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高中数学第一章计数原理课时训练06组合的应用新人教B版选修2_3

高中数学第一章计数原理课时训练 06 组合的应用新人教 B 版
选修 2_3
(限时:10 分钟) 1.楼道里有 12 盏灯,为了节约用电,需关掉 3 盏不相邻的灯, 则关灯方案有( ) A.72 种 B.84 种 C.120 种 D.168 种 答案:C 2.今有甲、乙、丙三项任务,甲需 2 人承担,乙、丙各需 1 人承 担,现从 10 人中选派 4 人承担这三项任务,不同的选派方法有( ) A.1 260 种 B.2 025 种 C.2 520 种 D.5 054 种 答案:C 3.甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门,则甲、乙所选的课程中 恰有 1 门相同的选法有( ) A.6 种 B.12 种 C.24 种 D.30 种 答案:C 4.某科技小组有女同学 2 名、男同学 x 名,现从中选出 3 名去参 加展览.若恰有 1 名女生入选时的不同选法有 20 种,则该科技小组中 男生的人数为__________. 答案:5 5.课外活动小组共 13 人,其中男生 8 人,女生 5 人,并且男、 女生各指定一名队长,现从中选 5 人主持某种活动,依下列条件各有 多少种选法? (1)只有 1 名女生当选. (2)两名队长当选. (3)至少有 1 名队长当选. (4)至多有 2 名女生当选. (5)既要有队长,又要有女生当选.
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解析:(1)1 名女生,4 名男生,

故共有 C·C=350(种).

(2)将两名队长作为一类,其他 11 人作为一类,故共有 C·C=

165(种).

(3)方法一:至少有 1 名队长含有两类:只有 1 名队长;2 名队长,

故共有选法 C·C+C·C=825(种).

方法二:采用间接法共有 C-C=825(种).

(4)至多有 2 名女生含有三类:有 2 名女生;只有 1 名女生;没有

女生.

故选法共有 C·C+C·C+C=966(种).

(5)分类:第 1 类,女队长当选:C 种;第 2 类,女队长不当选:

C·C+C·C+C·C+C 种.故选法共有 C+C·C+C·C+C·C+C=

790(种).

(限时:30 分钟)

一、选择题

1.若将 9 名会员分成三组讨论问题,每组 3 人,共有不同的分组

方法种数为( )

A.CC B.AA36

C.

D.AAC3

答案:C

2.如图所示,使电路接通,开关不同的开闭方式有( )

A.11 种 B.20 种

C.21 种 D.12 种

答案:C

3.4 名同学到某景点旅游,该景点有 4 条路线可供游览,其中恰

有 1 条路线没有被这 4 个同学中的任何 1 人游览的情况有( )

A.36 种 B.72 种

C.81 种 D.144 种

答案:D

4.用 0,1,…,9 十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个

数为( )

