9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学必修2第二章知识点总结

高中数学必修 2 知识点总结 立体几何初步 特殊几何体表面积公式(c 为底面周长,h 为高, h 为斜高,l 为母线)
'

S 直棱柱侧面积 ? ch
S圆柱侧 ? 2?rh

S正棱锥侧面积 ?

S圆柱表 ? 2?r ?r ? l ?

1 ch' 2

S正棱台侧面积 ?

1 (c1 ? c2 )h' 2

S圆锥侧面积 ? ?rl

S圆锥表 ? ?r ?r ? l ?

S圆台侧面积 ? (r ? R)?l
柱体、锥体、台体的体积公式

S圆台表 ? ? r 2 ? rl ? Rl ? R 2
1 V台 ? (S ' ? S ' S ? S )h 3

?

?
1 V圆锥 ? ?r 2 h 3

V柱 ? Sh

1 V锥 ? Sh 3

V圆柱 ? Sh ? ? r 2 h

1 1 V圆台 ? (S ' ? S ' S ? S )h ? ? (r 2 ? rR ? R 2 )h 3 3
2 (4)球体的表面积和体积公式:V 球 = 4 ? R3 ; S 球面 = 4? R 3

第二章 直线与平面的位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 1 平面含义:平面是无限延展的 2 三个公理: (1)公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内. 符号表示为 A∈L B∈L A∈α B∈α 公理 1 作用:判断直线是否在平面内. (2)公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 符号表示为:A、B、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α , 使 A∈α 、B∈α 、C∈α 。 公理 2 作用:确定一个平面的依据。 (3)公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为:P∈α ∩β =>α ∩β =L,且 P∈L 公理 3 作用:判定两个平面是否相交的依据. 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系: 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 平行直线:同一平面内,没有公共点; => L α

α ?

A

L

α ?

A

?

C

?

B

β α
P

?

L

共面直线

异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。 2 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为:设 a、b、c 是三条直线 a∥b c∥b 第 1 页 共 32 页

=>a∥c

强调:公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 公理 4 作用:判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 4 注意点: ① a'与 b'所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定,与 O 的选择无关,为了简便,点 O 一般取在两直线中的一条上; ② 两条异面直线所成的角θ ∈(0, ); ③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作 a⊥b; ④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形; ⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系: (1)直线在平面内 —— 有无数个公共点 (2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 (3)直线在平面平行 —— 没有公共点 指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用 a α 来表示

? 2

a

α

a∩α =A

a∥α

2.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定 1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。 简记为:线线平行,则线面平行。 符号表示: a b a∥b 2.2.2 平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。 符号表示: a b β β β ∥α α β => a∥α

a∩b = P a∥α b∥α 2、判断两平面平行的方法有三种: (1)用定义; (2)判定定理; (3)垂直于同一条直线的两个平面平行。 2.2.3 — 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质

1、直线与平面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为:线面平行则线线平行。 第 2 页 共 32 页

符号表示: a ∥α a β a∥b α ∩β = b 作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、两个平面平行的性质定理:如果两个平行的平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。 符号表示: α ∥β α ∩γ = a β ∩γ = b 作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定 1、定义:如果直线 L 与平面α 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 L 与平面α 互相垂直,记作 L⊥α ,直线 L 叫做平 面α 的垂线,平面α 叫做直线 L 的垂面。如图,直线与平面垂直时,它们唯一公共点 P 叫做垂足。 P a L 2、直线与平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 注意点: a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视; b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。 2.3.2 平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A 梭 l B α 2、二面角的记法:二面角α -l-β 或α -AB-β 3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。 2.3.3 — 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质 1、直线与平面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。 2、两个平面垂直的性质定理: 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 第三章 直线与方程 (1)直线的倾斜角 定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与 x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 0 度。因此,倾斜角的取值范围是 0°≤α <180° (2)直线的斜率 ①定义:倾斜角不是 90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用 k 表示。即 k 反映直线与轴的倾斜程度。 当直线 l 与 x 轴平行或重合时, α =0°, k = tan0°=0; 当直线 l 与 x 轴垂直时, α = 90°, k 不存在. 当? β a∥b

? tan ? 。斜率

? 0 ? ,90 ?

?

?时, k ? 0 ;

当?

? 90 ? ,180 ?

?

? 时, k ? 0 ;

当?

? 90 ? 时, k 不存在。

第 3 页 共 32 页

②过两点的直线的斜率公式: k 注意下面四点:(1)当 x1

?

y 2 ? y1 ( x1 ? x 2 ) x 2 ? x1

( P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2)

? x2 时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为 90°;

(2)k 与 P1、P2 的顺序无关; (3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 (3)直线方程 ①点斜式:

y ? y1 ? k ( x ? x1 ) 直线斜率 k,且过点 ?x1, y1 ?

