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2012-2017年高考文科数学真题汇编:三角函数高考题老师版


历年高考试题集锦——三角函数
1、弧度制任意角与三角函数
1. (2014 大纲文)已知角 ? 的终边经过点(-4,3) ,则 cos ? =( D ) A.

4 5

B.

3 5

C. -

3 5

D. -

4 5

?2 x 3 , x ? 0 ? ? 2. (2013 福建文)已知函数 f ( x) ? ? ? ,则 f ( f ( )) ? 4 ?? tan x,0 ? x ? 2 ?
3. (2013 年高考文)已知 a 是第二象限角, sin a ? A. ?

-2

12 13

B. ?

5 13

5 , 则cosa ? 13 5 12 C. D. 13 13

( A )

2、同角三角函数间的关系式及诱导公式
4. (2013 广东文)已知 sin( A. ?

2 5

5? 1 ? ? ) ? ,那么 cos? ? ( C ) 2 5 1 1 2 B. ? C. D. 5 5 5

5. (2014 安徽) 设函数 f ( x)(x ? R) 满足 f ( x ? ? ) ? f ( x) ? sin x , 当 0 ? x ? ? 时,f ( x) ? 0 , 则 f( ( ) A.

23? )? 6

1 2
f(

B.

3 2

C. 0

D. ?

1 2
A

【简解】

23? 17? 17? 11? 11? 17? 5? 5? 11? 17? 1 1 1 1 )? f( ) ? sin ? f( ) ? sin ? sin ? f ( ) ? sin ? sin ? sin ? 0 ? ? ? ? ,选 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 2 2 2 2

π π 6、(2017 年全国 I 卷)已知 a ? (0, ) ,tan α=2,则 cos (? ? ) =_____ 3 10 _____。 4 2

10
? x(1 ? x),0 ? x ? 1 7. (2014 安徽文) 若函数 f ?x ??x ? R ? 是周期为 4 的奇函数, 且在 ?0,2? 上的解析式为 f ?x ? ? ? , ?sin ?x, 1 ? x ? 2

29 ? 则 f? ? ?? ? 4?

? 41? f ? ? ? _______ ?6?

3 7 3 7 3 1 7 5 5 )+f(- )=-f( )-f( )=- ? -sin( ? )= ,结果 4 6 4 6 4 4 6 16 16 8、 (2015 年广东文)已知 tan ? ? 2 .
【简解】原式=f(-

第 1 页(共 17 页)

?1? 求 tan ? ?? ?
?

??

sin 2? 的值. ? 的值; ? 2 ? 求 2 sin ? ? sin ? cos ? ? cos 2? ? 1 4?

【答案】 (1) ?3 ; (2) 1 .

3、三角函数的图象和性质
9、 (2016 年四川高考) 为了得到函数 y=sin ( x ?

?
3

) 的图象,只需把函数 y=sinx 的图象上所有的点( A )

? 个单位长度 3 ? (C) 向上平行移动 个单位长度 3
(A)向左平行移动

(B) 向右平行移动

? 个单位长度 3 ? (D) 向下平行移动 个单位长度 3
C )

10. (2014 大纲)设 a ? sin 33?, b ? cos55?, c ? tan 35?, 则( A. a ? b ? c B. b ? c ? a C. c ? b ? a D. c ? a ? b

11.(2014 福建文) 将函数 y ? sin x 的图象向左平移 法正确的是 ( D )

? 个单位,得到函数 y ? f ? x ? 的函数图象,则下列说 2

A. y ? f ? x ? 是奇函数

B. y ? f ? x ?的周期为?

C. y ? f ? x ?的图象关于直线x ?

?

? ? ? 对称 D. y ? f ? x ?的图象关于点? - , 0 ? 对称 2 ? 2 ?

??x ? ? ? ? (0 ? x ? 9) 的最大值与最小值之和为( A ) 12. (2012 山东文)函数 y ? 2sin ? 3? ? 6

第 2 页(共 17 页)

(A) 2 ? 3

(B)0

(C)-1

(D) ?1 ? 3

13、 (2013 山东)将函数 y=sin(2x + ? )的图象沿 x 轴向左平移
则 ? 的一个可能取值为 (A) ( (B) B )

? 个单位后,得到一个偶函数的图象, 8

3? 4

? 4

(C)0

(D) ?

?
4
)

14. (2013 山东)函数 y=x cos x+sin x 的图象大致为( D

π 1 15.(2016 年全国 I 卷)将函数 y=2sin (2x+ )的图像向右平移 个周期后,所得图像对应的函数为( D ) 6 4 π π π π (A)y=2sin(2x+ ) (B)y=2sin(2x+ ) (C)y=2sin(2x– ) (D)y=2sin(2x– ) 4 3 4 3

? ) 上单调递减的函数是( B ) 16. (2013 沪春招)既是偶函数又在区间 (0,
(A) y ? sin x (B) y ? cos x (C) y ? sin 2 x (D) y ? cos 2 x

【简解】根据偶函数,只能在 BD 中选择,(0,π )上单调减,只能选 B π π 17.(2013 四川)函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,- <φ< )的部分图象如图所示,则 ω,φ 的值分别是( A ) 2 2

