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数学选修4-4


数学选修-坐标系与参数方程
一、坐标系的有关概念(A 级) 1.平面直角坐标系的建立:在平面上,当取定两条互相垂直的直线的交点为原点, 并确定了度量单位和这两条直线的方向,就建立了平面直角坐标系. 2.空间直角坐标系的建立:在空间中,选择两两垂直且交于一点的三条直线,当取 定这三条直线的交点为原点,并确定了度量单位和这三条直线方向,就建立了空间直角坐 标系. 3.极坐标系的建立:在平面上取一个定点 O,自点 O 引一条射线 OX,同时确定一 个单位长度和计算角度的正方向(通常取 方向为正方向) ,这样就建立了一个极坐 标系。 (其中 O 称为 ,射线 OX 称为 ) 如图,设 M 是平面上的任一点, ? 表示 OM 的长度,

? 表示以射线 OX 为始边,射线 OM 为终边所成的角。
那 么 有 序 数对 ( ? ,? ) 称 为 点 M 的 极 坐 标。 其 中 ? 称 为 , ? 称为 .

由 极 径 的 意 义 可 知 ? ? 0 . 当 极角 ? 的 取 值 范 围是

?0, 2? ? 时,平面上的点(除去极点)就与极坐标 ? ?,? ?? ? ? 0? 建立一一对应的关系.
约定:极点的极坐标是 ? =0, ? 可以取任意角. 4.极坐标的统一形式 一般地,如果 ? ? ,? ? 是点 M 的极坐标,那么 或 二、简单图形的极坐标方程(B 级) 1.直线的极坐标方程:若直线过点 M ( ?0 ,?0 ) ,且极轴到此直线的角为 ? ,则它的 方程为: . 注:几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点 方程: 图: (2)直线过点 M(a,0)且垂直于极轴 方程: 图:

? k ? Z ? ,都可以作为点 M 的极坐标.

第 1 页 共 9 页

(3)直线过 M (b, ) 且平行于极轴 方程: 图:

? 2

练习:按下列条件写出直线的极坐标方程: ①经过极点,且倾斜角为

? 的直线; 6

②经过点 A ? 2,

? ?

??

? ,且垂直于极轴的直线; 4?

③经过点 B ? 3, ?

? ?

??

? ,且平行于极轴的直线; 3?

④经过点 C ? 4,0? ,且倾斜角为

3? 的直线. 4

2.圆的极坐标方程: 若圆心为 M ( ?0 ,?0 ) ,半径为 r 的圆方程为: . 注:几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点 方程: 图:

(2)当圆心位于 M (r ,0) 方程: 图:

(3)当圆心位于 M ( r ,

?
2

)
第 2 页 共 9 页

方程:

图:

练习:按下列条件写出圆的极坐标方程: ①以 A? 2,0? 为圆心,2 为半径的圆;

②以 B ? 4,

? ?

??

? 为圆心,4 为半径的圆; 2?

③以 C ?5, ? ? 为圆心,且过极点的圆;

④以 D ? 2,

? ?

??

? 为圆心,1 为半径的圆. 4?

三、极坐标方程与直角坐标方程的互化(B 级) 以直角坐标系的 O 为极点,x 轴正半轴为极轴, 且在两坐标系中取相同的单位长度平面内的任一点 P 的直角坐标极坐标分别为(x,y)和 ( ? , ? ) ,则

x?
y?

?2 ?
tan ? ?
练习: ①将下列各点的极坐标化为直角坐标:

?? ? ? 2, ? = 4? ?

; ;

?5,? ? =

?? ? ? 6, ? ? = 3? ? 3? ? ? ? 4, ? ? = 2 ? ?



11? ? ? ? ?2, ?= 6 ? ? 3? ? ? ; ? ?4 2, ?= 4 ? ?

; .

②将下列各点的直角坐标化为极坐标:
第 3 页 共 9 页

?
例1 程.

2, 2 =

?

; ;

? ?1, ?1? =

; ;

? ?3,0? =

; .

? 0,5? =

? 4, ?4 3 ? =
? ?

??

3,1 =

?

