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四川省广安市2016


广安市 2017 年春高二期末试题 数学(理工类)
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。总分 150 分。考试时间 120 分钟。 2.答题前,考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡 上。并检查条形码粘贴是否正确。 3.选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上,非选择题用 0.5 毫米黑色墨水签字笔 书写在答题卡对应框内,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。 4.考试结束后,将答题卡收回。 第Ⅰ卷(选择题,满分 60 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 12 小题 60 分。每个小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的) 1. 4 ? 5 ? 6 ? ? ? ? ? n ? (
n?3 A. An

)
n?4 B. An 4 C. An

D. ( n ? 4)! )

2.已知随机变量 ? 服从正态分布 N (0 , ? 2 ) ,若 P(? ? 2) ? 0.023,则 P(?2 ? ? ? 2) ? ( A.0.477 B.0.625 C.0.954 D.0.977

3.有 6 名男医生、5 名女医生,从中选出 2 名男医生、1 名女医生组成 一个医疗小组,则不同的选 法共有( A.60 种 ) B.70 种 C.75 种 D.105 种

4.利用独立性检验的方法调查大学生的性别与爱好某项运动是否有关,通过随机询问 110 名不同的 大学生是否爱好某项运动,利用 2 ? 2 列联表,由计算可得 K 2 ? 8.806,参照附表,得到的正确 结论是( )

A.有 99 .5% 以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” B.有 99 .5% 以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” C.在犯错误的概率不超过 0.05 % 的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关” D.在犯错误的概率不超过 0.05 % 的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”

1

5 .用数学归纳法证明 1 ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n ?
3

n 6 ? n3 , 则当 n ? k ? 1 时,左端应在 n=k 的基础上加 2

(
3

) B. (k ? 1)3 D. (k 3 ? 1) ? (k 3 ? 2) ? (k 3 ? 3) ? ? ? ? ? (k ? 1) 3

A. k ? 1

(k ? 1)6 ? (k ? 1)3 C. 2

6.曲线 y ? sin x ? e x 在点 (0,1) 处的切线方程是( A. x ? 3 y ? 3 ? 0 B. x ? 2 y ? 2 ? 0

) D. 3 x ? y ? 1 ? 0

C. 2 x ? y ? 1 ? 0

7.已知某人每天早晨乘坐的某一班公共汽车的准时到站的概率为 有 2 天准时到站的概率为( A. )

3 ,则他在 3 天乘车中,此班车恰 5 27 125

36 125

B.
1 1

54 125
1 0

C.

81 125

D.

8.设 a ?

?

0

x dx , b ? ? xdx , c ? ? x 3 dx ,则 a, b, c 的大小关系为(
0



A. b ? c ? a 9.若 (1 ? 2x) ( A.2 )
2017

B. b ? a ? c

C. a ? c ? b

D. a ? b ? c

? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? ? ? a2017 x 2017 ( x ? R ),则

a a1 a 2 的值为 ? 2 ? ? ? ? ? 2017 2 2 2 2017

B.0

C.-1

D.-2

10.甲、乙两人从 1,2,?,15 这 15 个数中,依次任取一个数(不放回).则在已知甲取到的数是 5 的倍数的情况下,甲所取的数大于乙所取的数的概率是 ( A. ) D.

1 2

B.

7 15

C.

8 15

9 14

11.节日期间,某种鲜花进货价是每束 2.5 元,销售价每束 5 元;节日卖不出去的鲜花以每束 1.6 元价格处理. 根据前五年销售情况预测, 节日期间这种鲜花的需求量 X 服从如下表所示的分布: X P 200 0.20 300 0.35 ) C.706 元 D.690 元 400 0.30 500 0.15

若进这种鲜花 500 束,则利润的均值为( A.754 元 B.720 元

2

12.设函数 f ?( x) 是奇函数 f ( x)(x ? R) 的导函数, f (?1) ? 0 ,当 x ? 0 时, xf ?( x) ? f ( x) ? 0 , 则使得 f ( x) ? 0 成立的 的取值范围是( A. (??,?1) ? (0,1) C. (??,?1) ? (?1,0) ) B. (?1,0) ? (1,??) D. (0,1) ? (1,??) 第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案直接填在答题卡上相应的横线上) 13.设 i 是虚数单位,则

1-2i =____ ______ 2?i

14. (1 ? x) 2 (1 ? x) 5 的展开式中 x 3 的系数为__________. 15.从 1 ? 12 , 2 ? 3 ? 4 ? 32 , 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 5 2 , ? ? ? 中,可猜想第 n 个等式为______ .

