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2013届高考数学第一轮立体几何专项复习教案2.doc


1.2.3 第 1 课时

直线与平面的位置关系 至厦门与平面平行的判定

【课时目标】 1.理解直线与平面平行的判定定理的含义,会 用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行的判定定 理;2.能运用直线与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的 简单问题.

1.一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种: 位置 直线 a 在 直线 a 与 直线 a 与 关系 平面 α 内 平面 α 相交 平面 α 平行 有且只有一个 公共点 有无数个公共点 没有公共点 公共点 符号 a?α a∩α=A a∥α 表示 图形 表示 我们把直线 a 与平面 α 相交或平行的情况统称为 __________________,记作________. 2.直线与平面平行的判定定理: 如果平面外一条直线和________________________平行, 那么这 条直线和这个平面平行. 用符号表示为 a?α,b?α 且 a∥b?a∥α.

一、填空题 1.以下说法(其中 a,b 表示直线,α 表示平面)正确的个数为 ________. ①若 a∥b,b?α,则 a∥α; ②若 a∥α,b∥α,则 a∥b; ③若 a∥b,b∥α,则 a∥α; ④若 a∥α,b?α,则 a∥b. 2.已知 a,b 是两条相交直线,a∥α,则 b 与 α 的位置关系是

________. 3.如果平面 α 外有两点 A、B,它们到平面 α 的距离都是 a,则 直 线 AB 和 平 面 α 的 位 置 关 系 是 ___________________________________________________________ ___________. 4.在空间四边形 ABCD 中,E、F 分别是 AB 和 BC 上的点,若 AE∶EB=CF∶FB=1∶3,则对角线 AC 和平面 DEF 的位置关系是 ________. 5 .过直线 l 外两点,作与 l 平行的平面,则这样的平面为 ____________个. 6.过平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 任意两条棱的中点作直线, 其中与平面 DBB1D1 平行的直线共有________条. 7.经过直线外一点有________个平面与已知直线平行. 8.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 的面中:

(1)与直线 AB 平行的平面是______________; (2)与直线 AA1 平行的平面是______________; (3)与直线 AD 平行的平面是______________. 9.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 DD1 的中点,则 BD1 与 过 点 A , E , C 的 平 面 的 位 置 关 系 是 ___________________________________________________________ _______. 二、解答题 10.如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别是棱 BC、C1D1 的中点. 求证:EF∥平面 BDD1B1.

11.如图所示,P 是?ABCD 所在平面外一点,E、F 分别在 PA、 BD 上,且 PE∶EA=BF∶FD. 求证:EF∥平面 PBC.

能力提升 12.下列四个正方体图形中,A、B 为正方体的两个顶点,M、 N、P 分别为其所在棱的中点,能得出 AB∥面 MNP 的图形的序号是 ________.(写出所有符合要求的图形序号)

13.正方形 ABCD 与正方形 ABEF 所在平面相交于 AB, 在 AE, BD 上各有一点 P,Q,且 AP=DQ.求证 PQ∥平面 BCE.(用两种 方法证明)

直线与平面平行的判定方法 (1)利用定义: 证明直线 a 与平面 α 没有公共点. 这一点直接证明 是很困难的,往往借助于反证法来证明. (2)利用直线和平面平行的判定定理: a?α, a∥b, b?α, 则 a∥α. 使 用定理时, 一定要说明“不在平面内的一条直线和平面内的一条直线 平行”,若不注明和平面内的直线平行,证明过程就不完整.因此要 证明 a∥平面 α,则必须在平面 α 内找一条直线 b,使得 a∥b,从而 达到证明的目的.证明线线平行时常利用三角形中位线、平行线分线 段成比例定理等.

