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宁夏银川一中2017届高三上学期第五次月考数学(理)试题.doc


银川一中 2017 届高三年级第五月考

数 学 试 卷(理)
命题人:

第Ⅰ卷

(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? x y ? A. (4,??)

?

x ? 4 , B ? ?x ?1 ? 2x ?1 ? 0?,则 (CU A) ? B =

?

B. ?0, ? 2

? 1? ? ?

C. ? , 4 ? 2

?1 ?

? ?

D. ?1,4?

2 ,若 ,则 .已知 . ...i 为虚数单位 ..... . .1 ? i ? a ? bi ? a , b ? R ? . .log2 ? a ? b? 的值是 ... A . . .0 B . . .?1 C . . .?2 D . . .2

2?i

1

3.设 a , b ? R, 若 a ? | b |? 0, 则下列不等式中正确的是 A. b ? a ? 0 B. a 3 ? b 3 ? 0 C. b ? a ? 0 D. a 2 ? b 2 ? 0

4.已知数列 {an } 是等差数列,其前 n 项和为 S n , 若 S2017 ? 4034,则 a3 ? a1009 ? a2015 ? A.2 B.4 C.6 D.8 5.对于直线 m , n 和平面 ? , ? , ? ? ? 的一个充分条件是 A. m // n , n ? ? , m ? ? C. m ? n , ? ? ? ? m , n ? ? B. B. m ? n , m // ? , n // ? D. D. m // n , m ? ? , n ? ?

6.函数 f ( x) ? x a 满足 f (2) ? 4 ,那么函数 g ( x) ? loga ( x ? 1) 的图象大致为

7.已知某几何体的三视图(单位: cm)如图所示,则该几何体的体积是 A.108cm3 C.92cm3 B.84cm3 D.100cm3

8. 已知 x1 ,x2 ( x1 ? x2 ) 是函数 f ( x ) ? ln x ? 则 A. f (a) ? 0 , f (b) ? 0 C. f (a) ? 0 , f (b) ? 0
2 9.设函数 f ( x) ? 2 cos ( x ?

1 b ? ?1, x2 ? , 的两个零点, 若 a ? ? x1,1? , x ?1

B. f (a) ? 0 , f (b) ? 0 D. f (a) ? 0 , f (b) ? 0

? ? ) ? sin(2 x ? ) , x ? (0,3π) 则下列判断正确的是 8 4

A.函数的一条对称轴为 x ?

π 6

B.函数在区间 ?

? π 5π ? , ? 内单调递增 ?2 4 ?

C. ?x0 ? (0, 3π),使 f ( x0 ) ? ?1 D. ?a ? R ,使得函数 y ? f ( x ? a ) 在其定义域内为偶函数 10.如图,正方形 ABCD 中, M 是 BC 的中点, 若 AC ? ? AM ? ? BD ,则 ? ? ? ? A.

4 3

B.

5 3

C.

15 8

D. 2

11.三棱锥 P ? ABC 中, AB ? BC ? 15, AC ? 6, PC ? 平面 ABC, PC ? 2 ,则该三棱 锥的外接球的表面积为 A.

25 ? 3

B.

25 ? 2

C.

83 ? 3

D.

83 ? 2

12 . 定 义 : 如 果 函 数 f ( x ) 在 ? a, b? 上 存 在 x1 , x2 ( a ? x1 ? x2 ? b ) , 满 足

f ?( x1 ) ?

f (b) ? f (a ) f (b) ? f (a ) ,f ?( x2 ) ? , 则称数 x1 ,x2 为 ? a, b? 上的“对望数”, b?a b?a

函数 f ( x ) 为 ? a, b? 上的“对望函数”.已知函数 f ( x) ? 望函数”,则实数 m 的取值范围是 A. (1, )

1 3 x ? x 2 ? m 是 ? 0, m? 上的“对 3 3 2 3 2

3 2

B. ( ,3)

3 2

C. (1, 2) U (2,3)

D. (1, ) U ( ,3)

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须 做答.第 22 题~第 23 题为选考题,考生根据要求做答.

