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初中数学思想方法的教学与应用


一节优质课的思考和成长

初中数学思想方法的教学与应用
郑州市第八十五中学 张利红

什么是数学思想和方法
数学思想,就是对数学知识的本质的认识。是从某 些具体的数学内容和对数学的认识过程中提练上升数 学观点,它在认识活动中被反复运用,带有普遍的指 导意义,是建立数学和用数学解决问题的指导思想。 数学方法指在数学中提出问题、解决问题(包括 数学内部问题和实际问题)过程中,所采用的各种方 式、手段、途径等。 数学思想和数学方法是紧密联系的,强调指导思 想时,称数学思想,强调操作过程时,称数学方法。
中位数 czsy6050@126.com

常用的数学思想方法
常用数学思想: 建模思想、统计思想、最优化思想、 转化化与化归思想、类比思想、分类思想、 整体思想、数形结合思想、方程思想、函 数思想等。 常用数学方法: 配方法、换元法、待定系数法、参数法、 构造法、特殊值法等。

中位数

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为什么要重视数学思想方法的学习
1、生活的需要 2、学生发展的需要 3、课标要求 4、高效课堂的需要

中位数

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如何培养初中生的数学思想方法
一、数学思想方法的培养应遵循的原则: 渗透性原则、层次性原则、反复性原则 二、在知识的传授全过程中,培养学生的数学思想 在概念形成过程中、在公式定理的证明过程中、 在例题教学中、在练习过程中渗透和培养数学思想 三、培养学生自觉应用数学思想方法解决实际问 题的能力

中位数

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初中数学思想方法的教学与应用
? 类比联想 ? 整体思想 ? 数形结合思想 ? 分类讨论思想 ? 转化与化归思想 ? 方程与函数思想
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类比联想
类比法,是通过对两个研究对象的比较, 根据它们某些方面(属性、关系、特征、形 式等)的相同或相类似之处,推出它们在其 它方面也可能相同或相类似的一种推理方法。 类比法所获得的结论是对两个研究对象的观 察比较、分析联想以至形成猜想来完成的, 是一种由特殊到特殊的推理方法.

中位数

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教学体现
?相似三角形判定方法的探索 ?零指数幂和负整数指数幂的性质探索 ?特殊平行四边形性质和判定的探索 ?直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关 系的探索 ?整式除法运算法则探索 ?求多边形内角和

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(2008中考)18.(9分)复习“全等三角形”的知识时, 老师布置了一道作业题:“如图①,已知在△ABC中, AB=AC,P是△ABC内部任意一点,将AP绕A顺时针旋转 至AQ,使∠QAP=∠BAC,连接 BQ、CP,则BQ=CP.” 小亮是个爱动脑筋的同学,他通 过对图①的分析,证明了△ABQ≌△ACP,从而证得 BQ=CP之后,将点P移到等腰三角形ABC之外,原题中的 条件不变,发现“BQ=CP”仍然成立,请你就图②给出证 Q 明. A
A

Q P B
图①

P

C

B

图②

C

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(2010中考)22.(1)操作发现 如图,矩形ABCD中,E是AD的中点,将△ABE沿BE折 叠后得到△GBE,且点G在举行ABCD内部.小明将BG 延长交DC于点F,认为GF=DF,你同意吗?说明理由. (2)问题解决 AD 保持(1)中的条件不变,若DC=2DF,求 AB 的值; (3)类比探求 AD 保持(1)中条件不变,若DC=nDF,求 的值.
AB
A E D G G B
中位数

F

C
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A

E

D G C

2x
B

x F

x 2x G y



中位数

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2012中考



中位数

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整体思想
整体思想就是从问题的整体性质出 发,突出对问题的整体结构的分析和改 造,发现问题的整体结构特征,从宏观 整体上认识问题的实质,把一些彼此独 立,但实质上又相互紧密联系的量作为 整体来处理的思想方法。

中位数

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教学体现
?多项式与多项式相乘的法则探索 ?二元一次方程组的解法 ?代数式求值 ?分解因式 ?整式的相关计算

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2、 ?1 ?



1、若x=1时,代数式ax3+bx+7的值为4,则当x= -1时, 求ax3+bx+7的值为;
? ? 1 1 1 ?? 1 1 1 1 ? ? 1 1 1 ? 1 ? 1 1 1 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 3 4 ?? 2 3 4 5 ? ? 2 3 4 ? 5 ? 2 3 4 ?

?ax ? by ? 4 ?x ? 2 的解是 ? 3、已知方程组 ? ,则a+b= bx ? ay ? 5 y ?1 ? ?
4、

.