1.2.3 直线与平面的位置关系 第 1 课时 直线与平面平行的判定 答案
知识梳理 1.直线在平面外 a?α 2.这个平面内的一条直线 作业设计 1.0 解析 ①a?α 也可能成立;②a,b 还有可能相交或异面;③a? α 也可能成立;④a,b 还有可能异面. 2.b∥α 或 b 与 α 相交 3.平行或相交 4.平行 5.0,1 或无数 6.12

解析 如图所示,与 BD 平行的有 4 条,与 BB1 平行的有 4 条, 四边形 GHFE 的对角线与面 BB1D1D 平行,同等位置有 4 条,总共 12 条. 7.无数 8.(1)平面 A1C1 和平面 DC1 (2)平面 BC1 和平面 DC1 (3)平面 B1C 和平面 A1C1 9.平行

解析 设 BD 的中点为 F,则 EF∥BD1. 10.证明 取 D1B1 的中点 O, 连结 OF,OB. 1 1 ∵OF 綊2B1C1,BE 綊2B1C1,

∴OF 綊 BE. ∴四边形 OFEB 是平行四边形, ∴EF∥BO. ∵EF?平面 BDD1B1, BO?平面 BDD1B1, ∴EF∥平面 BDD1B1. 11.证明 连结 AF 延长交 BC 于 G, 连结 PG.

在?ABCD 中, 易证△BFG∽△DFA. GF BF PE ∴ FA =FD=EA, ∴EF∥PG. 而 EF?平面 PBC, PG?平面 PBC, ∴EF∥平面 PBC. 12.①③ 13.证明 方法一 如图(1)所示,作 PM∥AB 交 BE 于 M,作 QN∥AB 交 BC 于 N,连结 MN. ∵正方形 ABCD 和正方形 ABEF 有公共边 AB, ∴AE=BD. 又∵AP=DQ,∴PE=QB. 又∵PM∥AB∥QN, PM PE QN BQ ∴AB =AE,DC =BD. ∴PM 綊 QN.

∴四边形 PQNM 是平行四边形.∴PQ∥MN. 又 MN?平面 BCE,PQ?平面 BCE, ∴PQ∥平面 BCE.

方法二 如图(2)所示,连结 AQ 并延长交 BC(或其延长线)于 K, 连结 EK. DQ AQ ∵KB∥AD,∴BQ=QK.∵AP=DQ,AE=BD, ∴BQ=PE. DQ AP AQ AP ∴BQ = PE .∴QK= PE .∴PQ∥EK. 又 PQ?面 BCE,EK?面 BCE,∴PQ∥面 BCE.

第 2 课时

直线与平面平行的性质

【课时目标】 1.能应用文字语言、符号语言、图形语言准确 地描述直线与平面平行的性质定理.2.能运用直线与平面平行的性 质定理,证明一些空间线面平行关系的简单问题.

直线与平面平行的性质定理: 经过一条直线和一个平面________, 经过这条直线的平面和这个 平面__________,那么这条直线就和交线________. (1)符号语言描述:______________. (2)性质定理的作用: 可以作为________________ 平行的判定方法,也提供了一种作 __________的方法.

一、填空题 1.已知直线 l∥平面 α,直线 m?α,则直线 l 和 m 的位置关系 是________. 2.若不在同一条直线上的三点 A、B、C 到平面 α 的距离相等,

且 A、B、CD/∈α,则面 ABC 与面 α 的位置关系为____________. 3.若直线 m 不平行于平面 α,且 m?α,则下列结论成立的是 ________(填序号). ①α 内的所有直线与 m 异面; ②α 内不存在与 m 平行的直线; ③α 内存在唯一的直线与 m 平行; ④α 内的直线与 m 都相交. 4.如图所示,长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是棱 AA1 和 BB1 的中点,过 EF 的平面 EFGH 分别交 BC 和 AD 于 G、H,则 HG 与 AB 的位置关系是________.

5.直线 a∥平面 α,α 内有 n 条直线交于一点,则这 n 条直线中 与直线 a 平行的直线条数为________. 6.如图所示,平面 α∩β=l1,α∩γ=l2,β∩γ=l3,l1∥l2,下列 说法正确的是__________(填序号).

