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2014届高三一模考试前数学综合练习


2014 届高三一模考试前数学综合练习

数学 I
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上 . ........
? 1 ? 1. 已知集合 M ? ??11 ,? , N ? ? x ? 2 x ?1 ? 4,x ? Z ? ,则 M ? 2 ?
N?





2. 若复数 z ? (a 2 ? 4) ? (a ? 2)i 为纯虚数,则 a ? i 为 ▲ .

2014

2?i

的虚部

3. 为了了解一片 经济林的生长情况, 随机测量了其中 100 株 树木的底部周长(单位:cm).所得数据如图,那么在这 100 株树木中,底部周长不小于 110cm 的有 ▲ 株. 甲组 8 2 2 8 9 0 1 a 乙组

1 1 4. 若幂函数 f ( x) 的图象经过点 A( , ) ,则它在 A 点处的切线方 9 3

程为





5. 已知数列 ?an ? 是各项均为正数的等比数列, a1 ? a2 ? 1 ,
a3 ? a4 ? 4 ,则 a5 ? a6 ? a7 ? a8 ?





6. 以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的 数学成绩. 乙组记录中有一个数字模糊,无法确认,假设 这个数字具有随机性,并在图中以 a 表示.乙组平均成绩 超过甲组平均成绩的概率为 ▲ .
源:学科网

7. 执行如图所示的程序框图,输出的 S=





8. 在平面直角坐标系 xoy 中,已知点 A 是半圆 x2 ? y 2 ? 2 y ? 0
(1≤y≤2) 上的一个动点,点 C 在线段 OA 的延长线上.

当 OA ? OC ? 10 时,则点 C 的横坐标的取值范围是 9. 在 ΔABC 中, 2 3 sin 2



. ▲
2

AC B ? ? sin B , sin( A ? C) ? (1 ? 3)cos Asin C ,则 AB 2


2

10. 设关于 x 的不等式 x ? a ? 2 的解集为 A , 已知 1? A, ?1? A , 且实数 a, b 满足 ? a ? 3? ? ?b ? 2? ≤ 1, 则 a ? b 取值范围是 ▲ .

11.设函数 f ? x ? ? 2 x ? cos x , ?an ? 是公差为

π 的等差数列, f ? a1 ? ? f ? a2 ? ? 4

? f ? a7 ? ? 7π ,则

? f ? a4 ?? ? ? a1a7 ? ?
2




高三数学模拟试卷二 第 1 页 共 6 页

12.过双曲线

x2 y2 ? ? 1?a ? 0, b ? 0? 的左焦点 F ?? c,0? 作圆 x 2 ? y 2 ? a 2 的切线,切点为 E ,延长 a2 b2
1 OF ? OP ,则双曲线的离心率为 2

FE 交抛物线 y 2 ? 4cx 于点 P , O 为原点,若 OE ?
2 13.设 S n 为数列 ?an ? 的前 n 项和,若不等式 an ?

?

?





2 Sn ≥ ma12 对任意等差数列 ?an ? 及任意正整数 n n2

都成立,则实数 m 的最大值为 ▲ . 1 ?3 5? 14.已知函数 f ? x ? ? x2 ? (2a ? 2 )x ? (2a ? 1)ln x ,对任意的 a ? ? , ? , x1 , x2 ? ?1, 2? ,恒有 ?2 2? 2
f ? x1 ? ? f ? x2 ?≤? 1 1 ? ,则正实数 ? 的最小值为 x1 x2





二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说明、证 ....... 明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? 2sin x cos x ? 2 3 cos2 x ? 3 , x ? R . (1)求函数 f ? x ? 的最小正周期和单调递增区间; (2)在锐角三角形 ABC 中,若 f ? A? ? 1 , AB ? AC ? 2 ,求△ ABC 的面积.

16. (本小题满分 14 分) 如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧棱与底面垂直, ?BAC ? 90 , AB ? AC ? AA1 ,点 M , N 分别为
A1 B 和 B1C1 的中点.

A1 C1 B1 N M

(1)求证:平面 A1 BC ? 平面 MAC ; (2)求证: MN // 平面 A1 ACC1 .

A B 17. (本小题满分 14 分)

C

某地区注重生态环境建设, 每年用于改造生态环境总费用为 x 亿元, 其中用于风景区改造为 y 亿
高三数学模拟试卷二 第 2 页 共 6 页

元.该市决定建立生态环境改造投资方案,该方案要求同时具备下列三个条件:① 每年用于风 景区改造费用 y 随每年改造生态环境总费用 x 增加而增加;② 每年改造生态环境总费用至少 a 亿元,至多 b 亿元;③ 每年用于风景区改造费用 y 不得低于每年改造生态环境总费用 x 的 15%, 但不得高于每年改造生态环境总费用 x 的 25%.若 a ? 2 , b ? 4 ,请你分析能否采用函数模型 y=
1 ( x3 ? 4 x ? 16) 作为生态环境改造投资方案. 100

18. (本小题满分 16 分) 如图,已知 F (c,0) 是椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点; a 2 b2

F : ( x ? c)2 ? y 2 ? a2 与 x 轴交于

D, E 两点,其中 E 是椭圆 C 的左焦点.

