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省实验中学2017届高三上学期第一次月考(文数)


省实验中学 2017 届高三上学期第一次月考 数学(文科)
一、 选择题:本大题共 12 小题。每小题 5 分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项 是符合要求的。 1.已知全集 U ? R , A ? ? x A. x ?1 ? x ? 2?

?

x ?1 ? ? 0 ? ,B= {x | lg x ? 0} ,则 A ? B ? ( ? ? 2? x



?

B. x ? 1 ? x ? 2? C. x x ? ?1或x ? 2?

?

?

D. x 0 ? x ? 2? )

?

2.已知 a, b ? R , i 是虚数单位,若 a ? i ? 3 ? bi ,则 A. 2 ? i
1

a ? bi ?( 1? i

B. 2 ? i

C. 1 ? 2i 则( ?,

D. 1 ? i ) C. a ? b ? c D. b ? a ? c )

3.设 a ? 2 5 , b ? ( ) 6 , c ? ln A. c ? a ? b

6 7

1

3

B. c ? b ? a

4.已知抛物线 x 2 ? 2 py( p ? 0) 的准线与椭圆 A.2 B.3

x2 y2 ? ? 1 相切,则 p 的值为 ( 6 4
C.4 D.5

5.将函数 y ? 2sin ? 2 x ?

? ?

??

1 ? 的图像向右平移 4 个周期后,所得图像对应的函数为( 6?
B. y ? 2sin ? 2 x ?

)

A. y ? 2sin ? 2 x ?

? ?

??
? 4?

? ? ? ?

??
? 3?

C. y ? 2sin ? 2 x ?

? ?

??
? 4?

D. y ? 2sin ? 2 x ?

??
? 3?

6.已知一个三棱锥的三视图如图所示,若该三棱锥的四个顶点均在同一球面上,则该球的 体积为( A. ) B. ? C.

32? 3

?
3

D.

4? 3

1

7.若

cos 2?

sin(? ? ) 4
A. ?

?

??

? ? 2 5 ,且 ? ? ( , ) ,则 tan 2? 的值为( 4 2 5
B. ?



3 4

4 3

C.

3 4

D.

4 3

8.若下框图所给的程序运行结果为 S ? 35 ,那么判断框中应填入的关于 k 的条件是(



A. k ? 7

B. k ? 6

C. k ? 6

D. k ? 6

9.已知函数 f ( x) ? cos 2 x cos ? ? sin 2 x sin ? (0 ? ? ? (

?
2

) 的图像的一个对称中心为

? ,0) ,则下列说法正确的个数是( 6
①直线 x ?



5 ? 是函数 f ( x) 的图像的一条对称轴 12

②函数 f ( x ) 在 [0,

?

6

] 上单调递减

③函数 f ( x ) 的图像向右平移 ④函数 f ( x) 在 [0, A.1 个 10.函数 y ?

?
2

? 个单位可得到 y ? cos 2 x 的图像 6

] 的最小值为 ?1
C .3 个 ( D.4 个 )

B .2 个

1 ? ln x 的图像大致为. 1 ? ln x

2

11.过双曲线

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的一个焦点 F 作一条渐近线的垂线,垂足为点 a 2 b2

??? ? ??? ? ? ,与另一条渐近线交于点 ? ,若 F? ? 2F? ,则此双曲线的离心率( )
A. 2 B. 3 C. 2 D. 5

12.已知函数 f ( x) ? ?

x ?1 ? 1? x ?1 , x ? 2 , g ( x) ? 2 2 ,设方程 f ( x) ? g ( x) 的根从小到大 ?2 f ( x ? 2), x ? 2

依次为 x1 , x2 ,? xn ,? , n ? N * ,则数列 ? f ( x)? 的前 n 项和为( A. 2
n ?1



?2

B. 2 ? 1
n

C. n 2

D. n 2 ? 1

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.已知定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ? 0 ,当 x ? (0, 2] 时, f ( x) ? 2 x ,则

f (2016) ?