16.假设某次数学测试共有 20 道选择题,每个选择题都给了 4 个选项(其中有且仅有一个选项是正 确的).评分标准规定:每题只选 1 项,答对得 5 分,否则得 0 分.某考生每道题都给出了答案, 并且会做其中的 12 道题,其他试题随机答题,则他的得分 X 的方差 D( X ) =_______. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答时在答题卡上相应题号下应写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤。第 17~21 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22~23 题为选考题,考生根 据要求作答) (一)必考题:共 60 分 17.(12 分)已知 (3 x 2 ? 3 x 2 ) n 的展开式中,各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为 32. (1)求 n ; (2)求展开式中二项式系数最大的项.

18.(12 分)已知函数 f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 9 x ? 1( x ? R) . (1)求函数 的单调区间.

4? 恒成立,求实数 a 的取值范围. (2)若 f ( x) ? 2a ? 1 ? 0 对 ?x ? ?-2,

19. (12 分)在某校组织的一次篮球定点投篮训练中,规定每人最多投 3 次;在 A 处每投进一球得 3

3

分,在 B 处每投进一球得 2 分;如果前两次得分之和超过 3 分即停止投篮,否则投第三次.某同 学在 A 处的命中率 0.25, 在 B 处的命中率为 0.8,该同学选择先在 A 处投一球, 以后都在 B 处投, 用 X 表示该同学投篮训练结束后所得的总分. (1)求该同学投篮 3 次的概率; (2)求随机变量 X 的数学期望 E ( X ) .

20. (12 分)如图,在三棱锥 C ? OAB 中, CO ? 平面 AOB , OA ? OB ? 2OC =2 , AB ? 2 2 ,

D 为 AB 的中点.
(1)求证: AB ⊥平面 COD ; (2)若动点 E 满足 CE ∥平面 AOB ,问:当 AE ? BE 时, 平面 ACE 与平面 AOB 所成的锐二面角是否为定值? 若是,求出该锐二面角的余弦值;若不是,说明理由. A

C

O D

E B

21. (12 分)已知 f ( x) ? a ln(x ? 1) , g ( x) ? x ? bx , F ( x) ? f ( x ? 1) ? g ( x) ,其中 a, b ? R 。
2

(1)若 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 的图像在交点 (2, k )处的切线互相垂直,求 a , b 的值; (2)若 x ? 2 是函数 F ( x ) 的一个极值点, x0 和 1 是 F ( x ) 的两个零点,且 x0 ∈( n, n ? 1) n ? N , 求n.

(二)选考题共 10 分。请考生在 22~23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。 做答时请写清题号 22.(选修 4-4:坐标系与参数方程选做)(10 分)

4

? 2 t ?x ? ? 2 已知在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? ( t 为参数),在极坐标系 ? y ? ?4 ? 2 t ? 2 ?
(以坐标原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴)中,曲线 C 2 的方 程为

? sin 2 ? ? 2 p cos? ( p ? 0) ,曲线 C1 , C 2 交于 A , B 两点.
(1)若 p ? 2 且定点 M (0,?4) ,求 MA + MB 的值; (2)若 MA , AB , MB 成等比数列,求 p 的值.

23.(选修 4-5:不等式选讲选做) (10 分) 已知函数 f ( x) ? x ?1 ? x ? 1 . (1)求不等式 f ( x) ? 1的解集; (2)若不等式 a f ( x) ? f (a) 对任意 a ? R 恒成立,求实数 x 的取值范围.

5

广安市 2017 年春高二期末考试 数学(理工类)参考答案 一、本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 A C C B D C B D C D C A

二、本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13. ? i 14.5 15. n ? (n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ? ? ? (3n ? 2) ? (2n ? 1) 2 16.