(1)求椭圆 C 的离心率; (2)设圆 F 与 y 轴的正半轴的交点为 B ,点 A 是点 D 关于 y 轴的对称点,试判断直线 AB 与 圆 F 的位置关系; (3)设直线 AB 与椭圆 C 交于另一点 G,若 ?BGD 的面积为

24 6 c ,求椭圆 C 的标准方程. 13
y B

G A E O F D x

19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ? x ? ? x ? x ? a ? , g ? x ? ? ?x2 ? ? a ? 1? x ? a (其中 a 为常数) .
2

高三数学模拟试卷二

第 3 页 共 6 页

(1)如果函数 y ? f ? x ? 和 y ? g ? x ? 有相同的极值点,求 a 的值;

a (2)设 a ? 0 ,问是否存在 x0 ? ( ? 1, ) ,使得 f ? x0 ? ? g ? x0 ? ,若存在,请求出实数 a 的取值 3
范围;若不存在,请说明理由; (3)记函数 H ? x ? ? ? ? f ? x ? ? 1? ??? ? g ? x ? ? 1? ? ,若函数 y ? H ? x ? 有 5 个不同的零点,求实数 a 的取 值范围.

20. (本小题满分 16 分)
? pan ? n ? 1(n为奇数) 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 2, 前 n 项和为 S n , an ?1 ? ? . ??an ? 2n(n为偶数)

(1)若数列 ?bn ? 满足 bn ? a2n ? a2n ?1 (n ≥1) ,试求数列 ?bn ? 前 n 项和 Tn ; (2)若数列 ?cn ? 满足 cn ? a2 n ,试判断 ?cn ? 是否为等比数列,并说明理由; (3)当 p ?
1 时,问是否存在 n ? N * ,使得 (S2n?1 ? 10)c2n ? 1 ,若存在,求出所有的 n 的值; 2

若不存在,请说明理由.

第Ⅱ 部分

附加题

(满分 40 分,答卷时间 30 分钟)
高三数学模拟试卷二 第 4 页 共 6 页

21. 【选做题】本题包括 A,B,C,D 共 4 小题,请从这 4 题中选做 2 小题,每小题 10 分,共 20 分.请在答题卡上准确填涂题目标记,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修 4-1:几何证明选讲 如图,⊙ O 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的延长线相交于点 P, E 为⊙ O 上一点,AE=AC,求证:∠ PDE=∠ POC. A C
(第 21-A 题图)

E · O B D P

B.选修 4-2:矩阵与变换
?1 ? ?m 0? 设矩阵 A ? ? ? ,若矩阵 A 的属于特征值 1 的一个特征向量为 ? 0 ? ,属于特征值 2 的一个特 0 n ? ? ? ? ?0 ? 征向量为 ? ? ,求实数 m, n 的值. ?1 ?

C.选修 4-4:坐标系与参数方程

? 在极坐标系中,已知两点 O(0,0),B( 2 2 , ). 4
(1)求以 OB 为直径的圆 C 的极坐标方程,然后化成直角方程; (2)以极点 O 为坐标原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线 l 的参数 方程
?x ? t 为? (t 为参数) .若直线 l 与圆 C 相交于 M,N 两点,圆 C 的圆心为 C,求 ? y ? 1 ? 2t

?MNC 的面积.

D.选修 4-5:不等式选讲 设不等式 2x ? 1 ? 1 的解集为 M , 且 a ? M , b ? M . (1) 试比较 ab ? 1 与 a ? b 的大小; (2) 设 max A 表示数集 A 中的最大数,且 h ? max ?

? 2 ? a

,

a?b ab

,

2 ? ? , 求 h 的范围. b?

22. 【必做题】本题满分 10 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 李先生家住 H 小区,他工作在 C 科技园区,从家开车到公司上班路上有 L1 、 L2 两条路线(如
高三数学模拟试卷二 第 5 页 共 6 页

图) , L1 路线上有 A1 、 A2 、 A3 三个路口,各路口遇到红灯的概率均为 两个路口,各路口遇到红灯的概率依次为

1 ; L2 路线上有 B1 、 B 2 2

3 3 , . 4 5

(1)若走 L1 路线,求最多 遇到 1 次红灯的概率; .. (2)若走 L2 路线,求遇到红灯次数 X 的数学期望; (3)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求,请你帮助 李先生从上述两条路线中选择一条最好的 上班路线,并说明理由.

23. 【必做题】本题满分 10 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 如图,已知动圆 M 过定点 F(1,0)且与 x 轴相切,点 F 关于圆心 M 的对称点为 N,动点 N 的 轨迹为 C. (1)求曲线 C 的方程; (2)设 A(x0,y0)是曲线 C 上的一个定点,过点 A 任意作两条倾斜角互补的直线,分别与曲线 C 相交于另外两点 P、Q, 证明:直线 PQ 的斜率为定值.

高三数学模拟试卷二

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