注意:当直线的斜率为 0°时,k=0,直线的方程是 y=y1。 当直线的斜率为 90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因 l 上每一点的横坐标都等于 x1,所 以它的方程是 x=x1。 ②斜截式: ③两点式:

y ? kx ? b ,直线斜率为 k,直线在 y 轴上的截距为 b

y ? y1 x ? x1 ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )直线两点 ?x1, y1 ? , ?x2 , y2 ? ? y2 ? y1 x2 ? x1

④截矩式: ⑤一般式:

Ax ? By ? C ? 0 (A,B 不全为 0) 注意:○ 1 各式的适用范围 2 特殊的方程如: ○
平行于 x 轴的直线: 当 l1

x y ? ? 1 其中直线 l 与 x 轴交于点 (a,0) ,与 y 轴交于点 (0, b) ,即 l 与 x 轴、 y 轴的截距分别为 a, b 。 a b

y ? b (b 为常数) ;

平行于 y 轴的直线: x ? a (a 为常数) ;

(6)两直线平行与垂直

: y ? k1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b2 时, l1 // l 2 ? k1 ? k 2 , b1 ? b2 ; l1 ? l 2 ? k1k 2 ? ?1

注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。 (7)两条直线的交点

l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 相交
交点坐标即方程组 ? 方程组无解 ?

? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 的一组解。 ? A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0


方程组有无数解 ? l1 与 l 2 重合 (8)两点间距离公式:设 A( x1 , y1 ),( 是平面直角坐标系中的两个点, B x2 , y2)

l1 // l 2

则|

AB |? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2

(9)点到直线距离公式:一点 P (10)两平行直线距离公式

?x0 , y0 ? 到直线 l1 : Ax ? By ? C ? 0 的距离 d ?
Ax ? By ? C1 ? 0 ,
C1 ? C 2 A2 ? B 2

Ax0 ? By 0 ? C A2 ? B 2

已知两条平行线直线 l1 和 l 2 的一般式方程为 l1 :

l 2 : Ax ? By ? C 2 ? 0 ,则 l1 与 l 2 的距离为 d ?

第四章 圆与方程 1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径。 2、圆的方程 (1)标准方程

?x ? a ?2 ? ? y ? b ?2
2

? r 2 ,圆心 ?a, b ? ,半径为 r ;

点 M ( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a)

? ( y ? b)2 ? r 2 的位置关系:
第 4 页 共 32 页

当 ( x0 当 ( x0

? a)2 ? ( y0 ? b)2 > r 2 ,点在圆外 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 < r 2 ,点在圆内
2

当 ( x0

? a)2 ? ( y0 ? b)2 = r 2 ,点在圆上

(2)一般方程 x 当D 当D
2

? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0
? 2 2?

1 D E ? ,半径为 ? E 2 ? 4F ? 0 时,方程表示圆,此时圆心为 ? r? ? ? ,? ?

2

D 2 ? E 2 ? 4F

? E 2 ? 4F ? 0 时,表示一个点; 2 2 当 D ? E ? 4 F ? 0 时,方程不表示任何图形。
2

(3)求圆方程的方法: 一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程, 需求出 a,b,r;若利用一般方程,需要求出 D,E,F; 另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。 3、直线与圆的位置关系: 直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况: (1)设直线 l 则有 d

: Ax ? By ? C ? 0 ,圆 C : ?x ? a ?2 ? ? y ? b ?2 ? r 2 ,圆心 C ?a, b? 到 l 的距离为 d ?

Aa ? Bb ? C A2 ? B 2



? r ? l与C相离 ; d ? r ? l与C相切 ; d ? r ? l与C相交

(2)过圆外一点的切线:①k 不存在,验证是否成立②k 存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离=半径,求解 k,得到 方程【一定两解】 (3)过圆上一点的切线方程:圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为 (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 4、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差) ,与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 设圆 C1 : ?x ? a1 ? ? ? y ? b1 ? ? r 2 , C 2 : ? x ? a 2 ? ? ? y ? b2 ? ? R 2
2 2

2

2

两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差) ,与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 当d 当d

? R ? r 时两圆外离,此时有公切线四条; ? R ? r 时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条;

当R?r

? d ? R ? r 时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线; 当 d ? R ? r 时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线; 当 d ? R ? r 时,两圆内含; 当 d ? 0 时,为同心圆。
注意:已知圆上两点,圆心必在中垂线上;已知两圆相切,两圆心与切点共线 圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点

第一章 一、选择题

空间几何体题

1.有一个几何体的三视图如下图所示,这个几何体可能是一个(

).

主视图

左视图 (第 1 题)

俯视图

第 5 页 共 32 页

A.棱台

B.棱锥

C.棱柱

D.正八面体

2.如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45° ,腰和上底均为 1 的等腰梯形,那么原平面图形的面 积是( ).

A.2+

2

B.

1+ 2 2
).

C.

2+ 2 2

D. 1 + 2

3.棱长都是 1 的三棱锥的表面积为( A. 3 B.2 3

C.3 3

D.4 3 ).

