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天津市天津一中2012届高三第三次月考 文科数学试题


2011-2012-1 天津一中高三年级第三次月考考试 数学试卷( 数学试卷(文)

一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 选择题( 1. i 是虚数单位,复数 . 是虚数单位, A. i .

5i 的虚部为( 的虚部为( 1 ? 2i
C.1 .

) D. ? 1 .

B. ? i .

? x ≥ 1, ? 的最小值为( 2.设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y + 3 ≥ 0, 则目标函数 z = x + 2 y 的最小值为( . ? y ≥ x, ?
A. 2 . B. 3 . C. 5 . ) D. 9 .



3.下列命题中,假命题是( .下列命题中,假命题是( A. ?x ∈ R, e x > 0 . C. ?x ∈ R, lg x = 0 .

B. ?x ∈ R, sin x ≤ 1 . D. ?x ∈ R, x + .

1 =1 x

4.如图所示,运行相应的程序框图,则输出 k 的值为( .如图所示,运行相应的程序框图, 的值为( 程序框图 A.14 . 5.已知 sin α = . B.15 . C.16 .

) D.17 .

1 π + cos α ,且 α ∈ (0, ) ,则 2 2
14 2 1 3
x

cos 2α sin(α ?
D. ? .

π
4

的值为 (



)
14 4

A. .

14 2

B. ? .

C. .

14 4

6 . 已 知 函 数 f ( x ) = ( ) ? log 2 x, 实 数 a, b, c 成 公 差 为 正 数 的 等 差 数 列 , 且 满 足 :

f (a ) f (b) f (c) < 0 ; 实数 d 是方程 f ( x) = 0 的一个解 , 那么下列四个判断 : ① d < a; ② 的一个解,那么下列四个判断: d > b; ③ d < c; ④ d > c 中有可能成立的有( 中有可能成立的有(
A.1 个 . B. 2 个 . ) C. 3 个 . D. 4 个 .

7.已知抛物线 y = 4 x 的准线与双曲线 .
2

线的焦点,若 ?FAB 是直角三角形,则双曲线的离心率为( 线的焦点, 是直角三角形,则双曲线的离心率为( A. 3 . B. 6 . C. 2 .

x2 ? y 2 = 1 (a > 0) 相交于 A, B 两点,且 F 是抛物 两点, 2 a
) D. 3 .

8. 已知二次函数 f ( x ) = ax 2 + x ,对任意 x ∈ R ,总有 | f ( . 整数值为( 整数值为( A. ? 2 . ) B. 0 . C. 2 . D. 4 .

x ) |≤ 1 ,则实数 a 的最大 x +1
2

二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 填空题( 9.设集合 A = {x || x ? 2 |≤ 2, x ∈ R} , B = { y | y = ? x 2 ,?1 ≤ x ≤ 2} . 则 C R ( A I B) = .

10.一个几何体的三视图(单位: cm )如图所示,则此几何体的体积是 .一个几何体的三视图(单位: 如图所示,

cm 3 .

11.如图,在 ?ABC 中, D 为 AC 边上的中点, AE // BC , ED 交 AB 于点 G ,交 BC 延 .如图, 边上的中点, 长线于点 F ,若 BG : GA = 3 : 1 , BC = 10 ,则 AE 的长为 .

12 . 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 为 所 对 的 边 分 别 是 a, b, c , 若 ?ABC 的 面 积

S=

1 2 (a + b 2 ? c 2 ) ,则 ∠C 的度数为 4



13.若正实数 x, y 满足 2 x + y + 6 = xy ,则 xy 的最小值是 .



14.已知 ?ABC 内接于以 O 为圆心,1 为半径的圆,且 3OA + 4OB + 5OC = 0 ,则 OC ? AB . 为圆心, 为半径的圆, 的值为 三、解答题: 解答题: .

15. 本小题满分 13 分) . (本小题满分 (

已知函数 f ( x ) = sin ωx + 3 sin ωx sin(ωx +
2

π
2

) + 2 cos 2 ωx(ω > 0, x ∈ R ), 在 y 轴右侧的

π
第一个最高点的横坐标为 的值; (Ⅰ)求 ω 的值; .

6

若将函数 f (x ) 的图象向右平移 (Ⅱ)

π
个单位后, 再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来 个单位后,

6

纵坐标不变, 的图象, 的最大值及单调递减区间. 的 4 倍,纵坐标不变,得到函数 y = g ( x ) 的图象,求函数 g ( x ) 的最大值及单调递减区间.

16. 本小题满分 13 分) . (本小题满分 ( 张卡片,现从每个袋内任取一张卡片. 在两个袋内, 在两个袋内,分别装有编号为 1,2,3,4 四个数字的 4 张卡片,现从每个袋内任取一张卡片. (Ⅰ)利用卡片上的编号写出所有可能抽取的结果; 利用卡片上的编号写出所有可能抽取的结果; 的概率; (Ⅱ)求取出的卡片上的编号之和不大于 4 的概率; (Ⅲ)若第一个袋内取出的卡片上的编号记为 m ,第二个袋内取出的卡片上的编号记为 n , 概率. 求 n < m + 2 的概率.