①l1 平行于 l3,且 l2 平行于 l3; ②l1 平行于 l3,且 l2 不平行于 l3; ③l1 不平行于 l3,且 l2 不平行于 l3; ④l1 不平行于 l3,但 l2 平行于 l3. 7.设 m、n 是平面 α 外的两条直线,给出三个论断: ①m∥n;②m∥α;③n∥α.以其中的两个为条件,余下的一个 为结论,构造三个命题,写出你认为正确的一个命题: ______________.(用序号表示) 8.如图所示,ABCD—A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体,M、N 分别是下底面的棱 A1B1,B1C1 的中点,P 是上底面的棱 AD 上的一 a 点,AP=3,过 P,M,N 的平面交上底面于 PQ,Q 在 CD 上,则 PQ =________.

9.如图所示,在空间四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是四 边上的点,它们共面,并且 AC∥平面 EFGH,BD∥平面 EFGH,AC =m,BD=n,当四边形 EFGH 是菱形时,AE∶EB=________.

二、解答题 10.ABCD 是平行四边形,点 P 是平面 ABCD 外一点,M 是 PC 的中点,在 DM 上取一点 G,过 G 和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH, 求证:AP∥GH.

11.如图所示,三棱锥 A—BCD 被一平面所截,截面为平行四 边形 EFGH. 求证:CD∥平面 EFGH.

能力提升 12.如图所示,在透明塑料制成的长方体 ABCD—A1B1C1D1 容 器中灌进一些水,将固定容器底面一边 BC 置于地面上,再将容器倾 斜,随着倾斜程度的不同,有以下命题:①水的形状成棱柱形;②水 面 EFGH 的面积不变;③A1D1 始终水面 EFGH 平行.其中正确的命 题序号是________.

13.如图所示,P 为平行四边形 ABCD 所在平面外一点,M、N 分别为 AB、PC 的中点,平面 PAD∩平面 PBC=l. (1)求证:BC∥l; (2)MN 与平面 PAD 是否平行?试证明你的结论.

直线与平面平行判定定理和直线与平面平行性质定理经常交替 使用,也就是通过线线平行推出线面平行,再通过线面平行推出新的 线线平行,复杂的题目还可继续推下去.可有如下示意图:

经过直线作或找平 线线平行 在平面内作 ――→ 线面平行 面与平面相交的交线 ――→ 线线平行 . 或找一直线

第 2 课时
知识梳理 平行 相交 平行

直线与平面平行的性质

答案

? ? a?β ??a∥b ? β∩α=b?
a∥α

直线和直线 平行线 作业设计 1.平行或异面 2.平行或相交 3.② 4.平行 解析 ∵E、F 分别是 AA1、BB1 的中点,∴EF∥AB. 又 AB?平面 EFGH,EF?平面 EFGH, ∴AB∥平面 EFGH. 又 AB?平面 ABCD, 平面 ABCD∩平面 EFGH=GH, ∴AB∥GH. 5.0 或 1 解析 设这 n 条直线的交点为 P,则点 P 不在直线 a 上,那么直 线 a 和点 P 确定一个平面 β,则点 P 既在平面 α 内又在平面 β 内,则 平面 α 与平面 β 相交, 设交线为直线 b, 则直线 b 过点 P. 又直线 a∥ 平面 α,则 a∥b.很明显这样作出的直线 b 有且只有一条,那么直线 b 可能在这 n 条直线中,也可能不在,即这 n 条直线中与直线 a 平行 的直线至多有一条. 6.① 解析 ∵l1∥l2,l2?γ,l1?γ, ∴l1∥γ. 又 l1?β,β∩γ=l3, ∴l1∥l3 ∴l1∥l3∥l2. 7.①②?③(或①③?②) 解析 设过 m 的平面 β 与 α 交于 l. ∵m∥α,∴m∥l,∵m∥n,∴n∥l, ∵n?α,l?α,∴n∥α.

