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2019年1月北京市海淀区2018~2019学年度高三年级第一学期期末考文科数学试题及参考答案

北京市海淀区 2018~2019 学年度高三年级第一学期期末考文科数学试题及参考答案 2019.1 本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求 的一项. x2 y 2 ? ?1 1.双曲线 2 2 的左焦点坐标为 A. (?2,0) B. (? 2,0) a?b ? a C. (?1,0) ,则 a , b 的夹角大小为 5? D. 12 D. (?4,0) 2.已知向量 a , b 满足 a =(2,0),b ? (t,1), 且 ? A. 6 ? B. 4 ? C. 3 3.已知等差数列 {an } 满足 a1 =2 ,公差 d ? 0 ,且 a1 , a2 , a5 成等比数列,则 d = 1 B. 2 ? A. 0 C. ?1 D. ? 2 2 2 2 4.直线 y ? kx+1 被圆 x ? y ? 2 截得的弦长为 2,则 k 的值为 ? A. 6 ? B. 4 ? C. 3 D. 5.已正六边形的 6 个顶点中的三个座位顶点的三角形中,等腰三角形的个数为 A.6 B.7 f ( x)=ln x ? C.8 D.12 6.已知函数 a x ,则“ a ? 0 ”是“函数 f ( x) 在区间 (1, ??) 上存在零点”的 A 充分而不必要条件 C 充分必要条件 B 必要而不充分条件 D 既不充分也不必要条件 7.已知函数 f ( x) ? sin x ? cos x , g ( x) 是 f ( x) 的导函数,则下列结论中错误的是 A.函数 f ( x) 的值域与 g ( x) 的值域相同 B.若 x0 是函数 f ( x) 的极值点,则 x0 是函数 g ( x) 的零点 ? C.把函数 f ( x) 的图像向右平移 2 个单位,就可以得到函数 g ( x) 的图像 第 1 页,共 16 页 D.函数 f ( x) 和 g ( x) 在区间 8.已知集合 (? ? ? 4 , ) 4 上都是增函数 A ? ?( s, t ) 1 ? s ? 50,1 ? t ? 50, s ? N , t ? N ? .若 B ? A ,且对任意的 (a, b) ? B , ( x, y) ? B ,均有 (a ? x)(b ? y) ? 0 ,则集合 B 中元素个数的最大值为 A.25 B.49 C.75 D.99 二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 2 9.以抛物线 y ? 4x 的焦点 F 为圆心,且与其准线相切的圆的方程为 . 10.执行如下图所示的程序框图,当输入的 M 值为 15,n 值为 4 时,输出的 S 值 为 . 11.某三棱锥的三视图如上图所示,则这个三棱锥中最长的棱与最短的棱的长度分别 为 , . ? y ? x, ? ? x ? 4, ? y ? kx ? 2, ? 12.设关于 x, y 的不等式组 表示的平面区域为Ω,若点 A(1,-2),B(3,0),C(2,-3)中 . . 有且仅有两个点在Ω内,则 k 的最大值为 13.在?ABC 中, b ? 3a ,且 cos 2 A ? cos B ,则 cos A ? 14.正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 1,动点 M 在线段 CC1 上,动点 P 在平面 A1B1C1D1 上,且 AP ? 平面 MBD1 . (Ⅰ)当点 M 与点 C 重合时,线段 AP 的长度为 ; 第 2 页,共 16 页 (Ⅱ)线段 AP 长度的最小值为 . 三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分 13 分) f ( x) ? aco s( ? x) ? cos 2 x 2 已知函数 ? f( ) f( ) (Ⅰ)比较 6 和 2 的大小; [? , ] 2 2 的最小值. ? ? ? ? (Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 16.(本小题满分 13 分) 为迎接 2022 年冬奥会,北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动,并在培训结束后对学生 进行了考核.记 X 表示学生的考核成绩,并规定 X ? 85 为考核优秀.为了了解本次培训活动的 效果,在参加培训的学生中随机抽取了 30 名学生的考核成绩,并作成如下茎叶图: (Ⅰ)从参加培训的学生中随机选取 1 人,请根据图中数据,估计这名学生考核优秀的概率; (Ⅱ)从图中考核成绩满足 X ? [70,79] 的学生中任取 3 人,设 Y 表示这 3 人重成绩满足 的人数,求 Y 的分布列和数学期望; P( X ? 85 ? 1) ? 0.5 10 时培训有效.请根据图中数据,判断此次中学 X ? 85 ? 10 (Ⅲ)根据以往培训数据,规定当 生冰雪培训活动是否有效,并说明理由. 17.(本小题满分 14 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 ABCD ? 平面 PCD ,底面 ABCD 为梯 形, AB // CD , AD ? PC 且 AB ? 1, AD ? DC ? DP ? 2, ?PDC ? 120 (Ⅰ)求证: AD ? 平面PDC ; (Ⅱ)求二面角 B-PD-C 的余弦值; (Ⅲ)若 M 是棱 PA 的中点,求证:对于棱 BC 上任意一点 F,MF 与 PC 都不平行. 18.(本小题满分 14 分) x2 ? y2 ? 1 椭圆 2 的左焦点为 F,过点 M (?2,0) 的直线 l 与椭圆交于不同两点 A,B 第 3 页,共 16 页 0 (Ⅰ)求椭圆的离心率; (Ⅱ)若点 B 关于 x 轴的对称点为 B’,求 AB ' 的取值范围. 19. (本小题满分 1


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