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江苏省常熟中学2011-2012学年高一学年期中考试数学试题


常熟市 2011-2012 学年第一学期期中考试试卷

高一数学

2011.11

本试卷分第一卷(填空题)和第二卷(解答题)两部分.考生作答时,将答案答在答题卷上, 在本试卷上答题无效.本卷满分 160 分,考试时间为 120 分钟. 注意事项: 1. 答题前,考生先将自已的姓名、学校、考试号填写在答题卷规定区域内; 2. 填空题和解答题均使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔 或炭素笔书写,字体工整, 笔迹清楚;作图可用 2B 铅笔; 3. 请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效.
[来源:学|科|网]

第一卷
小题, 请把答案填写在答题卷相应位置上 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卷相应位置上. 填空题: 请把答案填写在 ........ 1. log 3 27 的值为 ▲ . ▲ . .

2.已知全集 U=R,集合 M={x|x2-4≤0},则 ? M = U 3.函数 f ( x ) = 1 ? x + lg x 的定义域是 ▲

4 . 若 函 数 f ( x) = ( p ? 2) x 2 + ( p ? 1) x + 2 是 偶 函 数 , 则 函 数 f ( x ) 的 单 调 递 减 区 间 是 ▲ .
2 m 2 ? m ?1

5.如果幂函数 y = ( m ? 3m + 3) x

的图象不过原点,则实数 m 的值是 ▲ ▲

▲ . .



6.我国计划 GDP 从 2000 年至 2010 年翻一番,则平均每年的增长率是 7.设 a=0.60.2,b=log0.23,c= log0.70.6,则 a、b、c 用“<”从小到大排列为

8.设 f ( x ) 为定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时, f ( x ) = 2 x + 2 x + a ,则 f ( ?1) =

▲ .

9.根据下表,能够判断 f ( x ) = g ( x ) 在四个区间:① (?1, 0) ;② (0,1) ;③ (1, 2) ;④ (2,3) 中有实数解是的 x ▲ -1 -0.677 -0.530 (填序号) . 0 3.011 3.451 ▲ 1 5.432 4.890 对称. ▲ 2 5.980 5.241 3 7.651 6.892

f ( x) g ( x)
10.函数 f ( x ) = lg

1? x 的图象关于点 1+ x
n ?1

11.若正整数 n 满足 10

< 2512 < 10 n ,则 n =

(lg 2 ≈ 0.3010) .

12.函数 f ( x ) = log 1 ( x ? 6 x + 5) 在 ( a, +∞ ) 上是减函数,则实数 a 的最小值是
2 2





13.对任意的 x1 < 0 < x2 ,若函数 f ( x) = a x ? x1 + b x ? x2 的大致图像为如图所示的一条折线(两侧 的射线均平行于 x 轴) ,试写出 a 、 b 应满 足的条件 ▲ .

y

x1
O

x2
第 13 题

x

14.已知实数 m、n 满足等式 ( 1 ) m = ( 1 ) n , 下列五个关系式:①m<n<0,②m=n,③n<m<0, 3 4 ④m>n>0,其中不可能成立的关系式有 ▲ . ...

第二卷
小题, 请在答题卷指定区域内作答, 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卷指定区域内作答,解答时应写出文 解答题: ....... 字说明、证明过程或演算步骤. 字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本题满分 14 分) 已知集合 A={x | | x ? a |< 4 }, B = {x | x 2 ? 4 x ? 5 > 0} . (1)若 a = 1 ,求 A I B ; (2)若 A U B = R,求实数 a 的取值范围.

16.(本题满分 14 分) 已知二次函数 f ( x ) 的图象顶点为 A(1,16) ,且图象在 x 轴上截得线段长为 8. (1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)当 x ∈ [0, 2] 时,关于 x 的函数 g ( x ) = f ( x ) ? (t ? x ) x ? 3 的图象始终在 x 轴上方, 求实数 t 的取值范围.

17.(本题满分15 分) 某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律:每生产产 品 x (百台) ,其总成本为 G ( x ) (万元) ,其中固定成本为 2.8 万元,并且每生产 1 百台 的生产成本为 1 万元(总成本=固定成本+生产成本) .销售收入 R ( x ) (万元)满足

??0.4 x 2 + 4.2 x ( 0≤x≤5 ) ? R ( x) = ? ,假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉) ,根 ( x > 5) ?11 ?
据上述统计规律,请完成下列问题:
[来源:Zxxk.Com]

(1)写出利润函数 y = f ( x ) 的解析式(利润=销售收入-总成本) ; (2)工厂生产多少台产品时,可使盈利最多?

18.(本题满分 15 分) 已知函数 f ( x ) =

a (a x ? a ? x ) , a > 0 且 a ≠ 1 ) ( . a ?1
2

(1)判断函数 f ( x ) 的单调性,并证明; (2)当函数 f ( x ) 的定义域为 (?1,1) 时,求使 f (1 ? m) + f (1 ? m ) < 0 成立的实数 m 的取值
2

范围.

19. (本题满分 16 分) 已知函数 f ( x ) = x x ? a

( x ∈R)



(1)判断 f ( x ) 的奇偶性,并证明; (2)求实数 a 的取值范围,使函数 g ( x ) = f ( x) + 2 x + 1 在 R 上恒为增函数.

20. (本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) = log a x , ( a > 0 且 a ≠ 1) . (1)若 g ( x) = f ( x ) ,当 a > 1 时,解不等式 g (1) < g (lg x ) ; (2)若 函数 h( x) = f ( x ? a ) ? 1 ,讨论 h(x ) 在区间 [2,4]上的最小值.

