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四川省成都七中2012-2013学年高三“零诊”考试数学文 试题 Word版含答案


一、 选择题(本大题共 12 小题, 每小题 5 分,共 60 分.在每小题的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的,请将正确选项填涂在答题卡上)

1.已知集合 A ? {x ? R | x 2 ? 4 x ? 12 ? 0}, B ? {x ? R | x ? 2} ,则 A ? (CR B ) =(
A. {x | x ? 6} B. {x | ?2 ? x ? 2} C. {x | x ? ?2} D. {x | 2 ? x ? 6} )



2.已知实数 a , b ? R ? , a ? b ? 1, M ? 2a ? 2b ,则 M 的最小值为( A. 2 2 B. 2 C. 4
,那么

D. 1

3.设角 ? 的终边经过点 A. B.

C.

D.

4.右图的矩形,长为 5 ,宽为 2 ,在矩形内随机地撒 300 颗黄豆,数得落在阴影部分的黄 豆数为 138 颗,由此我们可以估计出阴影部分的面积约( ) A.

16 5

B.

21 5

C.

23 5

D.

19 5

5.要从 60 人中抽取 6 人进行身体健康检查,现釆用分层抽样方法进行抽取,若这 60 人 中老年人和中年人分别是 40 人,20 人, 则老年人中被抽取到参加健康检查的人数是 ( )

A.2 人
为(

B.3 人

C. 4 人

D. 5 人

6.一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积 )

A.

?4 ? ? ?
3

3

B. ?4 ? ? ? 3

C.

?8 ? ? ?
2

3

D.


?8 ? ? ?
6

3

7.在下列结论中,正确的结论为(

(1)“ p ? q ”为真是“ p ? q ”为真的充分不必要条件 (2)“ p ? q ”为假是“ p ? q ”为真的充分不必要条件 (3)“ p ? q ”为真是“ ?p ”为假的必要不充分条件 (4)“ ?p ”为真是“ p ? q ”为假的必要不充分条件

A.(1)(2)

B.(1)(3)

C.(2)(4)

D.(3)(4)

8.设 a, b, c 是空间三条直线, ? , ? 是空间两个平面,则下列命题中,逆命题不正确的
是( ) A.当 c ? ? 时,若 c ? ? ,则 ? // ? B.当 b ? ? 时,若 b ? ? ,则 ? ? ? C.当 b ? ? , a ? ? 且 c 是 a 在 ? 内的射影时,若 b ? c ,则 a ? b D.当 b ? ? 且 c ? ? 时,若 c // ? ,则 b // c ??? ??? ??? ? ? ? ? ??? ???? ? ??? ? 9. 已知 ?ABC 平面内一点 P 满足 PA ? PB ? PC ? 0 ,若实数 ? 满足: AB ? AC ? ? AP , 则 ? 的值为( )

A. 6

B. 3

C. 2

D.

3 2

? x ? ?1 ? 2 cos ? 10. 已知直线 l:3x+4y-12=0 与圆 C: ? (θ 为参数)的位置关系是 ) ( ? y ? 2 ? 2sin ?
A.相切 B.相离 C.相交但直线不过圆心 D. 直线过圆心

11.如图所示,F1 和 F2 分别是双曲线

x2 y2 ? ? 1 ?a ? 0,b ? 0 ? 的 a2 b2

两个焦点,A 和 B 是以 O 为圆心,|OF1|为半径的圆与该双曲线 左支的两个交点,且△ 2AB 是等边三角形,则离心率为( F ) A. 5 ? 1 B.

3 ?1 2

C. 3 ? 1

D.

5 ?1 2

12.已知函数 f ( x) ? x 2 ? (b ? 4 ? a 2 ) x ? 2a ? b 是偶函数,则函数图像与 y 轴交点的纵 坐标的最大值是( A.- 4 B. 2 ).

C.3

D.4

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把 正确答案填在答题卡中的横线上)

13、如图所示,程序框图(算法流程图)的输出值 x ? _______.
14.从抛物线 y 2 ? 4 x 上一点 P 引抛物线准线的垂线, 垂足为 M ,且 PM ? 5 ,设抛物线的焦点为 F , 则 cos ?MPF = 15.已知函数 f ( x ) ? .

1 1 3 x ? sin x ? cos x 的图像 2 4 4
.