2 2 8. 3 a 解析 ∵MN∥平面 AC,平面 PMN∩平面 AC=PQ, 2a ∴MN∥PQ,易知 DP=DQ= 3 , 2 2a 故 PQ= PD2+DQ2= 2DP= 3 . 9.m∶n 解析 ∵AC∥平面 EFGH,∴EF∥AC,GH∥AC, BE AE ∴EF=HG=m· ,同理 EH = FG = n· BA AB. BE AE ∵EFGH 是菱形,∴m· = n· BA AB, ∴AE∶EB=m∶n. 10.证明 如图所示,连结 AC 交 BD 于 O,连结 MO, ∵ABCD 是平行四边形,

∴O 是 AC 中点, 又 M 是 PC 的中点, ∴AP∥OM. 根据直线和平面平行的判定定理, 则有 PA∥平面 BMD. ∵平面 PAHG∩平面 BMD=GH, 根据直线和平面平行的性质定理, ∴PA∥GH. 11.证明 ∵四边形 EFGH 为平行四边形, ∴EF∥GH. 又 GH?平面 BCD,EF?平面 BCD. ∴EF∥平面 BCD. 而平面 ACD∩平面 BCD=CD,EF?平面 ACD, ∴EF∥CD. 而 EF?平面 EFGH,CD?平面 EFGH, ∴CD∥平面 EFGH. 12.①③ 13.(1)证明 因为 BC∥AD,AD?平面 PAD, BC?平面 PAD,所以 BC∥平面 PAD.

又平面 PAD∩平面 PBC=l,BC?平面 PBC, 所以 BC∥l.

(2)解 MN∥平面 PAD. 证明如下: 如图所示,取 DC 的中点 Q. 连结 MQ、NQ. 因为 N 为 PC 中点, 所以 NQ∥PD. 因为 PD?平面 PAD,NQ?平面 PAD,所以 NQ∥平面 PAD.同 理 MQ∥平面 PAD. 又 NQ?平面 MNQ,MQ?平面 MNQ, NQ∩MQ=Q,所以平面 MNQ∥平面 PAD. 所以 MN∥平面 PAD.

第 3 课时

直线与平面垂直的判定

【课时目标】 1.理解直线与平面垂直的定义.2.掌握直线与 平面垂直的判定定理并能灵活应用.

1.如果直线 a 与平面 α 内的__________________,我们就说直 线 a 与平面 α 互相垂直,记作:________. 图形如图所示.

2.从平面外一点引平面的垂线,这个点和________间的距离, 叫做这个点到这个平面的距离. 3.直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线和一个平面内的 两条________直线垂直,那么这条直线______于这个平面. 图形表示:

用 符 号 表 示 为 : ___________________________________________________________ ___.

一、选择题 1.下列命题中正确的是________(填序号). ①如果直线 l 与平面 α 内的无数条直线垂直,则 l⊥α; ②如果直线 l 与平面 α 内的一条直线垂直,则 l⊥α; ③如果直线 l 不垂直于 α,则 α 内没有与 l 垂直的直线; ④如果直线 l 不垂直于 α,则 α 内也可以有无数条直线与 l 垂直. 2.直线 a⊥直线 b,b⊥平面 β,则 a 与 β 的关系是________. 3.若 a、b、c 表示直线,α 表示平面,下列条件中能使 a⊥α 为 ________.(填序号) ①a⊥b,b⊥c,b?α,c?α;②a⊥b,b∥α; ③a∩b=A,b?α,a⊥b;④a∥b,b⊥α. 4.如图所示,定点 A 和 B 都在平面 α 内,定点 P?α,PB⊥α,C 是平面 α 内异于 A 和 B 的动点,且 PC⊥AC,则△ABC 的形状为 __________三角形.

