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带答案 数学北师大版选修2-3计数原理原理练习题 第一章 5.2


5.2
一、基础过关

二项式系数的性质
( )

1. 已知(a+b)n 的二项展开式中只有第 5 项的二项式系数最大,则 n 等于 A.11 C.9 2. 已知? 于 A.4 C.6 B.5 D.7 B.10 D.8

? x+ 3 ?n 3 ? 展开式中,各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为 64,则 n 等 x? ?
( )

3. (x-1)11 展开式中 x 的偶次项系数之和是 A.-2 048 C.-1 024
2

(

)

B.-1 023 D.1 024 ( )

4. (1+x)+(1+x) +…+(1+x)n 的展开式中各项系数和为 A.2
n+1


B.2n-1 D.2n 1-2


C.2n 1-1

1?n 5. 若? ?x+x? 展开式的二项式系数之和为 64,则展开式的常数项为 A.10 C.30 B.20 D.120

(

)

6. (1+2x)n 的展开式中第 5 项与第 8 项的二项式系数相等,展开式中二项式系数最大的项 为第______项. 二、能力提升 7. 在?

? ?

1 5 1? ?n 的展开式中,所有奇数项系数之和为 1 024,则中间项系数是( + x x3? B.462 D.792

)

A.330 C.682

8. 如图,在由二项式系数所构成的杨辉三角中,第________行中从左到右第 14 与第 15 个数的比为 2∶3. 第0行 第1行 第2行 第3行 第4行 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1

1 4 6 4 1

第5行

1 5 10 10

5 1

9. 已知(1+2x)100=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a100(x-1)100,求 a1+a3+a5+…+a99 的 值. 10.已知(1+3x)n 的展开式中,末三项的二项式系数的和等于 121,求展开式中二项式系数 最大的项. 11.设(1-2x)2 013=a0+a1x+a2x2+…+a2 013· x2 013 (x∈R). (1)求 a0+a1+a2+…+a2 013 的值; (2)求 a1+a3+a5+…+a2 013 的值; (3)求|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2 013|的值. 三、探究与拓展 1?2n 3 12.已知( x+x2)2n 的展开式的系数和比(3x-1)n 的展开式的系数和大 992,求? ?2x-x? 的 展开式中: (1)二项式系数最大的项; (2)系数的绝对值最大的项.

答案
1.D 8.34 9.解 令 x=2,可以得到 5100=a0+a1+a2+…+a100, 令 x=0,可以得到 1=a0-a1+a2-…+a100, 由①②得 a1+a3+a5+…+a99 1 = (5100-1). 2
n 1 n 2 10.解 由题意知,Cn n+Cn +Cn =121,
- -

2.C 3.C

4.D 5.B

6.6、7 7.B

① ②

1 2 即 C0 n+Cn+Cn=121,

n?n-1? ∴1+n+ =121,即 n2+n-240=0,解得:n=15 或-16(舍). 2
7 7 7 7 ∴在(1+3x)15 展开式中二项式系数最大的项是第 8、9 两项,且 T8=C7 15(3x) =C153 x , 8 8 8 8 T9=C8 15(3x) =C153 x .

11.解

(1)令 x=1,得 a0+a1+a2+…+a2 013=(-1)2 013=-1.

① ②

(2)令 x=-1,得 a0-a1+a2-a3+…-a2 013=32 013. 与①式联立,①-②得 2(a1+a3+…+a2 013)=-1-32 013, 1+32 013 ∴a1+a3+…+a2 013=- . 2
r r r (3)Tr+1=Cr C2 013(2x)r, 2 013(-2x) =(-1) ·

∴a2k-1<0,a2k>0 (k∈N*). ∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2 013| =a0-a1+a2-…-a2 013 =32 013(令 x=-1). 12.解 由题意得 22n-2n=992,解得 n=5. 1 1 5? 2x- ?10 的展开式中第 6 项的二项式系数最大,即 T6=C5 - ?5=-8 064. (1)? · (2 x ) · 10 x? ? ? x? (2)设第 r+1 项的系数的绝对值最大, 1 - ? - ?r 则 Tr+1=Cr (2x)10 r· 10· ? x? =(-1)r· Cr 210 r· x10 10·
- - - -2r

.

r 1 10 r 1 ? 210 r≥Cr 2 , ?C10· 10 · ? ∴ r 10-r r+1 10-r-1 ?C10· 2 ≥C10 · 2 , ?
- +

r r 1 ? ?C10≥2C10 , 得? r r+1 ?2C10≥C10 , ?


?11-r≥2r, ? 即? ?2?r+1?≥10-r. ?

8 11 ∴ ≤r≤ ,∴r=3, 3 3 故系数的绝对值最大的是第 4 项
3 T4=(-1)3C10 · 27· x4=-15 360x4.


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