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2.2.2对数函数及其性质(3)


2.2.2对数函数及其性质(3)

指数函数的性质
a>1
图象

0<a<1

性质

(1)定义域:R
(2)值域:(0,+∞) (3)过点(0,1),即x=0时,y=1 (4)在 R上是增函数(4)在R上是减函数

对数函数y=log a x (a>0, a≠1)

a>1 图 象
o y (1, 0) x y o

0<a<1

(1, 0)

x

(1) 定义域: (0,+∞) 性 (2) 值域:R (3) 过点(1,0), 即x=1 时, y=0 (4) 0<x<1时, y<0; (4) 0<x<1时, y>0; x>1时, y<0



x>1时, y>0

(5) 在(0,+∞)上是增函数 (5)在(0,+∞)上是减函数

反函数的概念

y?2

x

x ? log2 y( y ? (0,??))是函数 y ? 2 ? x ? R?的反函数
x

指数函数 y ? 2 ? x ? R?的反函数
x

对数函数 y ? log2 x( x ? ?0,???)是

x ? log2 y

对数函数 y ? loga x(a ? 0, a ? 1)与
x

y ? log2 x

指数函数 y ? a (a ? 0, a ? 1)是互为反函数

二 反函数的概念

设A,B分别为函数y=f(x)的定义域和值域,如 果由函数y=f(x)所解得 x ? ? ( y ) 也是一个函 数(即对任意一个 y ? B,都有唯一的 x ? A 与之对应),那么就称函数 x ? ? ( y ) 是函 ?1 x ? f ( y ) 。习惯上, 数y=f(x)的反函数,记作: 用x表示自变量,y表示函数,因此的反函数 ?1 ?1 y ? f ( x) 通常改写成: x ? f ( y)
注.y=f(x)的定义域、值域分别是反函数y ? f ( x ) 的值域、定义域
?1

例3 求下列函数的反函数

(1)y=0.2-x+1 (2)y=log2(4-x) (x<4)

对数函数与指数函数的图象
由于对数函数 互为反函数, 所以 的图象关于直线
5 4

y ? loga x 与指数函数 y ? a
y ? loga x

x

y?x

x y ? a 的图象与

对称。
4 4

y=ax

(a>1)

3

y=ax
0<a<1
-4 -4 -2 -2

3 3

2 2

2

1 1

1

2 2

-4

-2

2

4

6

-1

y=logax (a>1)

-1 -1

y=logax
0<a<1

4 4

6

-2 -2

-2

思考.已知函数

y ? lg( x ? ax ? 1)
2

(1)当定义域为R时,求a的取值范围;
(2)当值域为R时,求a的取值范围.

小结: 1.指数函数与对数函数的关系.

2.反函数的定义和图象的特点.

练习: x ?1? 1. 9.(1)若f(x)的图象与g(x)=? ? 的图象关于y轴对称,
?4?
x

则f(x)=

a?2 ?1 (a ? R)是R上的奇 2.已知 f ( x ) ? x 1? 2 函数,(1)求a的值;(2)求f(x)的反函数;

?1? (2)若h(x)的图象与g(x)=? ? 的图象关于y=x对称, ?4? 则h(x)= x


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