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上海市金山区2011届高三数学上学期期末考试【会员独享】


金山区 2010 学年第一学期期末考试高三数学试题
考生注意: 1.答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚. 2.本试卷共有 23 道试题,满 分 150 分.考试时间 120 分钟. 一、填空题 (本大题满分 56 分 )本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写 结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.若集合 A ={x| 1<|x–1|<3,x?Z},用列举法表示 A = 2. 已知 sinθ= . 3. 函数 y=log 2 x 的反函数是 .

5 , θ 是第二象限的角, 则 tanθ= 13
3 )= 3


4.计算:sin(arctan 5.若 cos ?= –

3 ? ? ,??( , ?),则 sin(?+ )= 5 2 6

. . .

6.在边长为 2 的正方形 ABCD 中,若 E 是 CD 的中点,则 AD ? BE = 7.若矩阵 A = ? ?

?0 1? ?1? ? ,矩阵 B = ? ? ? 2? ? ,则矩阵 A 和 B 的乘积 AB= ?1 0? ? ?
9.在( x ?

? ? sin 6 6 的值是 8.行列式 ? ? sin cos 6 6 cos
为 .

1 x

)12 的二项展开式中,常数项的值

10.已知向量 a =(k 2 +k –3) i +(1–k) j , b = –3 i +(k–1) j ,若向量 a 与 b 平行,则 k= 11.若有下列命题:① |x|2 +|x|–2=0 有四个实数解;② ax +bx+c=0 无 实根 ,则 ac ≥ 0 ; ③ y=
2 2



设 a 、b 、c 是实数,若二次方程 若 x ?R , 则函数 (写出所有假

若 x –3x+2 ≠ 0 , 则 x ≠ 2 ,④

x2 ? 4 +

1 x ?4
2

的最小值为 2.上述命题中是假命题的有

命题的序号). 12. “渐升数”是指在一个数中,每一位数字比其左边的一位数字大(除首位数字),如:24579 就是一个五位“渐升数” .那么在二位“渐升数”中,任取一个二位渐升数,则该数比 45 大 的概率是
2

. .

13.函数 y=|x –1|和函数 y=x+k 的图像恰有三个交点,则 k 的值是 14.如图,把正三角形 AB C 分成有限个全等的小正三 角形,且在每个小三角形的顶点上都放置一个非零实 数, 使得任意两个相邻的小三角形组成的菱形的两组相 对顶点上实数的乘积相等.设点 A 为第一行,?,BC 为第 n 行,记点 A 上的数为 a11 =1,?,第 i 行中第 j 个数为 aij (1≤j≤i).

若 a 21 =

1 1 ,a 22 = ,则 a31 +a32 +a33= 2 4

.高 考资#@源网 yjw

二、选择题 (本大题共有 4 题,考生应在答题纸相应编号的位置内填涂,每小题 5 分,共 20 分) 15. “x=2k ?+

? (k ?Z)”是“tanx=1”成立的 4

(

)

(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 16.下列给出的赋值语句中正确的是 ( (A)3=A (B)M=M+1 (C) B+A –2=0 (D) x+y=0 ( )

)

17.设 Sk= (A)Sk+

1 1 1 1 + + + ?+ ,则 Sk+1 为 k ?1 k ? 2 k ? 3 2k
(B)Sk+

1 2(k ? 1)
1 1 – 2k ? 1 2(k ? 1)
n k ?1

1 1 + 2k ? 1 2(k ? 1) 1 1 – 2(k ? 1) 2k ? 1

(C)Sk+

(D)Sk+
n

18.定义: ? a k =a1 a2 a3 ?an ,则 lim ? (1 ?
n ?? k ? 2

1 ) 的值为 k2
(D)1

(

)

(A) 0

(B)

1 3

(C)

1 2

三、解答题(把解题的主要步骤写在相应序号的方框内,如果写错位置,该题不予评分,责任 自负.本大题有 5 个小题,共 74 分) 19.(本题 12 分 )已知 a、b、c 是?ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边,S 是? ABC 的面积,若 a=4, b=5,S=5 3 ,求 c 的长度. 20.(本题 14 分)已知向量 a =(sinx, cosx),向量 b =(cos x, sinx),x?R,函数 f (x)= a ( a + b ). (1)求函数 f (x)的最大值、最小值与最小正周期; (2)求使不等式 f (x)≥