14.某学校准备从 4 名男同学和 2 名女同学中选出 2 人代表学校参加数学竞赛,则有女同学 被选中的概率是__________. 15.如图,在 ?ABC 中, D 是 BC 上的一点.已知 ?B ? 60?, AD ? 2, AC ? 10, DC ? 2 ,则

AB ? __________.

? 2x ? y ? 2 ? 16. 设不等式组 ? x ? 2 y ? ?4 所表示的平面区域为 M , 若 z ? 2 x ? y ? 2a ? b (a ? 0, b ? 0) ? 3x ? y ? 3 ?
的最大值为 3 ,则

1 1 ? 的最小值为__________. a b

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 3 sin x cos x ? 2 cos 2 x ? 1 . (1)求函数 f ( x) 的最小正周期; (2)在 ?ABC 中,若 f ( ) ? 2 ,边 AC ? 1, AB ? 2 ,求边 BC 的长及 sin B 的值. .
3

A 2

18. (本小题满分 12 分) 刚刚结束的奥运会女排决赛,中国队 3:1 战胜塞尔维亚队,勇夺冠军,这场比赛吸引了 大量观众进入球迷吧看现场直播,不少是女球迷,根据某体育球迷社区统计,在“球色伊人” 球迷吧,共有 40 名球迷观看,其中 20 名女球迷;在“铁汉柔情”球迷吧,共有 30 名球迷观 看,其中 10 名是女球迷. (Ⅰ)从两个球迷吧当中所有的球迷中按分层抽样方法抽取 7 个球迷做兴趣咨询. ①在“球色伊人”球迷吧男球迷中抽取多少个? ②若从 7 个球迷中抽取两个球迷进行咨询, 求这两个球迷恰来自于不同球迷吧且均属女 球迷的概率; (Ⅱ)根据以上数据,能否有 85 %的把握认为男球迷或女球迷进球迷吧观看比赛的动机与 球迷吧取名有关?

P K2 ? k k

?

?

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

K2 ?

0.455 0.708 1.323 2.072 2.706

n?ad ? bc? ?a ? b??c ? d ??a ? c ??b ? d ?
2

19. (本小题满分 12 分) 如图, 四棱锥 A ? BCDE 中, BE ∥ CD , CD ? 平面 ABC , D E

AB ? BC ? CD ,AB ? BC ,M 为 AD 上一点,EM ? 平
面 ACD . (Ⅰ)求证: EM ∥平面 ABC . (Ⅱ)若 CD ? 2 BE ? 2 ,求点 D 到平面 EMC 的距离. C M

B

A

20. (本小题满分 12 分) 已知曲线 C 上任意一点到原点的距离与到 A(3, ?6) 的距离之比均为 (Ⅰ)求曲线 C 的方程. (Ⅱ) 设点 P(1, ?2) ,过点 P 作两条相异直线分别与曲线 C 相交于 B, C 两点,且直线 PB 和直 线 PC 的倾斜角互补,求证:直线 BC 的斜率为定值.

1 . 2

4

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

mx 2 2 ,曲线 y ? f ( x) 在点 (e , f (e )) 处的切线与直线 2 x ? y ? 0 垂 ln x

直(其中 e 为自然对数的底数) . (Ⅰ)求 f ( x) 的解析式及单调递减区间; (Ⅱ)是否存在常数 k ,使得对于定义域内的任意 x , f ( x) ? 出 k 的值;若不存在,请说明理由.

k ? 2 x 恒成立?若存在,求 ln x

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分,答题时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,直线 AB 经过圆 O 上的点 C,并且 OA=OB,CA=CB,圆 O 交直线 OB 于点 E、 D,其中 D 在线段 OB 上.连结 EC,CD. (1)证明:直线 AB 是圆 O 的切线. (2)若 tan∠CED=

1 ,圆 O 的半径为 3,求 OA 的长. 2

23.(本题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程选讲 已知平面直角坐标系 xOy ,以 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系, P 点的极 坐标为 (2 3,

?

? ? x ? 2 cos ? ( ? 为参数). ) ,曲线 C 的参数方程为 ? 6 ? ? y ? ? 3 ? 2sin ?