二、填空题:本大题共 小题,每小题 分. ..........4 . ......5 . .. 1 13.由 y ? x, y ? , x ? 2 及 x 轴所围成的平面图形的面积是. x

? x ? y ? 1 ? 0, ? 14.若实数 x, y 满足 ? x ? y ? 0, 则 z ? x ? 2 y 的最大值是. ? x ? 0, ?
15.已知 a ? 0, b ? 0 ,若不等式

m 3 1 ? ? ? 0 恒成立,则 m 的最大值为. 3a ? b a b

n ?1, {an } 中, {an } 的前 16 . 数列 . . . .. ..a1 ? 1 , .Sn 为数列 ... ..n 项和,且对 .....?n ? 2 ,都有 ...a S ? S 2 . n n n

2a

{an } 的通项公式 . 则数列 ... .....an ? .
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分)
? 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 Sn ? an ? 1(n ? N ) .

1 3

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ? log 4 (1 ? Sn?1 ) (n ? N? ) ,求 Tn ? 18.(本小题满分 12 分) B, C 的对边分别是 a、 b、 c, 在△ABC 中, 角 A, 已知 a ? (cos A, cos B), b ? (a, 2c ? b), A ? ?
? ?

1 1 1 ? ? ?? ? . b1b2 b2b3 bnbn?1

且. a / / b

(I)求角 A 的大小; (2)若 AD 为 BC 边上的中线, cos B ?

1 , 7
B D C
P

AD ?

129 ,求 ?ABC 的面积. 2

19.(本小题满分 12 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,

?BAD ? 60? , PA ? 面 ABCD , PA ? 3 , E , F 分别为

F

BC , PA 的中点.
(1)求证: BF / / 面 PDE ; (2)求二面角 D ? PE ? A 的大小的正弦值; (3)求点 C 到面 PDE 的距离.
C E B D A

P 20.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥中 P ? ABCD , PA ? 平面 ABCD , M A

AD // BC , AD ? CD ,且 AD ? CD ? 2 2 ,

BC ? 4 2 , PA ? 2 .
(1)求证: AB ? PC ; (2)在线段 PD 上,是否存在一点 M , 使得二面角 M ? AC ? D 的大小为 45? ,如果 B

D

C

存在,求 BM 与平面 MAC 所成的角的正弦值,如果不存在,请说明理由. 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? x ?

1 ? a ln x ? a ? R ? . x

(1)若函数 f ? x ? 在区间 ?1, ?? ? 上单调递增,求实数 a 的取值范围; (2)已知 g ? x ? ?

1 2 1 3 2 x ? ? m ? 1? x ? , m ? ? , h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ,当 a ? 1 时 , 2 x 2

h ? x ? 有两个极值点 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ,求 h ? x1 ? ? h ? x2 ? 的最小值.

请考生在第 22、23 两题中任选一题做答,如果多做.则按所做的第一题记分.做答时 请写清题号。 22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:极坐标系与参数方程

? 6 t ? x ? ?3 ? ? 3 (t为参数) 已知直线 l 的参数方程为 ? ,在直角坐标系中,以原点 O 为极 ?y ? 3 t ? 3 ?
点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的方程为 ? =4 2 cos(? ? (1)求曲线 C 的直角坐标方程; (2)点 P、Q 分别为直线 l 与曲线 C 上的动点,求 PQ 的取值范围. 23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? x ? a . (1)当 a ? 2 时,解不等式 f ( x) ? 7 ? x ?1 ;

?
4

) ? 4sin ? .