3 成立的 x 的取值范围. 2

21.(本题 14 分 )阅读:设 Z 点的坐标(a, b),r=| OZ |,θ 是以 x 轴的非负半轴为始边、以 OZ 所在的射线为终边的角,复数 z=a+b i 还可以表示为 z=r(cos θ+isinθ),这个表达式叫做复数 z 的三角形式,其中,r 叫做复数 z 的模,当 r≠0 时,θ 叫做复数 z 的幅角,复数 0 的幅角是任 意的,当 0≤θ<2π时,θ 叫做复数 z 的幅角主值,记作 argz. 根据上面所给出的概念,请解决以下问题: (1)设 z=a+bi =r(cos θ+isinθ) (a、b?R,r≥0),请写出复数的三角形式与代数形式相互之间 的转换关系式; (2)设 z1 =r1 (cos θ1 +isinθ1 ),z2 =r2 (cos θ2 +isinθ2 ),探索三角形式下的复数乘法、除法的运算法 则,请写出三角形式下的复数乘法、除法的运算法则.(结论不需要证明)

22.(本题 16 分 )数列{an }是等差数列,数列{bn }满足 bn =an an +1 an +2 (n?N*),数列{bn }的前 n 项和为 Sn . (1) 若数列 {an} 的公差 d 等于首项 a1 ,试用数学归纳法证明:对于任意 n?N* ,都有 Sn =

bn a n ?3 ; 4d
(2)若数列{an }满足:3a5 =8a12 >0,试问 n 为何值时,Sn 取得最大值?并说明理由.

23.(本题 18 分 )在 R+上的递减函数 f(x)同时满足:(1)当且仅当 x?M 集合为[0, 2];(2)f(
–1

R +时,函数值 f (x)的

1 )=1;(3)对 M 中的任意 x1 、x2 都有 f (x1 ?x2 )= f (x1 )+ f (x2 );(4)y=f (x)在 M 上 2

的反函数为 y=f (x). (1)求证:

1 1 ?M,但 ?M; 4 8 1 . 2

(2)求证:f – 1 (x1 )? f – 1 (x2 )= f –1 (x1+x2 ); (3)解不等式:f – 1 (x2 –x)? f – 1 (x–1)≤

2010 学年第一学期期末考试高三数学试题评分参考意见
一、填空题 (本大题满分 56 分 )本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写 结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.{–1, 3};2.–

? 2? 5 1 1 4 3 ?3 x ? ;3.y=2 ,x ?R;4. ;5. ;6.4;7 . ? ;8. ;9.924 ; ? ? 2 2 12 10 ?1?
7 5 7 ;13. 1 或 ;14. 4 18 16

10. 1,2,–3;11.①、④;12.

二、选择题 15.A;16. B;17.C;18. C 三、解答题 19.解:∵S=

1 3 absinC, ∴ sinC= ,????????????????4 分 2 2
o o

于是∠C =60 ,或∠C =120 ,????????????????????6 分 又 c2 =a2 +b2 –2abcos C ????????????????????????8 分 当∠C =60o 时,c2 =a2 +b2 –ab,c= 21 ????????????????10 分
o 2 2 2 当∠C =120 时,c =a +b +ab,c= 61 .?????????????????12 分

20.(1) 向量 a =(sinx, cos x),向量 b =(cos x, sinx),x?R,

f (x)= a ( a + b )= a + a ? b =1+2sinxcos x=1+sin2x.?????????????5 分 函数 f (x)的最大值为 2,最小值为 0,最小正周期为?;???????????8 分 (2)由 f (x)≥ 即 2k ?+ 即 k ?+