17. 本小题满分 13 分) . (本小题满分 ( 所在的平面, 如图, 如图,PA 垂直于矩形 ABCD 所在的平面,AD = PA = 2, CD = 2 2 , E, F 分别是 AB 、PD 的中点. 的中点. 求证: (Ⅰ)求证: AF // 平面 PCE ; 求证: (Ⅱ)求证:平面 PCE ⊥ 平面 PCD ; 的大小. (Ⅲ)求二面角 F ? EC ? D 的大小. 18. 本小题满分 13 分) . (本小题满分 ( 已 知 各 项 均 为 正 数 的 数 列 {a n } 满 足 a1 = 1 , 且
2 2 2 2 a n+1 a n + a n +1 a n + a n +1 ? a n = 0 .

的值; (Ⅰ)求 a 2 , a 3 的值; (Ⅱ)求证: { 求证:

1 } 是等差数列; 是等差数列; an

(Ⅲ)若 b n =

2n + a n a n +1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和. 项和. an

19. 本小题满分 14 分) . (本小题满分 (
3 2 2 设函数 f ( x) = x + ax ? a x + m( a > 0) .

有三个互不相同的零点, 的取值范围; (Ⅰ)若 a = 1 时函数 f (x ) 有三个互不相同的零点,求 m 的取值范围; 内没有极值点, 的取值范围; (Ⅱ)若函数 f (x ) 在 x ∈ [?1,1] 内没有极值点,求 a 的取值范围; 上恒成立, 的取值范围. (Ⅲ)若对任意的 a ∈ [3,6] ,不等式 f ( x ) ≤ 1 在 x ∈ [?2,2] 上恒成立,求 m 的取值范围.

20. 本小题满分 14 分) . (本小题满分 (

已知 F 是椭圆

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 的左焦点, A 是椭圆短轴上的一个顶点,椭圆的离心 的左焦点, 是椭圆短轴上的一个顶点, a 2 b2

率为

1 轴上, , B 在 x 轴上, AB ⊥ AF , A, B, F 三点确定的圆 C 恰好与直线 x + 3 y + 3 = 0 相 点 2

切. (Ⅰ)求椭圆的方程; 求椭圆的方程; 是否存在过 F 作斜率为 k (k ≠ 0) 的直线 l 交椭圆于 M , N 两点,P 为线段 MN 的中点, 两点, 的中点, (Ⅱ) 为椭圆中心, 的值,若不存在 设 O 为椭圆中心,射线 OP 交椭圆于点 Q ,若 OM + ON = OQ ,若存在求 k 的值 若不存在 则说明理由. 则说明理由.

uuuu uuur r

uuur

2011-2012-1 天津一中高三年级第三次月考考试数学试卷(文)答案 天津一中高三年级第三次月考考试数学试卷( 一.选择题 1.C . 5.B . 二.填空题 9.{x|x≠0} . 12.450 . 三.解答题 10.18+ π . 13.18 . 14. ? . 2.B . 6.C . 3.D . 7.B . 4.B . 8.C .

9 2

11.5 .

1 5

15. (1) f ( x) = sin 2 ? x + 3 sin ? x ? cos? x + 2 cos 2 ? x 1 + cos 2? x 3 sin 2? x + 2 2 π 3 f ( x) = sin(2? x + ) + 4' 6 2 π 3 ∴ f ( ) = 1+ 6 2 f ( x) = 1 + ∴ sin( ? + ) = 1 3 6 ∴ ?+ = 3 6 2 ∴? = 1

1'

π

π

π

π

π

2'

(2) f ( x) = sin(2 x + → f 1 ( x) = sin[2( x ?

π π
6 6

)+ )+

π

3 2

6 π 3 f 1 ( x) = sin(2 x ? ) + 6 2 1 3 π → f 2 ( x) = sin( x ? ) + 2 2 6 1 π 3 ∴ g ( x) = sin( x ? ) + 2 6 2
g ( x) max = 1 +

]+

3 2 1'

1'

3 5 = 2 2 4 10 单减区间 : [4kπ + π ,   π + π ] 4k 3 3

2' (k ∈ Z ) 2'

16. 1)第一个袋内卡片分别为 A1、A2、A3、A4 . ) ( 第二个袋内卡片分别为 B1、B2、B3、B4 (A1B1) (A1B2) (A1B3) (A1B4) (A2B1) (A2B2) (A2B3) (A2B4) (A3B1) (A3B2) (A3B3) (A3B4) (A4B1) (A4B2) (A4B3) (A4B4) 共 16 种 4‘ ‘

(2)卡片之和不大于 4(小于或等于 4)共 6 种 ) (小于或等于 )