5.如图①所示,在正方形 SG1G2G3 中,E、F 分别是边 G1G2、 G2G3 的中点,D 是 EF 的中点,现沿 SE、SF 及 EF 把这个正方形折 成一个几何体(如图②使 G1、G2、G3 三点重合于一点 G),则下列结 论中成立的有________(填序号).

①SG⊥面 EFG;②SD⊥面 EFG;③GF⊥面 SEF; ④GD⊥面 SEF. 6.△ABC 的三条边长分别是 5、12、13,点 P 到三点的距离都 等 于 7 , 那 么 P 到 平 面 ABC 的 距 离 为

___________________________________________________________ _______. 7.如图所示,PA⊥平面 ABC,△ABC 中 BC⊥AC,则图中直 角三角形的个数为________.

8.在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,BC=CC1,当底面 A1B1C1 满 足条件______时, 有 AB1⊥BC1(注: 填上你认为正确的一种条件即可, 不必考虑所有可能的情况). 9.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别是棱 AA1 和 AB 上的点,若∠B1MN 是直角,则∠C1MN=________.

二、解答题 10.如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别是棱 B1C1、B1B 的中点.求证:CF⊥平面 EAB.

11.如图所示,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,侧 棱 PA 垂直于底面,E、F 分别是 AB,PC 的中点,PA=AD. 求证:(1)CD⊥PD; (2)EF⊥平面 PCD.

能力提升 12.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 为 DD1 的中 点,O 为 ABCD 的中心,求证 B1O⊥平面 PAC.

13.如图所示,△ABC 中,∠ABC=90° ,SA⊥平面 ABC,过

点 A 向 SC 和 SB 引垂线, 垂足分别是 P、 Q, 求证: (1)AQ⊥平面 SBC; (2)PQ⊥SC.

1.直线和平面垂直的判定方法 (1)利用线面垂直的定义. (2)利用线面垂直的判定定理. (3)利用下面两个结论:①若 a∥b,a⊥α,则 b⊥α;②若 α∥β, a⊥α,则 a⊥β. 2.在线面垂直的问题中,通过直线与直线垂直,可以证明直线 与平面垂直; 直线与平面垂直后, 直线和平面内的任何直线都垂直. 这 样,就形成了线线垂直与线面垂直连环使用的思维形式,它对解题方 法、策略乃至人们的思维,无疑都是一种提示.

第 3 课时

直线与平面垂直的判定

答案

知识梳理 1.任意一条直线都垂直 a⊥α 2.垂足 3.相交 垂直 m,n?α,m∩n=O,l⊥m,l⊥n?l⊥α 作业设计 1.④ 2.a?β 或 a∥β 3.④ 4.直角 解析 易证 AC⊥面 PBC,所以 AC⊥BC. 5.① 3 6.2 3

解析 由 P 到三个顶点距离相等.可知,P 为△ABC 的外心, 又 △ABC 为直角三角形, ∴P 到平面 ABC 的距离为 h = PD = ?13? 3 72-? 2 ?2=2 3. ? ? 7.4 PA⊥平面ABC ? ? ? 解析 ? BC?平面ABC?
??BC⊥平面 PAC?BC⊥PC, AC⊥BC? ? ∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC. 8.∠A1C1B1=90° 解析

?

PA⊥BC ? ?

如图所示,连结 B1C, 由 BC=CC1,可得 BC1⊥B1C, 因此,要证 AB1⊥BC1,则只要证明 BC1⊥平面 AB1C, 即只要证 AC⊥BC1 即可,由直三棱柱可知,只要证 AC⊥BC 即 可. 因为 A1C1∥AC,B1C1∥BC, 故只要证 A1C1⊥B1C1 即可. (或者能推出 A1C1⊥B1C1 的条件,如∠A1C1B1=90° 等) 9.90° 解析 ∵B1C1⊥面 ABB1A1, ∴B1C1⊥MN. 又∵MN⊥B1M, ∴MN⊥面 C1B1M, ∴MN⊥C1M. ∴∠C1MN=90° . 10.证明 在平面 B1BCC1 中, ∵E、F 分别是 B1C1、B1B 的中点,