?(3a ? 7)

2

? (a ? 5)2 ?? (4a ? 24)

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5、如图,在高2米,坡角为30°的楼梯表面铺地毯,则地毯的长 至少需要 米。

6、如图,⊙A,⊙B,⊙C两两不相交,且半径都是0.5cm, 则图中的阴影面积为 。

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7、(2009绵阳中考12题) 如图,△ABC是直角边长 为a的等腰直角三角形,直角边AB是半圆O1的直径, 半圆O2过C点且与半圆O1相切,求图中阴影部分的面 积。 C

O2 P
A O1 B

中位数

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数形结合思想
数形结合思想是指将数(量)与(图)形结合 起来进行分析、研究、解决问题的一种思维策略。 数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直 观的几何图形、位置关系结合起来,通过“以形助 数”或“以数解形”即利用形的直观加深对数量关 系的理解或利用数的抽象性加深对图形的认识,实 现了抽象思维与形象思维的结合与转换。 数与形本是相倚依,怎能分作两边飞; 数缺形时少直观,形少数时难入微; 数形结合百般好,隔离分家万事休。 ——华罗庚
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教学体现
?数轴 ?平面直角坐标系 ?函数 ?空间与图形 ?勾股定理 ?平方差公式、完全平方公式的几何意义

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1、已知a<0,b<0,且a<b,则( ) A 、 —b>—a B 、 —b> C 、—a > |b| D、 |b| >|a| 2、关于x的不等式组 ?5 ? 2 x ? ?1 无解,则a的取值 ? 范围是 。 ?x ? a ? 0 3、如图是小张用火柴搭的1条、2条、3条……“金鱼”。 则搭n条“金鱼”需要火柴 根。
1 2

4、若M( ,y3)三点都在函数 (k<0)的图象上,则y1,y2,y3的大小关系为( ) A、 y2>y3>y1 B、 y2>y1>y3 C 、 y3>y1>y2 D、 y3>y2>y1
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?

1 ? ,y2),P( 1 ,y1),N( 4 2

6、2012中考

5、对于二次函数y=ax2+bx+c若a>0,b<0,c <0, 则下面关于这个函数与x轴的交点情况正确的是( ) A.只有一个交点 B.有两个,都在x轴的正半轴 C.有两个,都在x轴的负半轴 D.一个在x轴的正半轴,一个在x轴的负半轴

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7、(08湖北恩施州) 如图,C为线段BD上一动点,分别过点 B、D作AB⊥BD,ED⊥BD,连接AC、EC.已知 AB=5,DE=1,BD=8,设CD=x. (1)用含x的代数式表示AC+CE的长; (2)请问点C满足什么条件时,AC+CE的值最小? (3)根据(2)中的规律和结论,请构图求出代数式 x 2 ? 4 ? (12 ? x) 2 ? 9 的最小值. A C

B

D

C

E

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分类讨论思想
分类讨论思想又称逻辑划分,即把所有研 究的问题根据题目的特点和要求,分成若干 类,转化成若干个小问题来解决,这种按不 同情况分类,然后再逐一研究解决的数学思 想。 当数学问题中的条件、结论不明确或题 意中含参数或图形不确定时,就应分类讨论。 分类讨论解题的实质,是将整体问题化为部 分问题来解决,以增加题设条件。
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分类讨论的步骤及原则
1、明确讨论对象,确定对象的全体,确立分类 标准(标准统一,标准不同,结果也不相同); 2、恰当分类(结果无遗漏,无交叉重复); 3、逐类讨论(逐级进行,不越级讨论); 4、归纳总结,综合得出结论。

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教学体现
?|a |= ———— ?实数的分类 ?三角形的分类 ?与圆有关的位置关系 ?三角形判定方法的探索 ?一元二次方程的解的情况

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1、等腰三角形的一个角等于30°,腰长为20cm, 求等腰三角形腰上的高的长; 2、已知直角三角形两边x、y的长满足 x 2 ? 4 ? y 2 ? 5 y ? 6 ? 0 ,则第三边长为



3、A、B两地相距450千米,甲、乙两车分别从A、 B两地同时出发,相向而行.已知甲车速度为120 千米/时,乙车速度为80千米/时,以过小时两车相 距50千米,则的值是( ) A、2或2.5 B、2或10 C、10或12.5 D、2或12.5
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4、在半径为1的⊙O中,弦AB,AC分别为 3 和 , 2 则∠BAC的度数为 ; 5、已知⊙O的半径为2,点P是⊙O外一点,OP的 长为3,那么以P这圆心,且与⊙O相切的圆的半 径一定是( ) A.1或5 B.1 C.5 D.1 6、一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是 -3≤x≤ 6,,相应的函数值的取值范围是 -5≤y≤-2 ,则这个函数的解析式 。

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C 在三角形的边上找出一点,使得该点 与三角形的两顶点构成等腰三角形!
1、对∠A进行讨论 C
20° 20°

110°

A

20°

50°

B

A

B 2、对∠B进行讨论

3、对∠C进行讨论

C
20° 20°

C
65° 35° 50°

C
110° 35°

A C
80° 20° 80°

B

65°

A
50°

C

BA

B

中位数

A

B

50°

A

B

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劳技课上,老师要求学生在一张长17cm,宽16cm 的长方形纸片上剪下一个腰长为10cm的等腰三角形, 要求等腰三角形的一个顶点与长方形的顶点重合,其 余两个顶点在长方形的边上。请帮助同学们计算一下 所得等腰三角形的面积。

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在平面直角坐标系中,已知点P(-2,-1). (1)点T(t,0)是x轴上 的一个动点。当t取何值时, △TOP是等腰三角形? 情况一:OP=OT T1 (? 5,0);T2 ( 5,0) 情况二:PO=PT T3(-4,0) P

y

.0

A

x

情况三:TO=TP 5 T4 (? ,0) 4
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(2) 过P作y轴的垂线PA,垂足为 A.点T为坐标系中的一点。以点 A.O.P.T为顶点的四边形为平行 四边形,请写出点T的坐标?

