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2014届高考数学(理)一轮复习热点针对训练:第31讲《等差数列的概念及基本运算》 Word版含解析


第31讲

等差数列的概念及基本运算

1.(2012· 广东省惠州市第三次调研)设{an}是等差数列,且 a2+a3+a4=15,则这个数列 的前 5 项和 S5=( D ) A.10 B. 15 C.20 D.25 解析:由 a2+a3+a4=15 知 3a3=15,所以 a3=5,所以 S5=5a3=25,故选 D. 2.(2013· 太原市第二次模拟)已知数列{an}为等差数列,Sn 是它的前 n 项和.若 a1=2, S3=12,则 S4=( C ) A.10 B.16 C.20 D.24 解析:设公差为 d,则 S3=3×2+3d=12,则 d=2,所以 S4=4×2+6×2=20,故选 C. 3.(2012· 浙江杭师大附中第三次模拟)若等差数列{an}满足 anan+1=n2+3n+2,则公差为 (C) A.1 B.2 C.1 或-1 D.2 或-2 解析:anan+1=n2+3n+2=(n+1)(n+2), 则 an=n+1 或 an=-n-1,公差为 1 或-1,故选 C. 4.(2013· 山东省莱芜市上期末)等差数列{an}中,已知 a1=-6,an=0,公差 d∈N*,则 n(n≥3)的最大值为( A ) A.7 B. 6 C .5 D . 8 6 解析:an=a1+(n-1)d=0,所以 d= . n-1 又 d∈N*,所以 n(n≥3)的最大值为 7,故选 A. 5.(2012· 山东滨州期中联考)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若 a1+a9+a11=30, 那么 S13 的值是 130 . 解析:设公差为 d, 则 a1+(a1+8d)+(a1+10d)=30,整理得 a1+6d=10, 13×12 所以 S13=13a1+ d=13(a1+6d)=130. 2 6.(2012· 福建省泉州市 3 月质检)已知等差数列{an},若 a1=3,前三项和为 21,则 a4+ a5+a6= 57 . 解析:由条件知 3×3+3d=21,d=4, 所以 a4+a5+a6=3a1+12d=3×3+4×12=57. S12 S10 7.(改编)在等差数列{an}中,a1=-2014,其前 n 项和为 Sn,若 - =2,则 S2014= 12 10 __-2014__. 解析:设公差为 d,则 n?n-1?d Sn ?n-1?d Sn=na1+ , =a1+ , 2 n 2 S12 S10 ?12-1?d ?10-1?d 由 - = - =d,所以 d=2, 12 10 2 2 2014?2014-1? 所以 S2014=2014×(-2014)+ ×2=-2014. 2 8.(2012· 北京市东城区上期期末考试)在等差数列{an}中,若 a5+a7=4,a6+a8=-2, (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn 的最大值. 解析:(1)设等差数列的公差为 d,则 由 a5+a7=4,a6+a8=-2,

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? ? ??a1+4d?+?a1+6d?=4 ?a1=17 得? ,解得? , ??a1+5d?+?a1+7d?=-2 ?d=-3 ? ? 所以所求数列{an}的通项公式 an=20-3n. ? ?20-3n≥0 17 20 (2)由? ,解得 ≤n≤ , 3 3 ?20-3?n+1?≤0 ?

因为 n∈N*,所以 n=6, 6×5 故前 n 项和 Sn 的最大值为 S6=6×17+ ×(-3)=57. 2 9.(2012· 山东省济宁市重点中学上期期中)设 a1,d 为实数,首项为 a1,公差为 d 的等差 数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 S5S6+15=0. (1)若 S5=5,求 S6 及 a1; (2)求 d 的取值范围. -15 解析:(1)由题意知 S6= =-3, S5 所以 a6=S6-S5=-8. ?5a1+10d=5 ? 所以? ,解得 a1=7, ?a1+5d=-8 ? 所以 S6=-3,a1=7. (2)(方法一)因为 S5S6+15=0, 所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0, 2 即 2a2 1+9da1+10d +1=0. 2 2 故(4a1+9d) =d -8. 所以 d2≥8. 故 d 的取值范围为 d≤-2 2或 d≥2 2. (方法二)因为 S5S6+15=0, 所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0, 2 即 2a2 1+9da1+10d +1=0. 看成关于 a1 的一元二次方程,因为有根, 所以 Δ=81d2-8(10d2+1)=d2-8≥0,解得 d≤-2 2或 d≥2 2.

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