(1)写出点 P 的直角坐标及曲线 C 的直角坐标方程; (2)若 Q 为曲线 C 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线 l : ? cos ? ? 2 ? sin ? ? 1 ? 0 的距离的 最小值.

24.(本题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ?x? ? x ? a (1)若 f ?x ? ? m 的解集为 ?? 1,5? ,求实数 a, m 的值. (2)当 a ? 2 且 0 ? t ? 2 时,解关于 x 的不等式 f ?x ? ? t ? f ?x ? 2? .

5

数学(文科)参考答案
一、选择题 BBBCDD ADCCCB 13、4 ;

二、填空题 三、解答题

14、

3 5;

15、 8? ;

16、 3 ? 2 2

17. 【解析】 (1) f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ?

?
6

),

2? ? ? ,所以最小正周期为 ? . 2 A ? (2) f ( ) ? 2sin( A ? ) ? 2 , A ? (0, ? ) , 2 6 ? ? 2? ∴ A ? ? ,∴ A ? . 6 2 3
∴T ?

?ABC 中,由余弦定理得, cos A ?
1 4 ? 1 ? BC 2 ,∴ BC ? 7 . ? 2 2 ? 2 ?1

AC 2 ? AB 2 ? BC 2 , 2 AC ? AB

即?

由正弦定理

21 BC AC ,可得 sin B ? . ? 14 sin A sin B

18.解: (1)①由分层抽样知在“球色伊人”吧看球的球迷有 7 ? 其中男球迷有 2 个.………… 2 分

4 ? 4 个, 7

② 在抽取 7 个球迷中,在“球色伊人”吧看球的男球迷 2 人,分别记为 A1 , B1 ,女球迷 2 人,分 别记为 a1 , b1 ,在“铁汉柔情”吧看球的男球迷 2 人,分别记为 A2 , B2 女球迷 1 人,记为 a2 ,从 7 人 中抽取 2 人的一切可能结果所组成的基本事件空间为

? ? ?( A1 , B1 ), ( A1 , a1 ), ( A1 , b1 ), ( A1 , A2 ), ( A1 , B2 ), ( A1 , a2 ), ( B1 , a1 ), ( B1 , b1 ) ( B1 , A2 ), ( B1 , B2 ), ( B1 , a2 ), (a1 , b1 ), (a1 , A2 ), (a1 , B2 ), (a1 , a2 ), (b1 , A2 ), (b1 , B2 ) … 5 分 (b1 , a2 ), ( A2 , B2 ), ( A2 , a2 ), ( B2 , a2 )

?

用 A 表示:“两个球迷恰来自于不同球迷吧且均属女球迷”,则 A ? {( a1 , a2 ), (b1 , a2 )}

? P( A) ?

2 21

……… 7 分

(2) 2 ? 2 列联表
6

男球迷 球色伊人 铁汉柔情 合 计 20 20 40

女球迷 20 10 30

合计 40 30 70 ………… 9 分

K2 ?

70 ? ?20 ? 10 ? 20 ? 20 ? 70 ? ? 1.944 ? 2.072 ,故没有 85%的把握认为男球迷 40 ? 30 ? 40 ? 30 36
2

女 球 迷 进 球 迷 吧 观 看 比 赛 的 动 机 与 球 迷 吧 取 名 有 关. 19、 (Ⅰ)证明:取 因为 所以 所以 因为 面 所以 , ,又因为 ,所以 平面 , ; 平面 平面 作直线 平面 , ,所以 中, ,……9 分 在 中, ,由等面积法知 ,……11 分 为 的中点,在 中, ,……8 分 , ,则 ∥ , , 平面 , ,……7 分 , 面 平面 平面 ,所以 平面 ∥ , ……5 分 ,所以平面 平面 , , ,……2 分 ,……3 分 C A M E 的中点 ………… 12 分 ,连接 , D

B

∥平面

(Ⅱ)因为 平面 过点 由已知 可得 又 在

所以

,即点 D 到平面 EMC 的距离为

. ……12 分

20、(1) 曲线 C 上的任意一点为 Q( x, y ) ,

7

由题意得

x2 ? y2 ( x ? 3)2 ? ( y ? 6)2

?

