+y2-4x-2y=0 内的一点, 则过点 M 的最短弦所在的直线方程是( ) A.x+y-1=0 B.x-y-1=0 C.x-y+1=0 D.x+y+2=0 1 1 4.若直线 2ax-by+2=0(a>0,b>0)经过圆 x2+y2+2x-4y+1=0 的圆心,则 + 的最 a b 小值是( ) 1 1 A. B. 2 4 C.4 D.2 5.已知直线 l:x-y+4=0 与圆 C:(x-1)2+(y-1)2=2,则 C 上各点到 l 的距离的最小 值为________. 6.已知圆 C 过点(1,0),且圆心在 x 轴的正半轴上,直线 l:y=x-1 被圆所截得的弦长 为 2 2,则圆 C 的标准方程为____________. 7.(2011 年辽宁)已知圆 C 经过 A(5,1),B(1,3)两点,圆心在 x 轴上,则 C 的方程为 ________________. y-2 8.已知实数 x,y 满足 x2+y2+4x+3=0,则 的范围为____________. x-1 9.已知方程 x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t4+9=0 表示一个圆. (1)求 t 的取值范围; (2)求圆的圆心和半径; (3)求该圆的半径 r 的最大值及此时圆的标准方程.

10.(2011 年福建)如图 K11-3-1,直线 l:y=x+b 与抛物线 C:x2=4y 相切于点 A. (1)求实数 b 的值; (2)求以点 A 为圆心,且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程.

图 K11-3-1

第4讲

直线与圆的位置关系

1.两圆 C1:x2+y2+2x+2y-2=0 与 C2:x2+y2-4x-2y+1=0 的公切线有且( ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 2.(2011 年重庆)在圆 x2+y2-2x-6y=0 内,过点 E(0,1)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面积为( ) A.5 2 B.10 2 C.15 2 D.20 2 3.由直线 y=x+1 上的一点向圆(x-3)2+y2=1 引切线,则切线长的最小值为( ) A.1 B.2 2 C. 7 D.3 4.直线 x-2y+5=0 与圆 x2+y2=8 相交于 A,B 两点,则|AB|=________. 5. 将圆 x2+y2=1 沿 x 轴正向平移 1 个单位后所得到圆 C, 则圆 C 的方程是____________, 若过点(3,0)的直线 l 和圆 C 相切,则直线 l 的斜率为____________. 6.(2010 年江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x2+y2=4 上有且仅有四个点到直线 12x-5y+c=0 的距离为 1,则实数 c 的取值范围是____________. 7 .若直线 y =x -m 与曲线 y= 1-x2有两个不同的交点,则实数 m 的取值范围是 __________. 8.(2011 年湖北)过点(-1,-2)的直线 l 被圆 x2+y2-2x-2y+1=0 截得的弦长为 2, 则直线 l 的斜率为___________________________________________. 9.(2011 年广东执信中学三模)设 F 是抛物线 G:x2=4y 的焦点,点 P 是 F 关于原点的 对称点. (1)过点 P 作抛物线 G 的切线,若切点在第一象限,求切线方程; (2)试探究(1)中的抛物线 G 的切线与动圆 x2+(y-m)2=5,m∈R 的位置关系.

10.(2011 年全国)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y=x2-6x+1 与坐标轴的交点都在圆 C 上. (1)求圆 C 的方程; (2)若圆 C 与直线 x-y+a=0 交于 A,B 两点,且 OA⊥OB,求 a 的值.

第5讲

空间坐标系

1.在空间直角坐标系中,点 P(2,1,3)关于 x 轴对称的点的坐标为( ) A.(-2,1,3) B.(2,-1,-3) C.(-2,-1,3) D.(-2,1,-3) 2.已知空间坐标系中,A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),AB 的中点为 M,线段 CM 的长|CM| 为( ) 53 53 53 13 A. B. C. D. 4 2 2 2 3.三角形 ABC 的三个顶点的坐标为 A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC 的 形状为( ) A.正三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 4.设点 B 是点 A(2,-3,5)关于 xOy 面的对称点,则|AB|=( ) A.10 B. 10 C. 38 D.38 5.(2011 年广东深圳一模)如图 K11-5-1 所示程序框图,其作用是输入空间直角坐标 平面中一点 P(a,b,c),输出相应的点 Q(a,b,c).若 P 的坐标为(2,3,1),则 P,Q 间的距 离为( )

图 K11-5-1 (注:框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“:=”) A.0 B. 2 C. 6 D.2 2 6.在空间直角坐标系中,已知点 A(1,0,2),B(1,-3,1),点 M 在 y 轴上,且 M 到 A 与 到 B 的距离相等,则 M 的坐标是____________.

7.已知点 A 在 y 轴上,点 B(0,1,2)且|AB|= 5,则 A 的坐标为____________. 8. 给定两点 A(2,3,0), B(5,1,0), 满足条件|PA|=|PB|的动点 P 的轨迹方程为____________(即 P 点的坐标关于 x,y,z 间的关系式). 9.在空间直角坐标系中,已知点 P(4,3,-5),求点 P 到各坐标轴及坐标平面的距离.

10.如图 K11-5-2,正方体边长为 1,以正方体的三条棱所在直线为坐标轴,建立空 间直角坐标系 Oxyz,点 P 在正方体的对角线 AB 上,点 Q 在正方体的棱 CD 上. (1)当点 P 为对角线 AB 中点,点 Q 在棱 CD 上运动时,求|PQ|的最小值; (2)当点 Q 为棱 CD 的中点,点 P 在对角线 AB 上运动时,求|PQ|的最小值.

图 K11-5-2

第十二章
第1讲 椭圆

圆锥曲线

x2 y2 2.(2011 届广东揭阳水平考试)直线 x-2y+2=0 经过椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的一个焦点 a b 和一个顶点,则该椭圆的离心率为( ) 2 5 1 5 2 A. B. C. D. 5 2 5 3 x2 y2 3.(2011 年安徽皖北大联考)椭圆 + =1 上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1,F2 的连线 49 24 互相垂直,则△PF1F2 的面积为( ) A.20 B.22 C.24 D.28 2 4.短轴长为 5,离心率 e= 的椭圆两焦点为 F1,F2,过 F1 作直线交椭圆于 A,B 两点, 3 则△ABF2 的周长为( ) A.3 B.6 C.12 D.24 x2 y2 5.(2011 年江南十校联考)设 F1,F2 分别是椭圆 + =1 的左、右焦点,P 为椭圆上一 25 16 点,M 是 F1P 的中点,|OM|=3,则 P 点到椭圆左焦点距离为__________. x2 y2 6.设 F1,F2 分别是椭圆 + =1 的左、右焦点,P 为椭圆上任一点,点 M 的坐标为 25 16 (6,4),则|PM|+|PF1|的最大值为________. x2 y2 7.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)短轴端点为 A,B.点 P 是椭圆上除 A,B 外任意一点,则 a b 直线 PA、PB 的斜率之积为____________. x2 y2 8.(2010 年福建)若点 O 和点 F 分别为椭圆 + =1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的 4 3 → → 任意一点,则OP· EP的最大值为________. x2 y2 6 9.(2011 年北京)已知椭圆 G: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,右焦点为(2 2,0).斜 a b 3 率为 1 的直线 l 与椭圆 G 交于 A,B 两点,以 AB 为底边作等腰三角形,顶点为 P(-3,2). (1)求椭圆 G 的方程; (2)求△PAB 的面积.

x2 y2 1.(2011 年全国)椭圆 + =1 的离心率为( 16 8 1 1 3 2 A. B. C. D. 3 2 3 2

)

3 x2 的椭圆 C1 的顶点 A1,A2 恰好是双曲线 -y2=1 的左右焦点,点 P 2 3 是椭圆上不同于 A1,A2 的任意一点,设直线 PA1,PA2 的斜率分别为 k1,k2. (1)求椭圆 C1 的标准方程; (2)试判断 k1· k2 的值是否与点 P 的位置有关,并证明你的结论; 1 4 5 (3)当 k1= 时,圆 C2:x2+y2-2mx=0 被直线 PA2 截得弦长为 ,求实数 m 的值. 2 5 10.已知离心率为

第2讲

双曲线

x2 y2 1.设 F1 和 F2 为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两个焦点,若 F1,F2,P(0,2b)是正三角形 a b 的三个顶点,则双曲线的离心率为( ) 3 5 A. B.2 C. D.3 2 2 x2 y2 2.已知双曲线 - 2=1(b>0)的左、右焦点分别是 F1,F2,其一条渐近线方程为 y=x, 2 b → → 点 P( 3,y0)在双曲线上.则PF1· PF2=( ) A.-12 B.-2 C.0 D.4 y2 3.设 P 为双曲线 x2- =1 上的一点,F1、F2 是该双曲线的两个焦点,若|PF1|∶|PF2| 12 =3∶2,则△PF1F2 的面积为( ) A.6 3 B.12 C.12 3 D.24 x2 y2 4.(2011 届广东揭阳水平考试)已知双曲线 - =1 上一点 M 的横坐标是 3,则点 M 到 4 12 双曲线左焦点的距离是( ) A.4 B.2( 7+1) C.2( 7-1) D.8 x2 y2 5 .设双曲线 - = 1 上的点 P 到点 (5,0) 的距离为 15 ,则 P 点到 (- 5,0)的距离是 16 9 ________. y2 x2 6.(2011 年江西)若双曲线 - =1 的离心率 e=2,则 m=__________. 16 m y2 7 . (2011 年北京 ) 已知双曲线 x2 - 2 = 1(b>0) 的一条渐近线的方程为 y = 2x ,则 b = b ________. x2 y2 8.过双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的一个焦点作圆 x2+y2=a2 的两条切线,切点分别 a b 为 A,B.若∠AOB=120° (O 是坐标原点),则双曲线 C 的离心率为________. x2 y2 9.已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率为 3,虚轴长为 2 2. a b (1)求双曲线 C 的方程; (2)已知直线 x-y+m=0 与双曲线 C 交于不同的两点 A,B,且线段 AB 的中点在圆 x2+ 2 y =5 上,求 m 的值.

x2 y2 10.(2011 年江西)P(x0,y0)(x0≠± a)是双曲线 E: 2- 2=1(a>0,b>0)上一点,M,N 分 a b 1 别是双曲线 E 的左、右顶点,直线 PM,PN 的斜率之积为 . 5 (1)求双曲线的离心率; (2)过双曲线 E 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线于 A,B 两点,O 为坐标原点,C 为 → → → 双曲线上的一点,满足OC=λOA+OB,求 λ 的值.