在点 A( x0 , y0 ) 处的切线斜率为 1 ,则 tan x0 =
16.具有相同定义域 D 的函数 和, 和 ,若对任意的 在 D 上是 的四组函数:

,都有 ,则称 “密切函数”.给出定义域均为 ① ② ③ ④ 其中,函数 与

在 D 上为“密切函数”的是_______.

三、解答题(6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.在△ABC 中,角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,且 1 ? (Ⅰ)求角 A;
tan A 2c . ? tan B b

(Ⅱ)若 m ? (0, ?1) ,n ? cos B, 2cos 2 C ,试求|m ? n|的最小值. 2

?

?

18.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 底面 ABCD , AB ? AD , AC ? CD , ?ABC ? 60? PA ? AB ? BC , E 是 PC 的中点. (Ⅰ)证明: CD ? AE ; (Ⅱ)证明: PD ? 平面 ABE ; (Ⅲ)求二面角 A ? PD ? C 的正切值.

19. 公安部发布酒后驾驶处罚的新规定(一次性扣罚 12 分)已于 2011 年 4 月 1 日起 正式施行.酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次:“酒后驾车”和“醉酒驾车”,其检测 标准是驾驶人员血液中的酒精含量 Q (简称血酒含量,单位是毫克/100 毫升),当

20 ? Q ? 80 时,为酒后驾车;当 Q ? 80 时,为醉酒驾车.某市公安局交通管理部门在某
路段的一次拦查行动中,依法检查了 200 辆机动车驾驶员的血酒含量(如下表). 依据上述材料回答下列问题: (Ⅰ)分别写出酒后违法驾车发生的频率和酒后违法驾车中醉酒驾车的频率; (Ⅱ)从酒后违法驾车的司机中,抽取 2 人,请一一列举出所有的抽取结果,并求取 到的 2 人中含有醉酒驾车的概率. (酒后驾车的人用大写字母如 A, B, C , D 表示,醉酒驾 车的人用小写字母如 a, b, c, d 表示)

血酒含量 人数

(0,20) 194

[20,40) 1

[40,60) [60,80) [80,100) 2 1 1

[100, 120] 1

20.已知等差数列 a n 和等比数列 ?bn ?满足: a1 ? b1 ? 1, a 2 ? b2 ? 1, a5 ? b3 ,设

? ?

c n ? a n ? bn ,(其中 n ? N )。求数列 ?c n ? 的通项公式以及前 n 项和 S n 。

21.已知圆 C1 的方程为 x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1 ,定直线 l 的方程为 y ? ?1 .动圆 C 与圆 C1 外切, 且与直线 l 相切. (Ⅰ )求动圆圆心 C 的轨迹 M 的方程; (II)直线 l ? 与轨迹 M 相切于第一象限的点 P,过点 P 作直线 l ? 的垂线恰好经过点 A(0, 6),并交轨迹 M 于相异的两点 P、Q,记 S 为 ? POQ(O 为坐标原点)的面积,求 S 的值.

22.

成都七中高 2013 届零诊文科数学模拟考试试题参考答案

(II)m ? n ? (cos B, 2 cos 2

C ? 1) ? (cos B, cos C ) , 2 2π 1 π ? B) ? 1 ? sin(2 B ? ) . 3 2 6

? |m ? n| 2 ? cos 2 B ? cos 2 C ? cos 2 B ? cos 2 (
∵A?

? π 2π 2π π π 7π ,∴ B ? C ? ,∴ B ? (0, ) ,且 B ? .从而 ? ? 2 B ? ? . 3 3 3 6 6 6 2 π π 1 ∴当 sin(2 B ? ) =1,即 B ? 时,|m ? n| 2 取得最小值 .??????(12 分) 6 3 2
18.(Ⅰ)证明:在四棱锥 P ? ABCD 中,因 PA ? 底面 ABCD ,CD ? 平面 ABCD , 故 PA ? CD . ∵ AC ? CD,PA ? AC ? A ,∴ CD ? 平面 PAC . 而 AE ? 平面 PAC ,∴ CD ? AE .????????????????(4 分) (Ⅱ)证明:由 PA ? AB ? BC , ?ABC ? 60° ,可得 AC ? PA . ∵ E 是 PC 的中点,∴ AE ? PC . 由(Ⅰ)知, AE ? CD ,且 PC ? CD ? C ,所以 AE ? 平面 PCD . 而 PD ? 平面 PCD ,∴ AE ? PD . ∵ PA ? 底面 ABCD,PD 在底面 ABCD 内的射影是 AD , AB ? AD ,∴ AB ? PD . 又∵ AB ? AE ? A ,综上得 PD ? 平面 ABE .????????????(8 分)

