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高中数学选修1-2(人教a版 )练习:第二章 推理与证明 2.2-2.2.1第1课时综合法 含解析

第二章 推理与证明 2.2 2.2.1 第1课 直接证明与间接证明 综合法和分析法 时综合法 A级 基础巩固 一、选择题 1.设 0<x<1,则 a= A.a C.c 解析:∵0<x<1,∴b=1+x>2 又 1 1-x -(1+x)= x2 1-x >0,知 2x,b=1+x,c= B.b D.不能确定 x> 1 2x=a. 中最大的一个是( 1-x 1 ) >1+x 1-x ∴c>b>a,最大的数为 c. 答案:C 2.已知函数 f(x)=lg A.b C. 1 b 1-x 1+x ,若 f(a)=b,则 f(-a)等于( B.-b D.- 1 b ) 解析:f(x)定义域为(-1,1), f(-a)=lg 答案:B 3.命题“如果数列{an}的前 n 项和 Sn=2n2-3n,那么数列{an}一定是等差 数列”是否成立( A.不成立 C.不能断定 ) B.成立 D.与 n 取值有关 ?1-a?-1 1+a 1 -a ? ? =lg? =- lg =-f(a)=-b. ? 1-a 1 +a ?1+a? 解析:当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=4n-5 又 a1=S1=2×12-3×1=-1 适合上式. ∴an=4n-5(n∈N*),则 an-an-1=4(常数) 故数列{an}是等差数列. 答案:B 4.(2014· 四川卷)若 a>b>0,c<d<0,则一定有( a b A. > d c a b C. > c d a b B. < d c a b D. < c d ) 解析:法一:令 a=3,b=2,c=-3,d=-2, a b 则 =-1, =-1,排除选项 C,D; c d a 3 b 2 a b 又 =- , =- ,所以 < ,所以选项 A 错误,选项 B 正确. d 2 c 3 d c 法二:因为 c<d<0,所以-c>-d>0,所以 b a b > ,所以 < . -d -c d c a 1 > >0. -d -c 1 又 a>b>0,所以 答案:B 5.在△ABC 中,已知 sin Acos A=sin Bcos B,则该三角形是( A.等腰三角形 C.等腰直角三角形 B.直角三角形 D.等腰或直角三角形 ) 解析:由 sin Acos A=sin Bcos B 得 sin 2A=sin 2B, π 所以 2A=2B 或 2A=π-2B,即 A=B 或 A+B= .所以该三角形是等腰或 2 直角三角形. 答案:D 二、填空题 6.命题“函数 f(x)=x-xln x 在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函 数 f(x)=x-xln x 求导,得 f′(x)=-ln x,当 x∈(0,1)时,f′(x)=-ln x>0,故函数 f(x)在区间(0,1)上是增函数”,应用了________的证明方法. 解析:本命题的证明,利用题设条件和导数与函数单调性的关系,经推理论 证得到了结论,所以应用的是综合法的证明方法. 答案:综合法 7.角 A,B 为△ABC 内角,A>B 是 sin A>sin B 的________条件(填“充 分”“必要”“充要”或“即不充分又不必要”). 解析:在△ABC 中,A>B?a>b 由正弦定理 b = ,从而 sin A>sin B. sin A sin B a 因此 A>B?a>b?sin A>sin B,为充要条件. 答案:充要 8. 设 a>0, b>0, 若 解析: b>0,所以 1 1 3是 3a 与 3b 的等比中项, 则 + 的最小值为________. a b 3是 3a 与 3b 的等比中项?3a·3b=3?3a+b=3?a+b=1,因为 a>0, a +b 1 1 ab≤ = ?ab≤ , 2 2 4 1 1 a +b 1 1 所以 + = = ≥ =4. a b ab ab 1 4 答案:4 三、解答题 9.已知 a>0,b>0,求证:a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc. 证明:因为 b2+c2≥2bc,a>0 所以(b2+c2)a≥2abc 又因为 b>0,c2+a2≥2ac 所以 b(c2+a2)≥2abc. 因此 a(b2+c2)+bc(c2+a2)≥4abc. 10. 设函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 若函数 y=f(x+1)与 y=f(x)的图象关于 ? 1? ? ? y 轴对称,求证:函数 y=f?x+ ?为偶函数. 2? ? 证明:∵函数 y=f(x)与 y=f(x+1)的图象关于 y 轴对称. ∴f(x+1)=f(-x) 1 则 y=f(x)的图象关于 x= 对称 2 ∴- 1 = ,∴a=-b. 2a 2 ? ? ? 1? a ?2 + c - 2? 4 ? b 则 ? f(x)=ax2-ax+c=a x- ? 1? a ? ? ∴f?x+ ?=ax2+c- 为偶函数. 4 ? 2? B级 能力提升 1. 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且当 x≥0 时, f(x)单调递减, 若 x1+x2>0, 则 f(x1)+f(x2)的值( A.恒为负值 C.恒为正值 ) B.恒等于零 D.无法确定正负 解析:由 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x≥0 时,f(x)单调递减,可知 f(x) 是 R 上的单调递减函数,由 x1+x2>0,可知 x1>-x2,f(x1)<f(-x2)=-f(x2),则 f(x1)+f(x2)<0. 答案:A ? π 3 π? ? π? ? ? ? ? 2.已知 sin x= ,x∈? , ?,则 tan?x- ?=________. 4? 5 ?2 2 ? ? 5 ?π 3π? 5 ? ? 解析:∵sin x= ,x∈? , ?,∴cos x=- 5 ?2 2 ? ? π? 1 ? ? tan x-1 ∴tan x=- ,∴tan?x- ?= =-3. 4 ? 1+tan x 2 ? 4 5


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