第3讲

抛物线

1.(2011 年陕西)设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x=-2,则抛物线的方程是( ) A.y2=-8x B.y2=8x C.y2=-4x D.y2=4x 2.(2010 年四川)抛物线 y2=8x 的焦点到准线的距离是( ) A.1 B.2 C.4 D.8 3.已知直线 l1:4x-3y+6=0 和直线 l2:x=-1,抛物线 y2=4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是( ) A.2 B.3 11 37 C. D. 5 16 4.已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的一个动点,则点 P 到点(0,2)的距离与 P 到该抛物线准 线的距离之和的最小值为( ) 17 A. B.3 2 9 C. 5 D. 2 5.(2010 年湖南)设抛物线 y2=8x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4,则点 P 到该抛物线焦点 的距离是( ) A.4 B.6 C.8 D.12 6.(2011 年辽宁)已知 F 是抛物线 y2=x 的焦点,A,B 是该抛物线上的两点,|AF|+|BF| =3,则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为( ) 3 A. B.1 4 5 7 C. D. 4 4 7. (2011 年全国)已知抛物线 C: y2=4x 的焦点为 F, 直线 y=2x-4 与 C 交于 A, B 两点. 则 cos∠AFB=( ) 4 3 A. B. 5 5 3 4 C.- D.- 5 5 8.已知直线 x-y=2 与抛物线 y2=4x 相交于 A、B 两点,那么线段 AB 的长|AB|等于 ________. 9 3 2? 9. 已知点 P(1,3), 圆 C: (x-m)2+y2= , 过点 A?1,- , F 点为抛物线 y2=2px(p>0) 2 2 ? ? 的焦点,直线 PF 与圆相切. (1)求 m 的值与抛物线的方程; → → (2)设点 B(2,5),点 Q 为抛物线上的一个动点,求BP· BQ的取值范围.

10.(2011 年湖南)已知平面内一动点 P 到点 F(1,0)的距离与点 P 到 y 轴的距离的差等于 1. (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 F 作两条斜率存在且互相垂直的直线 l1,l2,设 l1 与轨迹 C 相交于点 A,B,l2 与 → → 轨迹 C 相交于点 D,E,求AD· EB的最小值.

第4讲

轨迹与方程

1.已知抛物线的焦点坐标是(0,-3),则抛物线的标准方程是(

)

A.x2=-12y B.x2=12y C.y2=-12x D.y2=12x 2.动点 A 在圆 x2+y2=1 上移动时,它与定点 B(3,0)连线的中点 M 的轨迹方程是( ) 2 2 2 2 A.(x+3) +y =4 B.(x-3) +y =1 3?2 2 1 C.(2x-3)2+4y2=1 D.? ?x+2? +y =2 x2 y2 3.(2011 年天津)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左顶点与抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 a b 的距离为 4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦 距为( ) A.2 3 B.2 5 C.4 3 D.4 5 4. (2011 年福建)设圆锥曲线 Γ 的两个焦点分别为 F1, F2, 若曲线 Γ 上存在点 P 满足|PF1|∶ |F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,则曲线 Γ 的离心率等于( ) 1 3 2 A. 或 B. 或 2 2 2 3 1 2 3 C. 或 2 D. 或 2 3 2 5. (2011 年江西)若曲线 C1∶x2+y2-2x=0 与曲线 C2∶y(y-mx-m)=0 有四个不同的交点, 则实数 m 的取值范围是( ) 3 3 A.?- , ? ? 3 3? 3 3 B.?- ,0?∪?0, ? 3? ? 3 ? ? 3 3 C.?- , ? ? 3 3? 3 3 D.?-∞,- ?∪? ,+∞? 3? ?3 ? ? 1 ? ? 1?2 2 6.已知 A? ?-2,0?,B 是圆 F:?x-2? +y =4(F 为圆心)上一动点,线段 AB 的垂直平 分线交 BF 于 P,则动点 P 的轨迹方程为____________. 7.打开“几何画板”进行如下操作: ①用画图工具在工作区画一个圆 C(C 为圆心); ②用取点工具分别在圆 C 上和圆外各取一点 A,B; ③用构造菜单下对应命令作出线段 AB 的垂直平分线; ④作直线 AC. 设直线 AC 与 l 相交于点 P,当 A 在圆 C 上运动时,P 点的轨迹是________. x2 y2 x2 y2 8.(2011 年山东)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)和椭圆 + =1 有相同的焦点,且双 a b 16 9 曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为____________. 9.(2011 届实验中学考前练笔)已知椭圆 C1、抛物线 C2 的焦点均在 x 轴上,C1 的中心和 C2 的顶点均为原点 O,从每条曲线上取两个点,将其坐标记录于下表中:

x y

3 -2 3

-2 0

4 -4

2 2 2

(1)求 C1,C2 的标准方程; (2)请问是否存在直线 l 满足条件:①过 C2 的焦点 F;②与 C1 交不同两点 M,N,且满足 → → OM⊥ON?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.

x2 y2 3 10.(2010 年广东佛山质量检测)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 e= ,以原 a b 3 点为圆心,椭圆短半轴长为半径的圆与直线 x-y+2=0 相切,A,B 分别是椭圆的左右两个 顶点,P 为椭圆 C 上的动点. (1)求椭圆的标准方程; (2)若 P 与 A,B 均不重合,设直线 PA 与 PB 的斜率分别为 k1,k2,证明:k1· k2 为定值; |OP| (3)M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点,若 =λ,求点 M 的轨迹方程,并说明轨迹 |OM| 是什么曲线.

第5讲

直线与圆锥曲线的位置关系

1.已知 F1,F2 为双曲线 C:x2-y2=1 的左、右焦点,点 P 在 C 上,∠F1PF2=60° ,则 |PF1|· |PF2|( ) A.2 B.4 C.6 D.8 x2 2.已知双曲线 2-y2=1(a>0)的右焦点与抛物线 y2=8x 焦点重合,则此双曲线的渐近线 a 方程是( ) 5 3 A.y=± 5x B.y=± x C.y=± 3x D.y=± x 5 3 3.设抛物线 y2=8x 的准线与 x 轴交于点 Q,若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点,则 直线 l 的斜率的取值范围是( ) 1 1 ? A.? ?-2,2? B.[-2,2] C.[-1,1] D.[-4,4] x2 4. 已知椭圆 +y2=1 的焦点为 F1, F2, 在长轴 A1A2 上任取一点 M, 过 M 作垂直于 A1A2 4 → → 的直线交椭圆于点 P,则使得PF1· PF2<0 的点 M 的概率为( ) 2 6 2 6 1 A. B. C. D. 3 3 3 2 2 2 x y 5.过椭圆 + =1 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A,B 两点,O 为坐标原 5 4 点,则△OAB 的面积为________. 6.(2010 年重庆)如图 K12-5-1,已知以 F 为焦点的抛物线 y2=4x 上的两点 A,B 满足 → → AF=3FB,则弦 AB 的中点到准线的距离为________.

图 K12-5-1 x2 y2 1 7. (2010 年福建)若双曲线 - 2=1(b>0)的渐近线方程式为 y=± x, 则 b 等于________. 4 b 2 8.P 是椭圆上一定点,F1,F2 是椭圆的两个焦点,若∠PF1F2=60° ,∠PF2F1=30° ,则 椭圆的离心率为_____________________. 20 x2 y2 9.已知圆 C1 的方程为(x-2)2+(y-1)2= ,椭圆 C2 的方程为 2+ 2=1(a>b>0),C2 的 3 a b 2 离心率为 ,如果 C1 与 C2 相交于 A,B 两点,且 AB 恰好是圆 C1 的一条直径,求直线 AB 2 的方程和椭圆 C2 的方程.

x2 y2 10.(2011 年天津)设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P(a,b)满足 a b |PF2|=|F1F2|. (1)求椭圆的离心率 e; (2)设直线 PF2 与椭圆相交于 A,B 两点,若直线 PF2 与圆(x+1)2+(y- 3)2=16 相交于 5 M,N 两点,且|MN|= |AB|,求椭圆的方程. 8

专题四

圆锥曲线的综合及应用问题

x2 y2 1. 若双曲线 - 2=1 的一条准线与抛物线 y2=8x 的准线重合, 则双曲线离心率为( ) 8 b A. 2 B.2 2 C.4 D.4 2 x2 y2 2.两个正数 1,9 的等差中项是 a,等比中项是 b,则曲线 + =1 的离心率为( ) a b 10 2 10 A. B. 5 5 4 10 2 10 C. D. 与 5 5 5 2 x 3.与椭圆 +y2=1 共焦点且过点 P(2,1)的双曲线方程是( ) 4 2 2 x x A. -y2=1 B. -y2=1 4 2 x2 y2 y2 C. - =1 D.x2- =1 3 3 2 1 2 4.过抛物线 y= x 准线上任一点作抛物线的两条切线,若切点分别为 M,N,则直线 4 MN 过定点( ) A.(0,1) B.(1,0) C.(0,-1) D.(-1,0) sinA+sinC x2 y2 5. 已知△ABC 的顶点 A(-4,0)和 C(4,0), 顶点 B 在椭圆 + =1 上, 则 =( ) 25 9 sinB 5 5 4 8 A. B. C. D. 4 8 5 5 y2 6.已知 F1,F2 分别为双曲线 x2- =1 的左、右焦点,P 为双曲线右支上的任意一点, 3 |PF1|2 则 的最小值为( ) |PF2| A.8 B.5 C.4 D.9 7.已知双曲线的方程是 5x2-4y2=20,填充下列各题: (1)中心坐标是________;(2)顶点坐标是________; (3)焦点坐标是________;(4)准线方程是________; (5)渐近线方程是________;(6)离心率是________. x2 y2 8.对于曲线 C: + =1,给出下面四个命题: 4-k k-1 ①曲线 C 不可能表示椭圆; ②当 1<k<4 时,曲线 C 表示椭圆; ③若曲线 C 表示双曲线,则 k<1 或 k>4; 5 ④若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 1<k< . 2 其中所有正确命题的序号为________. 9.(2011 年北京)曲线 C 是平面内与两个定点 F1(-1,0)和 F2(1,0)的距离的积等于常数 a2(a>1)的点的轨迹.给出下列三个结论: ①曲线 C 过坐标原点; ②曲线 C 关于坐标原点对称; 1 ③若点 P 在曲线 C 上,则△F1PF2 的面积不大于 a2. 2

其中,所有正确结论的序号是____________. x2 y2 3 10.(2011 年四川)过点 C(0,1)的椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,椭圆与 x 轴交于两 a b 2 点 A(a,0),B(-a,0),过点 C 的直线 l 与椭圆交于另一点 D,并与 x 轴交于点 P,直线 AC 与 直线 BD 交于点 Q(如图 K4-1). (1)当直线 l 过椭圆右焦点时,求线段 CD 的长; → → (2)当点 P 异于点 B 时,求证:OP· OQ为定值.