4.长方体的一个顶点上三条棱长分别是 3,4,5,且它的 8 个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是( A.25π B.50π ). C.2∶ 3 D. 3 ∶3 C.125π D.都不对

5.正方体的棱长和外接球的半径之比为( A. 3 ∶1 B. 3 ∶2

6. 在△ ABC 中, AB=2, BC=1.5, ∠ABC=120°, 若使△ABC 绕直线 BC 旋转一周, 则所形成的几何体的体积是( A.

).

9 π 2

B.

7 π 2

C.

5 π 2

D.

3 π 2
).

7. 若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面, 且侧棱长为 5, 它的对角线的长分别是 9 和 15, 则这个棱柱的侧面积是( A.130 B.140 C.150 D.160

8.如图,在多面体 ABCDEF 中,已知平面 ABCD 是边长为 3 的正方形,EF∥AB,EF= 离为 2,则该多面体的体积为( ).

3 ,且 EF 与平面 ABCD 的距 2

(第8题)

A.

9 2

B.5

C.6 ).

D.

15 2

9.下列关于用斜二测画法画直观图的说法中,错误 的是( ..

A.用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形 B.几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同 C.水平放置的矩形的直观图是平行四边形 D.水平放置的圆的直观图是椭圆 10.如图是一个物体的三视图,则此物体的直观图是( ).

第 6 页 共 32 页

(第 10 题) 二、填空题 11.一个棱柱至少有______个面,面数最少的一个棱锥有________个顶点,顶点最少的一个棱台有________条侧棱. 12.若三个球的表面积之比是 1∶2∶3,则它们的体积之比是_____________. 13.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 是上底面 ABCD 的中心,若正方体的棱长为 a,则三棱锥 O-AB1D1 的体积为 _____________. 14.如图,E,F 分别为正方体的面 ADD1A1、面 BCC1B1 的中心,则四边形 BFD1E 在该正方体的面上的射影可能是 ___________.

(第 14 题) 15.已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 积为___________. 16. 一个直径为 32 厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球, 球全部没入水中后, 水面升高 9 厘米则此球的半径为_________厘米. 三、解答题 17.有一个正四棱台形状的油槽,可以装油 190 L,假如它的两底面边长分别等于 60 cm 和 40 cm,求它的深度.

2 、 3 、 6 ,则这个长方体的对角线长是___________,它的体

18 *.已知半球内有一个内接正方体,求这个半球的体积与正方体的体积之比.[提示:过正方体的对角面作截面]

第 7 页 共 32 页

19.如图,在四边形 ABCD 中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,CD=2 2 ,AD=2,求四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积.

(第19题)

20.养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用),已建的仓库的底面直径为 12 m,高 4 m, 养路处拟建一个更大的圆锥形仓库,以存放更多食盐,现有两种方案:一是新建的仓库的底面直径比原来大 4 m(高不变); 二是高度增加 4 m(底面直径不变). (1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积; (2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积; (3)哪个方案更经济些?

第 8 页 共 32 页

第二章 点、直线、平面之间的位置关系 A 组

一、选择题
1.设 ?,?为两个不同的平面,l,m 为两条不同的直线,且 l ? ?,m ? ? ,有如下的两个命题:①若??∥?,则 l∥m; ②若 l⊥m,则??⊥?.那么( ). B.①是假命题,②是真命题 C.①②都是真命题 ). D.①②都是假命题

A.①是真命题,②是假命题

2.如图,ABCD-A1B1C1D1 为正方体,下面结论错误 的是( .. A.BD∥平面 CB1D1 B.AC1⊥BD C.AC1⊥平面 CB1D1 D.异面直线 AD 与 CB1 角为 60° 3.关于直线 m,n 与平面??,?,有下列四个命题: ①m∥?,n∥??且??∥?,则 m∥n; ③m⊥?,n∥??且??∥?,则 m⊥n; 其中真命题的序号是( 4.给出下列四个命题: ①垂直于同一直线的两条直线互相平行 ).

(第 2 题)

②m⊥?,n⊥??且??⊥?,则 m⊥n; ④m∥?,n⊥??且??⊥?,则 m∥n. B.③④ C.①④ D.②③

A.①②

②垂直于同一平面的两个平面互相平行

③若直线 l1,l2 与同一平面所成的角相等,则 l1,l2 互相平行 ④若直线 l1,l2 是异面直线,则与 l1,l2 都相交的两条直线是异面直线 其中假 命题的个数是( . ).A.1 ). B.2 C.3 D.4

5.下列命题中正确的个数是(

①若直线 l 上有无数个点不在平面???内,则 l∥? ②若直线 l 与平面???平行,则 l 与平面???内的任意一条直线都平行 ③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行,那么另一条直线也与这个平面平行 ④若直线 l 与平面???平行,则 l 与平面???内的任意一条直线都没有公共点 A.0 个 B.1 个 C.2 个 ). D.只有两个 D.3 个

6. 两直线 l1 与 l2 异面,过 l1 作平面与 l2 平行,这样的平面( A.不存在 B.有唯一的一个 C.有无数个

7.把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,当以 A,B,C,D 四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线 BD 和平面 ABC 所成 的角的大小为( A.90° ). B.60° ). 第 9 页 共 32 页 C.45° D.30°

8.下列说法中不正确的 是( ....