π A.2,- 3

π B.2,- 6

π C.4,- 6

π D.4, 3

18.(2014 四川理) 为了得到函数 y ? sin(2 x ? 1) 的图象,只需把函数 y ? sin 2 x 的图象上所有的点( A )

1 个单位长度 2 C、向左平行移动 1个单位长度
A、向左平行移动

1 个单位长度 2 D、向右平行移动 2 个单位长度
B、向右平行移动

19.(2016 年全国 II 卷)函数 y =A sin(? x ? ? ) 的部分图像如图所示,则( A )

? (A) y ? 2sin(2 x ? ) 6

? (B) y ? 2sin(2 x ? ) 3

第 3 页(共 17 页)

? (C) y ? 2sin(2 x+ ) 6

? (D) y ? 2sin(2 x+ ) 3

π? ? π? 20.(2013 天津文) 函数 f(x)=sin? ?2x-4?在区间?0,2?上的最小值为( B A.-1 B.- 2 2 C. 2 D.0 2

)

21.(2014 浙江) 为了得到函数 y ? sin 3x ? cos3x 的图象,可以将函数 y ? 2 sin 3x 的图象( C ) A.向右平移

? 个单位 4

B.向左平移

? 个单位 4

C.向右平移

? 个单位 12

D.向左平移

? 个单位 12

22.(2012 大纲)已知 ? 为第二象限角, sin ? ? cos ? ?

3 ,则 cos 2? ? 3
D.

A. ?

5 3

B. ?

5 9

C.

5 9

5 3

【简解】原式两边平方可得 1 ? sin 2? ?

1 2 ? sin 2? ? ? 3 3
(cos ? ? sin ? )2 ? ? 1 ? 2 15 ?? 3 3

? 是第二象限角,因此 sin ? ? 0,cos ? ? 0 ,所以 cos ? ? sin ? ? ?
? cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? (cos ? ? sin ? )(cos ? ? sin ? ) ? ?
23. (2013 福建文)将函数 f ( x) ? sin( 2 x ? ? )(?

5 3

?
2

?? ?

?
2

) 的图象向右平移 ? (? ? 0) 个单位长度后得到


函数 g ( x) 的图象,若 f ( x), g ( x) 的图象都经过点 P (0, A.

3 ) ,则 ? 的值可以是( 2

5? 3

B.

5? 6

C.

【简解】P 在 f(x)上,θ =

? ? ? 5 ,f(x)=sin(2x+ );g(x)=sin[2(x-φ )+ ]过点 P,φ = ? 满足条件。选 B 3 3 3 6
) π D.2

? 2

D.

? 6

π? ? 24.(2017 年新课标Ⅱ文)函数 f(x)=sin?2x+3?的最小正周期为( A.4π B.2π C .π

第 4 页(共 17 页)

C 【解析】最小正周期 T=

2π =π.故选 C. 2 )

25. (2012 湖北文)函数 f(x)=xcos2x 在区间[0,2π ]上的零点个数为( A2 B3 C 4 D 5
[来源:Z,xx,k.Com]

? ? 3 5 7 ;x=0, , ? , ? , ? ;选 D 2 4 4 4 4 ? ? 26.(2014 辽宁)将函数 y ? 3sin(2 x ? ) 的图象向右平移 个单位长度,所得图象对应的函数( ) 2 3 ? 7? ? 7? ] 上单调递减 B.在区间 [ , ] 上单调递增 A.在区间 [ , 12 12 12 12 ? ? ? ? C.在区间 [ ? , ] 上单调递减 D.在区间 [ ? , ] 上单调递增 6 3 6 3 2 7 13 1 【简解】原函数平移后得到 y=3sin(2x- ? ),单调减区间为 [kπ + ? ,kπ + ? ],增区间为 [kπ + ? ,k π 3 12 12 12 7 + ? ];代入检验选 B 12
【简解】x=0 或 cos2x=0;x=0 或 2x=kπ +

1 ? cos ? x, x ? [0, ] ? 1 ? 2 27. (2014 辽宁文)已知 f ( x ) 为偶函数,当 x ? 0 时, f ( x ) ? ? ,则不等式 f ( x ? 1) ? 2 ? 2 x ? 1, x ? ( 1 , ??) ? ? 2
的解集为( )

A. [ , ] [ , ]

1 2 4 3

4 7 3 4

B. [ ?

3 1 1 2 ,? ] [ , ] 4 3 4 3

C. [ , ] [ , ]

1 3 3 4

4 7 3 4

D. [ ?

3 1 1 3 ,? ] [ , ] 4 3 3 4

【简解】f(x-1)=f(|x-1|),设|x-1|=t;f(t)≤1/2,得到 1/3≤t≤3/4;代入 x 解得选 A 28.(2012 天津文) 将函数 f(x)=sin ? x (其中 ? >0)的图象向右平移
?
4

个单位长度,所得图象经过点



3? 4

,0),则 ? 的最小值是
1 3 5 3

(A)

(B)1

C)