图 K4-1

11.(2011 年广东揭阳一模)在直角坐标系 xOy 上取两个定点 A1(-2,0),A2(2,0),再取两 个动点 N1(0,m),N2(0,n),且 mn=3. (1)求直线 A1N1 与 A2N2 交点的轨迹 M 的方程; (2)已知点 A(1,t)(t>0)是轨迹 M 上的定点,E,F 是轨迹 M 上的两个动点,如果直线 AE 的斜率 kAE 与直线 AF 的斜率 kAF 满足 kAE+kAF=0,试探究直线 EF 的斜率是否是定值?若是 定值,求出这个定值,若不是,说明理由.

x2 y2 1 12.(2011 年广东广州调研)已知椭圆 E: 2+ =1(a> 3)的离心率 e= .直线 x=t(t>0) a 3 2 与曲线 E 交于不同的两点 M,N,以线段 MN 为直径作圆 C,圆心为 C. (1)求椭圆 E 的方程; (2)若圆 C 与 y 轴相交于不同的两点 A,B,求△ABC 的面积的最大值.

第十三章
第1讲

立体几何

空间几何体的三视图和直观图

1.一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图如图 K13-1 -1,则该几何体的俯视图为( )

图 K13-1-1 2.(2010 年广东惠州调研)用若干个体积为 1 的正方体搭成一个几何体,其正视图、侧视 图都是如图 K13-1-2 所示的图形,则这个几何体的最大体积与最小体积的差是( )

图 K13-1-2 A.6 B.7 C.8 D.9 3.如图 K13-1-3 的正方形 O′A′B′C′的边长为 1 cm,它是水平放置的一个平面 图形的直观图,则原图形的周长为( )

图 K13-1-3 A.6 cm B.8 cm C.(2+4 2) cm D.(2+2 3) cm 4.(2010 年广东惠州调研)如图 K13-1-4, 一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长 为 1 的正方形,俯视图是一个直径为 1 的圆,那么这个几何体的全面积为( )

图 K13-1-4 3 A. π B.2π C.3π D.4π 2

5.如图 K13-1-5,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 为 BD1 的中点,则△PAC 在该正 方体各个面上的射影可能是( )

A.①④ B.②③ C.②④ D.①②

图 K13-1-5 图 K13-1-6 6.如图 K13-1-6,正三棱柱 ABC-A1B1C1 的各棱长都是 2,E,F 分别是 AB,A1C1 的中点,则 EF 的长是( ) A.2 B. 3 C. 5 D. 7 7.(2010 年福建)若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图 K13-1-7, 则其侧面积 等于( ) A. 3 B.2 C.2 3 D.6

图 K13-1-7

图 K13-1-8

8.如图 K13-1-8,直三棱柱的主视图面积为 2a2,则左视图的面积为____________. 9.如图 K13-1-9,图(1)是正方体木块,把它截去一块,可能得到的几何体有(2),(3), (4),(5)的木块.

图 K13-1-9 (1)我们知道,正方体木块有 8 个顶点,12 条棱,6 个面,请你将图(2),(3),(4),(5)的 木块的顶点数、棱数、面数填入下表: 图号 顶点数 棱数 面数 (1) 8 12 6 (2) (3) (4) (5) (2)观察你填出的表格,归纳出上述各种木块的顶点数 V、棱数 E、面数 F 之间的关系;

(3)看图(6)中正方体的切法,请验证你所得的数量关系是否正确?

10.(2010 年广东揭阳调研)如图 K13-1-10(1)为一简单组合体,其底面 ABCD 为正方 形,PD⊥平面 ABCD,EC∥PD,且 PD=AD=2EC=2. (1)如图 K13-1-10(2)所示的方框内已给出了该几何体的俯视图,请在方框内画出该几 何体的正(主)视图和侧(左)视图; (2)求四棱锥 B-CEPD 的体积; (3)求证:BE∥平面 PDA.

(1) 图 K13-1-10

(2)

第2讲

空间几何体的表面积和体积

1.正三棱锥的底面边长为 6,高为 3,则这个三棱锥的全面积为( ) 9 3 A.9 3 B.18 3 C.9( 3+ 6) D. 2 2.(2011 年湖南)设图 K13-2-1 是某几何体的三视图,则该几何体的体积为(

)

图 K13-2-1 9 9 A. π+12 B. π+18 C.9π+42 D.36π+18 2 2 3.(2011 年辽宁)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等,体积为 2 3,它的三视图中 的俯视图如图 K13-2-2 所示,左视图是一个矩形,则这个矩形的面积是( )

图 K13-2-2 A.4 B.2 3 C.2 D. 3 4.如图 K13-2-3 是某几何体的三视图,其中正视图是腰长为 2 的等腰三角形,俯视 图是半径为 1 的半圆,则该几何体的体积是( )

图 K13-2-3 3 1 3 3 π B. π C. π D. π 3 2 3 6 5.圆锥母线长为 1,侧面展开图的圆心角为 240° ,则圆锥的体积为( ) 2 2π 8π 4 5π 10π A. B. C. D. 81 81 81 81 6.(2011 年福建)三棱锥 P-ABC 中,PA⊥底面 ABC,PA=3,底面 ABC 是边长为 2 的 正三角形,则三棱锥 P-ABC 的体积等于__________. 4 A.

7.(2011 年天津)一个几何体的三视图如图 K13-2-4 所示(单位:m),则该几何体的体 积为________ m3.

图 K13-2-4

8.如图 K13-2-5,已知球 O 面上四点 A,B,C,D,DA⊥平面 ABC,AB⊥BC,DA =AB=BC= 3, 则球 O 点体积等于________________________________________________.

图 K13-2-5 9.如图 K13-2-6,△ABC 内接于圆 O,AB 是圆 O 的直径,四边形 DCBE 为平行四边 3 形,DC⊥平面 ABC,AB=2,已知 AE 与平面 ABC 所成的角为 θ,且 tanθ= . 2 (1)证明:平面 ACD⊥平面 ADE; (2)记 AC=x,V(x)表示三棱锥 A-CBE 的体积,求 V(x)的表达式.

图 K13-2-6

10. (2010 年广东广州调研)如图 K13-2-7, 正方形 ABCD 所在平面与三角形 CDE 所在 平面相交于 CD,AE⊥平面 CDE,且 AE=3,AB=6. (1)求证:AB⊥平面 ADE; (2)求凸多面体 ABCDE 的体积.

图 K13-2-7

第3讲

点、直线、平面之间的位置关系

1.(2010 年山东)在空间中,下列命题正确的是( ) A.平行直线的平行投影重合 B.平行于同一直线的两个平面平行 C.垂直于同一平面的两个平面平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行 2.已知 m,n 为异面直线,m?平面 α,n?平面 β,α∩β=l,则 l( ) A.与 m,n 都相交 B.与 m,n 中至少一条相交 C.与 m,n 都不相交 D.至多与 m,n 中的一条相交 3.设 A,B,C,D 是空间四个不同的点,在下列命题中,不正确的是( ) A.若 AC 与 BD 共面,则 AD 与 BC 共面 B.若 AC 与 BD 异面直线,则 AD 与 BC 是异面直线 C.若 AB=AC,DB=DC,则 AD=BC D.若 AB=AC,DB=DC,则 AD⊥BC 4.(2011 年浙江)若直线 l 不平行于平面 α,且 l?α,则( ) A.α 内存在直线与 l 异面 B.α 内存在与 l 平行的直线 C.α 内存在唯一的直线与 l 平行 D.α 内的直线与 l 都相交 5.AB,CD 是夹在两平行平面 α,β 之间的异面线段,A,C 在平面 α 内,B,D 在平面 β,若 M,N 分别为 AB,CD 的中点,则有( ) 1 1 A.MN= (AC+BD) B.MN> (AC+BD) 2 2 1 1 C.MN< (AC+BD) D.MN≤ (AC+BD) 2 2 6.如图 K13-3-1,ABCD-A1B1C1D1 是长方体,O 是 B1D1 的中点,直线 A1C 交平面 AB1D1 于点 M,则下列结论错误的是( )

图 K13-3-1 A.A,M,O 三点共线 B.A,M,O,A1 四点共面 C.A,O,C,M 四点共面 D.B,B1,O,M 四点共面 7.如图 K13-3-2 是正方体的平面展开图,在这个正方体中,

图 K13-3-2 ①BM 与 ED 平行; ②CN 与 BE 是异面直线; ③CN 与 BM 成 60° 角;

④DM 与 BN 垂直. 以上四个命题中,正确命题的序号是________. 8.(2011 年全国)已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 C1D1 的中点,则异面直线 AE 与 BC 所成角的余弦值为__________. 9.如图 K13-3-3,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E,F 分别是 AB,AA1 的中点. 求证:(1)E,C,D1,F 四点共面; (2)CE,D1F,DA 三线共点.