常熟市 2011-2012 学年第一学期期中考试试卷

高一数学参考答案

2011.11

15.解: . (1)当 a = 1 时, A =

{x -

3 < x < 5} ,

…………………2 分 …………………4 分 …………………7 分
[来源:学科网]

∴ A I B = {x | ?3 < x < ?1}. (2)Q A = ∴ ?

B = {x x < - 1或x > 5}.

{x a -

4 < x < a + 4}, B = {x x < - 1或x > 5},且 A U B = R ,
…………………12 分
[来源:Z,xx,k.Com]

?a ? 4≤? 1 , ?a + 4≥5

∴a 的取值范围是-1≤a≤3 .

…………………14 分

16.解: . (1)∵二次函数图象顶点为(1,16),在 x 轴上截得线段长为 8,所以抛物线与 x 轴的 交点坐标为(-3,0),(5,0), …………………2 分 又∵开口向下,设原函数为 f ( x ) = a ( x + 3)( x ? 5) ( a < 0) , 将 (1,16) 代入得 a = ?1 , ∴所求函数 f ( x ) 的解析式为 f ( x ) = ? x 2 + 2 x + 15 . (2) g ( x ) = (2 ? t ) x + 12, x ∈ [0, 2] …………………4 分 …………………6 分 …………………7 分 …………………9 分

的图象在 x 轴上方,有 ?

? g (0) > 0 , ? g (2) > 0

…………………12 分 …………………14 分 …………………2 分 …………………7 分

解得 t < 8 即为所求 t 的取值范围. 17.解: . (1)由题意得 G(x)=2.8+x. ∴ f ( x ) =R(x)?G(x)= ?

??0.4 x + 3.2 x ? 2.8(0≤x≤5) . ? 8.2 ? x( x > 5)
2

(2)当 x >5 时,∵函数 f ( x ) 递减,∴ f ( x ) < f (5) =3.2(万元) .………………10 分 当 0≤x≤5 时,函数 f ( x ) = -0.4(x?4)2+3.6, 当 x=4 时, f ( x ) 有最大值为 3.6(万元) . 所以当工厂生产 4 百台时,可使赢利最大为 3.6 万元. …………………14 分 …………………15 分
[来源:学|科|网]

18.解: . (1)函数 f ( x ) 在 R 上为增函数.

… ………………1 分

(2)∵ f ( x ) 定义域为 (?1,1) ,在数轴上关于原点对称, 又∵ f ( ? x ) =

…………………8 分

a a ( a ? x ? a x ) = ? 2 ( a x ? a ? x ) = ? f ( x) , a ?1 a ?1
2

∴ f ( x ) 是定义域 (?1,1) 上的奇函数. 由 f (1 ? m) + f (1 ? m ) < 0 得 f (1 ? m) < ? f (1 ? m ) ,
2 2

…………………10 分

∴ f (1 ? m) < f (m 2 ? 1) , ??1 < 1 ? m < 1 ? ∴ ??1 < 1 ? m2 < 1 , ?1 ? m < m 2 ? 1 ? 解得 1 < m < 2 即为所求 m 的取值范围.
19.解: . (1)当 a=0 时,f(x)=x|x|,定义域为 R, 又 f ( ? x ) = ( ? x ) | ? x |= ? x | x |= ? f ( x ) ,∴ f ( x ) 是奇函数. 当 a ≠ 0 时, f ( a ) = 0, f ( ? a ) = ?a | a | ,∵ f ( ? a ) ≠ ± f ( a ) , ∴ f ( x ) 是非奇非偶函数.

…………………12 分 …………………14 分

…………………15 分

……………………3 分

……………………6 分

∴当 a = 0 时, f ( x ) 为奇函数;当 a ≠ 0 时, f ( x ) 为非奇非偶函数. ……………7 分

? x 2 + (2 ? a ) x + 1 x≥a ? (2) g ( x ) = x | x ? a | +2 x + 1 = ? 2 在 R 上恒为增函数,…8 分 ?? x + (2 + a ) x + 1 x < a ? ∴ y = x 2 + (2 ? a ) x + 1 在 [ a, +∞) 上是增函数,且 y = ? x 2 + (2 + a ) x + 1 在 (?∞, a ] 上是
增函数, ……………………10 分

? 2?a ?? 2 ≤a ? ∴? , 2+a ? ≥a ? 2 ? ∴ ?2≤a≤2 .
20.解: . (1)∵ g ( x) = log a x 是偶函数

……………………14 分

……………………1 5 分 …………………2 分

当 x > 0 时, g ( x) = log a x (a > 1) 是增函数,

若 x = a + 1 时, log a ( x ? a ) = 0 ① 当 2≤a + 1≤4 ,则 1 < a≤3 ∴ x = a + 1 时, h( x) min = h(a + 1) = ?1 . ② 当 a + 1 < 2 ,则 0 < a < 1 在 x ∈ [2,4] 时, h(x ) 为增函数 ∴ x = 2 时, h( x ) min = h( 2) = ? log a ( 2 ? a ) ? 1 . ③ 当 a + 1 > 4 ,则 3 < a < 4 , 在 x ∈ [2,4] 时, h(x ) 为减函数. ∴ x = 4 时, h( x ) min = h( 4) = ? log a ( 4 ? a ) ? 1 .

…………………9 分

……… …………11 分

…………………13 分

…………………15 分

∴ h( x) min

? ? log a (2 ? a ) ? 1 ? = ? ?1 ?? log (4 ? a ) ? 1 a ?

(0 < a < 1) (1 < a≤3) . (3 < a < 4)

…………………16 分

附件 1:律师事务所反盗版维权声 明 :

附件 2:独家资源交换签约学校名录(放大查看) :独家资源交换签约学校名录(放大查看) 学校名录参见:http://www.zxxk.com/wxt/Info.aspx?InfoID=85353



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