A.243 B.252

C.261 D.279

答案:B

5.用数字 0,1,2,3 组成数字可以重复的四位数,其中有且只有一

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个数字出现两次的四位数的个数为( ) A.144 B.120 C.108 D.72 解析:若四位数中不含 0,则有 CCA=36(种);若四位数中含有一
个 0,则有 CCCC=54(种);若四位数中含有两个 0,则有 CA=18(种), 所以共有 36+54+18=108(种).
答案:C 二、填空题 6.以一个长方体的顶点为顶点的四棱锥共有__________个. 解析:长方体有 8 个顶点,任取 5 个顶点的组合数为 C=56(个). 答案:56 7.男女生共 8 人,从中任选 3 人,出现 2 个男生,1 个女生的概 率为,则其中女生人数是________. 解析:男女生共 8 人,从中任选 3 人,总的方法数是 C=56,而出 现 2 个男生,1 个女生的概率是,所以,男女生共 8 人,从中任选 3 人, 出现 2 个男生,1 个女生的方法数是 30,设女生有 x 人,则 C·C=30, =30,x(8-x)(7-x)=2×6×5=3×5×4,所以,女生有 2 人或 3 人. 答案:2 或 3 8.将 A,B,C,D,E,F 六个字母排成一排,且 A,B 均在 C 的同 侧,则不同的排法共有__________种(用数字作答). 解析:分两步:(1)任意选 3 个空排 A,B,C,共有 C·A·A 种排 法; (2)再排其余 3 个字母,共有 A 种排法;所以一共有 C·A·A·A= 480(种)排法. 答案:480 三、解答题 9.现有 10 个保送上大学的名额,分配给 7 所学校,每校至少有 1 个名额,问名额分配的方法共有多少种? 解析:解法一:每个学校有一个名额,则分出去 7 个,还剩 3 个 名额分到 7 所学校的方法种数就是要求的分配方法种数. 分类:若 3 个名额分到一所学校有 C 种方法;若分配到 2 所学校 有 C×2=42(种)方法;若分配到 3 所学校有 C=35(种)方法.所以共 有 7+42+35=84(种)方法. 解法二:10 个元素之间有 9 个间隔,要求分成 7 份,相当于用 6 块挡板插在 9 个间隔中,共有 C=84(种)不同分法.
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10.有 4 个不同的球,四个不同的盒子,把球全部放入盒内. (1)共有多少种放法? (2)恰有一个盒子不放球,有多少种放法? (3)恰有一个盒内放 2 个球,有多少种放法? (4)恰有两个盒不放球,有多少种放法? 解析:(1)一个球一个球地放到盒子里去,每只球都可有 4 种独立 放法,由分步乘法计数原理,放法共有:44=256(种). (2)为保证“恰有一个盒子不放球”,先从四个盒子中任意拿出去 1 个,有 C 种,再将 4 个球分成 2,1,1 的三组,有 C 种分法;然后再从 三个盒子中选一个放两个球,其余两个球,两个盒子,全排列即 可.由分步乘法计数原理,共有放法:C·C·C·A=144(种). (3)“恰有一个盒内放 2 个球”,即另外三个盒子中恰有一个空 盒.因此“恰有一个盒内放 2 球”与“恰有一个盒子不放球”是一回 事,故也有 144 种放法. (4)从先四个盒子中任意拿走两个有 C 种,问题转化为:“4 个球, 两个盒子,每盒必放球,有几种放法?”从放球数目看,可分为(3,1), (2,2)两类.第一类:可从 4 个球中先选 3 个,然后放入指定的一个盒 子中即可,有 C·C(种)放法;第二类:有 C 种放法.因此共有 C·C+ C=14(种).由分步乘法计数原理得“恰有两个盒子不放球”的放法有: C·14=84(种). 11.现有 5 位同学准备一起做一项游戏,他们的身高各不相 同.现在要从他们 5 个人当中选出若干人组成 A,B 两个小组,每个小 组都至少有 1 人,并且要求 B 组中最矮的那个同学的身高要比 A 组中 最高的那个同学还要高.则不同的选法共有多少种? 解析:给 5 位同学按身高的不同由矮到高分别编号为 1,2,3,4,5, 组成集合 M={1,2,3,4,5}. ①若小组 A 中最高者为 1,则能使 B 中最矮者高于 A 中最高者的小 组 B 是{2,3,4,5}的非空子集,这样的子集有 C+C+C+C=24-1= 15(个),所以不同的选法有 15 种; ②若 A 中最高者为 2,则这样的小组 A 有 2 个:{2},{1,2},能使 B 中最矮者高于 A 中最高者的小组 B 是{3,4,5}的非空子集,这样的子 集(小组 B)有 23-1=7(个),所以不同的选法有 2×7=14(种); ③若 A 中最高者为 3,则这样的小组 A 有 4 个:{3},{1,3}, {2,3},{1,2,3},能使 B 中最矮者高于 A 中最高者的小组 B 是{4,5}的 非空子集,这样的子集(小组 B)有 22-1=3(个),所以不同的选法有
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4×3=12(种); ④若 A 中最高者为 4,则这样的小组 A 有 8 个:{4},{1,4},
{2,4},{3,4},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4},能使 B 中 最矮者高于 A 中最高者的小组 B 只有{5}1 个,所以不同的选法有 8 种.
综上,所以不同的选法有 15+14+12+8=49(种).
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