图 K13-3-3 10.如图 K13-3-4 是一个正方体的表面展开图的示意图,MN 和 PQ 是两条面的对角 线,请在正方体中将 MN 和 PQ 画出来,并就这个正方体解答下列问题. (1)求 MN 和 PQ 所成角的大小; (2)求四面体 M-NPQ 的体积与正方体的体积之比.

图 K13-3-4

第4讲

直线、平面平行的判定与性质

1.已知直线 l,m,n 及平面 α,下列命题中的假命题是( ) A.若 l∥m,m∥n,则 l∥n B.若 l⊥α,n∥α,则 l⊥n C.若 l⊥m,m∥n,则 l⊥n D.若 l∥α,n∥α,则 l∥n 2.(2010 年广东惠州调研)已知 m、n 是两条直线,α、β 是两个平面,给出下列命题:① 若 n⊥α,n⊥β,则 α∥β;②若平面 α 上有不共线的三点到平面 β 的距离相等,则 α∥β;③ 若 n、m 为异面直线,n?α,n∥β,m?β,m∥α,则 α∥β.其中正确命题的个数是( ) A.3 个 B.2 个 C.1 个 D.0 个 3.已知平面 α 外不共线的三点 A,B,C 到 α 的距离都相等,则正确的结论是( ) A.平面 ABC 必平行于 α B.平面 ABC 必与 α 相交 C.平面 ABC 必不垂直于 α D.存在△ABC 的一条中位线平行于 α 或在 α 内 4.如图 K13-4-1,已知 l 是过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点的平面 AB1D1 与下底面 ABCD 所在平面的交线,下列结论错误的是( )

图 K13-4-1 A.D1B1∥l B.BD∥平面 AD1B1 C.l∥平面 A1D1B1 D.l⊥B1C1 5.已知 m,n 是两条不同直线,α,β,γ 是三个不同平面,下列命题中正确的是( ) A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B.若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β C.若 m∥α,m∥β,则 α∥β D.若 m⊥α,n⊥α,则 m∥n 6.设 α 和 β 为不重合的两个平面,给出下列命题: ①若 α 内的两条相交直线分别平行于 β 内的两条直线,则 α 平行于 β; ②若 α 外一条直线 l 与 α 内的一条直线平行,则 l 和 α 平行; ③设 α 和 β 相交于直线 l,若 α 内有一条直线垂直于 l,则 α 和 β 垂直; ④直线 l 与 α 垂直的充分必要条件是 l 与 α 内的两条直线垂直. 上面命题中,真命题的序号________(写出所有真命题的序号). 7.(2010 年湖北)用 a,b,c 表示三条不同的直线,γ 表示平面,给出下列命题,正确的 有( ) ①若 a∥b,b∥c,则 a∥c; ②若 a⊥b,b⊥c,则 a⊥c; ③若 a∥γ,b∥γ,则 a∥b; ④若 a⊥γ,b⊥γ,则 a∥b. A.①② B.②③ C.①④ D.③④ 8.如图 K13-4-2 的甲,在透明塑料制成的长方体 ABCD-A1B1C1D1 容器内灌进一些 水,固定容器底面一边 BC 于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下列四个说法:

①水的部分始终呈棱柱状; ②水面四边形 EFGH 的面积不改变; ③棱 A1D1 始终与水面 EFGH 平行; ④当容器倾斜如图乙时,EF· BF 是定值. 其中正确说法的序号是________.

图 K13-4-2

9.如图 K13-4-3,已知 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点,M,N 分别是 AB, PC 的中点. (1)求证:MN∥平面 PAD; (2)若 MN=BC=4,PA=4 3,求异面直线 PA 与 MN 所成的角的大小.

图 K13-4-3

10.(2011 年山东)如图 K13-4-4,在四棱台 ABCD-A1B1C1D1 中,D1D⊥平面 ABCD, 底面 ABCD 是平行四边形,AB=2AD,AD=A1B1,∠BAD=60° . (1)证明:AA1⊥BD; (2)证明:CC1∥平面 A1BD.

图 K13-4-4

第5讲

直线、平面垂直的判定与性质

1.对于直线 m,n 和平面 α,β,α⊥β 的一个充分条件是( ) A.m⊥n,m∥α,n∥β B.m⊥n,α∩β=m,n?α C.m∥n,n⊥β,m?α D.m∥n,n⊥α,m⊥β 2.如图 K13-5-1,ABCD-A1B1C1D1 为正方体,下面结论错误的是(

)

图 K13-5-1 A.BD∥平面 CB1D1 B.AC1⊥BD C.AC1⊥平面 CB1D1 D.异面直线 AD 与 CB1 角为 60° 3.设直线 m 与平面 α 相交但不垂直,则下列说法中正确的是( ) A.在平面 α 内有且只有一条直线与直线 m 垂直 B.过直线 m 有且只有一个平面与平面 α 垂直 C.与直线 m 垂直的直线不可能与平面 α 平行 D.与直线 m 平行的平面不可能与平面 α 垂直 4.设 a,b,c 是空间三条直线,α,β 是空间两个平面,则下列命题中,逆命题不成立 的是( ) A.当 c⊥α 时,若 c⊥β,则 α∥β B.当 b?α 时,若 b⊥β,则 α⊥β C.当 b?α,且 c 是 a 在 α 内的射影时,若 b⊥c,则 a⊥b D.当 b?α,且 c?α 时,若 c∥α,则 b∥c 5.在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点 D 是侧面 BB1C1C 的 中心,则 AD 与平面 BB1C1C 所成角的大小是( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 6.m,n 是空间两条不同直线,α,β 是两个不同平面,下面有四个命题: ①m⊥α,n∥β,α∥β?m⊥n; ②m⊥n,α∥β,m∥α?n∥β; ③m⊥n,α∥β,m∥α?n⊥β; ④m⊥α,m∥n,α∥β?n⊥β. 其中真命题的编号是________(写出所有真命题的编号). 7.已知 α,β 是两个不同的平面,m,n 是平面 α 及 β 外的两条不同直线,给出以下四 个论断: ①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α. 以其中 3 个为条件, 余下 1 个为结论, 写出你认为正确的一个命题____________________. 8.在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,A 到平面 B1C 的距离为________,A 到平 面 BB1D1D 的距离为________,AA1 到平面 BB1D1D 的距离为________.

9.(2011 年广东肇庆测试)图 K13-5-2 为一简单组合体,其底面 ABCD 为正方形,PD ⊥平面 ABCD,EC∥PD,且 PD=2EC, (1)求证:BE∥平面 PDA; (2)若 N 为线段 PB 的中点,求证:EN⊥平面 PDB.

图 K13-5-2

10.如图 K13-5-3,四棱锥 P-ABCD 的底面是正方形,PD⊥底面 ABCD,点 E 在棱 PB 上. (1)求证:平面 AEC⊥平面 PDB; (2)当 PD= 2AB 且 E 为 PB 的中点时,求 AE 与平面 PDB 所成的角的大小.

图 K13-5-3

专题五

立体几何

1.下列命题中,假命题的个数为( ) ①与三角形两边平行的平面平行于这个三角形的第三边;②与三角形两边垂直的直线垂 直于第三边;③与三角形三顶点等距离的平面平行于这个三角形所在平面. A.0 B.1 C.2 D.3 2.已知平面 α⊥平面 β,α∩β=l,点 A∈α,A?l,直线 AB∥l,直线 AC⊥l,直线 m∥α, m∥β,则下列四种位置关系中,不一定成立的是( ) A.AB∥m B.AC⊥m C.AB∥β D.AC⊥β 3.(2011 年福建福州联考)m,n 表示直线,α,β,γ 表示平面,给出下列四个命题,其 中真命题为( ) (1)a∩β=m,n?α,n⊥m,则 α⊥β; (2)α⊥β,α∩γ=m,β∩γ=n,则 n⊥m; (3)α⊥β,α⊥γ,β∩γ=m,则 m⊥α; (4)m⊥α,n⊥β,m⊥n,则 α⊥β. A.(1),(2) B.(3),(4) C.(2),(3) D.(2),(4) 4.在矩形 ABCD 中,AB=1,BC= 2,PA⊥平面 ABCD,PA=1,则 PC 与平面 ABCD 所成的角是( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 5.(2011 年陕西)某几何体的三视图如图 K5-1 所示,则它的体积是( )

\ 图 K5-1 2π π 2π A.8- B.8- C.8-2π D. 3 3 3 6.(2010 年全国)直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,若∠BAC=90° ,AB=AC=AA1,则异面直 线 BA1 与 AC1 所成的角等于( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 7.(2011 年上海)若圆锥的侧面积为 2π,底面积为 π,则该圆锥的体积为________. 8.设 x,y,z 是空间不同的直线或平面,对下面四种情形,使“x⊥z 且 y⊥z?x∥y”为 真命题的是________(填序号). ①x,y,z 是直线;②x,y 是直线,z 是平面; ③z 是直线,x,y 是平面;④x,y,z 是平面. 9.(2011 年广东)如图 K5-2 所示,将高为 2,底面半径为 1 的直圆柱沿过轴的平面切开

? ,D ? ?E? , ? , ??D? ,DE 后, 将其中一半沿切面水平向右平移得到的, A, A′, B, B′分别为 CD C 的中点,O1,O′1,O2,O′2 分别为 CD,C′D′,DE,D′E′的中点. (1)证明:O′1,A′,O2,B 四点共面; (2)设 G 为 AA′中点,延长 A′O′1 到 H′,使得 O′1H′=A′O′1,证明:BO′2 ⊥面 H′B′G.

图 K5-2

10.(2011 年广东执信中学三模)如图 K5-3,在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥平面 ABCD; 四边形 ABCD 是菱形,边长为 2,∠BCD=60° ,经过 AC 作与 PD 平行的平面交 PB 与点 E, ABCD 的两对角线交点为 F. (1)求证:AC⊥DE; (2)若 EF= 3,求点 D 到平面 PBC 的距离.