3], (2) 若 f(x)≤2 的解集为[-1,

1 1 ? ? a (m ? 0, n ? 0) , 求证:m ? 4n ? 2 2 ? 3 . m 2n

银川一中 2017 届高三第五次月考数学(理科)参考答案
一、选择题: 题号 答案 1 B 2 A 3 C 4 C 5 A 6 C 7 D 8 C 9 D 10 B 11 D 12 B

二、填空题:

13. ln2 ;

14. 2;

15. 16;

?1, n ? 1 ? 16. an ? ? 2 ?? n(n ? 1) , n ? 2 ?

三、解答题: 17.解(1)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ,由 S1 ? a1 ? 1 ? a1 ?

1 3

3 , 4

1 ? S n ? an ? 1 ? 1 ? 1 3 ? S n ? S n ?1 ? (an ? an ?1 ) ? 0 ? an ? an?1 当 n ? 2 时, ? 3 4 ?S ? 1 a ? 1 n ?1 n ?1 ? 3 ?
∴ ?an ? 是以 故 an ?

3 1 为首项, 为公比的等比数列. 4 4

3 1 n?1 1 ( ) ? 3( )n (n ? N? ) ………………6 分 4 4 4
1 1 an ?1 ? ( ) n ?1 3 4

(2)由(1)知 1 ? S n ?1 ?

1 bn ? log 4 (1 ? S n ?1 ) ? log 4 ( ) n ?1 ? ?( n ? 1) 4

1 1 1 1 ? ? ? bnbn ?1 (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ( ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? )? ? b1b2 b2b3 bnbn ?1 2 3 3 4 n ?1 n ? 2 2 n ? 2 …12 分
18.解(1)因为 a / / b ,所以 (2c ? b) cos A ? b cos B,(2sin C ? sin B) cos A ? sin A cos B ,
? ?

2sin C cos A ? sin A cos B ? cos A sin B , 2sin C cos A ? sin( A ? B)
2sin C cos A ? sin C ,因为 C 为三角形内角, sin C ? 0, 所以 cos A ?
所以 A=

1 2

? 3

……6 分

(2)在 ?ABC 中, cos B ?

1 4 3 ,得 sin B ? .……7 分 7 7

则 sin C ? sin( A ? B) ? 由正弦定理得

3 1 1 4 3 5 3 .……8 分 ? ? ? ? 2 7 2 7 14

a sin A 7 ? ? .……9 分 c sin C 5

设 a ? 7 x , c ? 5 x ,在 ?ABD 中,由余弦定理得:

AD2 ? AB2 ? BD2 ? 2 AB ? BD cos B ,则

129 1 1 1 ? 25 x 2 ? ? 49 x 2 ? 2 ? 5 x ? ? 7 x ? ,解得 x ? 1 , 4 4 2 7
即 a ? 7, c ? 5 ,……11 分 故 S ?ABC ?

1 ac sin B ? 10 3 .……12 分 2

19.解(1)如图所示,取 PD 中点 G,连接 GF,GE,因为 E,F 分别为 BC,PA 中点, 所以可证得 FG//BE,FG=BE,所以四边形 BFGE 是平行四边形,所以 BF//EG,又

EG ? 平面PDE, BF ? 平面PDE ,所以 BF//平面 PDE

……4 分

(2)作 DH ? AE于H ,作HI ? PE于I ,连接 DI,易证 DH DH ? 平面PAE ,所以

DH ? PE ,又因为 PE ? HI,HI ? DH ? H , 所以 PE ? 平面DIH ,所以 PE ? DI
所以 ?DIH即为二面角D ? PE ? A的平面角, 在

