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2018最新北师大版高中数学必修五学案:第二章 习题课 正弦定理和余弦定理

学习目标 1.学会利用三角形中的隐含条件.2.进一步熟练掌握正弦、 余弦定理在解各类三角 形中的应用.3.初步应用正弦、余弦定理解决一些和三角函数、向量有关的综合问题. 知识点一 有关三角形的隐含条件 思考 我们知道 y=sin x 在区间(0,π)上不单调,所以由 0<α<β<π 得不到 sin α<sin β.那 么由 A,B 为△ABC 的内角且 A<B,能得到 sin A<sin B 吗?为什么? 梳理 “三角形”这一条件隐含着丰富的信息,利用这些信息可以得到富有三角形特色的变 形和结论: (1)由 A+B+C=180° 可得 sin(A+B)=________,cos(A+B)=________, A+B tan(A+B)=________,sin =________, 2 A+B cos =________. 2 (2)由三角形的几何性质可得 acos C+ccos A=____,bcos C+ccos B=____, acos B+bcos A=____. (3)由大边对大角可得 sin A>sin B?A____B. (4)由锐角△ABC 可得 sin A____cos B. 知识点二 解三角形的基本类型 完成下表: 已知条件 三边 两边及其夹角 两边及一边 对角 一边及两角 知识点三 三角形有关问题的解决思路 适用定理 解的个数 ____________ 或____________ 这类问题通常要借助正弦定理或余弦定理进行边角互化,转化为代数问题或者三角恒等式, 再利用三角恒等变换解决问题,中间往往会用到一些三角形的隐含条件如内角和等. 类型一 利用正弦、余弦定理解三角形 引申探究 1.对于例 1 中的条件,c· cos B=b· cos C,能否使用余弦定理? 2.例 1 中的条件 c· cos B=b· cos C 的几何意义是什么? 2 例 1 在△ABC 中,若 c· cos B=b· cos C,cos A= ,求 sin B 的值. 3 反思与感悟 (1)边、角互化是处理三角形边、角混合关系的常用手段; (2)解题时要画出三角形,将题目条件直观化,根据题目条件,灵活选择公式. 跟踪训练 1 在△ABC 中,已知 b2=ac,a2-c2=ac-bc. (1)求 A 的大小; bsin B (2)求 c 的值. 类型二 正弦、余弦定理与三角变换的综合应用 例 2 在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,4sin2 (1)求 A 的度数; (2)若 a= 3,b+c=3,求 b 和 c 的值. 反思与感悟 (1)解三角形的实质是解方程,利用正弦、余弦定理,通过边、角互化,建立未 知量的代数方程或三角方程.(2)三角形内角和定理在判断角的范围、转化三角函数、检验所 求角是否符合题意等问题中有着重要的作用. A+C 6 跟踪训练 2 在△ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c, a2+c2-b2= ac.求 2sin2 5 2 B+C 7 -cos 2A= . 2 2 +sin 2B 的值. 类型三 正弦、余弦定理与平面向量的综合应用 3 → → 例 3 在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,cos B= ,a=7 且AB· BC=-21. 5 求角 C. 反思与感悟 利用向量的有关知识,把问题化归为三角形的边角关系,再结合正弦、余弦定 理解三角形. 跟踪训练 3 已知△ABC 的三内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,设向量 m=(a+b, sin C),n=( 3a+c,sin B-sin A),若 m∥n,则角 B 的大小为________. 1.在锐角△ABC 中,角 A,B 所对的边分别为 a,b,若 2asin B= 3b,则角 A 等于( π π π π A. B. C. D. 12 6 4 3 → → 2.在△ABC 中,AB=3,AC=2,BC= 10,则BA· AC=________. ) 3. 已知△ABC 中, a=x, b=2, B=45° , 若这个三角形有两解, 则 x 的取值范围是________. 1.对于给出条件是边角关系混合在一起的问题,一般运用正弦定理和余弦定理,把它统一 为边的关系或把它统一为角的关系.再利用三角形的有关知识,三角恒等变形方法、代数恒 等变形方法等进行转化、化简,从而得出结论. 2.解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题,应注意根据具体情况引入未知数,运用方程思 想来解决问题;平面向量与解三角形的交汇问题,应注意准确运用向量知识转化为解三角形 问题,再利用正弦、余弦定理求解. 答案精析 问题导学 知识点一 思考 能.由于三角形中大边对大角, ∴当 A<B 时,有 a<b. 由正弦定理,得 2Rsin A<2Rsin B, 从而有 sin A<sin B. 梳理 C cos 2 (4)> 知识点二 余弦定理 1 余弦定理 1 正弦定理 余弦定理 0,1,2 正弦定理 1 题型探究 例 1 解 由 c· cos B=b· cos C,结合正弦定理,得 sin Ccos B=sin Bcos C, 故 sin(B-C)=0,∵0<B<π,0<C<π, ∴-π<B-C<π,∴B-C=0,B=C,故 b=c. 2 ∵cos A= , 3 ∴由余弦定理,得 3a2=2b2, 再由余弦定理,得 cos B= 故 sin B= 引申探究 a2+c2-b2 a2+b2-c2 1.解 由余弦定理,得 c· =b· . 2ac 2ab 化简得 a2+c2-b2=a2+b2-c2, ∴c2=b2,从而 c=b. 2.解 如图, 30 . 6 6 , 6 (1)sin C -cos C -tan C C sin 2 (2)b a c (3)> 作 AD⊥BC,垂足为 D. 则 c· cos B=BD,b· cos C=CD. ∴ccos B=bco


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