图 K5-3

第十四章
第1讲

概率

随机事件的概率

1.已知非空集合 A,B 满足 A?B,给出以下四个命题: ①若任取 x∈A,则 x∈B 是必然事件; ②若 x?A,则 x∈B 是不可能事件; ③若任取 x∈B,则 x∈A 是随机事件; ④若 x?B,则 x?A 是必然事件. 其中正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.(2011 年重庆)从一堆苹果中任取 10 只,称得它们的质量如下(单位:克) 125 120 122 105 130 114 116 95 120 134 则样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为( ) A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5 3.抽查 10 件产品,设事件 A:至少有 2 件次品,则 A 的对立事件为( ) A.至多有 2 件次品 B.至多有 1 件次品 C.至多有 2 件正品 D.至多有 1 件正品 4.口袋中有 100 个大小相同的红球、白球、黑球,其中红球 45 个,从口袋中摸出一个 球,摸出白球的概率为 0.23,则摸出黑球的概率为( ) A.0.45 B.0.67 C.0.64 D.0.32 5.(2011 年云南一模)从集合{1,3,6,8}中任取两个数相乘,积是偶数的概率是( ) 5 2 1 1 A. B. C. D. 6 3 2 3 6.向三个相邻的军火库各投一枚炸弹,击中第一个军火库的概率是 0.025,击中另两个 军火库的概率各为 0.1,并且只要击中一个,另两个也爆炸,则军火库爆炸的概率为______. 7.(2011 年江苏)从 1,2,3,4 这四个数中一次随机取两个数,则其中一个数是另一个的两 倍的概率为________. 4 1 8. 若 A, B 为一对立事件, 其概率分别为 P(A)= , P(B)= , 则 x+y 的最小值为________. x y 9.广州某中学有两个食堂,甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐,则 他们在同一个食堂用餐的概率为______________________________________. 10.(2011 年全国新课标节选)某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标越大表明 质量越好,且质量指标值大于或等于 102 的产品为优质品.现用两种新配方(分别称为 A 配 方和 B 配方)做试验,各生产了 100 件这种产品,并测量了每种产品的质量指标值,得到下面 试验结果: A 配方的频数分布表 指标值 [106, [90,94) [94,98) [98,102) [102,106) 110] 分组 8 20 42 22 8 频数 B 配方的频数分布表

指标值 [106, [90,94) [94,98) [98,102) [102,106) 110] 分组 4 12 42 32 10 频数 (1)分别估计用 A 配方、B 配方生产的产品的优质品率; (2)已知用 B 配方生产的一种产品利润 y(单位:元)与其质量指标值 t 的关系式为 y= -2 ?t<94?, ? ? ?2 ?94≤t<102?, ? ?4 ?t≥102?, 估计用 B 配方生产的一件产品的利润大于 0 的概率.

11.(2011 年天津)编号为 A1,A2,?,A16 的 16 名篮球运动员在某次训练比赛中的得分 记录如下: A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 运动员编号 15 35 21 28 25 36 18 34 得分 A9 A10 A11 A12 A13 A14 A15 A16 运动员编号 17 26 25 33 22 12 31 38 得分 (1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格; [10,20) [20,30) [30,40] 区间 人数 (2)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取 2 人, ①用运动员的编号列出所有可能的抽取结果; ②求这 2 人得分之和大于 50 的概率.

12.(2011 年福建)某日用品按行业质量标准分成五个等级,等级系数 X 依次为 1,2,3,4,5. 现从一批该日用品中随机抽取 20 件,对其等级系数进行统计分析,得到频率分布表如下: X 1 2 3 4 5 f a 0.2 0.45 b c (1)若所抽取的 20 件日用品中,等级系数为 4 的恰有 3 件,等级系数为 5 的恰有 2 件, 求 a,b,c 的值; (2)在(1)的条件下,将等级系数为 4 的 3 件日用品记为 x1,x2,x3,等级系数为 5 的 2 件 日用品记为 y1,y2,现从 x1,x2,x3,y1,y2 这 5 件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出 的可能性相同),写出所有可能的结果,并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率.

第2讲

古典概型

1.已知集合 A={-1,0,1},点 P 的坐标为(x,y),其中 x∈A,y∈A.记点 P 落在第一象 限为事件 M,则 P(M)等于( ) 1 1 1 2 A. B. C. D. 3 6 9 9 2.若以连续掷两次骰子分别得到的点数 m,n 作为 P 点的坐标,则点 P 在圆 x2+y2=25 内的概率为( ) 1 5 7 13 A. B. C. D. 2 12 22 36 3.下课以后,教室里最后还剩下 2 位男同学,2 位女同学.如果没有 2 位同学一块儿走, 则第 2 位走的是男同学的概率是( ) 1 1 1 1 A. B. C. D. 2 3 4 5 4.(2011 年安徽)从正六边形的 6 个顶点中随机选择 4 个顶点,则以它们作为顶点的四边 形是矩形的概率等于( ) 1 1 1 1 A. B. C. D. 10 8 6 5 5.连掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n,记向量 a=(m,n)与向量 b=(1,-1)的夹 π 0, ?的概率是( 角为 θ,则 θ∈? ) ? 2? 5 1 7 5 A. B. C. D. 12 2 12 6 6.(2011 年全国新课标)有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位 同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( ) 1 1 2 3 A. B. C. D. 3 2 3 4 7.(2010 年江苏)盒子中有大小相同的 3 只白球,1 只黑球,若从中随机地摸出两只球, 两只球颜色不同的概率是________. 8.从含有 2 件正品和 1 件次品的 3 件产品中每次任取 1 件,每次取出后再放回,连续取 两次,则两次取出的产品中恰好有一件次品的概率是________. 9. 从含有 3 个元素的集合的子集中任取一个, 则所取得的子集是含有 2 个元素的集合的 概率是________. 10.(2011 年山东)甲、乙两校各有 3 名教师报名支教,其中甲校 2 男 1 女,乙校 1 男 2 女. (1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名,写出所有可能的结果,并求选出的 2 名教 师性别相同的概率; (2)若从报名的 6 名教师中任选 2 名,写出所有可能的结果,并求选出的 2 名教师来自同 一学校的概率.

11.(2011 年广东揭阳模拟)已知集合 A={-2,0,2},B={-1,1},设 M={(x,y)|x∈A,x ∈B},在集合 M 内随机取出一个元素(x,y). (1)求以(x,y)为坐标的点落在圆 x2+y2=1 上的概率; x-y+2≥0, ? ? (2)求以(x,y)为坐标的点位于区域 D:?x+y-2≤0, ? ?y≥-1 内(含边界)的概率.

12.(2011 年广东六校联考)某运动员进行 20 次射击练习,记录了他射击的有关数据,得 到下表: 7 8 9 10 环数 2 7 8 3 命中次数 (1)求此运动员射击的环数的平均数; (2)若将表中某一环数所对应的命中次数作为一个结果,在四个结果(2 次、7 次、8 次、3 次)中,随机取 2 个不同的结果作为基本事件进行研究,记这两个结果分别为 m 次、n 次,每 个基本事件为(m,n).求“m+n≥10”的概率.

第3讲

几何概型

1.(2010 届广东惠州调研)如图 K14-3-1,在半径为 R 的圆内随机撒一粒黄豆,它落在 阴影部分内接正三角形上的概率是( ) 3 3 3 3 3 3 A. B. C. D. 4 4 4π 4π

图 K14-3-1

图 K14-3-2

2. (2011 年福建)如图 K14-3-2, 矩形 ABCD 中, 点 E 为边 CD 的中点, 若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q,则点 Q 取自△ABE 内部的概率等于( ) 1 1 1 2 A. B. C. D. 4 3 2 3 3.设 a,b∈(0,1),则关于 x 的方程 x2+2ax+4b2=0 在(-∞,+∞)上有两个不同的零 点的概率为( ) 1 1 1 3 A. B. C. D. 2 3 4 4 4.ABCD 为长方形,AB=2,BC=1,O 为 AB 的中点,在长方形 ABCD 内随机取一点, 取到的点到 O 的距离小于 1 的概率为( ) π π π π A. B.1- C. D.1- 4 4 8 8 πx 1 5.在区间[-1,1]上随机取一个数 x,cos 的值介于 0 到 之间的概率为( ) 2 2 1 2 1 2 A. B. C. D. 3 π 2 3 ? ?0≤x≤2, 6.设不等式组? 所表示的区域为 A,现在区域 A 中任意丢进一个粒子,则该 ?0≤y≤2 ? 1 粒子落在直线 y= x 上方的概率为( ) 2 3 1 7 1 A. B. C. D. 4 2 8 8 7.如图 K14-3-3 点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点,若在该圆周上随机取一点 B,则劣弧 AB 的长度小于 1 的概率为__________.

图 K14-3-3

8.(2011 年湖南)已知圆 C:x2+y2=12,直线 l:4x+3y=25. (1)圆 C 的圆心到直线 l 的距离为________. (2)圆 C 上任意一点 A 到直线 l 的距离小于 2 的概率为________________________. 9. 在 400 毫升自来水中有一个大肠杆菌, 今从中随机取出 2 毫升水样放到显微镜下观察, 则发现大肠杆菌的概率为_______________________________________. 10.如图 K14-3-4,平面上画了两条平行且相距 2a 的平行线.把一枚半径 r<a 的硬币 任意投掷在这个平面上,求硬币不与任一条平行线相碰的概率.

图 K14-3-4 11.如图 K14-3-5,已知正三棱锥 S-ABC 的底面边长为 a,高为 h,在正三棱锥内取 h 一点 M,试求点 M 到底面的距离小于 的概率. 2

图 K14-3-5

12.设关于 x 的一元二次方程 x2+2ax+b2=0. (1)若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取的一个数,b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个数,求上 述方程有实根的概率; (2)若 a 是从区间[0,3]任取的一个数,b 是从区间[0,2]任取的一个数,求上述方程有实根 的概率.

第十五章
第1讲

统计

随机抽样和样本估计总体

1.(2011 江西)为了普及环保知识,增强环保意识,某大学随机抽取 30 名学生参加环保 知识测试,得分(十分制)如图 K15-1-1 所示,假设得分值的中位数为 me,众数为 m0,平均 - 值为 x , 则( )

图 K15-1-1 - - A.me=m0= x B.me=m0< x - - C.me<m0< x D.m0<me< x 2.某地区有 300 家商店,其中大型商店有 30 家,中型商店有 75 家,小型商店有 195 家. 为了掌握各商店的营业情况, 要从中抽取一个容量为 20 的样本. 若采用分层抽样的方法, 抽取的中型商店数是( ) A.2 B.3 C.5 D.13 3.为了了解某地区高三学生的身体发育情况,抽查了该地区 100 名年龄为 17.5—18 岁 的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如图 K15-1-2.

