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【成才之路】2015-2016学年高中数学人教B版选修1-1课件 第3章 3.1 第2课时 导数的几何意义


成才之路 ·数学
人教B版 ·选修1-1 1-2

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 · 人教B版 ·数学 · 选修1-1

1-2

第三章
导数及其应用

第三章

导数及其应用

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1-2

第三章 3.1 导数
第2课时 导数的几何意义

第三章

3.1

第2课时

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1-2

1

课前自主预习

2

课堂典例探究

3

课 时 作 业

第三章

3.1

第2课时

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1-2

课前自主预习

第三章

3.1

第2课时

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1-2

爬山过程中,我们都有这样的感觉,当山坡平缓时,步履 轻盈;当山坡陡峭时,气喘吁吁,怎样用数学知识来反映山坡 的平缓与陡峭程度呢?

第三章

3.1

第2课时

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1-2

1.y=f(x)在x=x0处的导数的定义:________________. _______________________________________________. _______________________________________________. 2 . 求 函 数 y = f(x) 在 点 x0 处 的 导 数 的 步 骤 为 :

(1)____________________ ; (2)______________________ ;
(3)________________________. 上述求导方法可简记为:一差、二比、三极限.

第三章

3.1

第2课时

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1-2

答案: 1.一般地, 函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是 lim f?x0+Δx?-f?x0? Δf = lim Δx. Δx Δx→0

Δx→0

我们称它为函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数,并记作 f′(x0) 或 y′|x=x0. f?x0+Δx?-f?x0? 于是可写作: lim =f′(x0). Δ x Δx→0 2.(1)求函数值的增量 Δy=f(x0+Δx)-f(x0) (2)求平均变

Δy f?x0+Δx?-f?x0? Δy 化率Δx= (3)取极限,得导数 f′(x0)= lim Δx Δx Δx→0
第三章 3.1 第2课时

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一 导数的几何意义 1. 函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数 y=f′(x0)就是曲线 y=f(x) f?x0+Δx?-f?x0? 在点 P(x0,y0)处的切线的斜率,即 f′(x0)= lim Δx Δx→0 =k.这就是导数的几何意义. 2.切线 一般地,过曲线 y=f(x)上一点 P(x0,y0)作曲线的割线 PQ, 当 Q 点沿着曲线无限趋近于 P 时,若割线 PQ 趋近于某一确定 的位置,则称这一确定位置的直线为曲线 y=f(x)在点 P 处的切 线.在这里,要注意:曲线 y=f(x)在点 P 处的切线:
第三章 3.1 第2课时

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(1)与点P的位置关系;(2)要依据割线PQ是否存在极限位置来判 定与求解.如果存在,则在此点处有切线,且切线是唯一的; 如果不存在,则在此点处无切线. 需要注意的是这里的切线与以前学过的圆的切线是不同

的,曲线在某一点处的切线与曲线不一定只有一个公共点.如
图所示.

第三章

3.1

第2课时

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曲线y=x3-3x在点(2,2)的切线斜率是( A.9 C.-3 [答案] A
[ 解析 ]
3

)

B.6 D.-1
Δy = (2 + Δx)3 - 3(2 + Δx) - 23 + 6 = 9Δx + 6Δx2 +

Δy Δy 2 Δx ,Δx=9+6Δx+Δx , lim Δx= lim (9+6Δx+Δx2)=9, Δx→0 Δx→0 由导数的几何意义可知, 曲线 y=x3-3x 在点(2,2)的切线斜 率是 9.
第三章 3.1 第2课时

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求曲线 y=f(x)在点 P 处的切线方程的步骤

求曲线 y=f(x)在点 P 处的切线方程的步骤为: (1)确定点 P 的坐标(x0,f(x0)). f?x0+Δx?-f?x0? (2)求出函数在点 x0 处的导数 f′(x0)= lim Δx Δx→0 =k,得到曲线在点 P(x0,f(x0))处的切线的斜率. (3)利用点斜式写出切线方程,即 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).

第三章

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1-2

注意:利用导数的几何意义求曲线的切线方程时,需要注 意两类问题: (1)求曲线在点P处的切线方程(此时点P为切点); (2) 求曲线过点 P 的切线方程,此时点 P 不一定是切点.对 于过点P作曲线的切线(或求曲线y=f(x)过点P(x0,f(x0))的切线) 这类问题,无论点 P在曲线上,还是不在曲线上,我们都要设 出切点,否则极易漏解.

第三章

3.1

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1-2

已知曲线y=2x2+4x在点P处切线斜率为16,则点P坐标为

__________.
[答案] (3,30)

[解析] 设 P(x0,2x2 0+4x0), f?x0+Δx?-f?x0? 2?Δx?2+4x0Δx+4Δx 则 f′(x0)= lim = lim Δ x Δx Δx→0 Δx→0 =4x0+4,又因为 f′(x0)=16, 所以 4x0+4=16,所以 x0=3,所以 P(3,30).
第三章 3.1 第2课时

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利用导数的几何意义求切线方程

1.已知切点求切线方程 已知曲线 y=f(x),求切点为 P(x0,y0)的切线方程的方法: (1)求出函数 y=f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0), 即切线的斜率 为 f′(x0); (2)根据直线的点斜式方程得到切线方程为 y-y0=f′(x0)(x -x0).