∴△BB1E≌△CBF, ∴∠B1BE=∠BCF, ∴∠BCF+∠EBC=90° ,∴CF⊥BE, 又 AB⊥平面 B1BCC1,CF?平面 B1BCC1, ∴AB⊥CF,AB∩BE=B,∴CF⊥平面 EAB. 11.证明 (1)∵PA⊥底面 ABCD, ∴CD⊥PA. 又矩形 ABCD 中,CD⊥AD,且 AD∩PA=A, ∴CD⊥平面 PAD, ∴CD⊥PD.

(2)取 PD 的中点 G,连结 AG,FG.又∵G、F 分别是 PD,PC 的中点, 1 ∴GF 綊2CD,∴GF 綊 AE, ∴四边形 AEFG 是平行四边形,∴AG∥EF. ∵PA=AD,G 是 PD 的中点, ∴AG⊥PD,∴EF⊥PD, ∵CD⊥平面 PAD,AG?平面 PAD. ∴CD⊥AG.∴EF⊥CD. ∵PD∩CD=D,∴EF⊥平面 PCD. 12.证明 连结 AB1,CB1,设 AB=1. ∴AB1=CB1= 2,

∵AO=CO,∴B1O⊥AC. 连结 PB1. 3 2 2 ∵OB1 =OB2+BB1 =2, 9 2 2 2 PB1 =PD1 +B1D1 =4,

3 OP2=PD2+DO2=4,
2 2 ∴OB1 +OP2=PB1 . ∴B1O⊥PO, 又∵PO∩AC=O, ∴B1O⊥平面 PAC. 13.证明 (1)∵SA⊥平面 ABC,BC?平面 ABC, ∴SA⊥BC. 又∵BC⊥AB,SA∩AB=A, ∴BC⊥平面 SAB. 又∵AQ?平面 SAB, ∴BC⊥AQ.又∵AQ⊥SB,BC∩SB=B, ∴AQ⊥平面 SBC. (2)∵AQ⊥平面 SBC,SC?平面 SBC, ∴AQ⊥SC. 又∵AP⊥SC,AQ∩AP=A, ∴SC⊥平面 APQ. ∵PQ?平面 APQ,∴PQ⊥SC.

第 4 课时

直线与平面垂直的性质

【课时目标】 1.掌握直线与平面垂直的性质定理.2.会求直 线与平面所成的角.

1.直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线垂直于同一个平 面,那么这两条直线________.

该定理用图形表示为: 用符号表示为:________________________. 2.直线和平面的距离:一条直线和一个平面________,这条直 线上______________到这个平面的距离, 叫做这条直线和这个平面的 距离. 3.平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角,叫做 这条直线与这个平面______________. 规定:若直线与平面垂直,则直线与平面所成的角是________.

若直线与平面平行或直线在平面内,则直线与平面所成的角是 ________的角.

一、填空题 1.与两条异面直线同时垂直的平面有________个. 2.若 m、n 表示直线,α 表示平面,则下列命题中,正确命题的 个数为________. ? ? m∥n? m⊥α? ??n⊥α; ??m∥n; ① ② m⊥α? n⊥α ? ? ? m⊥α? m∥α? ? ? ??m⊥n; ??n⊥α. ④ ? ? n∥α ? m⊥n ? 3.已知直线 PG⊥平面 α 于 G,直线 EF?α,且 PF⊥EF 于 F, 那么线段 PE,PF,PG 的大小关系是______________. 4.PA 垂直于以 AB 为直径的圆所在平面,C 为圆上异于 A,B 的任一点,则下列关系正确的是________(填序号). ③