1 ? ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 20 -------5 分 2

(2)由题意知, 直线 PB 和直线 PC 的斜率存在,且互为相反数, P(1, ?2) 故可设 PA : y ? 2 ? k ( x ? 1) ,-------6 分

由?

y ? 2 ? k ( x ? 1) ? ? (1 ? k 2 ) x 2 ? 2(1 ? k 2 ? 4k ) x ? k 2 ? 8k ? 3 ? 0 2 2 ?( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 20

2 因为点 P 的横坐标 x ? 1 一定是该方程的解,故可得 x A ? k ? 8k 2? 3 , 1? k

同理, xB ?

k 2 ? 8k ? 3 , 1? k2

所以 k AB ? yB ? y A ? ?k ( xB ? 1) ? k ( x A ? 1) ? 2k ? k ( xB ? x A ) ? ? 1 xB ? x A xB ? x A xB ? x A 2 故直线 BC 的斜率为定值 ?

1 。-------12 分 2
,……1 分

21.(Ⅰ)

又由题意有:

,故

……2 分

此时,

,由



,……3 分

所以函数 (Ⅱ)要 ①当

的单调减区间为 恒成立,即 时, ,则要:



.……4 分 ……6 分 恒成立,……7 分





再令

,所以



内递减,

所以当

时,

,故

,……8 分

所以



内递增,

;……9 分

8

②当 由①可知,当

时,

,则要: 时, ,所以 在

恒成立,……10 分 内递增,

所以当

时,

,故

,所以



内递增, 综合①②可得:

;……11 分 ,即存在常数 满足题意.……12 分

22.(1)证明:连结 OC . 因为 OA ? OB ,CA ? CB ,所以 OC ? AB. 又 OC 是圆 O 的半径,所 以 AB 是圆 O 的切线. -------4 分

(2) 因 为 直 线 AB 是 圆 O 的 切 线 , 所 以 ?BCD ? ?E. 又
?CBD ? ?EBC ,

所以 △BCD ∽△BEC . 则有 又 tan ?CED ?

BC BD CD , ? ? BE BC EC

CD 1 BD CD 1 ? ,故 ? ? . EC 2 BC EC 2

设 BD ? x ,则 BC ? 2 x ,又 BC 2 ? BD ? BE ,故 (2 x)2 ? x( x ? 6) ,即 3x 2 ? 6 x ? 0 . 解得 x ? 2 ,即 BD ? 2 . 所以 OA ? OB ? OD ? DB ? 3 ? 2 ? 5. -------10 分 23. 【解析】 (1)点 P 的直角坐标 (3, 3) ,由 ?

? ?

x ? 2 cos ?

? ? y ? ? 3 ? 2sin ?

,得 x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 4 ,

所以曲线 C 的直角坐标方程为 x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 4 . (2)曲线 C 的参数方程为 ?

? ?

x ? 2 cos ?

? ? y ? ? 3 ? 2sin ?

( ? 为参数) ,直线 l 的普通方程为

x ? 2 y ?1 ? 0 ,
设 Q (2 cos ? , ? 3 ? 2sin ? ) ,则 M ( ? cos ? ,sin ? ) ,那么点 M 到直线 l 的距离

3 2

3 5 5 ? cos ? ? 2sin ? ? 1| | 5 sin(? ? ? ) ? | ? 5 ? 2 ? 2 ? 5 ?1, d? 2 ? 2 5 5 12 ? 22 |
所以点 M 到直线 l 的最小距离为

5 ?1. 2

9

24.(1)因为 x ? a ? m 所以 a ? m ? x ? a ? m 得 ? (2) a ? 2 时等价于 x ? 2 ? t ? x 当 x ? 2, x ? 2 ? t ? x,? 0 ? t ? 2 所以舍去; 当 0 ? x ? 2,2 ? x ? t ? x,? 0 ? x ?

?a ? m ? ?1 ? a ? 2, m ? 3 -------5 分 ?a ? m ? 5

t?2 , 成立 2

当 x ? 0,2 ? x ? t ? ? x 成立; 所以,原不等式解集是 ? ? ?,

? ?

t ? 2? ---------10 分 2 ? ?

10



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