考点 1 极坐标与直角坐标互化 在极坐标中,求两点 P(2,

), Q(2,? ) 之间的距离以及过它们的直线的极坐标方 4 4

练习 1 已知圆 C: ( x ? 1)2 ? ( y ? 3)2 ? 1 ,则圆心 C 的极坐标为 _ __ ( ? ? 0, 0 ? ? ? 2? )

练习 2 在极坐标中,求两点间的距离: (1) A(5,35 ) , B(12,215 )
o o

(2) A(3,

?
12

) , B(8,

5? ) 12

(3) A(?1,?1 ), B(?2 ,?2 ) ? ?1 ? 0, ?2 ? 0? 练习 3 (1)在极坐标中,点 P(? ,? ) 关于极轴的对称点的坐标为 ; .

(2)在极坐标中,求点 M(5,

?
6

) 关于直线 ? ?

?
4

的对称点的坐标为

考点 2 极坐标方程与直角坐标方程互化 例 2 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 4sin ? .以极点为平面直角坐标系的原点,极轴

为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的方程是 x ? y ? 4 ? 0 ,点 P 是曲线 C 上 的动点,点 Q 是直线 l 上的动点,求 PQ 的最小值.

第 4 页 共 9 页

练习 1

在极坐标系中,圆 ρ=cosθ 与直线 ρcosθ=1 的位置关系是



练习 2 在极坐标系中,圆 ? ? 2 上的点到直线 ? cos? ? 3 sin ? ? 6 的距离的最小值 是 ___ __ . 练习 3 在极坐标系中,过点 ? 2 2, 是

?

?

? ?

??

? 作圆 ? ? 4sin ? 的切线,则切线的极坐标方程 4?



练习 4 的中点.

设过原点 O 的直线与圆 C : 点 M 为线段 OP ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 的一个交点为 P ,

⑴求圆 C 的极坐标方程;⑵求点 M 轨迹的极坐标方程,并说明它是什么曲线. 三、参数方程 1.参数方程的意义

? x ? f (t ) 在平面直角坐标系中,若曲线 C 上的点 P( x, y) 满足 ? ,该方程叫曲线 C 的参数 ? y ? f (t ) 方程,变量 t 是参变数,简称参数. 2.参数方程与普通方程的互化 (1)参数方程化为普通方程 常见参数方程化为普通方程,并说明它们各表示什么曲线:
①?

? x ? x0 ? at ? x ? a cos ? (t为参数) ( ? 为参数) ; ②? ; ? y ? y0 ? bt ? y ? b sin ?

? x ? sin ? ? ? [0, 2? ) ; ③? 2 ? y ? cos ?

? ?x ? ④? ? ?y ? ? ?

a 1 (t ? ) 2 t (t 为参数) ; b 1 (t ? ) 2 t

⑤?

? x ? a ? r cos ? ( ? 为参数). ? y ? b ? r sin ?
第 5 页 共 9 页

注: 参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程, 不要忘了参数的范围! (2)普通方程化为参数方程 ①经过点 P ( x0,y0 )倾斜角为? 的参数方程;

②圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 的参数方程;

③椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程; a 2 b2

④抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的参数方程.
2

注:普通方程化为参数方程需要引入参数,选择的参数不同,所得的参数方程也不一 样。 考点 3 参数方程与直角坐标方程互化 例 3 已知曲线 C1 的参数方程为 ?

? ? x ? ?2 ? 10 cos? ( ? 为参数) ,曲线 C 2 的极坐标方 ? y ? 10 sin ? ?

程为 ? ? 2 cos? ? 6 sin ? . (1) 将曲线 C1 的参数方程化为普通方程, 将曲线 C 2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2) 曲线 C1 , C 2 是否相交,若相交请求出公共弦的长,若不相交,请说明理由.

练习 1

P 是以原点为圆心,r=2 的圆上的任意一点, Q(6,0) ,M 是 PQ 中点,当点 P

在圆上运动时,求点 M 的轨迹的参数方程.
第 6 页 共 9 页

练习 2

S ? x ? y 的最大值.

x2 ? y 2 ? 1上的一个动点,求 在平面直角坐标系 xOy 中,点 P(x,y ) 是椭圆 3

考点 4 例 4

利用参数方程求值域 在 曲 线 C1 :

? x ? 1 ? cos? (?为参数) 上 求 一 点 , 使 它 到 直 线 C 2 : ? ? y ? sin ?