(D)2

? 3? ? ? ?? ) 过点 ( ,0) ,所以 得到函数 g ( x) ? f ( x ? ) ? sin ? ( x ? ) ? sin(?x ? 4 4 4 4 4 3? ? 3? ? ?? sin ? ( ? ) ? 0 ,即 ? ( ? )? ? k? , 所以 ? ? 2k , k ? Z ,所以 ? 的最小值为 2,选 D. 4 4 4 4 2 ? ? 29.(2012 新标) 已知 ? ? 0 ,函数 f ( x ) ? sin(? x ? ) 在 ( , ? ) 上单调递减。则 ? 的取值范围是( ) 2 4 1 5 1 3 1 ( A) [ , ] ( B) [ , ] (C ) (0, ] ( D ) (0, 2] 2 4 2 4 2 ? ? ?? 1 5 ? 3 ? ?? 【简解】 x∈ ( , ? ) 时, ω x+ ∈ ? ? ? , ?? ? ? ? [2k? ? , 2k? ? ? ] ,4k+ ≤ω ≤2k+ ,选 A 2 4 ?2 2 4 2 2 4 4?
【简解】函数向右平移

第 5 页(共 17 页)

30.(2012 新标文) 已知 ? >0, 0 ? ? ? ? ,直线 x = 的对称轴,则 ? =( ) (A) 【简解】 ∴? = π 4 π (B) 3

5? ? 和x= 是函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) 图象的两条相邻 4 4
π (C) 2 3π (D) 4

? ,故选 A. 4

? 5? ? ? ? ? ? ,∴ ? =1,∴ ? ? = k? ? ( k ? Z ) = ,∴ ? = k ? ? ( k ? Z ) ,∵ 0 ? ? ? ? , 4 2 ? 4 4 4

31、 (2017 年天津卷文)设函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ), x ? R , 其中 ? ? 0,| ? |? π . 若 f( 且 f ( x ) 的最小正周期大于 2 π ,则

5π 11π ) ? 2, f ( ) ? 0, 8 8

2 π ,? ? 3 12 1 11π (C) ? ? , ? ? ? 3 24
(A) ? ?

2 11π ,? ? ? 3 12 1 7π (D) ? ? , ? ? 3 24
(B) ? ?

? ? 5?? ? ? ? 2k1? ? ? 4 2 ? 8 2 【答案】A【解析】由题意得 ? ,其中 k1 , k2 ? Z ,所以 ? ? ( k2 ? 2k1 ) ? ,又 3 3 ?11?? ? ? ? k ? 2 ? ? 8
2 1 ? ? ,由 | ? |? π 得 ? ? , ? ? 2k1? ? ,故选 A. ? 12 12 3 ? ? 32.(2014 新标 1 文) 在函数① y ? cos | 2 x | ,② y ?| cos x | ,③ y ? cos( 2 x ? ) ,④ y ? tan( 2 x ? ) 中, 6 4 T? ? 2? ,所以 0 ? ? ? 1 ,所以 ? ?
最小正周期为 ? 的所有函数为 A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③

2?

【解析】由 y ? cos x 是偶函数可知 y ? cos 2x ? cos2x ,最小正周期为 ? , 即①正确;y ?| cos x |的最 小正周期也是??,即②也正确; y ? cos ? 2 x ? 期为 T ?

? ?

??

? ? 最小正周期为 ? ,即③正确; y ? tan(2 x ? 4 ) 的最小正周 6?

?
2

,即④不正确.即正确答案为①②③,选A

33. (2014 安徽)若将函数 f ? x ? ? sin ? 2 x ? 的最小正值是____

? ?

??

? 的图象向右平移 ? 个单位,所得图象关于 y 轴对称,则 ? 4?

3? ____. 8

34.(2012 福建文)函数 f ( x ) ? sin( x ? A. x ?

?
4

) 的图象的一条对称轴是( C )

?
4

B. x ?

?
2

C. x ? ?

?
4

D. x ? ?

?
2

第 6 页(共 17 页)

35.(2014 江苏)函数 y ? 3 sin( 2 x ?

?
4

) 的最小正周期为

π



36.(2014 江苏)已知函数 y ? cos x 与 y ? sin(2 x ? ? )(0 ≤ ? ? ?) ,它们的图象有一个横坐标为 ? 的交点,则 3

? 的值是

? 6

. .

37、(2017 年新课标Ⅱ文)函数 f(x)=2cos x+sin x 的最大值为 5 【解析】f(x)=2cos x+sin x≤ 22+12= 5,∴f(x)的最大值为 5. 38、 (2017?新课标Ⅰ理)已知曲线 C1:y=cosx,C2:y=sin(2x+

) ,则下面结论正确的是( D ) 个单位长度,得

A、把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 到曲线 C2 B、把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移 到曲线 C2 C、把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 到曲线 C2 D、把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 得到曲线 C2
2 39、( 2017 年新课标Ⅱ卷理) 函数 f ? x ? ? sin x ? 3 cos x ?

个单位长度,得

倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移

个单位长度,得

倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移

个单位长度,

3 ? ?? ( x ? ?0, ? )的最大值是 4 ? 2?



2 【答案】1【解析】 f ? x ? ? 1 ? cos x ? 3 cos x ?

