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小问题大用处:高中数学小问题集中营之必修一:集合:专题1 sinθ±cosθ2=1±2sinθcos

?π ? 3 2016 年全国甲卷有这样一道题:若 cos ? ? ? ? ? ,则 sin 2? =( ?4 ? 5 ). A. 7 25 B. 1 5 C. ? 1 5 D. ? 7 25 该题可以巧妙利用 sinα ±cosα ,sinα cosα 的内在联系解题,而此类问题在高考中出现的频 率比较高,且技巧性较强,容易出错,下面我们就来探讨这一类问题的解法. 首 先 给 出 上 面 一 题 的 解 法 : 因 为 cos ? 2 3 ?π ? 3 ? α? ? ,展开得 ? cos α ? sin α ? ? , 所 以 2 5 ?4 ? 5 cos α ? sin α ? 18 7 3 2 ? sin 2α ? ? ,两边平方得, 1 ? sin 2α ? .故选 D. 25 25 5 2 2 对于 sin α +cos α ,sin α cos α ,sin α -cos α 这三个式子,利用(sin α ±cos α ) = 1±2sin α cos α ,可以知一求二,在应用(sin α ±cos α ) =1±2sin α cos α 解题时,若 由 sin α ±cos α 得到 sin α cos α ,可通过平方实现,若由 sin α cos α 得到 sin α ±cos α ,可通过开方实现,此时,应注意正负号的取舍,这种变形及应用在解题中应用非常广泛 .此 外利用这些变形还可以推出一些有用的变形: (1) sin α ? cos α ? ?sin α ? cos α ??1 ? sin α cos α ? ; 3 3 (2) sin α ? cos α ? sin α ? cos α 4 4 2 2 ? ? 2 ? 2sin 2 α cos2 α ? 1 ? 2sin 2 α cos 2 α ; 4 6 6 2 2 (3) sin α ? cos α ? sin α ? cos α ? ??sin α ? sin 2 α cos 2 α ? cos 4 α ? ? 1 ? 3sin 2 α cos 2 α . 7 ,求 sin 2? , sin ? , cos? , tg? 的值. 5 7 24 【解析】由 sin ? ? cos ? ? 两边平方,易得 sin 2? ? . 5 25 1 , ? (sin ? ? cos ? ) 2 ? 1 ? sin 2? ? 25 【例 1】已知 sin ? ? cos ? ? 7 ? 7 ? sin ? ? cos? ? sin ? ? cos? ? ? ? 解方程组 ? 5 5 或? ? ? 1 ?sin ? ? cos? ? ? 1 ?sin ? ? cos? ? ? ? 5 5 ? ? 4 ? 3 ? sin ? ? sin ? ? ? ? 4 3 ? 5 ? 5 得? 或? , tg? ? 或 . 3 4 ?cos? ? 3 ?cos? ? 4 ? 5 ? 5 ? ? 【例 2.】函数 y ? sin x ? cos x ? sin x cos x 的最大值为_________. 【例 3.】求 f (? ) ? 4 sin ? cos ? ? 1 ? (0 ? ? ? ) 的最大值和最小值. sin ? ? cos ? ? 1 2 2 sin(? ? 【解析】设 t ? sin ? ? cos ? ? 由0 ?? ? ? ? 2 ,得 ? 4 ?? ? ? 4 ? 3? ,则 1 ? t ? 2 4 4 ), 2 又由 (sin? ? cos? ) 2 ? t 2 ,得 2 sin ? cos? ? t ? 1, 所以 f (t ) ? ' 2(t 2 ? 1) ? 1 1 1 ? 2(t ? 1) ? ?4 ? 2(t ? 1) ? t ?1 t ?1 t ?1 ? f ( x) ? 2 ? 1 x 2 >0 ? f ( x) ? 2 x ? 1 ? 4 为增函数 x 即 当1 ? t ? 2 时, f (t ) 是 t 的增函数, 1 1 ? f (t ) ? 2( 2 ? 1) ? , 1?1 2 ?1 ? 即 2(1 ? 1) ? ? 1 ? f (t ) ? 2 ? 1 为 f(t)的取值范围. 2 1 故函数 f(θ )有最大值 2 ? 1 ,最小值 ? 2 2 sin 2 ? ? sin 2? 【例 4】已知 ?k 1 ? tan? 【解析】由已知 ( ? 4 ?? ? ? 2 ) ,试用 k 表示 sin ? ? cos? 的值. 2 sin 2 ? ? sin 2? 2 sin ? (sin ? ? cos? ) ? ? 2 sin ? cos? ? k ; sin ? 1 ? tan? 1? cos? ? ? 4 ?? ? ? 2 ? sin ? ? cos ? ? sin ? ? cos? ? (sin ? ? cos ? ) 2 ? 1 ? 2 sin ? cos ? ? 1 ? k . 【例 5】求函数 f ( x) ? sin 4 x ? cos4 x ? sin 2 x cos2 x 的最小正周期,最大值和最小值. 2 ? sin 2 x sin 4 x ? cos4 x ? sin 2 x cos2 x 1 ? sin 2 x cos2 x 1 1 ? sin 2 x ? . 【解析】 f ( x) ? ? 2 2 ? sin 2 x 2(1 ? sin x cos x) 4 所以函数 f ( x) 的最小正周期是 ? ,最大值为 3 1 ,最小值为 . 4 4 1.已知 sinα -cosα = 2,α ∈(0,π ),则 tanα =( A.-1 B.- 2 2 ) C. 2 2 D.1 2.已知 ? 为锐角,若 sin 2? ? co


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