图 K15-1-2 根据上图可得这 100 名学生中体重在[56.5,64.5]的学生人数是( ) A.20 B.30 C.40 D.50 4.高三(1)班共有 56 人,学号依次为 1,2,3,?,56,现用系统抽样的办法抽取一个容量 为 4 的样本,已知学号为 6,34,48 的同学在样本中,那么还有一个同学的学号应为( ) A.18 B.19 C.20 D.21 5.已知样本容量为 30,在样本频率分布直方图如图 K15-1-3 中,各小长方形的高的 比从左到右依次为 2∶4∶3∶1,则第 2 组的频率和频数分别为( )

图 K15-1-3 A.0.4,12 B.0.6,16 C.0.4,16 D.0.6,12 6.一个总体分为 A、B 两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为 10 的样本.已 1 知 B 层中每个个体被抽到的概率都为 ,则总体中的个体数为________. 12 7.如图 K15-1-4 是样本容量为 200 的频率分布直方图.根据样本的频率分布直方图 估计,样本数据落在[6,10]内的频数为________,数据落在(2,10)内的概率约为________.

图 K15-1-4 8.(2010 浙江)在如图 K15-1-5 所示的茎叶图中,甲、乙两组数据的中位数分别是 ____________.

图 K15-1-5

9.(2010 年湖南)为了对某课题进行研究,用分层抽样方法从三所高校 A,B,C 的相关 人员中,抽取若干人组成研究小组,有关数据见下表(单位:人). 高校 A B C 相关人数 18 36 54 抽取人数 x 2 y

(1)求 x,y; (2)若从高校 B、C 抽取的人中选 2 人作专题发言,求这二人都来自高校 C 的概率.

10.为了让学生了解环保知识,增强环保意识,某中学举行了一次“环保知识竞赛”, 共有 900 名学生参加了这次竞赛. 为了解本次竞赛成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩(得 分均为整数,满分为 100 分)进行统计.请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表和频数 分布直方图(如图 K15-1-6),解答下列问题: (1)填充频率分布表的空格(将答案直接填在表格内); (2)补全频数条形图; (3)若成绩在 75.5~85.5 分的学生为二等奖,问获得二等奖的学生约为多少人?

图 K15-1-6

分组 50.5~60.5 60.5~70.5 70.5~80.5 80.5~90.5 90.5~100.5 合计

频数 4 10 16 50

频率 0.08 0.16 0.32

11.随机抽取某中学甲、乙两班各 10 名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数 据的茎叶图如图 K15-1-7.

图 K15-1-7 (1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; (2)计算甲班的样本方差; (3)现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173 cm 的同学,求身高为 176 cm 的同学被抽中的概率.

第2讲

变量的相关性

^ 1.某工厂某产品产量 x(千件)与单位成本 y(元)满足回归直线方程y=77.36-1.82x,则以 下说法中正确的是( ) A.产量每增加 1 000 件,单位成本下降 1.82 元 B.产量每增加 1 000 件,单位成本上升 1.82 元 C.产量每减少 1 000 件,单位成本上升 1.82 元 D.产量每减少 1 000 件,单位成本下降 1.82 元 2.(2011 年陕西)设(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn)是变量 x 和 y 的 n 个样本点,直线 l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图 K15-2-1),以下结论正确的是 ( )

图 K15-2-1 - - A.直线 l 过点( x , y ) B.x 和 y 的相关系数为直线 l 的斜率 C.x 和 y 的相关系数在 0 到 1 之间 D.当 n 为偶数时,分布在 l 两侧的样本点的个数一定相同 3.统计中用相关系数 r 来衡量两个变量之间线性关系的强弱.对于变量 x,y,计算 r= -0.01,则 x,y 的相关关系的强弱为( ) A.相关性很强 B.相关性很弱 C.相关性一般 D.不相关 4.(2011 年山东)某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表: 4 2 3 5 广告费用 x(万元) 49 26 39 54 销售额 y(万元) ^ ^ ^ ^ 根据上表可得回归方程y=bx+a中的b为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额 为( ) A.63.6 万元 B.65.5 万元 C.67.7 万元 D.72.0 万元 5. (2010 湖南)某商品销售量 y(件)与销售价格 x(元/件)负相关, 则其回归方程可能是( ) ^ ^ A.y=-10x+200 B.y=10x+200 ^ ^ C.y=-10x-200 D.y=10x-200 6.已知 x,y 的取值如下表所示: x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 6.7 ^ 从散点图分析,y 与 x 线性相关,且y=0.95x+a,则 a=__________. 7.甲、乙两同学各自独立地考察两个变量 x,y 的线性相关关系时,发现两人对 x 的观

察数据的平均值相等,都是 s,对 y 的观察数据的平均值也相等,都是 t,各自求出的回归直 线分别是 l1,l2,则直线 l1 与 l2 必经过同一点____________________________________. 8.(2010 广东文改编)某市居民 2005—2009 年家庭年平均收入(单位:万元)与年平均支 出(单位:万元)的统计资料如下表所示: 2005 2006 2007 2008 2009 年份 11.5 12.1 13 13.3 15 收入 x 6.8 8.8 9.8 10 12 支出 y 根据统计资料,居民家庭年平均收入的中位数是_________________________________, 家庭年平均收入与年平均支出有线性相关关系,其线性回归方程为__________. 9.已知三点(3,10),(7,20),(11,24)的横坐标 x 与纵坐标 y 具有线性关系,则其线性回归 方程是________________. 10.某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局 与某医院抄录了 1—6 月份每月 10 号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资 料: 1 月 10 2月 3月 4月 5月 6月 日 期 日 10 日 10 日 10 日 10 日 10 日 10 11 13 12 8 6 昼夜温差 x(℃) 22 25 29 26 16 12 就诊人数 y(人) 该兴趣小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取 2 组,用剩下的 4 组数据求线性 回归方程,再用被选取的 2 组数据进行检验. (1)求选取的 2 组数据恰好是相邻两个月的概率; (2)若选取的是 1 月与 6 月的两组数据,请根据 2—5 月份的数据,求出 y 关于 x 的线性 回归方程; (3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 人,则认为 得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?

11.(2011 年安徽)某地最近十年粮食需求量逐年上升,下表是部分统计数据: 2002 2004 2006 2008 2010 年份 236 246 257 276 286 需求量(万吨) ^ ^ ^ (1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y=bx+a; (2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地 2012 年的粮食需求量.

12.(2010 年广东惠州调研)为了对 2006 年佛山市中考成绩进行分析,在 60 分以上的全 体同学中随机抽出 8 位,他们的数学(已折算为百分制)、物理、化学分数对应如下表: 1 2 3 4 5 6 7 8 学生编号 60 65 70 75 80 85 90 95 数学分数 x 72 77 80 84 88 90 93 95 物理分数 y 67 72 76 80 84 87 90 92 化学分数 z (1)若规定 85 分(包括 85 分)以上为优秀,求这 8 位同学中数学和化学分数均为优秀的概 率; (2)用变量 y 与 x,z 与 x 的相关系数说明物理与数学、化学与数学的相关程度; (3)求 y 与 x,z 与 x 的线性回归方程(系数精确到 0.01),并用相关指数比较所求回归模型 的效果. 参考数据: x =77.5, y =85, z =81, ??xi- x )2≈1 050, ??yi- y )2≈456, ??zi
i=1 i=1 i=1 8 8 8 ^ - z )2≈550, ??xi- x )(yi- y )≈688, ??xi- x )(zi- z )≈755, ??yi-yi)2≈7, i=1 i=1 i=1 8 8 8

i=1

zi)2≈94, 1 050≈32.4, 456≈21.4, 550≈23.5. ??zi-^

8

第3讲

回归分析与独立性检验

1.考察黄烟经过培养液处理是否跟发生青花病有关系,调查了 457 株黄烟,得到下表中 数据: 培养液处理 未处理 合计 25 210 235 青花病 80 142 222 无青花病 105 352 457 合计 根据表中数据可知 K2=( ) A.40.682 B.31.64 C.45.331 D.41.61 2. 两个变量 y 和 x 进行回归分析, 得到一组样本数据: (x1, y1), (x2, y2), ?, (xn, yn). 则 下列说法中不正确的是( ) ^ ^ ^ - - A.由样本数据得到的回归方程y=bx+a必过样本中心( x , y ) B.线性相关系数 r 越大,两个变量的线性相关性越强;反之,线性相关性越弱 C.用相关指数 R2 来刻画回归效果,R2 越大,说明模型的拟合效果越好 D.若变量 y 和 x 之间的相关系数为 r=-0.9362,则变量 y 和 x 之间具有线性相关关系 3.独立性检验中,假设 H0:变量 X 与变量 Y 没有关系.则在 H0 成立的情况下,估算概 率 P(K2≥6.635)≈0.01 表示的意义是( )

A.变量 X 与变量 Y 有关系的概率为 1% B.变量 X 与变量 Y 有关系的概率为 99% C.变量 X 与变量 Y 没有关系的概率为 99% D.变量 X 与变量 Y 没有关系的概率为 99.9% 4.(2010 年宁夏银川)下表是某厂 1—4 月份用水量(单位:百吨)的一组数据: 1 2 3 4 月份 x 4.5 4 3 2.5 用水量 y ^ 由散点图可知,用水量与月份之间有较好的线性相关关系,其线性回归方程式y=-0.7x +a,则 a 等于( ) A.10.5 B.5.15 C.5.2 D.5.25 5.利用独立性检验来考虑两个分类变量 X 和 Y 是否有关系时,通过查阅下表来确定断 言“X 和 Y 有关系”的可信度.如果 K2=6.23,那么就有把握认为“X 和 Y 有关系”的百分 比为( ) P(K2>k) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0.70 k 0.455 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.635 7.879 10.83 8 A.90% B.95.5% C.97.5% D.99% 6.为了了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系,某研究机构随机选取了 60 名高 中生,通过问卷调查,得到以下数据: 作文成绩优秀 作文成绩一般 合计 22 10 32 课外阅读量较大 8 20 28 课外阅读量一般 30 30 60 合计 2 由以上数据,计算得出 K =9.643.根据临界值表,以下说法正确的是( ) A.没有充足的理由认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关 B.有 0.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关 C.有 99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关 D.有 99.9%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关 7.在求两个变量 x 和 y 的线性回归方程过程中,计算得 ?xi=25,?yi=250,?xi2=145,
i=1 i=1 i=1 5 5 5

i=1

? xiyi=1 380,则该回归方程是__________________________. ?xiyi-n x y
x2 i -n i=1
n

5

^ 参考公式:b=

i=1

?