①PA⊥BC; ②BC⊥平面 PAC; ③AC⊥PB; ④PC⊥BC. 5.P 为△ABC 所在平面外一点,O 为 P 在平面 ABC 内的射影. (1)若 P 到△ABC 三边距离相等,且 O 在△ABC 的内部,则 O 是△ABC 的________心; (2)若 PA⊥BC,PB⊥AC,则 O 是△ABC 的______心; (3)若 PA,PB,PC 与底面所成的角相等,则 O 是△ABC 的 ________心. 6.线段 AB 在平面 α 的同侧,A、B 到 α 的距离分别为 3 和 5, 则 AB 的中点到 α 的距离为________. 7.直线 a 和 b 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 的两个不同平面内, 使 a∥b 成立的条件是________.(只填序号) ①a 和 b 垂直于正方体的同一个面;②a 和 b 在正方体两个相对 的面内,且共面;③a 和 b 平行于同一条棱;④a 和 b 在正方体的两 个面内,且与正方体的同一条棱垂直.

8.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,

(1)直线 A1B 与平面 ABCD 所成的角是________; (2)直线 A1B 与平面 ABC1D1 所成的角是________; (3)直线 A1B 与平面 AB1C1D 所成的角是________. 9.如图,在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,侧棱长为 2,底面三 角形的边长为 1,则 BC1 与侧面 ACC1A1 所成的角是________.(正三 棱柱:侧棱与底面垂直,底面为正三角形的棱柱)

二、解答题 10.如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M 是 AB 上一 点,N 是 A1C 的中点,MN⊥平面 A1DC. 求证:(1)MN∥AD1; (2)M 是 AB 的中点.

11.如图所示,设三角形 ABC 的三个顶点在平面 α 的同侧, AA′⊥α 于 A′,BB′⊥α 于 B′,CC′⊥α 于 C′,G、G′分别 是△ABC 和△A′B′C′的重心,求证:GG′⊥α.

能力提升 12. 如图, △ABC 为正三角形, EC⊥平面 ABC, DB⊥平面 ABC, CE=CA=2BD,M 是 EA 的中点,N 是 EC 的中点, 求证:平面 DMN∥平面 ABC.

13.如图所示,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC⊥BC,AC= BC=CC1,M,N 分别是 A1B,B1C1 的中点. (1)求证:MN⊥平面 A1BC; (2)求直线 BC1 和平面 A1BC 所成的角的大小.

1.直线和平面垂直的性质定理可以作为两条直线平行的判定定 理,可以并入平行推导链中,实现平行与垂直的相互转化,即线线垂 直?线面垂直?线线平行?线面平行. 2. 求线面角, 确定直线在平面内的射影的位置, 是解题的关键. 因 为只有确定了射影的位置,才能找到直线与平面所成的角,才能将空 间的问题转化为平面的问题来解.

第 4 课时

直线与平面垂直的性质

答案

知识梳理 1.平行 a⊥α,b⊥α?a∥b 2.平行 任意一点 3.所成的角 直角 0° 作业设计 1.0 2.3 解析 ①②③正确,④中 n 与面 α 可能有:n?α 或 n∥α 或相交 (包括 n⊥α). 3.PE>PF>PG 解析 由于 PG⊥平面 α 于 G,PF⊥EF, ∴PG 最短,PF<PE,∴PE>PF>PG. 4.①②④ 解析 PA⊥平面 ABC,得 PA⊥BC,①正确; 又 BC⊥AC,∴BC⊥面 PAC, ∴BC⊥PC,②、④均正确. 5.(1)内 (2)垂 (3)外 6.4 解析 由直线与平面垂直的性质定理知 AB 中点到 α 距离为以 3 和 5 为上、下底的直角梯形的中位线的长. 7.①②③ 解析 ①为直线与平面垂直的性质定理的应用, ②为面面平行的 性质,③为公理 4 的应用. 8.(1)45° (2)30° (3)90° 解析