3 1 ? ? cos 2 x ? 3 cos x ? 4 4

? 3? 3 ? ?? 时,函数取得最大值 1. ? ?? cos x ? ? 1 , x ? ?0, ? ,那么 cos x ??0,1? ,当 cos x ? ? ? ? 2 ? 2 ? 2? ? ? ? 40. (2014 大纲)若函数 f ( x) ? cos 2 x ? a sin x 在区间 ( , ) 是减函数,则 a 的取值范围是 . 6 2 ? ? 【简解】 f ?( x ) =cosx(a-4sinx)≤0 在 x∈ ( , ) 恒成立;a≤4sinx。填 ? ??, 2? . 6 2 π π 2x+ ?的图 41.(2013 新标 2 文) 函数 y=cos(2x+φ)(-π≤φ≤π)的图象向右平移 个单位后,与函数 y=sin? 3? ? 2
象重合,则 φ=________. π π π π ? ? π? π? 【简解】 y = sin ?2x+ 3 ? 向左平移 个单位,得 y = sin ?2 x+ 2 + ? = sin ?2x+π+ 3 ? =- sin ?2x+3 ? = ? ? 3 ? ? ? ? ? ? 2 ? ? π π 5π? 5π ? cos? 2 +2x+3 ?=cos?2x+ ?,即 φ= . 6 ? ? 6 ? ?

2

第 7 页(共 17 页)

42. (2014 北京文)函数 f ? x ? ? 3sin ? 2 x ?

? ?

??

? 的部分图象如图所示. 6?

(1)写出 f ? x ? 的最小正周期及图中 x0 、 y0 的值; (2)求 f ? x ? 在区间 ? ?
y y0

?? ? ? , ? ? 上的最大值和最小值. ? 2 12 ?

O

x0

x

【答案】 (I) f ? x ? 的最小正周期为 ? , x0 ?

7? , y0 ? 3 ; (II) f ? x ? 最大值 0,最小值 ?3 . 6

?? ? 43. (2012 广东)已知函数 f ? x ? ? 2cos ? ? x ? ? (其中 ? ? 0 x ? R )的最小正周期为 10? . 6? ?
? ?? (Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)设 ? 、 ? ? ?0, ? , ? 2?
【答案】(Ⅰ) ? ?

5 ? 6 ? f ? 5? ? ? ? ? ? , 3 ? 5 ?

5 ? 16 ? f ? 5? ? ? ? ? ,求 cos ?? ? ? ? 的值. 6 ? 17 ?

1 .(Ⅱ)-13/85, 5

44.(2012 陕西) 函数 f ( x) ? A sin(? x ? 间的距离为

?
6

) ? 1( A ? 0, ? ? 0 )的最大值为 3, 其图象相邻两条对称轴之

? , 2
? )+1 6 ? 3

(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)设 ? ? (0, 【答案】(1)f(x)=2sin(2x(2)

?

) ,则 f ( ) ? 2 ,求 ? 的值 2 2

?

45.(2014 四川) 已知函数 f ( x) ? sin(3 x ? (1)求 f ( x) 的单调递增区间; (2)若 ? 是第二象限角, f ( ) ?

?
4

)。

?

3

4 ? cos(? ? ) cos 2? ,求 cos ? ? sin ? 的值。 5 4

第 8 页(共 17 页)

【答案】 (1)为 [

5 2 k? ? 2 k? ? , (2) cos ? ? sin ? ? ? 2 或 cos ? ? sin ? ? ? ? , ? ]( k ? Z ) 2 3 4 3 12

46.(2016 年山东高考)设 f ( x) ? 2 3sin(π ? x)sin x ? (sin x ? cos x)2 . (I)求 f ( x ) 得单调递增区间; (II)把 y ? f ( x) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵坐标不变) ,再把得到的图象向左平移 个单位,得到函数 y ? g ( x) 的图象,求 g ( ) 的值.
2 解析:( ? )由 f ? x ? ? 2 3 sin ?? ? x ? sin x ? ? sin x ? cos x ? ? 2 3 sin x ? ?1 ? 2sin x cos x ?

π 3

π 6

2

?? ? ? 3 ?1 ? cos 2 x ? ? sin 2 x ? 1 ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 3 ?1 ? 2sin ? 2 x ? ? ? 3 ? 1, 3? ?
由 2 k? ?

?
2

? 2x ?

?
3

? 2 k? ?

?
2

? k ? Z ? , 得 k? ?
?
12 , k? ?

?
12

? x ? k? ?

5? ?k ? Z ?, 12
(或 (k? ?

所以, f ? x ? 的单调递增区间是 ? k? ? ( ?) 由 ( ? )知 f ? x ? ? 2sin ? 2 x ?

? ?

5? ? ?k ? Z ?, 12 ? ?

?
12

, k? ?

5? )?k ? Z ? ) 12

? ?

??

? ? 3 ? 1, 把 y ? f ? x ? 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 3?

(纵坐标不变),得到 y ? ? 2sin ? x ?

? ?

??

? ? ? 3 ? 1 的图象,再把得到的图象向左平移 3 个单位,得到 3?

y ? 2sin x ? 3 ?1 的图象,即 g ? x ? ? 2 sin x ? 3 ? 1. 所以

? ?? ? g ? ? ? 2sin ? 3 ? 1 ? 3. 6 ?6?

4、三角函数的两角和与差公式
1 ? ? 47、(2017 年全国 II 卷)函数 f(x)= sin(x+ )+cos(x? )的最大值为( A ) 5 3 6 6 3 1 A. B .1 C. D. 5 5 5
48. (2013 湖北)将函数 y ? 3 cos x ? sin x ( x ? R) 的图象向左平移 m (m ? 0) 个单位长度后,所得到的图象 关于 y 轴对称,则 m 的最小值是 A.