75 2

三、解答题:第 17~21 题为必考题, 第 22~23 为选考题.前 5 题各 12 分,最后一题 10 分,共 70 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 (一)必考题:每小题 12 分,共 60 分。 17.(1)令 x ? 1 ,则 (3 x 2 ? 3 x 2 ) n 展开式的各项系数和为 4 n ,又 (3 x 2 ? 3 x 2 ) n 展开式的各项二 项式系数和为 2 n ,所以

4n ? 32 ,即 2 n ? 32 ,解得 n ? 5 . n 2

???????????6 分

(2)由(1)可知: n ? 5 ,所以 (3 x 2 ? 3 x 2 ) n 展开式的中间两项二项式系数最大,即

T3 ? C ( x ) (3x ) ? 90x , T4 ? C ( x ) (3x ) ? 270x
2 3 5 2 3 2 2 6 3 3 5 2 2 2 3

22 3

???????12 分

18.(1)令 令 故函数 的单调增区间为

,解得 ,解得:

或 .

, ????2 分 ???????????4 分 . ???6 分

,单调减区间为

(2)由(1)知 f ( x) 在 ?? 2,?1? 上单调递增,在 ?? 1,3? 上单调递减,在 ?3,4? 上单调递增, 又 f (?2) ? ?1 , f (3) ? ?26 , f (3) ? f (?2) , ∴ f ( x) min ? ?26 , ∵ f ( x) ? 2a ? 1 ? 0 对 ?x ? ?- 2 ,4?恒成立, ∴ f ( x) min ? 2a - 1 ,即 2a - 1 ? -26 ,∴ a ? ???????????????9 分

25 ???????????????12 分 2

19. (1) P ? 1 ? 0.8 ? 0.25 ? 0.8 .???????????????????????4 分 (2) P( X ? 0) ? 0.75 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.03 ;
P( X ? 2) ? 0.75 ? C1 2 (0.2 ? 0.8) ? 0.24 ;
P( X ? 3) ? 0.25 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.01 ;

6

P( X ? 4) ? 0.75 ? 0.8 ? 0.8 ? 0.48 ; P( X ? 5) ? 0.25 ? 0.8 ? 0.25 ? 0.2 ? 0.8 ? 0.24 .???????????????????9 分

随机变量 X 的分布列为 0 0.03 2 0.24 3 0.01 4 0.48 5 0.24

X p

EX ) ? 0 ? 0.03 ? 2 ? 0.24 ? 3 ? 0.01 ? 4 ? 0.48 ? 5 ? 0.24 ? 3.63 .?????????12 分 ∴ E( X

20. (1)在三棱锥 C ? OAB 中, CO ? 平面 AOB ,
? CO ? AB .

又 OA ? OB , D 为 AB 的中点, ∴ DO ? AB . ∵ DO ? CO ? O ,∴ AB ⊥平面 COD .????5 分 (2)∵ OA ? OB =2 , AB ? 2 2 ,? AO ? BO .????5 分 由 CO ? 平面 AOB ,故以点 O 为原点,OA 所在的直线为 x 轴,OB 所在的直线为 y 轴,OC 所 在的直线为 z 轴建立空间直角坐标系(如图) ,由已知可得
O(0, 0, 0), A(2,0,0), B(0, 2,0), C (0,0,1), D(1,1,0) .???7 分

z
C

由 CE ∥平面 AOB ,故设 E ( x, y,1) .????8 分 由 AE ? BE ,得 ( x ? 2)2 ? y2 ? 12 ? x2 ? ( y ? 2)2 ? 12 , A 故 x ? y ,即 E ( x, x,1)( x ? 0) .?????9 分

O D

E B

y

x

设平面 ACE 的法向量为 n1 =(a, b, c) ,由 AC ? (?2,0,1) , CE ? ( x, x,0) ,得
??2a ? c ? 0, 令 a ? 1 ,得 n1 =(1, ?1, 2) .???10 分 ? ?ax ? bx ? 0,

又平面 AOB 的法向量为 n2 =(0,0,1) ,????11 分 所以 cos n1 , n2 =
2 1? 6 ? 6 . 3

7

故平面 ACE 与平面 AOB 所成的锐二面角定值,该锐二面角的余弦值为

6 .??12 分 3

21. (1) f ?( x) ?

a , g ?( x) ? 2 x ? b x ?1

? f (2) ? g (2) ?0 ? 4 ? 2b 由题知 ? ,即 ? ? f ?(2) ? g ?(2) ? ?1 ?a(4 ? b) ? ?1
(2) F ( x) ? f ( x ? 1) ? g ( x) = a ln x ? ( x 2 ? bx) , F ?( x) ?