Rt ?DIH中, sin ?DIH ?
(3)∵ VP?CDE ? VC ?PDE ,∴

DH 2 10 ? DI 7

……8 分

3 ? 3 S?CDE ? PA 1 1 21 2 . ……12 分 S?CDE ? PA ? S?PDE ? h ? h ? ? ? 1 3 3 S?PDE 7 ? 3? 7 2
20. 解 (I) 如图, 由已知得四边形 ABCD 是直角梯形, 由已知 AD ? CD ? 2 2 , BC ? 4 2 , 可得 ?ABC 是等腰直角三角形,即 AB ? AC , 又 PA ? 平面 ABCD ,则 PA ? AB , 所以 AB ? 平面 PAC , 所以 AB ? PC .……4 分 (II)存在.法一:(猜证法) 观察图形特点,点 M 可能是线段 PD 的中点.下面证明当 M 是线段 PD 的中点时,二 面角 M ? AC ? D 的大小为 45? .……5 分 过点 M 作 MN ? AD 于 N ,则 MN // PA ,则 MN ? 平面 ABCD . 过点 M 作 MG ? AC 于 G ,连接 NG ,则 ?MGN 是二面角 M ? AC ? D 的平面角.

因为 M 是线段 PD 的中点,则 MN ? 1 , AN ? 2 , 在四边形 ABCD 求得 NG ? 1 ,则 ?MGN ? 45 .……8 分
?

z

P M

在三棱锥 M ? ABC 中,可得 VM ? ABC ?

1 S?ABC ? MN , 3 1 S ?MAC ? h , 3
B x A G C

设点 B 到平面 MAC 的距离是 h , VB ? MAC ?

y N D

则 S?ABC ? MN ? S?MAC ? h ,解得 h ? 2 2 .……10 分 在 Rt ?BMN 中,可得 BM ? 27 . 设 BM 与平面 MAC 所成的角为 ? ,则 sin ? ? 法二:(作图法)

h 2 6 .……12 分 ? BM 9

过点 M 作 MN ? AD 于 N ,则 MN // PA ,则 MN ? 平面 ABCD . 过点 M 作 MG ? AC 于 G ,连接 NG ,则 ?MGN 是二面角 M ? AC ? D 的平面角. 若 ?MGN ? 45? ,则 NG ? MN ,又 AN ? 即 M 是线段 PD 的中点.……8 分 (以下同解法一) 法三:(向量计算法) 建立如图所示空间直角坐标系.则 A(0, 0, 0) , C(2 2, 2 2,0) , D(0, 2 2,0) ,

2 NG ? 2MN ,易求得 MN ? 1 .

??? ? P(0, 0, 2) , B(2 2 ,?2 2 ,0) , PD ? (0, 2 2, ?2) . ???? ? ??? ? 设 PM ? tPD ( 0 ? t ? 1 ),则 M 的坐标为 (0, 2 2t, 2 ? 2t ) .……6 分 ? 设 n ? ( x, y, z) 是平面 AMC 的一个法向量,则 ? ???? ? ? ?n ? AC ? 0 ?2 2 x ? 2 2 y ? 0 2t ,得 ,则可取 n ? (1, ?1, ? ???? ? ) .……8 分 ? ? 1 ? t n ? AM ? 0 2 2 ty ? (2 ? 2 t ) z ? 0 ? ? ? ? ?? 又 m ? (0,0,1) 是平面 ACD 的一个法向量,

?? ? ?? ? | m?n | 所以 | cos ? m, n ?|? ?? ? ? | m || n |

2t | t ?1 ? cos 45? 2t 2 2?( ) t ?1 |

1 t ? ……10 解得 分 .. 2 .即点 ...M 是线段 ...PD 的中点. .... .. . . . ???? ? AMC 此时平面 的一个法向量可取 , n ? (1, ? 1, 2) BM ? (?2 2,3 2,1) . .... ........ . .

? ,则 BM 与平面 ...MAC 所成的角为 ..... ..sin ? ?| cos ? n, BM ?|?
21. 解:(1)由已知可得 f ' ? x ? ? 0 在 ?1, ??? 上恒成立,

? ???? ?

2 6 .……12 分 . . . 9 ...

? f '? x? ? 1?

1 a x 2 ? ax ? 1 ? x2 ?1 2 , , 记 恒成立 ? ? , ? x ? ax ? 1 ? 0 ? a ? x2 x x2 x
……6 分

? ? x? ?