π 12

B.

π 6

C.

π 3

D.

5π 6

【简解】y=2sin(x+

? ? ? );左移 m 得到 y=2sin(x+m+ );关于 y 轴对称,x=0 时,y 取得最值, +m=kπ 3 3 3

第 9 页(共 17 页)

+

? ? ,m=kπ + ,k=0 时 m 最小。选 B 2 6

49.(2014 新标 1) 设 ? ? (0,

?

1 ? sin ? ? ) , ? ? (0, ) ,且 tan ? ? ,则 2 2 cos ?

A . 3? ? ? ?

?
2

B . 2? ? ? ?

?
2

C . 3? ? ? ?

?
2

D . 2? ? ? ?

?
2

【简解】 tan ? ?

sin ? 1 ? sin ? ? ,∴ sin ? cos ? ? cos ? ? cos ? sin ? cos ? cos ?

? ? ? ? ?? ? sin ?? ? ? ? ? cos ? ? sin ? ? ? ? , ? ? ? ? ? ? , 0 ? ? ? ? 2 2 2 2 ?2 ?
∴? ? ? ?

?
2

? ? ,即 2? ? ? ?

?
2

,选 B

50. (2015 年江苏)已知 tan ? ? ?2 , tan ?? ? ? ? ? 【答案】3

1 ,则 tan ? 的值为_______. 7

51. (2013 江西文)设 f(x)=错误!未找到引用源。sin3x+cos3x,若对任意实数 x 都有|f(x)|≤a,则 实数 a 的取值范围是 。 【答案】a≥2 52.(2016 年全国 I 卷)已知 θ 是第四象限角,且 sin(θ+

π 3 π )= ,则 tan(θ– )= 4 5 4

?
7? 3

4 3

.

53.(2014 上海文) 方程 sin x ? 3 cos x ? 1 在区间 [0, 2? ] 上的所有解的和等于 54.(2013新标1) 设当x=θ时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则cosθ=___ ?

.

2 5 ___ 5

55.(2014 新标 2 文)函数 f ( x) ? sin(x ? ? ) ? 2 sin ? cos x 的最大值为________. 【简解】f(x)= sinxcosφ +cosxsinφ -2sinφ cosx=sinx,填 1

1 2 ,sin 2 x ? sin 2 y ? ,则 sin( x ? y) ? ________ 2 3 1 2 2 【简解】cos(x-y)= ,sin2x+sin2y=sin[(x+y)+(x-y)]+sin[(x+y)-(x-y)]=2sin(x+y)cos(x-y)= ,sin(x+y)= 2 3 3
56. (2013 上海)若 cos x cos y ? sin x sin y ? 57. (2013 安徽文)设函数 f ( x) ? sin x ? sin( x ?

?

3

).

(Ⅰ)求 f ( x) 的最小值,并求使 f ( x) 取得最小值的 x 的集合; (Ⅱ)不画图,说明函数 y ? f ( x ) 的图象可由 y ? sin x 的图象经过怎样的变化得到.

第 10 页(共 17 页)

【答案】 (1) f ( x) 的最小值为 ? 3 ,此时 x 的集合 {x | x ? 1

4? ? 2k? , k ? Z } . 3

y ? sin x 横坐标不变,纵坐标变为原来的 3 倍,得 y ? 3 sin x ; 然后 y ? 3 sin x 向左平移

?
6



单位,得 f ( x) ? 3 sin( x ?

?
6

)

58.(2016 年北京高考)已知函数 f(x)=2sin ωx cos ωx+ cos 2ωx(ω>0)的最小正周期为 π. (Ⅰ)求 ω 的值; (Ⅱ)求 f(x)的单调递增区间.

解:(I)因为 f ? x ? ? 2sin ? x cos ? x ? cos2? x ? sin 2? x ? cos 2? x ? 所以 f ? x ? 的最小正周期 ? ? (II) 由 (I) 知 f ? x? ? 由 2 k? ?

?? ? 2 sin ? 2? x ? ? , 4? ?

2? ? ? ? .依题意, ? ? ,解得 ? ? 1 . ? 2? ?

?? ? ?? ? ? 函数 y ? sin x 的单调递增区间为 ? 2k? ? , 2k? ? ?( k ? ? ) . 2 sin ? 2 x ? ? . 4? 2 2? ? ?
?
2
,得 k? ?

?
2

? 2x ?

?
4

? 2 k? ?

3? ? ? x ? k? ? . 8 8

所以 f ? x ? 的单调递增区间为 ? k? ?

? ?

3? ?? , k? ? ? ( k ? ? ). 8 8?

5、倍角三角函数
59. (2012 大纲文)已知 ? 为第二象限角, sin ? ? A. ?

12 12 C. 25 25 sin ? ? cos ? 1 ? ,则 tan2α=( 60.(2012 江西文)若 sin ? ? cos ? 2 3 3 4 4 A. B. C. D. 4 4 3 3
B. ? 61.(2016 年全国 II 卷)函数 f ( x) ? cos 2 x ? 6 cos( (A)4 (B)5

24 25

3 ,则 sin 2? ? ( 5 24 D. 25
B )

A )

π ? x) 的最大值为( B ) 2
(C)6 (D)7 A )

62、(2017 年全国 II 卷)已知 sin ? ? cos ? ?