n

. x
2

8.(2011 年广东珠海综合测试)调查某养殖场某段时间内幼崽出生的时间与性别的关系, 得到下面的数据表: 晚上 白天 20 10 雄性 9 21 雌性 从中可以得出幼崽出生的时间与性别有关系的把握有____. n?ad-bc?2 参考公式:K2= ,其中 n=a+b+c+d. ?a+b??c+d??a+c??b+d? P(K2≥k0) 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010

k0 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 9.某服装商场为了了解毛衣的月销售量 y(件)与月平均气温 x(℃)之间的关系, 随机统计了 某 4 个月的月销售量与当月平均气温,其数据如下表: 17 13 8 2 月平均气温 x(℃) 24 33 40 55 月销售量 y(件) ^ 由表中数据算出线性回归方程y=bx+a 中的 b≈-2.气象部门预测下个月的平均气温约 为 6℃,据此估计,该商场下个月毛衣的销售量约为_________件.
i=1

-- ?xi-yi-n x y
2 ?x2 i =nx x n

n

参考公式:b=

- - ,a= y -b x . -

i=1

10.某电脑公司有 6 名产品推销员,其工作年限与年推销金额的数据如下表: 1 2 3 4 5 推销员编号 3 5 6 7 9 工作年限 x/年 2 3 3 4 5 推销金额 y/万元 (1)以工作年限为自变量 x,推销金额为因变量 y,作出散点图; (2)求年推销金额 y 关于工作年限 x 的线性回归方程; (3)若第 6 名推销员的工作年限为 11 年,试估计他的推销金额.

11. 某企业有两个分厂生产某种零件, 按规定内径尺寸(单位: mm)的值落在(29.94,30.06) 的零件为优质品.从两个分厂生产的零件中各抽出 500 件,量其内径尺寸,结果如下表: 甲厂 [29.86, [29.90, [29.94, [29.98, [30.02, [30.06, [30.10, 分组 29.90) 29.94) 29.98) 30.02) 30.06) 30.10) 30.14) 12 63 86 182 92 61 4 频数 乙厂 [29.86, [29.90, [29.94, [29.98, [30.02, [30.06, [30.10, 29.90) 29.94) 29.98) 30.02) 30.06) 30.10) 30.14) 29 71 85 159 76 62 18 频数 (1)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率; (2)由以上统计数据填下面 2×2 列联表,并问是否有 99%的把握认为“两个分厂生产的 零件的质量有差异”. 分组

甲 厂 优质品 非优质品 合计 n ? ad - bc ?2 附:K2= ?a+d??c+d??a+c??b+d?

乙 厂

合计

12.对 196 个接受心脏搭桥手术的病人和 196 个接受血管清障手术的病人进行了 3 年的 跟踪研究,调查他们是否又发作过心脏病,调查结果如下表所示: 又发作过心脏病 未发作过心脏病 合计 39 157 196 心脏搭桥手术 29 167 196 血管清障手术 68 324 392 合计 试利用独立性检验判断这两种手术对病人是否发作心脏病有关,有多大把握认为两者有 关?

专题六

概率与统计

1.随机抽取某中学甲乙两班各 6 名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的 茎叶图如图 K6-1.则甲班样本数据的众数和乙班样本数据的中位数分别是( )

图 K6-1 A.170,170 B.171,171 C.171,170 D.170,172 2.样本中共有五个个体,其值分别为 a,0,1,2,3,若该样本的平均值为 1,则样本方差为 ( ) 6 6 A. B. C.2 D. 2 5 5 3.有一个容量为 200 的样本,其频率分布直方图如图 K6-2 所示,根据样本的频率分 布直方图估计,样本数据落在区间[10,12)内的频数为( )

图 K6-2 A.18 B.36 C.54 D.72 4.将一枚骰子抛掷两次,若先后出现的点数分别为 b,c,则方程 x2+bx+c=0 有实根 的概率为( ) 19 1 5 17 A. B. C. D. 36 2 9 36 5.某工厂生产 A,B,C 三种不同型号的产品,产品数量之比依次为 2∶3∶5,现用分 层抽样方法,抽出一个容量为 n 的样本,样本中 A 型号的产品有 16 件,那么此样本的容量 n 等于( ) A.100 B.200 C.90 D.80 6.已知 Ω={(x,y)|x+y≤6,x≥0,y≥0},A={(x,y)|x≤4,y≥0,x-2y≥0},若向 区域 Ω 上随机投一点 P,则 P 点落入区域 A 的概率为( ) 1 2 1 2 A. B. C. D. 3 3 9 9 7.(2011 年湖北)某市有大型超市 200 家、中型超市 400 家、小型超市 1 400 家.为掌握 各类超市的营业情况,现按分层抽样方法抽取一个容量为 100 的样本,应抽取中型超市 ________家. 8.为了了解 1 200 名学生对学校某项教改试验的意见,打算从中抽取一个容量为 40 的 样考虑用系统抽样,则分段的间隔 k 为______________. 9.某公司的广告费支出 x 与销售额 y(单位:万元)之间有下列对应数据:由资料显示 y 对 x 呈线性相关关系. x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 ^ 根据上表提供的数据得到回归方程y=bx+a 中的 b=________,预测销售额为 115 万元 时约需________万元广告费. 参考公式: -- ?x y -n x y ? ? - -? ?回归方程为^ y=bx+a,其中b= ,a= y -b x . ? ? ?x =n ? ?
n i=1 i i n i=1 2 i 2

10.(2011 届广东惠州调研)惠州某中学高三(16)班男同学有 45 名,女同学有 15 名,老 师按照分层抽样的方法组建了一个 4 人的课外兴趣小组. (1)求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数; (2)经过一个月的学习、讨论,这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验,方法是先从 小组里选出 1 名同学做实验,该同学做完后,再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验, 求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率; (3)试验结束后,第一次做试验的同学 A 得到的试验数据为 68,70,71,72,74,第二次做试

验的同学 B 得到的试验数据为 69,70,70,72,74,请问哪位同学的实验更稳定?并说明理由.

11. “根据 《中华人民共和国道路交通安全法》 规定: 车辆驾驶员血液酒精浓度在 20—80 mg/100 mL(不含 80)之间,属于酒后驾车,血液酒精浓度在 80 mg/100 mL(含 80)以上时,属 醉酒驾车.” 2011 年 8 月 15 日晚 8 时开始某市交警一队在该市一交通岗前设点对过往的车辆进行抽 查,经过两个小时共查出酒后驾车者 60 名,图 K6-3 是用酒精测试仪对这 60 名酒后驾车者 血液中酒精浓度进行检测后依所得结果画出的频率分布直方图. (1)求这 60 名酒后驾车者中属醉酒驾车的人数(图 K6-3 中每组包括左端点, 不包括右端 点);

图 K6-3

(2)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表,图 K6-4 的程序框图是对 这 60 名酒后驾车者血液的酒精浓度做进一步的统计,求出图 2 输出的 S 值,并说明 S 的统 计意义(图 K6-4 中数据 mi 与 fi 分别表示图 K6-3 中各组的组中值及频率); (3)本次行动中,吴、李两位先生都被酒精测试仪测得酒精浓度在 70 mg/100 ml(含 70)以 上,但他俩坚称没喝那么多,是测试仪不准,交警大队陈队长决定在被酒精测试仪测得酒精 浓度在 70 mg/100 ml(含 70)以上的酒后驾车者中随机抽出 2 人抽血检验,求吴、李两位先生 至少有 1 人被抽中的概率.

图 K6-4

12.某学校课题组为了研究学生的数学成绩与物理成绩之间的关系,随机抽取高二年级 20 名学生某次考试成绩(满分 100 分)如下表所示: 序号 数学 成绩 物理 成绩 1 95 2 75 3 80 4 94 5 92 6 65 7 67 8 84 9 98 10 71 11 67 12 93 13 64 14 78 15 77 16 90 17 57 18 83 19 72 20 83

90

63

72

87

91

71

58

82

93

81

77

82

48

85

69

91

61

84

78

86

若单科成绩 85 分以上(含 85 分),则该科成绩为优秀. (1)根据上表完成下面的 2×2 列联表(单位:人): 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 物理成绩优秀 物理成绩不优秀 20 合计 (2)根据题(1)中表格的数据计算,有多大的把握,认为学生的数学成绩与物理成绩之间有 关系? (3)若从这 20 个人中抽出 1 人来了解有关情况,求抽到的学生数学成绩与物理成绩至少 有一门不优秀的概率. 参考数据: ①假设有两个分类变量 X 和 Y,它们的值域分别为{x1,x2})和{y1,y2}),其样本频数列 联表(称为 2×2 列联表)为: y1 y2 合计 x1 a b a+b x2 c d c+d 合计 a+c b+d a+b+c+d 2 n ? ad - bc ? 则随机变量 K2= , ?a+b??c+d??a+c??b+d? 其中 n=a+b+c+d 为样本容量; ②独立检验随机变量 K2 的临界值参考表: P(K2 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 ≥k0) 10.82 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 8

第十六章
第1讲

算法初步

程序框图及简单的算法案例

1.(2011 年北京)执行如图 K16-1-1 所示的程序框图,若输入 A 的值为 2,则输出的 P 值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5