? x2 ? 1 1? ? ? ? ? x ? ? ? ?2 ,当且仅当 x ? 1 时等号成立,? a ? ?2 . x x? ?
1 2 x ? mx ,当 a ? 1 时,由 2

(2) h ? x ? ? a ln x ?

h ? x ? ? ln x ?

1 2 1 x 2 ? mx ? 1 , 由已知 x 2 ? mx ? 1 ? 0 有两互异 x ? mx, h ' ? x ? ? ? x ? m ? 2 x x

实根 x1 , x2 ,由根与系数的关系得 x1 ? x2 ? ?m, x1 , x2 ? 1,

1 1 ? ? ? ? ? h ? x1 ? ? h ? x2 ? ? ? ln x1 ? x12 ? mx1 ? ? ? ln x2 ? x2 2 ? mx2 ? 2 2 ? ? ? ? 1 ? ? x12 ? x2 2 ? ? m ? x1 ? x2 ? ? ln x1 ? ln x2 2 x 1 1 ? ? x12 ? x2 2 ? ? ? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? ? ln x1 ? ln x2 ? ? ? x12 ? x2 2 ? ? ln 1 2 2 x2

x 1? x x ? ? ? ? 1 ? 2 ? ? ln 1 . 2 ? x2 x1 ? x2
令t ?

x1 9 2 ,? t ? ? 0,1? ,? ? x1 ? x2 ? ? x12 ? x2 2 ? 2 x1 x2 ? m2 ? , x2 2

5 x 2 ? x2 2 x1 x2 5 1 5 ? 1? ? x12 ? x22 ? ,? 1 ? ? ? , t ? ? ,?t ? ? 0, ? , 2 x1 x2 x2 x1 2 t 2 ? 2?

?t ?1? ,?? ?t ? 单调递减, 1? 1? ? h ? x1 ? ? h ? x2 ? ? ln t ? ? t ? ? ? ? ?t ? ,?? ' ?t ? ? ? 2? 2? 2t 2
2

?1? 3 ?? ? t ?min ? ? ? ? ? ? ln 2 . ?2? 4
22.(本小题满分 10 分)

……12 分

解:(1)∵ ? =4cos ? ? 4sin ? ? 4sin ? ? 4cos ? ,

? ? 2 =4? cos?
又 ? sin ? ? y, ? cos ? ? x ,∴x2+y2=4x,

………………3 分

∴ C 的直角坐标方程为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 ....................5 分

(2) l 的普通方程为 x ? 2 y ? 3 ? 0 ,.............7 分 ∴圆 C 的圆心到 l 的距离为 d ?

5 5 3 5 3 ,∴ PQ 的最小值为 d ? r ? ? ?2 , 3 3 3

∴ PQ 的取值范围为 [ 分

5 3 ? 2, ??) ........................10 3

23.(本小题满分 10 分) 解: (1) 当 a ? 2 时, 不等式为 x ? 2 ? x ?1 ? 7 , ∴?

x ?1 ? 1? x ? 2 或? ?2 ? x ? 1 ? x ? 7 ?2 ? x ? x ? 1 ? 7 ?

或?

x?2 ,∴ x ? ?2 或 x ? 5 . ? x ? 2 ? x ?1 ? 7 ?
.................. 5 分

∴不等式的解集为 ? ??, ?2? ? ?5, ??? .

(2)f(x)≤2 即 | x ? a |? 2 ,解得 a ? 2 ? x ? a ? 2 ,而 f(x)≤2 解集是[-1,3],...6 分 ∴? 分 ∴ m ? 4n ? (m ? 4n)(

?a ? 2 ? ?1 1 1 ? 1 (m ? 0, n ? 0) ,..............7 解得 a ? 1 ,所以 ? m 2n ?a ? 2 ? 3
1 1 4n m ? ) ? 3? ? ? 2 2 ? 3 .(当且仅当 m 2n m 2n

m ? 2 ? 1, n ?

2?2 2 时取等号).........10 分 4


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