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2.1.2 指数函数及其性质〈第二课时 指数函数的图象及其性质的应用〉


[随堂巩固] 1.函数 y=ax 2+3(a>0 且 a≠1)的图像必经过点(


)

A.(0,1) C.(2,3) 答案:D 2.函数 y=2x
+1

B.(1,1) D.(2,4)

的图像是图中的(

)

答案:B 1 3. 若函数 f(x)与 g(x)=( )x 的图像关于 y 轴对称, 则满足 f(x)>1 的 x 的取值范围是( 2 A.R C.(0,+∞)
x x 0

)

B.(-∞,0) D.(1,+∞)

解析:f(x)=2 ,由 2 >1=2 ,∴x>0. 答案:C 4.函数 f(x)=2|x|的单调递增区间是________,单调递减区间是________. 解析:∵|x|在[0,+∞)上单调增,在(-∞,0)上单调减,又 y=2u 是 R 上的增函数, ∴y=2|x|在[0,+∞)上增,在(-∞,0)上减. 答案:[0,+∞) (-∞,0) 5.若函数 f(x)= 1 +a 为奇函数,则 a=________. 3 x+ 1

解析:∵f(x)是定义在 R 上的奇函数. 由 f(0)= 1 +a=0, 30+1

1 ∴a=- . 2 1 答案:- 2 6.求函数 y=0.51 1+2 x-x +2x-x2 的定义域和值域. 解:定义域为 R,令-x2+2x+1=u, ∵1+2x-x2=-(x-1)2+2≤2, 而 y=0.5u 在 R 上是减函数,
2 1 ∴y=0.5 1+2 x-x ≥0.52= , 4 2

1 即值域为[ ,+∞). 4 [课时作业] 一、选择题 1.函数 f(x)=ax(a>0 且 a≠1)对于任意的实数 x,y 都有( A.f(xy)=f(x)f(y) C.f(x+y)=f(x)f(y)


)

B.f(xy)=f(x)+f(y) D.f(x+y)=f(x)+f(y)

解析:∵f(x)· f(y)=ax· ay=ax y=f(x+y). 答案:C
1 2

2.已知 a 4 >a 3 ,则 a 的取值范围是( A.a>1 1 2 C. <a< 4 3

)

B.0<a<1 2 D.a> 3

2 1 1 2 解析:对于函数 y=ax,由于 < ,要使 a 4 >a 3 ,说明 y=ax 是减函数,所以底数 a 满 4 3

足 0<a<1. 答案:B 3.已知 1>n>m>0,则指数函数①y=mx,②y=nx 的图像为( )

解析:由 0<m<n<1 可知①②应为两条递减曲线,故只可能是选项 C 或 D, 进而再判断①②与 n 和 m 的对应关系,判断方法很多,不妨选择特殊点,令 x=1,则 ①②对应的函数值分别为 m 和 n,由 m<n 知选 C. 答案:C 4.(2011· 庆安高一期末)设函数 f(x)定义在实数集上,它的图像关于直线 x=1 对称,且 当 x≥1 时,f(x)=3x-1,则有( 1 3 2 A.f( )<f( )<f( ) 3 2 3 2 1 3 C.f( )<f( )<f( ) 3 3 2 解析:x≥1 时,函数递增,且以 x=1 为轴. ∴自变量与 1 的差值的绝对值越大,函数值也越大. 答案:B 二、填空题 ) 2 3 1 B.f( )<f( )<f( ) 3 2 3 3 2 1 D.f( )<f( )<f( ) 2 3 3

1 - 5. (2011· 黄冈高一期末)函数 y=3x 的图像与函数 y=( )x 2 的图像关于________轴对称. 3 1 - - 解析:y=( )x 2=32 x 与 y=3x 关于直线 x=1 对称. 3 答案:x=1 6.若函数 f(x)= 2x2-a-1的定义域为 R,则 a 的取值范围是________.

解析:由题意知 2x2-a-1≥0,对任意 x∈R 恒成立, 即:2x2-a≥1 对任意 x∈R 恒成立,∴由指数函数的性质有 x2-a≥0 对任意 x∈R 恒 成立,∴a≤0. 答案:(-∞,0] 三、解答题 1 7.讨论 f(x)=( )x2-2x 的单调性. 3 解:∵函数 f(x)的定义域是 R,令 v=x2-2x, 1 则 f(v)=( )v, 3 ∴v=x2-2x=(x-1)2-1 在(-∞,1]是减函数. 1 f(v)=( )v 在其定义域内是减函数. 3 所以函数 f(x)在(-∞,1)内是增函数. 又∵v=x2-2x=(x-1)2-1 在[1,+∞)是增函数, ∴函数 f(x)在[1,+∞)上是减函数. 2x-1 8.求证:函数 y= x 是奇函数,且在定义域上是增函数. 2 +1 2x-1 2 证明:设 f(x)=y= x =1- x , 2 +1 2 +1 ∴函数 f(x)的定义域是 R. ∵f(-x)+f(x)=1- 2· 2x 2 =2- x - 2 +1 2x+1 2?2x+1? =2- x =2-2=0, 2 +1 即 f(-x)=-f(x), ∴f(x)是奇函数. 下面证明单调性: 任取 x1,x2∈R 且 x1<x2, 2 2 +1- x 2 +1 2 +1
-x

则 f(x1)-f(x2)=1- =

2 2 2 -(1- x ) 2 2 x 2+1 2 ?1 2 ?1
x1

2? 2 x1 ? 2 x2 ? 2 2 - = , x x 2 x2 ? 1 2 x2 ? 1 ? 2 1 ? 1?? 2 2 ? 1?
x x

∵x1<x2,∴ 0 ? 2 1 ? 2 2 , ∴ 2 1 -2
x x2

? 0 ,∴f(x1)-f(x2)<0,

∴f(x1)<f(x2), ∴f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.


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