图 K16-1-1

图 K16-1-2

2.(2011 年福建)阅读如图 K16-1-2 所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果 ) A.3 B.11 C.38 D.123 3. 在图 K16-1-3 的程序框图中, 函数 f′n(x)表示函数 fn(x)的导函数. 若输入函数 f1(x) =sinx-cosx,则输出的函数 fn(x)可化为( ) 是(

图 K16-1-3 π π ? ? ? ? π? ? π? A. 2sin? ?x-4? B.- 2sin?x-4? C. 2sin?x+4? D.- 2sin?x+4? 4.用秦九韶算法计算多项式 f(x)=12+35x-8x2+6x4+5x5+3x6 在 x=-4 的值时,V3 的值为( ) A.-144 B.-136 C.-57 D.34 5.(2011 年深中、广雅、华附、省实四校联考)图 K16-1-4 是把二进制数 11 111(2)化成 十进制数的一个程序框图,则判断框内应填入的条件是( )

图 K16-1-4

A.i≤4 B.i≤5 C.i>4 D.i>5 6. (2011 年天津)阅读程序框图(如图 K16-1-5), 运行相应的程序, 则输出 i 的值为(

)

图 K16-1-5 A.3 B.4 C.5 D.6 7.(2011 年全国)执行下面的程序框图(图 K16-1-6),如果输入的 N 是 6,那么输出的 p 是( ) A.120 B.720 C.1 440 D.5 040

图 K16-1-6 图 K16-1-7 8.(2011 年湖南)若执行如图 K16-1-7 所示的框图,输入 x1=1,x2=2,x3=4,x4=8, 则输出的数等于______. - 9.(2011 年湖南)若执行如图 K16-1-8 所示的框图,输入 x1=1,x2=2,x3=3, x =2, 则输出的数等于________.

图 K16-1-8

10.若执行如图 K16-1-9 所示的框图,则输出的数等于 ________.

图 K16-1-9 11.(2011 年浙江)若执行如图 K16-1-10 所示的框图,则输出的数等于________.

图 K16-1-10

12.(2011 年安徽合肥模拟)如图 K16-1-11 所示,输出的 n 为(

)

图 K16-1-11 A.10 B.11 C.12 D.13

第十七章
第1讲

复数

复数的概念及运算

1 1.(2011 年四川)复数-i+ =( ) i 1 A.-2i B. i C.0 D.2i 2 2.(2011 年广东广州调研)已知 i 为虚数单位,则复数 i(1+i)的模等于( ) 1 2 A. B. C. 2 D.2 2 2 3.(2011 年福建)i 是虚数单位,若集合 S={-1,0,1},则( ) 2 A.i∈S B.i2∈S C.i3∈S D. ∈S i 1-3i 4.(2011 年天津)i 是虚数单位,复数 =( ) 1-i A.2+i B.2-i C.-1+2i D.-1-2i i2+i3+i4 5.(2011 年重庆)复数 =( ) 1-i 1 1 1 1 A.- - i B.- + i 2 2 2 2 1 1 1 1 C. - i D. + i 2 2 2 2 2+i 6.(2011 年全国)复数 的共轭复数是( ) 1-2i 3 3 A.- i B. i C.-i D.i 5 5 7.若复数(a2-3a+2)+(a-1)i 是纯虚数,则实数 a 的值为( ) A.1 B.2 C.1 或 2 D.-1 8.(2011 年江西)若(x-i)i=y+2i,x,y∈R,则复数 x+yi=( ) A.-2+i B.2+i C.1-2i D.1+2i 9.(2011 年黑龙江双鸭山一模)如果一个复数的实部和虚部相等,则称这个复数为“等部 复数”,若复数 z=(1+ai)i 为“等部复数”则实数 a 的值为________. 10.(2011 年广东)设复数 z 满足(1+i)z=2,其中 i 为虚数单位,则 z=( ) A.1+i B.1-i C.2+2i D.2-2i 1+ai 11.(2011 年安徽)设 i 是虚数单位,复数 为纯虚数,则实数 a 为( ) 2-i 1 1 A.2 B.-2 C.- D. 2 2 12. (2011 年上海)已知复数 z1 满足(z1-2)(1+i)=1-i(i 为虚数单位), 复数 z2 的虚部为 2, z1· z2 是实数,则 z2=_______________________________________.

第十八章
第1讲

选考内容

几何证明选讲

1. 如图 K18-1-1, AB∥EF∥CD, 已知 AB=10, CD=40, BC=30, 则 EF 的值为( A.5 B.6 C.7 D.8

)

图 K18-1-1 图 K18-1-2 2.如图 K18-1-2,圆 O 的直径 AB=6,C 为圆周上一点,BC=3.过 C 作圆的切线 l, 过 A 作 l 的垂线 AD,AD 分别与直线 l、圆交于点 D,E,则∠DAC=______,线段 AE 的长 为______. 3.如图 K18-1-3,点 P 为⊙O 的弦 AB 上一点,且 AP=9,BP=4,连接 OP,作 PC ⊥OP 交圆于 C,则 PC 的长为( ) A.4 B.6 C.8 D.9

图 K18-1-3 图 K18-1-4 4. (2011 年广东)如图 K18-1-4, 过圆 O 外一点 P 分别作圆的切线和割线交圆于 A, B, 且 PB=7,C 是圆上一点使得 BC=5,又∠BAC=∠APB,则 AB=__________. 5.如图 K18-1-5,⊙O 和⊙O′都经过 A,B 两点,AC 是⊙O′的切线,交⊙O 于点 C,AD 是⊙O 的切线,交⊙O′于点 D,若 BC=2,BD=6,则 AB 的长为__________.

图 K18-1-5 图 K18-1-6 6. (2010 年陕西)如图 K18-1-6, 已知 Rt△ABC 的两条直角边 AC, BC 的长分别为 3 cm,4 cm,以 AC 为直径的圆与 AB 交于点 D,则 BD=________cm. 7.(2011 年湖南)如图 K18-1-7,A,E 是半圆周上的两个三等分点,直径 BC=4,AD ⊥BC,垂足为 D,BE 与 AD 相交与点 F,则 AF 的长为____________.

图 K18-1-7 图 K18-1-8 8.(2010 年广东)如图 K18-1-8,AB,CD 是半径为 a 的圆 O 的两条弦,它们相交于 2a AB 的中点 P,PD= ,∠OAP=30° ,则 CP=______. 3 9.如图 K18-1-9,AC 为⊙O 的直径,弦 BD⊥AC 交于点 P,PC=1,PA=4,则 sin

∠ABD 的值为____________.

图 K18-1-9

10.如图 K18-1-10,已知 P 是⊙O 外一点,PD 为⊙O 的切线,D 为切点,割线 PEF 经过圆心 O,若 PF=12,PD=4 3,则∠EFD 的度数为________.

图 K18-1-10 图 K18-1-11 11.(2011 年天津)如图 K18-1-11,已知圆中两条弦 AB 与 CD 相交于点 F,E 是 AB 延 长线上一点,且 DF=CF= 2,AF∶FB∶BE=4∶2∶1,若 CE 与圆相切,则线段 CE 的长 为__________. 12.(2011 年山东)如图 K18-1-12,∠B=∠D,AE⊥BC,∠ACD=90° ,且 AB=6, AC=4,AD=12,则 BE=____________________________________________.

图 K18-1-12

第2讲

极坐标与参数方程

1.(2011 年北京)在极坐标系中,圆 ρ=-2sinθ 的圆心的极坐标是( ) π π ? ? ? A.? ?1,2? B.?1,-2? C.(1,0) D.(1,π) ? ?x=-2+5t, 2.曲线? (t 为参数)与坐标轴的交点是( ) ?y=1-2t ? 2? ?1 ? ? 1? ?1 ? A.? ?0,5?,?2,0? B.?0,5?,?2,0? 5? C.(0,-4),(8,0) D.? ?0,9?,(8,0) 3.(2010 年北京)极坐标方程(p-1)(θ-π)=0(p≥0)表示的图形是( ) A.两个圆 B.两条直线 C.一个圆和一条射线 D.一条直线和一条射线 4.(2010 年广东)在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ≤2π)中,曲线 ρ(cosθ+sinθ)=1 与 ρ(sinθ-cosθ) =1 的交点的极坐标为________. ? ?x=cosα, 5.(2010 年陕西)已知圆 C 的参数方程为? (a 为参数).以原点为极点,x 轴正 ?y=1+sinα ? 半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ρsinθ=1,则直线 l 与圆 C 的交点的直角 坐标系为________________. 6.(2010 年广东)在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,曲线 ρ=2sinθ 与 ρcosθ=-1 的交点的 极坐标为____________. ? ?x=5cosφ, 7.(2011 年江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆? (φ 为参数)的右焦点且 ?y=3sinφ ?
?x=4-2t, ? 与直线? (t 为参数)平行的直线的普通方程为______________. ? ?y=3-t ?x=1+t, ? 8.设直线 l1 的参数方程为? (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为 ?y=a+3t ? 极轴建立极坐标系得另一直线 l1 的方程为 ρsinθ-3ρcosθ+4=0,若直线 l1 与 l2 间的距离为 10,则实数 a 的值为______________. 9.(2011 年陕西)直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标 ?x=3+cosθ, ? 系,设点 A,B 分别在曲线 C1:? (θ 为参数)和曲线 C2:ρ=1 上,则|AB|的最小 ?y=4+sinθ ? 值为________________.
2 ? ?x=8t , 10.(2011 年天津)已知抛物线 C 的参数方程为? ?y=8t ?

(t 为参数).若斜率为 1 的直线经过抛物线 C 的焦点,且与圆(x-4)2+y2=r2(r>0)相切, 则 r=__________.

?x=2cosα, 11. (2011 年湖南)在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1 的参数方程为? (α 为参数). 在 ?y= 3sinα 极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴) 中,曲线 C2 的方程为 ρ(cosθ-sinθ)+1=0,则 C1 与 C2 的交点个数为________. π? 12.(2011 年广东广州测试)设点 A 的极坐标为? ?2,6?,直线 l 过点 A 且与极轴所成的角 π 为 ,则直线 l 的极坐标方程为________________. 3


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