6 3 = 4' 16 8 (3)n < m + 2共13种 13 P= 5' 16 P=
17. 1)取 PC 中点 G . ) ( (2)AF⊥平面 PCD ) 平面 ∴AFGE 是□ ∴EG⊥平面 PCD 平面 ∴AF∥EG ∴AF∥平面 PCE 平面 4‘ ‘ 4‘ ‘

∴平面 PCE⊥平面 PCD 平面 平面

(3)取AD中点H tan θ = ∴θ =

FH 1 3 = = HQ 3 3

π
6

5‘ ‘

18. (2) Q an +1 ? an (an +1 + an ) + (an +1 ? an ) ? (an +1 + an ) = 0 ∴ (an +1 + an ) ? (an +1 ? an + an +1 ? an ) = 0 ∴ an +1 ? an + an +1 ? an = 0 ∴ ∴ 1 1 ? +1 = 0 an an +1 1 1 ? =1 an +1 an

1 ∴{ }是AP     5' an (1) 1 1 = 2 ∴ a2 = a2 2 1 1 = 3 ∴ a3 =      2' a3 3 (3) an = 1 n ∴ bn = n ? 2n + 1 1 1 = n ? 2n + ( ? ) n(n + 1) n n +1

{n ? 2n}的前n项和:S n = (n ? 1) × 2n +1 + 2 1 1 n { ? }的前n项和:Tn = n n +1 n +1 ∴{bn }前n项和:Sn+Tn=(n ? 1) × 2n +1 + 2 +
19. 1)当 a=1 时,f(x)=x3+x2-x+m . ) ( f’(x)=3x2+2x-1 令 f’(x)=0

n    6' n +1

则 x1=-1 或 x2= x f’(x) f(x)

1 3
-1 0 极大值 ↓ (-1,

(-∞, -1) + ↑

1 ) 3
-

1 3

(

1 , +∞) 3
0 + ↑

极小值

∴y 极大值=f(-1)=-1+1+1+m=m+1 y 极小值=f(

1 1 1 1 5 )= + ? +m=m? 3 27 9 3 27

?m + 1 > 0 ? ∴? 5 ?m ? 27 < 0 ? 5 ∴?1 < m <      5' 27
(2) f’(x)=3x2+2ax-a2 依题意: 依题意:3x2+2ax-a2=0 在[-1, 1]上无实根 上无实根

? f '(?1) < 0 (a > 0) ? ? f '(1) < 0 ∴ a > 3     5'
(3)f’(x) =(x+a)·(3x-a) (a>0) · x f’(x) f(x) a∈[3, 6] (-∞, -a) + ↑ -a 0 极大值 ↓ (-a,

a ) 3
-

a 3

(

a ,+∞) 3
0 + ↑

极小值

a ∈[1, 2], -a∈[-6, -3] 3 a a x (-2, ) ( , 2] 3 3
f’(x) +

f(x)





∴f(x)max=max{f(-2), f(2)} f(-2)=-8+4a+2a2+m f(2)=8+4a-2a2+m f(2)-f(-2)=16-4a2<0 ∴f(x)max=f(-2)=2a2+4a-8+m 依题意: 依题意 f(x)max≤1 ∴m≤-2a2-4a+9 当 a=6 时 m≤-87 4‘ ‘

20. (1) Q e =

1 1 3 1 ∴ c = a, b = a ∴ F (? a, 0) 2 2 2 2 ∴ k AB = ? 3 3

A(0,

3 a) 2

3 a?0 2 ∴ k AF = = 3 1 0 ? (? a) 2 3 3 ∴ l AB : y = ? x+ a 3 2 令y = 0 ∴ x = 3 a 2

3 ∴ B( a, 0) 2

1 ∴圆心( a, 0), 半径r = a 2 ∴圆心到直线x + 3 y + 3 = 0的距离d 1 a+3 d=2 =a 2 ∴a = 2 ∴ 椭圆方程为 x2 y2 + = 1     6' 4 3

?l : y = k ( x + 1) (2) ? 2 2 ?3x + 4 y = 12

(1) (2)

代入(2)可得 将(1)代入 可得: 代入 可得: (3+4k2)x2+8k2x+(4k2-12)=0 2’

8k 2 x1 + x 2 = ? 3 + 4k 2 x + x2 4k 2 ∴ xp = 1 =? 2 3 + 4k 2 3k y p = k ( x p + 1) = 3 + 4k 2 又Q OM + ON = 2OP 且OM + ON = OQ ∴ OQ = 2OP ? ? 8k 2 x0 = 2 x p = ? ? 3 + 4k 2 ∴? ? y = 2 y = 6k p ? 0 3 + 4k 2 ?
2 2

2'

2'

x0 y + 0 =1 4 3 2 8k 6k ∴ 3(? ) 2 + 4( ) 2 = 12 2 2 3 + 4k 3 + 4k 又Q
3×64k4+4×36k2=12(4k2+3)2 64k4+48k2=4(16k4+24k2+9) 48k2=96k2+36 -48k2=36 ∴k 无解 ∴不存在 2’


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