4 ,则 sin 2? =( 3
C.

A. ?

7 9

B. ?

2 9
C )

2 9

D.

7 9

63、(2014 新标 1 文) 若 tan ? ? 0 ,则( A. sin ? ? 0 B. cos ? ? 0

C. sin 2? ? 0

D. cos 2? ? 0

第 11 页(共 17 页)

64、.(2013 浙江文) 函数 f(x)=sin xcos x+

3 cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( A ) 2

π 2 α+ ?=( A ) 65.(2013 新标 2 文) 已知 sin 2α= ,则 cos2? ? 4? 3 1 A. 6 1 B. 3 1 C. 2 2 D. 3

?α+π? 1+cos?2α+π? 1 + cos2 π 2 ? 1-sin 2α 1 ? 4? ? 2 【简解】cos ?α+4 ?= = = = ,选 A. ? ? 2 2 2 6
66.(2014 大纲文)函数 y ? cos 2 x ? 2sin x 的最大值为

3 2

.

67.(2013 江西)函数 y=sin 2x+2 3sin2x 的最小正周期 T 为_____π ___.

1 ,则 cos ? 2x ? 2 y ? ? -7/9 3 ? 69.(2014 上海)函数 y ? 1 ? 2cos2 (2 x) 的最小正周期是 . 2 π ? 70.(2013 四川) 设 sin 2α=-sin α,α∈? ?2,π?,则 tan 2α 的值是________.
68.(2012 上海文)若 cos x cos y ? sin x sin y ?



π ? 1 【简解】∵sin 2α=-sin α,∴sin α(2cos α+1)=0,又 α∈? ?2,π?,∴sin α≠0,2cos α+1=0 即 cos α=-2, sin α= -2 3 3 2tan α ,tan α=- 3,∴tan 2α= = = 3. 2 1-tan2α 1-?- 3?2 )

3π 3π? 71、已知点 P? ?sin 4 ,cos 4 ?落在角 θ 的终边上,且 θ∈[0,2π),则 θ 的值为 ( π A. 4 cos 解析:tan θ= sin 7π . 4 3 1 ? 72、已知 α∈(-π,0),tan(3π+α)= ,则 cos? ?2π+α?的值为 3 A. 10 10 B.- 10 10 3 10 C. 10 ( ) 3π B. 4 5π C. 4 7π D. 4
[来源:中 。教。 网 z。z 。s。t ep]

3 π π -cos 4 4 3π 3π = =-1,又 sin >0,cos <0,所以 θ 为第四象限角且 θ∈[0,2π),所以 θ= 3 π 4 4 π sin 4 4

3 10 D.- 10

3 1 1 10 ? ?π ? 答案 B 解析: 由 tan(3π+α)= , 得 tan α= , cos? 0), ∴sin α=- . ?2π+α?=cos?2-α?=sin α.∵α∈(-π, 3 3 10 π 73、函数 f(x)=sin(ωx+φ)(其中|φ|< )的图象如图所示,为了得到 2 g(x)=sin ωx 的图象,则只要将 f(x)的图象 ( )

第 12 页(共 17 页)

π A.向右平移 个单位 6

π B.向右平移 个单位 12

π C.向左平移 个单位 6

π D.向左平移 个单位 12

T 7π π π 2π π 答案 A 解析 由图象可知, = - = ,∴T=π,∴ω= =2,再由 2× +φ=π, 4 12 3 4 π 3 π? π π ? π? 得 φ= ,所以 f(x)=sin? ?2x+3?.故只需将 f(x)=sin 2?x+6?向右平移6个单位,就可得到 g(x)=sin 2x. 3 74.(2013 北京文)已知函数 f ( x) ? (2 cos x ? 1) sin 2 x ?
2

1 cos 4 x 2

(1)求 f ( x) 的最小正周期及最大值。(2)若 ? ? (

?
2

, ? ) ,且 f (? ) ?

2 ,求 ? 的值。 2

【答案】⑴

? 9 2 , ;(2) ? 2 2 16
1 2

75、(2014 福建)已知函数 f(x)=cosx(sinx+cosx)-

⑴若 0<α <

? 2 ,且 sinα = ,求 f(α )的值;⑵求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间. 2 2
3? ? , k? ? ], k ? Z . 8 8

【答案】(1)1/2; (2)π , [ k? ?

76. (2017 年浙江卷) 已知函数 f(x)=sin2x–cos2x– 2 3 sin x cos x(x ? R). (Ⅰ)求 f(

2π )的值.(Ⅱ)求 f(x)的最小正周期及单调递增区间. 3
?? ? 2? +k ? , +k ? ? k ? Z 3 ?6 ?

【答案】 (Ⅰ)2;(Ⅱ)最小正周期为错误!未找到引用源。单调递增区间为 ? 【解答】解:∵函数 f(x)=sin2x﹣cos2x﹣2 (Ⅰ)f( )=2sin(2× + )=2sin sinx cosx=﹣ =2, ∈[﹣

sin2x﹣cos2x=2sin(2x+



(Ⅱ)∵ω=2,故 T=π,即 f(x)的最小正周期为π,由 2x+ x∈[﹣ +kπ,﹣

+2kπ, +kπ,﹣

+2kπ],k∈Z 得: +kπ],k∈Z.