情况一: 以OP为对角线 T1 (?2,0) 情况二: 以PA为对角线

.0
P

A

T2 (?2,?2) 情况三: 以OA为对角线

T3 (2,0)
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(3) 过P作y轴的垂线PA,垂足为 A.点T为坐标轴上的一点。以 P.O.T 为顶点的三角形与 △AOP相似,请写出点T的坐标?

y

由图得?POT为900 时, 符合条件的点T不存在

情况一: 当?PTO ? 90 时
0

.0
P

A

x

T1 (?2,0)

情况二: 当?TPO ? 900时
5 T2 (? ,0) 2
T3 (0,?5)

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如图,边长为2的正方形 ABCD中,顶点A的坐标是 (0,2).一次函数y=x+t的 图象l随t的不同取值变化时, 正方形中位于l的右下方部分 的图形面积为S.写出S与t的 函数关系式.

y C l

D

A

B

O

x

中位数

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t?0y
D Cl A

t?2
y C l D

t?4

B
A B

O

x

0?t ?2
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1 2 S? t . 2

O

x

2?t ?4

1 S ? 4 ? (4 ? t ) 2 2
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(2011中考)22、如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=5, ∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度 向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单 位长的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时, 另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒(t >0).过点D作DF⊥BC于点F,连接DE、EF. (1)求证:AE=DF; (2)四边形AEFD能够成为菱形吗?如果能,求出相应的t 值;如果不能,说明理由. (3)当t为何值时,△DEF为直角三角形?请说明理由.

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转化与化归思想
化归就是转化与归结的简称,所谓化 归就是将所要解决的问题转化归结为另一个 比较容易解决的问题或已经解决的问题。具 体来说,就是把“新知识”转化为“旧知 识”,把“未知”转化为“已知”,把“复 杂问题”转化为“简单问题”。

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教学体现
?多边形内角和的探索 ?整式乘法运算法则探索 ?直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关 系探索 ?分式方程的解法、多元方程(组)的解 法、一元二次方程的解法 ?几何实体与其三视图

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1、 如图,“回”字形的道路宽为1米,整个

“回”字形的长为8米,宽为7米,一个人从 入口点A沿着道路中央走到终点B,他共走 了 .
A 7米 B

8米

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2、如图,是一块在电脑屏幕上出现的矩形色 块图,由6个颜色不同的正方形组成,设中间 最小一个正方形边长为1,则这个矩形色块图 的面积为 .
X+2 X+3 X+1X X

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3、如图所示,AB是半圆的直径,AB=4,C、D 为半圆的三等分点,求阴影部分的面积?

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4、如图,A是半圆上一个三等分点,B是弧AN的中点, P是直径MN上一动点,⊙O的半径为1,求AP+BP的最 小值。

A
M

B N

O P



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方程与函数思想
函数的思想,就是用运动变化的观点,分析 和研究具体问题中的数量关系,建立函数关系, 运用函数的知识,使问题得到解决.这种思想方法 在于揭示问题的数量关系的本质特征,重在对问 题的变量的动态研究,从变量的运动变化,联系 和发展角度拓宽解题思路要确定变化过程的某些 量,往往要转化为求出这些量满足的方程,希望 通过方程(组)来求得这些量.这就是方程的思想, 方程思想是动中求静,研究运动中的等量关系.

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教学体现
?二次函数求最值 ?解直角三角形的相关问题 ?最大利润问题 ?最佳分配方案问题 ?空间与图形的相关问题 ?根据相关信息求函数关系式

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1、 如图, ?ABC 中,BC=4, ? 2 3,?ACB ? 60? AC P为BC上一点,过点P作PD//AB,交AC于D。连结AP, 问点P在BC上何处时, ⊿APD 面积最大?
A

D

B

x

P

H

C

4-x

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2、某学校有一段25米长的旧围栏,(如图用AB表示),现打

算利用该围栏(或它的一部分)为一边,围成一块面积为100 ㎡的长方形草坪,如图,其中CD<CF。已知整修旧围栏的费 用为每米1.75元,建造新围栏的价格为每米4.5元,设利用旧围 栏CF的长度为x米,修建草坪围栏的总费用为y元。 (1)求出y与x之间的函数关系式。 (2)若计划修建费用只有150元,则应利用旧围栏多少米? (3)若计划修建费用只有120元,能否完成该草坪的围栏修建 任务?请说明理由。
x

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2012中考

中位数

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中位数

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教科书里陈述的数学,往往是“冰冷 的美丽”.因此,数学教师的责任在于把 数学的学术形态转化为教育形态,使学生 既能高效率地进行火热的思考,又能比较 容易接受,理解隐藏在“冰冷美丽”背后 的数学本质. —— 张奠宙

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