第三章

3.1

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1-2

注 意 : 若 曲 线 y = f(x) 在 点 P(x0 , y0) 处 的 导 数 存 在 且 f′(x0)>0,则切线的倾斜角是锐角;若 f′(x0)<0,则切线的倾 斜角是钝角;若 f′(x0)=0,则切线与 x 轴平行. 2.已知点不在曲线上,求过这点的切线方程 已知函数 y=f(x)和曲线外一点 A(x1,y1),求过点 A 的切线 方程的步骤: (1)设出切点 P(x0,y0)(y0 可用 x0 表示,尽量减少未知数). (2)求出函数 y=f(x)在 x0 处的导数 f′(x0),即切线斜率为 f′(x0).
第三章 3.1 第2课时

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(3)由直线的点斜式方程,得到切线方程:y-y0=f′(x0)(x -x0). (4)把点 A(x1,y1)代入切线方程,求出 x0,y0.然后把 x0,y0 代入 y-y0=f′(x0)(x-x0)得到所求的切线方程. 3.已知曲线上一点,求过这点的切线方程 已知曲线 y=f(x)及曲线上一点 P(x0,y0),求过点 P 的切线 方程时,由于没有说明 P 是否为切点,故应分类讨论.

第三章

3.1

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已知曲线y=x3上有一点P(1,1),求曲线过点P(1,1)的切线方
程. [ 解题提示 ] 点 P(1,1) 尽管在曲线 y = x3 上,但它可能是切 点,也可能不是切点.
[解析] 当 P(1,1)为切点时, 可求得切线方程为 y=3x-2. 当 P(1,1)不是切点时,设切点为 Q(x0,x3 0), 当 x=x0 时,y′=3x2 0,
2 ∴切线方程为 y-x3 = 3 x 0 0(x-x0),

第三章

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第2课时

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1-2

2 将点 P(1,1)代入,得 1-x3 0=3x0(1-x0), 2 即 2x3 - 3 x 0 0+1=0,

∴(x0-1)2· (2x0+1)=0, 1 ∴x0=-2或 x0=1(舍去), 1 1 3 1 ∴切点为(-2,-8),∴切线方程为 y=4x+4. 3 1 综上所述,切线方程为 y=3x-2 或 y=4x+4.

第三章

3.1

第2课时

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[方法总结]

不管 P 是不是切点,可直接设出切点坐标,

然后求解,避免讨论.当点 P 在曲线上时,一定要注意求解的 是在点 P 处的切线还是过点 P 的切线方程.

第三章

3.1

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课堂典例探究

第三章

3.1

第2课时

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1-2

求切线方程 求 曲 线 y = x2 + 3x + 1 在 点 (1,5) 处 的 切 线 的 方 程.

[解题提示 ]
切线的斜率.

因为点(1,5) 在曲线上,所以该点的导数即为

第三章

3.1

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1-2

[解析] y′|x=1= ?1+Δx?2+3?1+Δx?+1-?12+3×1+1? lim Δx Δx→0 5Δx+?Δx?2 = lim = lim (5+Δx)=5, Δ x Δx→0 Δx→0 即切线的斜率 k=5, ∴曲线在点(1,5)处的切线方程为 y-5=5(x-1), 即 5x-y=0.

第三章

3.1

第2课时

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1-2

[ 方法总结 ]

解答本题的过程中,易出现把“过点 P 的切

线”与“曲线在点 P处的切线”混淆的错误,导致该种错误的
原因是没有分清已知点是否为切点. 求 曲 线 在 点 P(x0 , y0) 处 的 切 线 的 方 程 , 即 给 出 了 切 点

P(x0,y0)的坐标,求切线方程的步骤:
①求出函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0); ②根据直线的点斜式方程,得切线方程为y-y0=f′(x0)(x- x0 ) ; ③若曲线 y =f(x) 在点 P(x0 ,y0) 处的导数存在且 f′(x0)>0,切 线与 x 轴正向夹角为锐角; f′(x0)<0 ,切线与 x 轴正向夹角为钝 角;f′(x0)=0,切线与x轴平行.
第三章 3.1 第2课时

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? 8? 1 3 已知曲线 y=3x 上一点 P?2,3?,求: ? ?

(1)点 P 处的切线的斜率; (2)点 P 处的切线方程. 1 3 [解析] (1)∵y=3x , 1 1 3 3 3?x+Δx? -3x Δy ∴y′= lim Δx= lim Δx Δx→0 Δx→0 3x2Δx+3xΔx2+Δx3 1 =3 lim Δx Δx→0
第三章 3.1 第2课时

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1 =3 lim (3x2+3xΔx+Δx2)=x2, Δx→0 y′|x=2=22=4. ∴点 P 处的切线的斜率等于 4. 8 (2)在点 P 处的切线方程是 y-3=4(x-2), 即 12x-3y-16=0.