1 ? x ? ? 2 2 ? t ? ? 2 (t为参数) ? 的距离最小,并求出该点坐标和最小距离. ? y ? 1? 1 t ? ? 2

练习 1 在平面直角坐标系 xOy 中,动圆 x + y - 8x cos? - 6 y sin ? + 7cos ? + 8 = 0 的
2 2 2

圆心为 P ( x, y ) ,求 2x -

y 的取值范围.

3 ? ?x ? ? 5 t ? 2 , 练习 2 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 2 sin? , 设直线 L 的参数方程是 ? 4 ?y? t 5 ?
( t 为参数) . (1)将曲线 C 的极坐标方程转化为直角坐标方程; (2)设直线 L 与 x 轴的交点是 M , N 曲线 C 上一动点,求 MN 的最大值.

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考点 5 直线参数方程中的参数的几何意义 例 5 已知直线 l 经过点 P(1,1) ,倾斜角 ? ? ①写出直线 l 的参数方程; ②设 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 相交与两点 A, B ,求点 P 到 A, B 两点的距离之积.

?
6

.

4 ? x ? 1? t ? ? ? 5 练习 1 求直线 ? ( t为参数 )被曲线 ? ? 2 cos(? ? ) 所截的弦长. 4 ? y ? ?1 ? 3 t ? 5 ?

练习 2 已知直线 l是过点 P(?1,2), 倾斜角为

2 ? ?的直线.圆方程 ? ? 2 cos(? ? ). 3 3

(1)求直线 l 的参数方程; (2)设直线 l 与圆相交于 M、N 两点,求 PM· PN 的值.

数学选修 4-4 坐标系与参数方程习题
? x ? sin 2? . (? 为参数) 上的点是 ? y ? cos ? ? sin ? 1 3 1 (1) ( , ? 2) (2) ( ? , ) (3) (2, 3) (4) (1, 3) 2 4 2 2 ? ? x ? 2 ? sin ? (? 为参数) 化为普通方程为 2.将参数方程 ? 2 y ? sin ? ? ? 3.点 M 的直角坐标是 (?1, 3) ,则点 M 的一个极坐标为 .
1.下列在曲线 ? 4.化极坐标方程 ? cos ? ? ? ? 0 为直角坐标方程为
2

.

. .

5.圆 ? ? 5cos? ? 5 3sin ? 的圆心坐标是 6.直线 ?

? x ? 3 ? 4t (t为参数) 的斜率为______________________. ? y ? 4 ? 5t
第 8 页 共 9 页

t ?t ? ?x ? e ? e (t为参数) 的普通方程为__________________. 7.参数方程 ? t ?t y ? 2( e ? e ) ? ? ? x ? 1 ? 3t (t为参数) 与直线 l2 : 2x ? 4 y ? 5 相交于点 B , 8. 已知直线 l1 : ? 又点 A(1, 2) , ? y ? 2 ? 4t

则 AB ? _______________.

1 ? x ? 2? t ? ? 2 (t为参数) 被圆 x2 ? y 2 ? 4 截得的弦长为______________. 9.直线 ? 1 ? y ? ?1 ? t ? ? 2
10.极坐标方程分别为 ? ? cos ? 与 ? ? sin ? 的两个圆的圆心距为__________. 11.已知点 P( x, y) 是圆 x 2 ? y 2 ? 2 y 上的动点, (1)求 2 x ? y 的取值范围; (2)若 x ? y ? a ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围.

12.求直线 l1 : ?

? ?x ? 1? t (t为参数) 和直线 l2 : x ? y ? 2 3 ? 0 的交点 P 的坐标,及点 y ? ? 5 ? 3 t ? ?

P 与 Q(1, ?5) 的距离.

13.在椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上找一点,使这一点到直线 x ? 2 y ? 12 ? 0 的距离的最小值. 16 12

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