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2018-2019版高中数学人教B版选修2-2课件:1.1.1 函数的平均变化率_图文

第一章 §1.1 导 数 1.1.1 函数的平均变化率 学习目标 1.理解并掌握平均变化率的概念. 2.会求函数在指定区间上的平均变化率. 3.能利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 知识点 函数的平均变化率 假设如图是一座山的剖面示意图,并建立如图所示平面直角坐标系 .A 是出发点,H是山顶.爬山路线用函数y=f(x)表示. 自变量x表示某旅游者的水平位置,函数值y=f(x)表示此时旅游者所在 的高度.设点A的坐标为(x1,y1),点B的坐标为(x2,y2). 思考1 若旅游者从点A爬到点B,自变量x和函数值y的改变量分别是 多少? 答案 自变量 x的改变量为 x2 - x1 ,记作 Δx,函数值的改变量 为y2-y1,记作Δy. 答案 思考2 怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度? Δy y2-y1 答案 对山路AB来说,用 可近似地刻画其陡峭 = Δx x2-x1 程度. 答案 梳理 函数y=f(x)在区间[x0,x0+Δx]或[x0+Δx,x0]的平均变化率 (1)条件:已知函数 y=f(x),x0,x1是其定义域内不同的两点,记Δx= x1-x0,Δy=y1-y0=f(x1)-f(x0)=f(x0+Δx)-f(x0). f?x0+Δx?-f?x0? Δ y (2)结论:当Δx≠0时,商: Δx =Δx 称作函数y=f(x)在区间 [x0,x0+Δx](或[x0+Δx,x0])上的平均变化率. (3)实质: 函数值 的改变量与 自变量 的改变量 之比 . (4)作用:刻画函数在区间[x0,x0+Δx](或[x0+Δx,x0])上变化的快慢. 题型探究 类型一 求函数的平均变化率 例1 已知函数f(x)=3x2+5,求f(x): (1)从0.1到0.2的平均变化率; 解 因为f(x)=3x2+5, 2 2 所以从0.1到0.2的平均变化率为 3×0.2 +5-3×0.1 -5=0.9. 0.2-0.1 解答 (2)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率. 解 因为f(x0+Δx)-f(x0) =3(x0+Δx)2+5-(3x2 0+5) 2 2 =3x2 + 6 x Δ x + 3(Δ x ) + 5 - 3 x 0 0 0-5 =6x0Δx+3(Δx)2, 所以函数 f(x)在区间[ x0,x0+Δx] 上的平均变化率为 6x0Δx+3?Δx?2 = 6 x 0+3Δx. Δx 解答 反思与感悟 求平均变化率可根据定义代入公式直接求解,解题的关键是弄清自变 量的增量Δx与函数值的增量Δy,求平均变化率的主要步骤: 跟踪训练1 如图是函数y=f(x)的图象,则: 1 2 ; (1)函数f(x)在区间[-1,1]上的平均变化率为___ 解析 函数 f(x)在区间[ -1,1] 上的平均变化率为 f?1?-f?-1? 2-1 1 = 2 = 2. 1-?-1? 解析 答案 3 (2)函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为___. 4 解析 由函数 f(x)的图象知, 3 f?2?-f?0? 3-2 3 所以函数 f(x)在区间[0,2] 上的平均变化率为 = 2 =4. 2-0 ?x+3 ? ,- 1 ≤ x ≤ 1 , f(x)=? 2 ? ?x+1,1<x≤3, 解析 答案 类型二 比较平均变化率的大小 例2 3 值,并比较函数f(x)=3-x2在哪一点附近的平均变化率最大? 1 2 已知函数f(x)=3-x ,计算当x0=1,2,3,Δx= 时,平均变化率的 解答 反思与感悟 比较平均变化率的方法步骤 (1)求出两个不同点处的平均变化率. (2) 作差 ( 或作商 ) ,并对差式 ( 或商式 ) 作合理变形,以便探讨差的符号 (或商与1的大小). (3)下结论. 跟踪训练2 A.v甲>v乙 B.v甲<v乙 C.v甲=v乙 D.不确定 甲,乙两人走过的路程s1(t),s2(t)与时间t的关系如图所示, 则在[0,t0]这个时间段内,甲,乙两人的平均速度v甲,v乙的大小关系是 解析 由题图知,s1(t0)=s2(t0),s1(0)>s2(0), s1?t0?-s1?0? s2?t0?-s2?0? 所以 < ,所以 v 甲<v 乙. t0 t0 解析 答案 当堂训练 1.如果函数y=ax+b在区间[1,2]上的平均变化率为3,则a等于 A.-3 C.3 √ B.2 D.-2 解析 根据平均变化率的定义可知, Δy ?2a+b?-?a+b? = = a = 3. Δx 2-1 1 2 3 4 5 解析 答案 2.已知函数f(x)=2x2-4的图象上一点(1,-2)及附近一点(1+Δx,-2+ Δy Δy),则 等于 Δx A.4 B.4x C.4+2Δx √ =4Δx+2(Δx)2, Δy ∴ =4+2Δx. Δx D.4+2(Δx)2 解析 ∵Δy=f(1+Δx)-f(1)=2(1+Δx)2-2 1 2 3 4 5 解析 答案 3.如图,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率是 A.1 C.2 B.-1 √ D.-2 解析 Δy f?3?-f?1? 1-3 = = =- 1. Δx 2 3 -1 1 2 3 4 5 解析 答案 4.如图,函数y=f(x)在[x1,x2],[x2,x3],[x3, x4]这几个区间内,平均变化率最大的一个区 [x3,x4] 间是________. 解析 由平均变化率的定义可知,函数 y= f(x)在区间 [x1 , x2], [x2 , x3], f?x2?-f?x1? f?x3?-f?x2? f?x4?-f?x3? , , , x2-x1 x3-x2 x4-x3 结合图象可以发现函数y=f(x)的平


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