所以二面角 A ? PD ? C 的正切值为 7 .??????????????(12 分)

解法二:由题设 PA ? 底面 ABCD , PA ? 平面 PAD ,则平面 PAD ? 平面 ACD ,交 线为 AD . 过点 C 作 CF ? AD ,垂足为 F ,故 CF ? 平面 PAD .过点 F 作 FM ? PD ,垂足为 M ,连结 CM ,故 CM ? PD .因此 ?CMP 是二面角 A ? PD ? C 的平面角. 由已知,可得 ?CAD ? 30° ,设 AC ? a , 可得 PA ? a,AD ?

2 3 21 1 3 a,PD ? a,CF ? a,FD ? a. 3 3 2 6
FM FD . ? PA PD
P
E A B F M D

∵△FMD ∽△PAD ,∴

3 aa · FD PA · 7 于是, FM ? ? 6 ? a. PD 14 21 a 3

C

1 a CF ? 2 ? 7. 在 Rt△CMF 中, tan CMF ? FM 7 a 14
所以二面角 A ? PD ? C 的正切值是 7 .

21 解:(Ⅰ )设动圆圆心 C 的坐标为 ( x, y ) ,动圆半径为 R, 则 | CC1 |?

y
Q F

x 2 ? ( y ? 2) 2 ? R ? 1 ,且 | y ? 1|? R

A
P

O B

A

x

可得

x 2 ? ( y ? 2) 2 ?| y ? 1| ?1 .............3 分

由于圆 C1 在直线 l 的上方,所以动圆 C 的圆心 C 应该在直线 l 的上方,所以有

y ?1 ? 0 ,

x 2 ? ( y ? 2) 2 ? y ? 2 ,整理得 x 2 ? 8 y ,即为动圆圆心 C 的轨迹 M 的方程..5


x0 2 x2 1 x (II) 如图示, 设点 P 的坐标为 ( x0 , 则 ....6 ) , y ? , y ? ? x, k l ? 0 , . . . . 8 4 8 4


k PQ ? ?


4 4 , 所以直线 PQ 的方程为 y ? ? x ? 6 . . . . . . . . . . . . 8 ............ x0 x0

22.解:(I)∵ f ?( x) ? 6 x 2 ? 6ax ? 6 x( x ? a) , 当 a=0 时, f ?( x) ? 6 x ≥0,于是 f (x) 在 R 上单调递增; 当 a>0 时,x∈(0,a), f ?( x) ? 0 ,得 f (x) 在(0,a)上单调递减; x∈(-∞,0)∪(a,+∞), f ?( x) ? 0 ,得 f (x) 在(-∞,0),(a,+∞)上单调递增; 当 a<0 时, x ? (a, 0) , f ?( x) ? 0 ,得 f (x) 在(0,a)上单调递减; x∈(-∞,a)∪(0,+∞), f ?( x) ? 0, f (x) 在(-∞,a),(0,+∞)上单调递增. 得

由题意得 x2-ax-3=0 有两非零实数根 x1,x2,则 x1+x2=a,x1x2=-3, 即 m 2 ? tm ? 1 ?| x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? a 2 ? 12 .∵ f (x)在[1,2]上是减函数, ∴ f ?( x) ? 6 x 2 ? 6ax ? 6 x( x ? a ) ≤0 在[1,2]上恒成立, 其中 x-a≤0 即 x≤a 在[1,2]上恒成立,∴ a≥2.∴
a 2 ? 12 ≥4.

假设存在实数 m 满足条件,则 m2+tm+1≤( a 2 ? 12 )min,即 m2+tm+1≤4,即 m2+tm-3≤0 在 t∈[-1,1]上恒成立,

?m 2 ? m ? 3 ? 0, ? ∴ ? 2 ?m ? m ? 3 ? 0, ?

解得

1 ? 13 13 ? 1 . ?m? 2 2

∴ 存在实数 m 满足条件,此时 m∈[

1? 13 13 ? 1 ]. , 2 2

???????14 分



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