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04.变换主元解含参数闻题


l  2

中 等 数 学 

变 换 主 元 解 含 参 数 闻 题  
王 朝 和 
( 苏 省 扬 州 中 学 ,20 9     2 50 ) 中图 分 类 号 : 2  012 文献 标 识 码 :   A 文章 编 号 :10 6 1 (0 2 0 0 1 0   0 5— 4 6 2 1 ) 3— 0 2- 2

面对 题 目中含 参 数 问题 时 , 正 面 考  若 虑很 困难 , 可通 过 变换 主元的方法 , 重新设 定  参数 , 会很 门然得 到解题 思路 , 求解 过程 更  使
『简槌 . J I l   1 利用 点到直 线距 离的几 何意义   

( 0 6 上海 交通 大学 自主招 生考 试 ) 20 ,  

【 分析】 因为该方程 为 l次方程很难 因 二  
式 分解 , 以 , 条路 很难. 变换 主 元 , 所 这 但 将  看作 参数 , 为 主元 ,  视 则可 看 成 一个 关于 
的二次 方程 
+( x + ) +( + 7 0 2   9     2 ):  

例 1 已知 0 b∈ R,   、 关于  的方 程 
+( 3+2 + I X     +l=0  

=   + 2  9 +( 3 ( 一 x 9 =    z (x + )  + )  3 + ) 0 =   + 一3 9 ( + + ) 0  (    + ) 后   3 =  

有 一 实根. n +6 个 求    的最小 值.  
( 0 , 2 1 湖北 省高 叶数学 竞赛 ) l I  

=  

+( 3  + 0或  :一 一    一 ) 9=   3
:  

【 分析】 陔方程 为四次方程 , 参数 口 6 、 不 
好 处理 , 不妨 将 n b看 成 主元 , 视 为参 数 . 、    


三 兰 二    兰 

(9    ) ≥或

后 +3  .

F- n   }j  +b 表示 动点 P( ,) 原 点距 离 的  j: n6到
平方 ,i  , ) 直线  I  fP( 『 在 i J


例 3 已知关 于  的方 程 
3 2




i (X



2 x +(2— 1=0 1 ( 1  

Ⅱ+ J+  ,   +2 +1=0    

有且 只有 一个实 根. 实数 Ⅱ的取值范 围. 求  

l,   则 


【 分析 】 把关于  的 次方程视为关于 n    

4 垒  :  
 ̄ 。  / +  
√   一   一

的二 次方 程来 处理.  
原 方程化 为 


II/4 1    ̄ +   

,  — i +1 — x = 盘I一— +一  ~— 一, +—一



x \  



一 2   = ≥, /  : ≥  ,





( 2  )  ’一1=0 X +2 n+

. 

解 得 n=  一1 n= + +1 或     .  

H仪当 .  :±I 』式等 号成 . 时, .  
所 以 , Ⅱ +6 ) = . (    … 8  

由于原方 程 只有 一 个 实 根 , 一 于是 , 于  关
的方程 0: + +1 实根.     无  

2 利 用高次 方程 降次 
例 2 设 ≥9 解方 程  .
+2 x   k  + +9k +2 =0. 7  

故 △=1 4 1 )< . — ( —0 0  
所以 ,   n<’

3 构 造新 函数 

例 4 设不 等式 

万方数据

21 0 2年第 3期 


l  3

( 口+1  一Ⅱ 0 )  >  

I )≤ . / I     
解 设gn ( )=( 一1 Ⅱ+     )  .

对 一切 n∈( ,) 成立. 12 都 求  的范 嗣.  

【 分析 】 该不 等式中参 数 口的次数有二 
次也有 一次 , 不好处 理. 不妨将 原 不等式 看作  以 n为 主 元 、 为 参 数 的 不 等 式 , 求  的    再
范 围.   原 不等 式可化 为 
a + n+(   ) O     一 < .  

() 1 当  一l= ,pz ±1时 , 0 臣  : 有 
g Ⅱ)= ±1 ( .  

显 然 , ( ) =I ( ) ≤ 一 ? I x f g a I   成立   f () 2 当  一1< , 一1   <1喇‘ 次  0即 < ,   函数 g 口 ( )在 闭区间 [ , ] 一1 1 上为减 函数 , 则 
g 一1  =一 + +1 ( )      
: ~

设 g0 ( )=Ⅱ +毗 +( — )<0对 一 切        一

口∈( , ) 12 恒成 立 ,( ) , g 2 ≤0 则  g 1 ≤0 且 ( ) .
r 1+2x— ≤ 0,    

(  }手   )一 , 一 +≤  

【+ x   ≤ . 4 3— 0  
所 以 , >4或 ≤ 一1  I .  

g 1     + —l ( ) ;=    


例 5 设 函数  _ )= 厂 ( 似   一n +  

( 号 一≥÷   )÷ 一 . +‘  

定义在区间[ 11 上. lI , 明: 一 ,] 若   ≤1证   0
( 上接 第 4页)  
提 示 : 例 3 答案 : l 仿 . t+b+ : 一 . c 3   3 证明 : . 方程 
一   一

因此 , 1 、2 可得 I( l   ? 由( ) ( ) . ) ≤。   厂 有 两个相 异有 理根 P、( q , q P< ) 又方 程 


p 2 : x+ q: O与  一q 2 O x+ p:  

有 一公共 根 , 试求 方程 


1= 0与  一3 2=   x一 0

p 十2 =0 x q  

有 公共 根.   提 示 : 例 5 由多项式 整 除法知  仿 .



的另 一根.   提 示 : 公 共根 为 。则  设 .


3 x一2=( 2   一1 (2   + )   一 )  + 2 .  

p 0+2q=0, —q o+2 :0 x   x p  

4 设方 程  .

j   0= 一2 = P + q = 一2. 争  

似    + = + c 0与  + +0=     0

只有一个公共正实数根. 试求 a b C 、 、 之间的 
关 系.  
提示: 由题 设 知 0≠c 设 公 共 正 实 数 根  ,

又 += 詈则 = 8 p q 一 , m -  _
由方 程 4 +  + 】 0 知    8 ,= , I
△ =6 —1 n> . 4 6 0 

为 t则  .
a +6 t £+c=0.   c +6 t z+口=0.  

于是 , 4, n为 正 整 数 , n< 且 △必 须 为 完 
全 平方 数.  
所以 , 凡=3 .  
因此 , 一 , : 一 . p:   g    

两式 相减 整理得  ( c t =( a— )  a—c : t ( > ) )= :1 t 0 . >  
所 以, n+b+ = . c 0  

故 方程 。   + q: 即 2 + x一 O 一 2 O, x 3 2=  
的 另一根 为  :_ _ 1
.  

5若 正 整系数 二次 方程  .
4 + ,  +n :0   n  

万方数据

变换主元解含参数闻题
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 王朝和 江苏省扬州中学,225009 中等数学 High-School Mathematics 2012(3)

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