+kπ],k∈Z,故 f(x)的单调递增区间为[﹣

77.(2013 山东文) 设函数 f(x)= π 的对称轴的距离为 . 4

3 - 3sin2ωx-sinωx cos ωx(ω>0),且 y=f(x)图象的一个对称中心到最近 2

3π? (1)求 ω 的值; (2)求 f(x)在区间? ?π, 2 ?上的最大值和最小值.

第 13 页(共 17 页)

【答案】 (1)ω=1. (2)

3 ,-1. 2

1 b. 78.(2013 陕西) 已知向量 a ? (cos x, ? ), b ? ( 3 sin x,cos 2 x), x ? R , 设函数 f ( x) ? a· 2 ? ?? (Ⅰ) 求 f (x)的最小正周期. (Ⅱ) 求 f (x) 在 ? 0, ? 上的最大值和最小值. ? 2?

1 2 x 79.(2015 北京文)已知函数 f ? x ? ? sin x ? 2 3 sin 2 . 2
【答案】(Ⅰ)

? 。 (Ⅱ) 最大值和最小值分别为 1,? .

(Ⅰ)求 f ? x ? 的最小正周期; 【答案】 (1) 2? ; (2) ? 3 . 80. (2014 福建文)已知函数

(Ⅱ)求 f ? x ? 在区间 ? 0,

? 2? ? 上的最小值. ? 3 ? ?

f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x) .

(Ⅰ)求

f(

5? ) 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及单调递增区间. 4
5? 5? 5? 5? ? ? ? ) ? 2 cos (sin ? cos ) ? ?2 cos (? sin ? cos ) ? 2 4 4 4 4 4 4 4

【简解】 (1) f (

(2)因为 f ( x) ? 2sin x cos x ? 2cos2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ?

2 sin(2 x ? ) ? 1 . 4 2? ? ? ? 3? ? ? ? .由 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , k ? Z ,得 k? ? ? x ? k? ? , k ? Z , 所以 T ? 2 2 4 2 8 8 3? ? , k? ? ], k ? Z . 所以 f ( x) 的单调递增区间为 [ k? ? 8 8
81. (2014 江苏)已知 ? ? ? , ? , sin ? ? 5 . 5 2

?

(1)求 sin ? ? ? 的值; (2)求 cos ?? ? 2? 的值. 4 6 【解析】 (1)∵ ? ? ? , ? , sin ? ? 5 ,∴ cos ? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? 2 5 5 2 5

?

?

? ?

?

?

? ?

sin ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? 2 (cos ? ? sin ? ) ? ? 10 ; 4 4 4 2 10
cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 3 (2)∵ sin 2? ? 2sin ? cos ? ? ? 4 , 5 5
∴ cos ?? ? 2? ? cos ?? cos 2? ? sin ?? sin 2? ? ? 3 ? 3 ? 1 ? ? 4 ? ? 3 3 ? 4 6 6 6 2 5 2 5 10 π? 2 82.(2013 天津)已知函数 f(x)=- 2sin ? ?2x+4?+6sin xcos x-2cos x+1,x∈R. π? (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)在区间? ?0,2?上的最大值和最小值.

?

?

?

?

? ?

第 14 页(共 17 页)

π? π π 【简解】(1)f(x)=- 2sin 2x· cos - 2cos 2x· sin +3sin 2x-cos 2x=2sin 2x-2cos 2x=2 2sin ? ?2x-4?. 4 4 所以,f(x)的最小正周期 T= 2π =π. 2

3π? ?3π π? ?3π? ?π? (2)因为 f(x)在区间? ?0, 8 ?上是增函数,在区间? 8 ,2?上是减函数.又 f(0)=-2,f? 8 ?=2 2,f?2?=2,故 π? 函数 f(x)在区间? ?0,2?上的最大值为 2 2,最小值为-2. 83、 (2014 年天津)已知函数 f ( x) ? cos x sin( x ? ⑴求 f ( x) 的最小正周期; ⑵求 f ( x) 在闭区间 [ ?

?
3

) ? 3 cos2 x ?

3 , x?R. 4

? ? , ] 上的最大值和最小值. 4 4

解:(1)由已知,有

f(x)=cos x·? sin x+

?1 ?2

3 1 3 3 3 ? 2 2 cos x?- 3cos x+ = sin x·cos x- cos x+ 4 2 2 4 2 ?

π? 1 3 3 1 3 1 ? = sin 2x- (1+cos 2x)+ = sin 2x- cos 2x= sin?2x- ?, 3? 4 4 4 4 4 2 ? 所以 f(x)的最小正周期 T= 2π =π . 2

π? 1 ? π? ? π ? π π? ? π? (2)因为 f(x)在区间?- ,- ?上是减函数,在区间?- , ?上是增函数,f?- ?=- ,f?- ? 12? 4 ? 12? ? 4 ? 12 4 ? ? 4? 1 ?π ? 1 1 1 ? π π? =- ,f? ?= ,所以函数 f(x)在区间?- , ?上的最大值为 ,最小值为- . 2 ?4? 4 4 2 ? 4 4? π 2 ? 84、已知函数 f(x)=2cos x· sin? ?x+3?- 3sin x+sin xcos x+1. (1)求函数 f(x)的最小正周期;(2)求函数 f(x)的最大值及最小值;(3)写出函数 f(x)的单调递增区间. 解 1 3 f(x)=2cos x? sin x+ cos x?- 3sin2x+sin xcos x+1 2 ?2 ?

