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9.6.1圆的方程




题:9.6.1 圆的方程

教学目的: 使学生掌握圆的标准方程的特点,能根据所给有关圆 心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程,能运用圆的 标准方程正确地求出其圆心和半径, 解决一些简单的实际问 题,并会推导圆的标准方程. 教学重点: 圆的标准方程的推导步骤; 根据具体条件正确写出圆的 标准方程
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教学难点: 运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题 教学过程: 一、复习引入: 1.圆的定义:平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称 为圆 2.求曲线方程的一般步骤为: (1)建立适当的坐标系,用有序实数对表示曲线上任 意一点 M 的坐标; (2)写出适合条件 P 的点 M 的集合;(可以省略,直接
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列出曲线方程 )
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(3)用坐标表示条件 P(M) ,列出方程 f ( x, y) ? 0 ; (4)化方程 f ( x, y) ? 0 为最简形式; (5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上 的点 (可以省略不写,如有特殊情况,可以适当予以说明 )
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二、讲解新课: 1.建立圆的标准方程的步骤:建系设点;写点集;列 方程;化简方程
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2. 圆的标准方程 : ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2
y

已知圆心为 C (a, b) , 半径为 r , 如何求的 圆的方程?
O

r C(a,b)

M

x

运用上节课求曲线方程的方法,从圆的 定义出发,正确地推导出:
( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2

这个方程叫做圆的标准方程

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若圆心在坐标原点上,这时 a ? b ? 0 ,则圆的方程就是
x2 ? y 2 ? r 2
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3.圆的标准方程的两个基本要素:圆心坐标和半径

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圆心和半径分别确定了圆的位置和大小,从而确定了

圆,所以,只要 a, b, r 三个量确定了且 r >0,圆的方程就给 定了 这就是说要确定圆的方程,必须具备三个独立的条件
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确定 a, b, r ,可以根据条件,利用待定系数法来解决

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三、讲解范例: 例1 求以 C(1,3)为圆心,并且和直线 3x ? 4 y ? 7 ? 0 相切
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的圆的方程

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解:已知圆心坐标 C(1,3),故只要求出圆的半径,就能 写出圆的标准方程 因为圆 C 和
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直线 3x ? 4 y ? 7 ? 0 相切, 所以半径
r 就等于圆心 C 到这条直线的距

y

C(1,3) r
O

离 根据点到直线的距离公式,
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M
x



3x-4y-7=0

r?

| 3 ?1 ? 4 ? 3 ? 7 | 3 ? (?4)
2 2

?

16 5

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因此,所求的圆的方程是
( x ? 1) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 256 25
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点评: 由本题可知,圆的标准方程是由圆心坐标和半 径两因素决定的 而且圆的半径与圆的切线有着非常密切
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的联系,解题要注意运用圆的切线的性质 解题时画出草图
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可帮助思考

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四、课堂练习: 1.求下列各圆的标准方程: (1)圆心在 y ? ? x 上且过两点(2,0) , (0,-4) ; (2)圆心在直线 2 x ? y ? 0 上,且与直线 x ? y ? 1 ? 0 切于 点(2,-1). (3)圆心在直线 5x ? 3 y ? 8 上,且与坐标轴相切
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分析:从圆的标准方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 可知,要确定 圆的标准方程,可用待定系数法确定 a, b, r 三个参数
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解: ( 1 ) 设圆 心坐 标为 ( a , b ) ,则 所求 圆的 方程为
( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 ,

∵圆心在 y ? ? x 上,∴ b ? ? a

① ②

又∵圆过(2,0) , (0,-4)∴ (2 ? a) 2 ? (0 ? b) 2 ? r 2
(0 ? a) 2 ? (?4 ? b) 2 ? r 2



由①②③联立方程组,可得 a ? 3, b ? ?3, r 2 ? 10 ∴所求圆的方程为 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 10
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(2)∵圆与直线 x ? y ? 1 ? 0 相切,并切于点 M(2,-1) , 则圆心必在过点 M(2,-1)且垂直于 x ? y ? 1 ? 0 的直线 l :
y ? x ? 3 上,

?y ? x ? 3 ?x ? 1 由? ?? ?2 x ? y ? 0 ? y ? ?2

, 即 圆 心 为 C ( 1 , -2 ),

r = (2 ? 1) 2 ? (?1 ? 2) 2 ? 2 ,

∴所求圆的方程为: ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 2

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(3)设所求圆的方程为 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 , ∵圆与坐标轴相切, ∴ a ? ?b, r ?| a |
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又∵圆心( a , b )在直线 5x ? 3 y ? 8 上,∴ 5a ? 3b ? 8
?a ? ? b ?a ? 4 ?a ? 1 ? ? ? 由 ?5a ? 3b ? 8 ,得 ? ?b ? 4 或 ?b ? ? 1 ?r ? 4 ?r ? 1 ? ? ? ? ?r ? a

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∴ 所 求 圆 的 方 程 为 : ( x ? 4) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 16 或
( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1

五、小结 : 圆的标准方程的概念及推导;如何求圆的标准方程;待 定系数法
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六、课后作业:
P269 1


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