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2019版一轮文数(北师大版)课件:第二章第三节函数的奇偶性与周期性_图文

第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 考纲解读 1.结合具体函数, 了解函数奇偶性的含 义; 2.会运用函数的图像理解和研究函数的奇偶 性;3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判 断、应用简单函数的周期性. [基础梳理] 1.奇函数、偶函数的概念 图像关于 原点 对称的函数叫作奇函数. 图像关于 y 轴 对称的函数叫作偶函数. 2.判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性,一般都按照定义严格进行,一般步骤是 (1)考察定义域是否关于原点对称. (2)考察表达式 f(-x)是否等于 f(x)或-f(x): 若 f(-x)= -f(x) ,则 f(x)为奇函数; 若 f(-x)= f(x) ,则 f(x)为偶函数; 若 f(-x)=-f(x)且 f(-x)=f(x), 则 f(x)既是奇函数又是偶函数; 若 f(-x)≠-f(x)且 f(-x)≠f(x), 则 f(x)既不是奇函数又不是偶 函数,既非奇非偶函数. 3.周期性 (1)周期函数:对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得 当 x 取定义域内的任何值时,都有 f(x+T)=f(x) ,那么就称函数 y=f(x)为周期函数,称 T 为这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数 f(x)的所有周期中 存在一个最小 的正数,那么这个最小正数就叫作 f(x)的最小正周期. [三基自测] 1. 已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且当 x>0 时, f(x) 1 =x + ,则 f(-1)等于( A ) x 2 A.-2 C. 1 B.0 D. 2 1- x 2.函数 f(x)= 是( D ) 1+ x A.奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 B.偶函数 D.非奇非偶函数 3.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( D ) A.y=x+1 1 C.y=x B.y=-x3 D.y=x|x| 4.(2017· 高考全国卷Ⅱ改编)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇 0 函数,则 f(0)=__________. 5.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)= x(1-x) x(1+x),则当 x<0 时,f(x)=________. 考点一 考点二 考点三 函数奇偶性的判断|易错突破 [例 1] (1)(2018· 肇庆模拟)在函数 y=xcos x,y=ex+x2,y= ) lg x2-2,y=xsin x 中,偶函数的个数是( A. 3 C. 1 B.2 D. 0 解析 答案 考点一 考点二 考点三 (2)定义两种运算:a⊕b= a2-b2,a?b= ?a-b?2,则 f(x)= 2⊕x 是( 2-?x?2? A.奇函数 B.偶函数 C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数 解析 答案 ) 考点一 考点二 考点三 (1)y=xcos x 是奇函数,y=lg x2-2和 y=xsin x 是偶函数,y =ex+x2 是非奇非偶函数,故选 B. 2 4 - x (2)因为 2⊕x= 4-x2, x?2= ?x-2?2, 所以 f(x)= 2- ?x-2?2 4 - x2 4-x2 = , 该函数的定义域是[-2,0)∪(0,2], ∴f(x)= x , 2-|2-x| 且满足 f(-x)=-f(x).故函数 f(x)是奇函数. [答案] (1)B (2)A 解析 答案 考点一 考点二 考点三 [易错提醒] 1.判断函数的奇偶性,首先要判断定义域是否关于原点对称, 否则不具有奇偶性. 2.对函数奇偶性的判断,不能用特殊值法,如存在 x0 使 f(- x0)=-f(x0),不能判断函数 f(x)是奇函数. 考点一 考点二 考点三 [纠错训练] 1.函数 f(x)=lg(x+1)+lg(x-1)的奇偶性是( A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数 ) 解析 答案 考点一 考点二 考点三 ? ?x+1>0 由? ? ?x-1>0 ,知 x>1,定义域不关于原点对称,故 f(x)为非 奇非偶函数. 答案:C 解析 答案 考点一 考点二 考点三 2.函数 f(x)= x2-1+ 1-x2,则 f(x)为( A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数,又是偶函数 D.非奇非偶函数 ) 解析 答案 考点一 考点二 考点三 2 ? ?x -1≥0, 由? 2 ? ?1-x ≥0, 得 x=± 1, ∴f(x)的定义域为{-1,1}. 又 f(1)+f(-1)=0,f(1)-f(-1)=0, 即 f(x)=± f(-x). ∴f(x)既是奇函数又是偶函数. 答案:C 解析 答案 考点一 考点二 考点三 函数的周期性|方法突破 [例 2] (1)函数 f(x)=lg|sin x|是( ) A.最小正周期为 π 的奇函数 B.最小正周期为 2π 的奇函数 C.最小正周期为 π 的偶函数 D.最小正周期为 2π 的偶函数 解析 答案 考点一 考点二 考点三 (2)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 =2,则 f(2 018)=__________. ? 3? f(x)=-f?x+2?,且 ? ? f(1) (3)函数 y=f(x)满足对任意 x∈R 都有 f(x+2)=f(-x)成立,且 函数 y=f(x-1)的图像关于点(1,0)对称,f(1)=4,则 f(2 016) +f(2 017)+f(2 018)的值为__________. 解析 答案 考点一 考点二 考点三 (1)∵f(-x)=lg|sin(-x)|=lg|sin x|,∴函数 f(x)为偶函数.∵f(x +π)=lg|sin(x+π)|=lg|sin x|,∴函数 f(x)的周期为 π.故选 C. ?? ? ? 3? 3 ? 3? 3? (2)∵f(


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