π? =2sin xcos x+ 3(cos2x-sin2x)+1=sin 2x+ 3cos 2x+1=2sin? ?2x+3?+1. 2π (1)函数 f(x)的最小正周期为 =π. 2 π? π? ? (2)∵-1≤sin? ?2x+3?≤1,∴-1≤2sin?2x+3?+1≤3. π π π ∴当 2x+ = +2kπ,k∈Z,即 x= +kπ,k∈Z 时,f(x)取得最大值 3; 3 2 12 π π 5π 当 2x+ =- +2kπ,k∈Z,即 x=- +kπ,k∈Z 时,f(x)取得最小值-1. 3 2 12 π π π 5π π (3)由- +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ,k∈Z,得- +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z. 2 3 2 12 12

第 15 页(共 17 页)

5π π ? ∴函数 f(x)的单调递增区间为? ?-12+kπ,12+kπ? (k∈Z). π? 85、(2013· 广东)已知函数 f(x)= 2cos? ?x-12?,x∈R. π? (1)求 f? ?-6?的值; 解 3π π? 3 ? ? (2)若 cos θ= ,θ∈? ? 2 ,2π?,求 f?2θ+3?. 5
[ 来源:z+zs+tep.com]

π? π ? π π? ? π? (1)f? ?-6?= 2cos?-6-12?= 2cos?-4?= 2cos 4=1.

π? π π? π? ? ? (2)f? ?2θ+3?= 2cos?2θ+3-12?= 2cos?2θ+4?=cos 2θ-sin 2θ, 3π 3 4 24 7 2 ? 又 cos θ= ,θ∈? ? 2 ,2π?,∴sin θ=-5,∴sin 2θ=2sin θcos θ=-25,cos 2θ=2cos θ-1=-25, 5 π? 7 24 17 ∴f? ?2θ+3?=cos 2θ-sin 2θ=-25+25=25. 86、 (2015 年安徽文)已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x)2 ? cos 2x (1)求 f ( x ) 最小正周期; (2)求 f ( x ) 在区间 [0,

?
2

] 上的最大值和最小值.

87、(2017 年江苏卷)

已知向量 a ? (cos x, sin x), b ? (3, ? 3), x ?[0, π]. (2)记 f ( x) ? a ? b ,求 f ( x) 的最大值和最小值以及对应的 x 的值.
第 16 页(共 17 页)

(1)若 a∥b,求 x 的值;

【解析】 (1)∵a∥b,∴ 3sin x ? ? 3 cos x ,又 cos x ? 0 ,∴ tan x ? ? ∴x?

3 ,∵错误!未找到引用源。 , 3

5π . 6 π 3 π π 2π ? [? , ] ,∴ 3 3 3

( 2 ) f ? x ? ? 3cos x ? 3 sin x ? ?2 3 sin( x ? ) . ∵错误!未找到引用源。 ,∴ x ?

?

π π 3 π ? sin( x ? ) ? 1 ,∴ ?2 3 ? f ? x ? ? 3 ,当 x ? ? ? ,即 x ? 0 时,错误!未找到引用源。取得 3 3 2 3 π π 5π ? ,即 x ? 时,错误!未找到引用源。取得最小值,为 ?2 3 . 3 2 6

最大值,为 3;当 x ?

88、(2017 年山东卷理)设函数 f ( x) ? sin(? x ? (Ⅰ)求 ? ;

?

) ? sin(? x ? ) ,其中 0 ? ? ? 3 .已知 f ( ) ? 0 . 6 2 6

?

?

(Ⅱ)将函数 y ? f ( x) 的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再将得到的图象向左平移

? ? 3? ] 上的最小值. 个单位,得到函数 y ? g ( x) 的图象,求 g ( x) 在 [? , 4 4 4 3 【答案】 (Ⅰ) ? ? 2 .(Ⅱ)得最小值 ? . 2
解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? sin(? x ?

?

? 3 1 ) ? sin(? x ? ) ,所以 f ( x) ? sin ? x ? cos ? x ? cos ? x 6 2 2 2

?

? 3 3 1 3 sin ? x ? cos ? x ? 3( sin ? x ? cos ? x) ? 3(sin ? x ? ) 3 2 2 2 2
?

由题设知 f ( ) ? 0 ,所以

??
6

6

?

?
3

? k? , k ? Z .故 ? ? 6k ? 2 , k ? Z ,又 0 ? ? ? 3 ,所以 ? ? 2 .

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ? 3 sin(2 x ? 因为 x ? [ ?

?
3 ,

) 所以 g ( x) ? 3 sin( x ? 3 ] ,当 x ?

?

? 3?
4 , 4

] ,所以 x ?

?
12

? [?

? 2?
3

?
12

??

?
3

? ) ? 3 sin( x ? ) . 4 3 12

?

?

,即 x ? ?

?

4

时, g ( x) 取得最小值 ?

3 . 2

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