A.空间中,一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形 B.同一平面的两条垂线一定共面 C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一个平面内 D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直 9.给出以下四个命题: ①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行 ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面 ③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行 ④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么些两个平面互相垂直 其中真命题的个数是( ). A.4 B.3 C.2 ). D.1

10.异面直线 a,b 所成的角 60° ,直线 a⊥c,则直线 b 与 c 所成的角的范围为( A.[30°,90°] 二、填空题 B.[60°,90°] C.[30°,60°] D.[30°,120°]

11.已知三棱锥 P-ABC 的三条侧棱 PA,PB,PC 两两相互垂直,且三个侧面的面积分别为 S1,S2,S3,则这个三棱锥 的体积为 .

12.P 是△ ABC 所在平面???外一点,过 P 作 PO⊥平面??,垂足是 O,连 PA,PB,PC. (1)若 PA=PB=PC,则 O 为△ ABC 的 (2)PA⊥PB,PA⊥PC,PC⊥PB,则 O 是△ABC 的 (3)若点 P 到三边 AB,BC,CA 的距离相等,则 O 是△ABC 的 (4)若 PA=PB=PC,∠C=90?,则 O 是 AB 边的 (5)若 PA=PB=PC,AB=AC,则点 O 在△ABC 的 13.如图,在正三角形 ABC 中,D,E,F 分别为各边的中点,G, AF,AD,BE,DE 的中点,将△ABC 沿 DE,EF,DF 折成三棱锥以 成角的度数为 . 点; 线上. H , I , J 分别为 后,GH 与 IJ 所 心; 心; 心;

J

(第 13 题) 14.直线 l 与平面 ??所成角为 30°,l∩?=A,直线 m∈?,则 m 值范围是 . 与 l 所成角的取

15.棱长为 1 的正四面体内有一点 P,由点 P 向各面引垂线,垂线段长度分别为 d1,d2,d3,d4,则 d1+d2+d3+d4 的 值为 . 16.直二面角??-l-??的棱上有一点 A,在平面??,??内各有一条射线 AB,AC 与 l 成 45°,AB ? ?,AC ? ?,则∠BAC 第 10 页 共 32 页

= 三、解答题



17.在四面体 ABCD 中,△ABC 与△DBC 都是边长为 4 的正三角形. (1)求证:BC⊥AD; (2)若点 D 到平面 ABC 的距离等于 3,求二面角 A-BC-D (3)设二面角 A-BC-D 的大小为 ?,猜想 ??为何值时,四面 最大.(不要求证明) 的正弦值; 体 A-BCD 的体积

(第 17 题)

18. 如图,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=2,BB1=BC=1,E 为 D1C1 的中点,连结 ED,EC,EB 和 DB. (1)求证:平面 EDB⊥平面 EBC; (2)求二面角 E-DB-C 的正切值.

(第 18 题)

19*.如图,在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90°, SA⊥面 ABCD,SA=AB=BC=1,AD= (1)求四棱锥 S—ABCD 的体积;? (2)求面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的正切值. (提示:延长 BA,CD 相交于点 E,则直线 SE 是 所求二面角的棱.) 第 11 页 共 32 页

1 . 2

20*.斜三棱柱的一个侧面的面积为 10,这个侧面与它所对棱的距离等于 6,求这个棱柱的体积.(提示:在 AA1 上取 一点 P,过 P 作棱柱的截面,使 AA1 垂直于这个截面.)

(第 20 题)

第三章 直线与方程 A 组 一、选择题
1.若直线 x=1 的倾斜角为 ?,则??( A.等于 0 B.等于? ). C.等于

? 2
).

D.不存在

2.图中的直线 l1,l2,l3 的斜率分别为 k1,k2,k3,则( A.k1<k2<k3 C.k3<k2<k1 B.k3<k1<k2 D.k1<k3<k2

(第 2 题) 3.已知直线 l1 经过两点(-1,-2)、(-1,4),直线 l2 经过两点(2,1)、(x,6),且 l1∥l2,则 x=( A.2 B.-2 C.4 D.1 ). ).

4.已知直线 l 与过点 M(- 3 , 2 ),N( 2 ,- 3 )的直线垂直,则直线 l 的倾斜角是( A.

? 3

B.

2? 3

C.

? 4
).

D.

3? 4

5.如果 AC<0,且 BC<0,那么直线 Ax+By+C=0 不通过( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

D.第四象限

6.设 A,B 是 x 轴上的两点,点 P 的横坐标为 2,且|PA|=|PB|,若直线 PA 的方程为 x-y+1=0,则直线 PB 的方程 是( ). A.x+y-5=0 B.2x-y-1=0 C.2y-x-4=0 D.2x+y-7=0 ).