1 ? ?a ? ? 解得 ? 2 ???????4 分 ? ?b ? ?2
a ? 2x ? b x
???????6 分

?a ? F ?(2) ? 0 ? ?4?b ? 0 由题知 ? ,即 ? 2 解得 a =6, b =-1 F ( 1 ) ? 0 ? ? ?1 ? b ? 0
2 ∴ F ( x ) =6 ln x -( x - x ) , F ?( x ) ?

6 ? (2 x ? 3)( x ? 2) ? 2 x ? 1= x x

∵ x >0,由 F ?( x ) >0,解得 0< x <2;由 F ?( x ) <0,解得 x >2 ∴ F ( x ) 在(0,2)上单调递增,在(2,+∞)单调递减, 故 F ( x ) 至多有两个零点,其中 x1 ∈(0,2) , x2 ∈(2, +∞)???????10 分 又 F ( 2) > F (1) =0, F (3) =6( ln 3 -1)>0, F ( 4) =6( ln 4 -2)<0 ∴ x0 ∈(3,4) ,故 n =3 ???????12 分

(二)选考题:共 10 分。 请考生在第 22,23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 22.(1)∵曲线 C 2 的方程为 ? sin 2 ? ? 2 p cos? ( p ? 0) , ∴曲线 C 2 的直角坐标方程为 y 2 ? 2 px( p ? 0) ,又已知 p ? 2 ,

? 2 t ?x ? ? 2 2 ∴曲线 C 2 的直角坐标方程为 y ? 4 x ,将曲线 C1 的参数方程 ? ( 为参数)与 ? y ? ?4 ? 2 t ? 2 ?

y 2 ? 4 x 联立得 t 2 ? 12 2t ? 32 ? 0 ,由于 ? ? (?12 2 ) 2 ? 4 ? 32 ? 0 ,
所以设方程两根为 t1 , t 2 ,∴ t1 ? t 2 ? 12 2 , t1t 2 ? 32 , ∴ MA ? MB ? t1 ? t 2 ? t1 ? t 2 ? 12 2 .?5 分

8

? 2 t ?x ? ? 2 (2)将曲线 C1 的参数方程 ? ( 为参数)与 y 2 ? 2 px( p ? 0) 联立得 ? y ? ?4 ? 2 t ? 2 ?

t 2 ? 2 2 (4 ? p)t ? 32 ? 0 ,由于 ? ? ? 2 2 (4 ? p ) 2 ? 4 ? 32 ? 8( p 2 ? 8 p ) ? 0 ,所以设方
程两根为 t1 , t 2 ,∴ t1 ? t 2 ? 2 2 (4 ? p) , t1t 2 ? 32 ,且 t1 ? 0, t 2 ? 0 , 又 MA , AB , MB 成等比数列, ∴ AB
2

?

?

? MA ? MB ,∴ t1 ? t 2

2

? t1 t 2 ,∴ (t1 ? t 2 ) 2 ? 4t1t 2 ? t1t 2 ,

即 (t1 ? t 2 ) 2 ? 5t1t 2 ,∴ 2 2 (4 ? p ) 解得 p ? ?4 ? 2 5 ,又 p ? 0 ,

?

?

2

2 ? 5 ? 32 ,∴ p ? 8 p ? 4 ? 0 ,

∴ p ? ?4 ? 2 5 , ∴ 当 MA , AB , MB 成 等 比 数 列 时 , p 的 值 为

p ? ?4 ? 2 5 ??????10 分
23.

?2, x ? ?1 ? (1)∵ f ( x) ? ?? 2 x,?1 ? x ? 1 ,∴由 f ( x) ? 1得 ? 1 ? f ( x) ? 1, ?? 2, x ? 1 ?
∴?

?? 1 ? x ? 1 1 1 ,解得 ? ? x ? ,∴不等式 f ( x) ? 1的解集为 2 2 ?? 1 ? ?2 x ? 1 1? ? .???????4 分 2?

? 1 ?x ? ? x ? ? 2

(2)①当 a ? 0 时,不等式 a f ( x) ? f (a) 恒成立,此时 x ? R . ②当 a ? 0 时,问题等价于不等式 f ( x) ? ∵.当 ? 1 ? a ? 0 ,或 0 ? a ? 1 时, | ∴ f ( x) ? 2 ,解得 x ? ?1 , 综上,知实数 的取值范围是 ?? ?,?1? . 分
9

f (a) 对任意 a ? (??,0) ? (0,??) 恒成立, a

f (a) | max ? 2 , a

??????????????10


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