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2019版一轮文数(北师大版)课件:第四章第六节正弦定理和余弦定理_图文

第四章 三角函数、解三角形 考纲解读 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决 一些简单的三角形度量问题. [基础梳理] 1.正弦定理、余弦定理 在△ABC 中,若角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,R 为△ ABC 外接圆半径,则 定理 正弦定理 余弦定理 2 2 2 b b + c -2bccos A ; a= a B = 2 2 2 =sin ______ sin A b = c +a -2cacos B ; 内容 2 2 c c2= a +b -2abcos C sin C =2R _______ 定理 正弦定理 (1)a=2Rsin A, b= 2Rsin B , c= 2Rsin C ; 余弦定理 cos A= b2+c2-a2 2bc ; ___________ cos B= a b c (2)sin A= ,sin B= ,sin C= ; 2 2 2 2 R 2 R 2 R c + a - b 变形 2ac ; (3)a∶b∶c= sin A∶sin B∶sin C ; ____________ (4)asin B=bsin A, bsin C=csin B, asin C=csin A cos C= a2+b2-c2 2ab ____________ 2.在△ABC 中,已知 a、b 和 A 时,解的情况如下: A 为锐角 或直角图形 a=bsin bsin A<a A 解的个数 一解 <b 两解 A 为钝角 关系式 a≥b 一解 a> b 一解 3.三角形常用面积公式 1 (1)S= a· h (h 表示边 a 上的高); 2 a a 1 1 1 bcsin A acsin B 2 2 (2)S= absin C=___________=___________; 2 1 (3)S= r(a+b+c)(r 为三角形内切圆半径). 2 [三基自测] 1.在△ABC 中,若 sin2A+sin2B<sin2C,则△ABC 的形状是 ( C ) A.锐角三角形 C.钝角三角形 B.直角三角形 D.不能确定 2.在△ABC 中,若 A=60° ,B=45° ,BC=3 2,则 AC =( B ) A. 4 3 C. 3 B. 2 3 3 D. 2 3.在△ABC 中,角 A,B,C 对应的边分别为 a,b,c,若 A 2 3 =120° ,a=2,b= ,则 B 等于( D ) 3 π A. 3 π 5π C. 或 6 6 5π B. 6 π D. 6 3 4. 在△ABC 中, 若 B=120° , AC=7, AB=5, 则 BC=________. 5.(2017· 高考全国卷Ⅱ改编)在△ABC 中,若 acos C+ccos A= 1 1,则 b=__________. 考点一 考点二 考点三 正、余弦定理的简单应用|方法突破 [例 1] (1)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c, ) 3 若 c=1,B=45° ,cos A= ,则 b 等于( 5 5 A. 3 5 C. 7 10 B. 7 5 2 D. 14 解析 答案 考点一 考点二 考点三 (2)△ABC 的三个内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c, b asin Asin B+bcos A= 2a,则 =( a 2 ) A. 2 3 C. 3 B.2 2 D. 2 (3)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边长分别为 a,b,c,已 知 a2-c2=b,且 sin(A-C)=2cos Asin C,则 b=( A. 6 C. 2 B.4 D. 1 解析 答案 ) 考点一 考点二 考点三 (4)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 A π = ,a=1,b= 3,则 B 的大小为__________. 6 (5)(2018· 苏北四市联考)在△ABC 中,已知 AB=3,A=120° , 15 3 且△ABC 的面积为 ,则 BC 边的长为________. 4 sin 2A (6)在△ABC 中,a=4,b=5,c=6,则 =________. sin C 解析 答案 考点一 考点二 考点三 3 (1)因为 cos A= , 所以 sin A= 1-cos2A= 5 ?3? 4 1-?5?2= , 所 5 ? ? 以 sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin Acos B+cos A· sin 4 3 7 2 B= cos 45° + sin 45° = . 5 5 10 b c 1 5 由正弦定理 = ,得 b= ×sin 45° = . sin B sin C 7 7 2 10 解析 答案 考点一 考点二 考点三 (2)(边化角)由 asin Asin B+bcos2A= 2a 及正弦定理得 sin Asin b sin B Asin B+sin Bcos A= 2sin A, 即 sin B= 2sin A, 所以a= sin A 2 = 2.故选 D. (3)(角化边)由题意,得 sin Acos C-cos Asin C=2cos Asin C, a2+b2-c2 即 sin Acos C=3cos Asin C,由正、余弦定理,得 a· 2ab b2+c2-a2 =3c· ,整理得 2(a2-c2)=b2.①又 a2-c2=b,②联立 2bc ①②得 b=2,故选 C. 解析 答案 考点一 考点二 考点三 a b π (4)由正弦定理,得 = .把 A= ,a=1,b= 3代入, sin A sin B 6 3 π 2π 解得 sin B= .因为 b>a, 所以 B>A, 结合题意可知 B= 或 . 2 3 3 15 3 1 15 3 (5)由 S△ABC= 得 ×3×ACsin 1


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