7.过两直线 l1:x-3y+4=0 和 l2:2x+y+5=0 的交点和原点的直线方程为( A.19x-9y=0 B.9x+19y=0 C.19x-3y= 0 第 12 页 共 32 页

D.3x+19y=0

8.直线 l1:x+a2y+6=0 和直线 l2 : (a-2)x+3ay+2a=0 没有公共点,则 a 的值是( A.3 B.-3 C.1 D.-1

).

9.将直线 l 沿 y 轴的负方向平移 a(a>0)个单位,再沿 x 轴正方向平移 a+1 个单位得直线 l',此时直线 l' 与 l 重合,则 直线 l' 的斜率为( A. ). B. -

a a+1

a a+ 1

C.

a+1 a
).

D. -

a+ 1 a

10.点(4,0)关于直线 5x+4y+21=0 的对称点是( A.(-6,8) 二、填空题 B.(-8,-6) C.(6,8)

D.(-6,-8)

11.已知直线 l1 的倾斜角 ?1=15°,直线 l1 与 l2 的交点为 A,把直线 l2 绕着点 A 按逆时针方向旋转到和直线 l1 重合时所 转的最小正角为 60°,则直线 l2 的斜率 k2 的值为 12.若三点 A(-2,3),B(3,-2),C( . . .

1 ,m)共线,则 m 的值为 2

13.已知长方形 ABCD 的三个顶点的坐标分别为 A(0,1),B(1,0),C(3,2),求第四个顶点 D 的坐标为 14.求直线 3x+ay=1 的斜率 . . .

15.已知点 A(-2,1),B(1,-2),直线 y=2 上一点 P,使|AP|=|BP|,则 P 点坐标为 16.与直线 2x+3y+5=0 平行,且在两坐标轴上截距的和为 6 的直线方程是

17.若一束光线沿着直线 x-2y+5=0 射到 x 轴上一点,经 x 轴反射后其反射线所在直线的方程是 三、解答题 18.设直线 l 的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6(m∈R,m≠-1),根据下列条件分别求 m 的值: ①l 在 x 轴上的截距是-3; ②斜率为 1.



19.已知△ABC 的三顶点是 A(-1,-1),B(3,1),C(1,6).直线 l 平行于 AB,交 AC,BC 分别于 E,F,△CEF 的面积是△CAB 面积的

1 .求直线 l 的方程. 4

第 13 页 共 32 页

20.一直线被两直线 l1:4x+y+6=0,l2:3x-5y-6=0 截得的线段的中点恰好是坐标原点,求该直线方程.

. 21.直线 l 过点(1,2)和第一、二、四象限,若直线 l 的横截距与纵截距之和为 6,求直线 l 的方程.

第四章 圆与方程 一、选择题
1.若圆 C 的圆心坐标为(2,-3),且圆 C 经过点 M(5,-7),则圆 C 的半径为( A. 5 B.5 C.25 ).

D. 10 ). D.(x+1)2+(y+1)2=4

2.过点 A(1,-1),B(-1,1)且圆心在直线 x+y-2=0 上的圆的方程是( A.(x-3)2+(y+1)2=4 B.(x+3)2+(y-1)2=4

C.(x-1)2+(y-1)2=4 ). C.(x-3)2+(y+4)2=9 ). D.无解

3.以点(-3,4)为圆心,且与 x 轴相切的圆的方程是( A.(x-3)2+(y+4)2=16 B.(x+3)2+(y-4)2=16

D.(x+3)2+(y-4)2=19

4.若直线 x+y+m=0 与圆 x2+y2=m 相切,则 m 为( A.0 或 2 B.2 C. 2

5.圆(x-1)2+(y+2)2=20 在 x 轴上截得的弦长是( A.8 B.6

). D.4 3 ). D.相离 ).

C.6 2

6.两个圆 C1:x2+y2+2x+2y-2=0 与 C2:x2+y2-4x-2y+1=0 的位置关系为( A.内切 B.相交 C.外切

7.圆 x2+y2-2x-5=0 与圆 x2+y2+2x-4y-4=0 的交点为 A,B,则线段 AB 的垂直平分线的方程是( A.x+y-1=0 B.2x-y+1=0 C.x-2y+1=0 ). D.x-y+1=0

8.圆 x2+y2-2x=0 和圆 x2+y2+4y=0 的公切线有且仅有(

第 14 页 共 32 页

A.4 条

B.3 条

C.2 条

D.1 条

9.在空间直角坐标系中,已知点 M(a,b,c),有下列叙述: 点 M 关于 x 轴对称点的坐标是 M1(a,-b,c); 点 M 关于 yoz 平面对称的点的坐标是 M2(a,-b,-c);

点 M 关于 y 轴对称的点的坐标是 M3(a,-b,c); 点 M 关于原点对称的点的坐标是 M4(-a,-b,-c). 其中正确的叙述的个数是( A.3 ). B.2 C.1 D.0 ).

