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高中数学北师大版必修4配套课件:1-7-1《正切函数的定义》2 正切函数的图像与性质


§7 正切函数 7.1 正切函数的定义 7.2 正切函数的图像与性质 1. 了解任意角的正切函数概念. 2. 能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像. 3. 根据正切函数的图像熟练推导出正切函数的性质. 4. 能熟练掌握正切函数的图像与性质. 常见的三角函数除正弦函数、余弦函数外还有正切 函数,在前两次课中,我们学习了任意角的正、余弦函 数,并借助于它们的图像研究了它们的性质. 今天我们类比正弦、余弦函数的学习方法,在直角 坐标系内学习任意角的正切函数 . 一、正切函数的定义 在直角坐标系中, 如果角α 满足:α ∈R, p α ≠ +kπ (k∈Z),那么, 2 y P(a,b) α x O M x(1,0) 角α 的终边与单位圆交于点P (a,b),唯一确定比值 b a . 1、正切函数的定义 根据函数定义,比值 b a 是角α 的函数, 我们把它叫作角α 的正切函数,记作y=tanα , p 其中α ∈R,α ≠ +kπ ,k∈Z. 2 比较正、余弦和正切的定义,不难看出: tanα = sin a (α ∈R,α ≠kπ + cos a p ,k∈Z). 2 由此可知,正弦、余弦、正切都是以角为自变 量,以比值为函数值的函数,我们统称为三角函数. 2、正切线 如右图,单位圆与x轴 正半轴的交点为A(1 ,0), 任意角α 的终边与单位圆 交于点P,过点A(1 ,0)作 x轴的垂线,与角的终边或 终边的延长线相交于T点. 从图中可以看出: 当角α 位于第一和第三象限时,T点位于x轴的上方; 当角α 位于第二和第四象限时,T点位于x轴的下方. 不论角α的终边在第几象限,都有? MOP 有向线段AT为角α的正切线. ? AOT , 使得角α的正切值与有向线段AT的值相等.因此,我们称 3、正切函数的周期 由于 tan ( x + k p ) = sin ( x + k p ) cos ( x + k p ) = sin x 骣 = tan x ?x 喂R, 且x k p + p , k ? z÷ ÷ ? cos x ÷ ? 桫 2 所以 k p (k 喂 Z, k 0) 是正切函数的周期. p 是它的最小正周期. 思考探究 1.想一想正弦函数是如何借助其正弦线做出的图像? 2.我们能否借助正切线做出正切函数的图像?如何做? 二、正切函数的图像与性质 1、正切函数的图像 作法如下: (1)作直角坐标系,并在直 角坐标系y轴左侧作单位圆. (2)找横坐标 (把x轴上 到 p ? Y p 2 这一段分 ? p ? 2 O 成8等份) (3)在单位圆右半圆中作出 正切线. (4)平移. (5)连线. p ? X 1、正切函数的图像 ? 3p 2 p ? 2 p ? 3p 2 2、正切函数的性质 y ? 3p 2 ? p 2 p ? 3p 2 o x 禳 p 镲 x| x? kp , k ? Z (1)定义域 睚 镲 2 镲 铪 全体实数R (2)值域 (3)周期性 Q tan( x + p ) = tan x 正切函数是周期 p 函数,T= . \ (4)奇偶性 Q tan(- x) = tan x ∴正切函数是奇函数,正切曲线关于原点O对称. (5)单调性 骣p p ? - + kp , + kp ÷ , k ? Z 上是增加的. 正切函数在开区间? ÷ ÷ ? 桫2 2 p 例1求函数 y ? tan( x ? )

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