2

1 3 得:sin2x≥ ,?????????????????????10 分 2 2

? 5? ≤2x≤2k ?+ ,??????????????????????12 分 6 6

? 5? ≤x≤k ?+ ,k ?Z.?????????????????????14 分 12 12

?r ? a 2 ? b 2 ?a ? r cos ? ? 21.解:(1) ? ;? ??(各 3 分)?????????6 分 b (a ? 0) ?b ? r sin ? ?tan ? ? a ?
(以上每组内只写出一个,给 2 分) (2) 三角形式下的复数乘法的运算法则: z1 z2 =r1 (cos θ1 +isinθ1 )? r2 (cos θ2 +isinθ2 )=r1 r2 [cos(θ1+θ2 )+isin(θ1 +θ2 )]??10 分 三角形式下的复数除法的运算法则:

z1 r (cos ?1 ? i sin ?1 ) r1 ? 1 ? [cos(θ1 –θ2 )+isin(θ1 –θ2 )] (z2 ≠0)????14 分 z 2 r2 (cos ? 2 ? i sin ? 2 ) r2
注意:z2 ≠0 不写扣 1 分.

22.(1)当 n=1 时,S1 =b1 ,

b1 a 4 b1 (d ? 3d ) = =b1 ,原式成立.????????1 分 4d 4d

假设当 n=k 时,Sk=

bk a k ?3 成立,??????????????????2 分 4d

则 Sk+1 =Sk+bk+1 =

bk a k ?3 ? bk ?1 4d ???????????????????4 分 4d

=

a k a k ?1a k ? 2 a k ?3 ? bk ?1 4d a k bk ?1 ? bk ?1 4d bk ?1 (a k ? 4d ) bk ?1 a k ? 4 = = = ??6 分 4d 4d 4d 4d bn a n ?3 ;?????8 分 4d

所以 n=k +1 时,等式仍然成立,故对于任意 n?N*,都有 Sn = (2)因为 3a5 =8a12 >0,所以 3a5 =8(a5 +7d),a5= – 又 a16 =a5 +11d = –

56d >0,所以 d<0 5

d 4d >0,a17 =a5 +12d = <0,???????????????11 分 5 5

所以 a1 >a2 >a3 >?>a16 >0>a17 >a18 ?,b1 >b2 >b3 >?>b14 >0>b17 >b18?,

因为 b15 =a15 a16 a17 <0,b16 =a16a17 a18>0,??????????????????13 分 a15 =a5 +10d = –

6d 9d >0,a18 =a5 +13d = <0, 5 5

所以 a15 <–a18 ,所以 b15 > –b16 ,b15 +b16>0,?????????????????15 分 故 S16 >S14 ,所以 Sn 中 S16 最大.?????????????????????16 分

1 1 1 1 1 ?M,又 = ? ,f ( )=1, 2 4 2 2 2 1 1 1 1 1 1 所以 f ( )=f ( ? )=f( )+f( )=2?[0, 2],所以 ?M,???????????3 分 4 2 2 2 2 4 1 1 1 1 1 1 又因为 f ( )=f ( ? )=f( )+f( )=3?[0, 2],所以 ?M;??????????5 分 8 4 2 4 2 8
23.(1)证明:因为 (2)因为 y=f (x)在 M 上递减,所以 y=f(x)在 M 有反函数 y=f (x),x?[0, 2] 任取 x1 、x2 ?[0, 2],设 y1 =f – 1 (x1 ),y2 =f – 1 (x2 ), 所以 x1 =f (y1 ),x2 =f(y2 ) (y1 、y2 ?M) 因为 x1 +x2 =f (y1 )+f(y2 )=f(y1 y2),???????????????????????7 分 所以 y1 y2 =f (x1 +x2 ),又 y1 y2 = f (x1 )f (x2 ), 所以:f – 1 (x1 )? f – 1 (x2 )= f – 1 (x1 +x2);????????????????????10 分 (3)因为 y=f (x)在 M 上递减,所以 f – 1 (x)在[0, 2]上也递减, f (x –x)? f (x–1)≤
–1 2 –1 –1 –1 –1 –1

1 –1 2 –1 等价于:f (x –x+x–1)≤f (1)?????????????11 分 2

?0 ? x 2 ? x ? 2 ? ?0 ? x ? 1 ? 2 ????????????????????????????14 分 ?x 2 ? 1 ? 1 ?

?? 1 ? x ? 0或1 ? x ? 2 ? 即: ?1 ? x ? 3 ??????????????????????17 分 ? ? x ? ? 2或x ? 2
所以 2 ≤x≤2????????????????????????????18 分

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