10.空间直角坐标系中,点 A(-3,4,0)与点 B(2,-1,6)的距离是( A.2

43

B.2 21

C.9

D. 86

二、填空题 11.圆 x2+y2-2x-2y+1=0 上的动点 Q 到直线 3x+4y+8=0 距离的最小值为 12.圆心在直线 y=x 上且与 x 轴相切于点(1,0)的圆的方程为 13.以点 C(-2,3)为圆心且与 y 轴相切的圆的方程是 . . . . . .

14.两圆 x2+y2=1 和(x+4)2+(y-a)2=25 相切,试确定常数 a 的值 15.圆心为 C(3,-5),并且与直线 x-7y+2=0 相切的圆的方程为 16.设圆 x2+y2-4x-5=0 的弦 AB 的中点为 P(3,1),则直线 AB 的方程是 三、解答题

17.求圆心在原点,且圆周被直线 3x+4y+15=0 分成 1∶2 两部分的圆的方程.

18.求过原点,在 x 轴,y 轴上截距分别为 a,b 的圆的方程(ab≠0).

第 15 页 共 32 页

19.求经过 A(4,2),B(-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距之和是 2 的圆的方程.

20.求经过点(8,3),并且和直线 x=6 与 x=10 都相切的圆的方程.

期末测试题 考试时间:90 分钟 试卷满分:100 分 一、选择题:本大题共 14 小题,每小题 4 分,共 56 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的. 1.在直角坐标系中,已知 A(-1,2),B(3,0),那么线段 AB 中点的坐标为( A.(2,2) B.(1,1) ). C.(-2,-2) ).

D.(-1,-1)

2.右面三视图所表示的几何体是(

A.三棱锥 B.四棱锥 C.五棱锥 D.六棱锥

正视图

侧视图

俯视图
(第 2 题) 3.如果直线 x+2y-1=0 和 y=kx 互相平行,则实数 k 的值为( A.2 B. ). D.- ).

1 2

C.-2

1 2

4.一个球的体积和表面积在数值上相等,则该球半径的数值为( 第 16 页 共 32 页

A.1

B.2

C.3 ).

D.4

5.下面图形中是正方体展开图的是(

A

B

C

D (第 5 题)

6.圆 x2+y2-2x-4y-4=0 的圆心坐标是( A.(-2,4) B.(2,-4)

). C.(-1,2) ). D.y=-x-1 ). D.(1,2)

7.直线 y=2x+1 关于 y 轴对称的直线方程为( A.y=-2x+1 B.y=2x-1

C.y=-2x-1

8.已知两条相交直线 a,b,a∥平面??,则 b 与 ??的位置关系是( A.b ? 平面?? ? ? B.b⊥平面???????C.b∥平面?? ?

D.b 与平面?相交,或 b∥平面?? ).

?.在空间中,a,b 是不重合的直线,?,?是不重合的平面,则下列条件中可推出 a∥b 的是( A.a ? ?,b ? ?,?∥? B.a∥?,b ? ???????C.a⊥?,b⊥? ). D.内含 D.a⊥?,b ? ?

10. 圆 x2+y2=1 和圆 x2+y2-6y+5=0 的位置关系是( A.外切 B.内切

C.外离

11.如图,正方体 ABCD—A'B'C'D'中,直线 D'A 与 DB 所成的角可 ( ). A.∠D'DB C.∠ADB B.∠AD' C' D.∠DBC'

D? A?

C?









B?
D
C

A
(第 11 题)

B

12. 圆(x-1)2+(y-1)2=2 被 x 轴截得的弦长等于( A. 1 B.

). C. 2 D. 3

3 2

13.如图,三棱柱 A1B1C1—ABC 中,侧棱 AA1⊥底面 A1B1C1,底面三 A1B1C1 是正三角形,E 是 BC 中点,则下列叙述正确的是( A.CC1 与 B1E 是异面直线 B.AC⊥平面 A1B1BA ).

C A C1 A1

E

B





B1

第 17 页 共 32 页

(第 13 题)

C.AE,B1C1 为异面直线,且 AE⊥B1C1 D.A1C1∥平面 AB1E 14.有一种圆柱体形状的笔筒,底面半径为 4 cm,高为 12 cm.现要为 100 个这种相同规格的笔筒涂色(笔筒内外均要 涂色,笔筒厚度忽略不计). 如果每 0.5 kg 涂料可以涂 1 m2,那么为这批笔筒涂色约需涂料. A.1.23 kg B.1.76 kg C.2.46 kg D.3.52 kg

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上. 15.坐标原点到直线 4x+3y-12=0 的距离为 .