第三章

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第2课时

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1-2

求切点坐标 已知抛物线y=x2在点P处的切线与直线y=2x+ 4平行.求点P的坐标和切线方程.

[解题提示]

先设出点P(x0,y0),在P点处的导数即为切线

斜率,即y′|x=x0=2,从而求出点P坐标和切线方程.

[解析] 设点 P(x0,y0), ?x0+Δx?2-x2 0 则 y′|x=x0= lim Δx Δx→0 2x0Δx+?Δx?2 = lim =2x0. Δ x Δx→0
第三章 3.1 第2课时

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1-2

又曲线在点 P 处的切线与直线 y=2x+4 平行, ∴2x0=2,∴x0=1. 又点 P(x0,y0)是曲线 y=x2 上一点, ∴y0=x2 0=1, ∴点 P 的坐标为(1,1). 曲线在点 P 处的切线方程为 y-1=2(x-1). 即 2x-y-1=0.

[方法总结]

求切点坐标应先设出切点的坐标(x0,y0),根

据这一点的切线斜率等于这一点的导数求出 x0,进而求出 y0.
第三章 3.1 第2课时

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1-2

已知直线y=2x+m与曲线y=x2相切,求实数m的值及切点 坐标.
[解析] 设切点为 P(x0,y0),
2 ?x0+Δx?2-x2 2 x Δ x + ? Δ x ? 0 0 则 y′|x=x0= lim = lim =2x0. Δ x Δ x Δx→0 Δx→0

由曲线在点 P(x0,y0)处的切线方程为 y=2x+m 知 2x0=2, ∴x0=1,∴P(1,1). 又点 P 在切线 y=2x+m 上,∴m=-1, ∴m 的值为-1,切点坐标为(1,1).
第三章 3.1 第2课时

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1-2

无限逼近思想 曲线y=x3在x0=0处的切线是否存在,若存在,

求出切线的斜率和切线方程;若不存在,请说明理由.
[解题提示] 求曲线在 x0=0 处切线是否存在即转化为求

Δy Δx的值是否为常数.

第三章

3.1

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1-2

[解析] 令 y=f(x)=x3, Δy=f(0+Δx)-f(0)=Δx3, Δy Δy 2 Δx=Δx ,当 Δx 无限趋近于 0 时,Δx无限趋近于常数 0, 这说明割线会无限趋近于一个极限位置, 即曲线在 x=0 处的切 Δy 线存在,此时切线的斜率为 0(Δx无限趋近于 0),又曲线过点 (0,0),故切线方程为 y=0.

第三章

3.1

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1-2

[方法总结]

(1)y=x3 在点(0,0)处的切线是 x 轴,符合切线

定义.这似乎与学过的切线知识有所不同,其实不然,直线与 曲线有两个公共点时,在其中一点也可能相切.如图所示.

第三章

3.1

第2课时

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1-2

Δy (2)对于曲线在点 x0 处的切线有下面的情形: 若Δx(当 Δx 无 限趋近于 0 时)的极限不存在时,可分两种情况:其一是趋近于 ∞,则切线的斜率不存在,但切线存在(为垂直于 x 轴的直线); Δy 其二是Δx既不是趋近于某一常数也不趋近于∞,则此时切线不 存在.

第三章

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1-2

已知曲线 y=x3, 求曲线过点 P(1,1)的切线方程.
3 3 ? x + Δ x ? - x 2 [误解] 设 f(x)=x3,则 f′(x)= lim = lim [3 x Δx Δx→0 Δx→0

+3xΔx+(Δx)2]=3x2, ∴f′(1)=3, ∴切线方程为 y-1=3(x-1),即 y=3x-2.

第三章

3.1

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1-2

[辨析]

该解法仅考虑到点P(1,1)是切点,但没有注意到点

P(1,1)可能不是切点.
[正解] 设切点坐标为(x0,y0).
3 3 ? x + Δ x ? - x 2 令 f(x)=x3,则 f′(x)= lim = lim [3 x +3xΔx Δ x Δx→0 Δx→0

+(Δx)2]=3x2, ∴f′(x0)=3x2 0, ∴切线方程为 y-y0=3x2 0(x-x0),

第三章

3.1

第2课时

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1-2

将点 P(1,1)代入,得 1-y0=3x2 0(1-x0). 又 y0=x3 0,联立解得 1 x0=-2或 x0=1, 1 1 ∴切点坐标为(-2,-8)或(1,1). 3 1 ∴所求的切线方程为 y=4x+4或 y=3x-2.

第三章

3.1

第2课时

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1-2

?曲线的切线的斜率 导数的几? ?利用导数的几何意义求切线的斜率,进而 何意义 ? ?求切线方程

第三章

3.1

第2课时

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1-2

课时作业
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第三章

3.1

第2课时



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