(1)由线面角定义知∠A1BA 为 A1B 与平面 ABCD 所成的角, ∠A1BA=45° . (2)连结 A1D、AD1,交点为 O, 则易证 A1D⊥面 ABC1D1,所以 A1B 在面 ABC1D1 内的射影为 OB, ∴A1B 与面 ABC1D1 所成的角为∠A1BO, 1 ∵A1O=2A1B,∴∠A1BO=30° . (3)∵A1B⊥AB1,A1B⊥B1C1,∴A1B⊥面 AB1C1D,即 A1B 与面 AB1C1D 所成的角为 90° . 9.30° 解析 取 AC 的中点 E,连结 C1E,BE,则∠BC1E 即为所求的 角.又由 BC1= 3, 3 BE= 2 , 1 所以 sin∠BC1E=2,∠BC1E=30° . 10.证明 (1)∵ADD1A1 为正方形, ∴AD1⊥A1D. 又∵CD⊥平面 ADD1A1,∴CD⊥AD1. ∵A1D∩CD=D,∴AD1⊥平面 A1DC. 又∵MN⊥平面 A1DC, ∴MN∥AD1.

(2)连结 ON,在△A1DC 中, A1O=OD,A1N=NC. 1 1 ∴ON 綊2CD 綊2AB, ∴ON∥AM. 又∵MN∥OA, ∴四边形 AMNO 为平行四边形,∴ON=AM.

1 1 ∵ON=2AB,∴AM=2AB,∴M 是 AB 的中点. 11.证明

连结 AG 并延长交 BC 于 D,连结 A′G′并延长交 B′C′于 D′ , 连 结 DD′ , 由 AA′⊥α , BB′⊥α , CC′⊥α , 得 AA′∥BB′∥CC′. ∵D、D′分别为 BC 和 B′C′的中点, ∴DD′∥CC′∥BB′,∴DD′∥AA′, ∵G、G′分别是△ABC 和△A′B′C′的重心, AG A′G′ ∴GD= ,∴GG′∥AA′, G′D′ 又∵AA′⊥α,∴GG′⊥α. 12.证明 ∵M、N 分别是 EA 与 EC 的中点, ∴MN∥AC, 又∵AC?平面 ABC,MN?平面 ABC, ∴MN∥平面 ABC, ∵DB⊥平面 ABC,EC⊥平面 ABC, ∴BD∥EC,四边形 BDEC 为直角梯形, ∵N 为 EC 中点,EC=2BD, ∴NC 綊 BD,∴四边形 BCND 为矩形, ∴DN∥BC, 又∵DN?平面 ABC,BC?平面 ABC, ∴DN∥平面 ABC, 又∵MN∩DN=N, ∴平面 DMN∥平面 ABC. 13.

(1)证明 如图所示,由已知 BC⊥AC,BC⊥CC1, 得 BC⊥平面 ACC1A1. 连结 AC1,则 BC⊥AC1.

由已知,可知侧面 ACC1A1 是正方形,所以 A1C⊥AC1. 又 BC∩A1C=C, 所以 AC1⊥平面 A1BC. 因为侧面 ABB1A1 是正方形,M 是 A1B 的中点,连结 AB1,则点 M 是 AB1 的中点. 又点 N 是 B1C1 的中点,则 MN 是△AB1C1 的中位线,所以 MN∥AC1.故 MN⊥平面 A1BC. (2)解 如图所示, 因为 AC1⊥平面 A1BC, 设 AC1 与 A1C 相交于 点 D,连结 BD, 则∠C1BD 为直线 BC1 和平面 A1BC 所成的角. 2 设 AC=BC=CC1=a,则 C1D= 2 a,BC1= 2a. C1 D 1 在 Rt△BDC1 中,sin ∠C1BD=BC =2, 1 所以∠C1BD=30° , 故直线 BC1 和平面 A1BC 所成的角为 30° .


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