16 .以点 A(2 , 0) 为圆心,且经过点 B( - 1 , 1) 的圆的方程 是 . 17.如图,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,棱锥 A1——ABCD 的 长方体的体积之比为_______________. 18.在平面几何中,有如下结论:三边相等的三角形内任意一点

D1 A1 B1

C1

体积与

D A
(第 17 题)

C B
到三边

的距离之和为定值.拓展到 空间,类比平面几何的上述 结论,可得:四个面均为等 边三角形的四面体内任意一 点 _______________________________________. 三、解答题:本大题共 3 小题,共 28 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 19.已知直线 l 经过点(0,-2),其倾斜角是 60°. (1)求直线 l 的方程; (2)求直线 l 与两坐标轴围成三角形的面积.

20.如图,在三棱锥 P—ABC 中,PC⊥底面 ABC, AB⊥BC,D,E 分别是 AB,PB 的中点. (1)求证:DE∥平面 PAC; (2)求证:AB⊥PB;

P

E
(3)若 PC=BC,求二面角 P—AB—C 的大小.

C A D B
(第 20 题) 第 18 页 共 32 页

21.已知半径为 5 的圆 C 的圆心在 x 轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线 4x+3y-29=0 相切. (1)求圆 C 的方程; (2)设直线 ax-y+5=0 与圆 C 相交于 A,B 两点,求实数 a 的取值范围; (3) 在(2)的条件下,是否存在实数 a,使得过点 P(-2,4)的直线 l 垂直平分弦 AB?若存在,求出实数 a 的值;若不 存在,请说明理由.

期末测试题 参考答案 一、选择题 1.B 2.D 3.D 4.C 5.A 6.D 7.A 8.D 9.C 10.A 11.D 12.C 13.C 14.D

二、填空题 15.

12 . 5

16.(x-2)2+y2=10. 17.1:3. 18.到四个面的距离之和为定值. 三、解答题 19.解:(1)因为直线 l 的倾斜角的大小为 60°,故其斜率为 tan 60°= 3 ,又直线 l 经过点(0,-2),所以其方程为 3 x -y-2=0. (2)由直线 l 的方程知它在 x 轴、 y 轴上的截距分别是

2 3

, -2, 所以直线 l 与两坐标轴围成三角形的面积 S=

1 2 ? ? 2 2 3



2 3 . 3
20.(1)证明:因为 D,E 分别是 AB,PB 的中点, 所以 DE∥PA.

P

E C
第 19 页 共 32 页

A D B
(第 20 题)

因为 PA ? 平面 PAC,且 DE ? 平面 PAC, 所以 DE∥平面 PAC.

(2)因为 PC⊥平面 ABC,且 AB ? 平面 ABC, 所以 AB⊥PC.又因为 AB⊥BC,且 PC∩BC=C. 所以 AB⊥平面 PBC. 又因为 PB ? 平面 PBC, 所以 AB⊥PB. (3)由(2)知,PB⊥AB,BC⊥AB, 所以,∠PBC 为二面角 P—AB—C 的平面角. 因为 PC=BC,∠PCB=90°, 所以∠PBC=45°, 所以二面角 P—AB—C 的大小为 45°. 21.解:(1)设圆心为 M(m,0)(m∈Z). 由于圆与直线 4x+3y-29=0 相切,且半径为 5,所以, 即|4m-29|=25. 因为 m 为整数,故 m=1. 故所求的圆的方程是(x-1)2+y2=25. (2)直线 ax-y+5=0 即 y=ax+5.代入圆的方程,消去 y 整理,得 (a2+1)x2+2(5a-1)x+1=0. 由于直线 ax-y+5=0 交圆于 A,B 两点,故△=4(5a-1)2-4(a2+1)>0, 即 12a2-5a>0,解得 a<0,或 a>

4m ? 29 5

=5,

5 . 12 5 ,+∞). 12 1 1 ,l 的方程为 y=- (x+2)+4, 即 x+ay+2 a a 3 3 5 .由于 ∈( ,+∞), 4 4 12

所以实数 a 的取值范围是(-∞,0)∪(

(3)设符合条件的实数 a 存在,由(2)得 a≠0,则直线 l 的斜率为-

-4a=0.由于 l 垂直平分弦 AB,故圆心 M(1,0)必在 l 上.所以 1+0+2-4a=0,解得 a= 故存在实数 a=

3 ,使得过点 4

P(-2,4)的直线 l 垂直平分弦 AB.

第一章

空间几何体参考答案 A 组 第 20 页 共 32 页

一、选择题 1.A 解析:从俯视图来看,上、下底面都是正方形,但是大小不一样,可以判断可能是棱台. 2.A 解析:原图形为一直角梯形,其面积 S=

1 (1+ 2 +1)?2=2+ 2 . 2
3 = 3. 4

3.A 解析:因为四个面是全等的正三角形,则 S 表面=4? 4.B 解析:长方体的对角线是球的直径, l= 32+4 2+52 =5 2 ,2R=5 2 ,R=

5 2 ,S=4πR2=50π. 2

5.C 解析:正方体的对角线是外接球的直径. 6.D 解析:V=V 大-V 小=

1 2 3 πr (1+1.5-1)= π. 2 3

2 7.D 解析:设底面边长是 a,底面的两条对角线分别为 l1,l2,而 l12 =152-52, l 2 =92-52,

2 而 l12 + l 2 =4a2,即 152-52+92-52=4a2,a=8,S 侧面=4?8?5=160.

8.D 解析:过点 E,F 作底面的垂面,得两个体积相等的四棱锥和一个三棱柱, V=2? 9.B 解析:斜二测画法的规则中,已知图形中平行于 x 轴的线段,在直观图中保持原长度不变;平行于 y 轴的线段,长度 为原来的一半.平行于 z 轴的线段的平行性和长度都不变. 10.D 解析:从三视图看底面为圆,且为组合体,所以选 D. 二、填空题 11.参考答案:5,4,3. 解析:符合条件的几何体分别是:三棱柱,三棱锥,三棱台. 12.参考答案:1∶2 2 ∶3 3 . r1∶r2∶r3=1∶ 2 ∶ 3 , r13 ∶ r23 ∶ r33 =13∶( 2 )3∶( 3 )3=1∶2 2 ∶3 3 . 13.参考答案:

1 3 1 3 15 ? ?3?2+ ?3?2? = . 2 2 2 3 4

1 3 a . 6

解析:画出正方体,平面 AB1D1 与对角线 A1C 的交点是对角线的三等分点, 三棱锥 O-AB1D1 的高 h=

3 3 3 1 1 1 a,V= Sh= ? ?2a2? a= a3. 3 4 3 6 3 3

另法:三棱锥 O-AB1D1 也可以看成三棱锥 A-OB1D1,它的高为 AO,等腰三角形 OB1D1 为底面. 14.参考答案:平行四边形或线段. 15.参考答案: 6 , 6 . 解析:设 ab= 2 ,bc= 3 ,ac= 6 ,则 V = abc= 6 ,c= 3 ,a= 2 ,b=1, 第 21 页 共 32 页

1= 6 . l= 3+2+
16.参考答案:12.解析:V=Sh=πr2h= 三、解答题 17.参考答案:

4 3 πR ,R= 3 64?27 =12. 3

V=

3?190 000 3V 1 (S+ SS ′ +S)h,h= = =75. 3 S+ SS ′ +S ′ 3 600+2 400+1 600

18.参考答案: 如图是过正方体对角面作的截面.设半球的半径为 R,正方体的棱长为 a,则 CC'=a,OC=

2 a,OC'=R. 2

A'

C'

A

O
(第 18 题)

C

在 Rt△C'CO 中,由勾股定理,得 CC' 2+OC2=OC' 2, 即 a2+( ∴R=

2 2 2 a) =R . 2

6 6 3 3 a,∴V 半球= πa ,V 正方体=a . 2 2

∴V 半球 ∶V 正方体= 19.参考答案:

6 π∶2.

S 表面=S 下底面+S 台侧面+S 锥侧面 =π?52+π?(2+5)?5+π?2?2 2 =(60+4 2 )π. V=V 台-V 锥 = =

1 1 π( r12 +r1r2+ r22 )h- πr2h1 3 3
148 π. 3

20. 解:(1) 参考答案:如果按方案一,仓库的底面直径变成 16 m,则仓库的体积 V1=

16 2 256 1 1 Sh= ?π?( ) ?4= π(m3). 2 3 3 3
第 22 页 共 32 页

如果按方案二,仓库的高变成 8 m,则仓库的体积 V2=

288 12 2 1 1 Sh= ?π?( ) ?8= π(m3). 2 3 3 3

(2) 参考答案:如果按方案一,仓库的底面直径变成 16 m,半径为 8 m. 棱锥的母线长为 l= 82+4 2 =4 5 , 仓库的表面积 S1=π?8?4 5 =32 5 π(m2). 如果按方案二,仓库的高变成 8 m. 棱锥的母线长为 l= 82+6 2 =10, 仓库的表面积 S2=π?6?10=60π(m2). (3) 参考答案:∵V2>V1,S2<S1,∴方案二比方案一更加经济些. 第二章 一、选择题 1.D 解析:命题②有反例,如图中平面??∩平面??=直线 n, l ??,m ??, 且 l∥n,m⊥n,则 m⊥l,显然平面???不垂直平面 ?,??????????????????(第 1 题) 故②是假命题;命题①显然也是假命题, 2.D 解析:异面直线 AD 与 CB1 角为 45°. 3.D 解析:在①、④的条件下,m,n 的位置关系不确定. 4.D 解析:利用特殊图形正方体我们不难发现①②③④均不正确,故选择答案 D. 5.B 解析:学会用长方体模型分析问题,A1A 有无数点在平面 ABCD 平面 ABCD 相交,①不正确;A1B1∥平面 ABCD,显然 A1B1 不平行于 确;A1B1∥AB,A1B1∥平面 ABCD,但 AB ?平面 ABCD 内,③不正 平行,则 l 与???无公共点,l 与平面???内的所有直线都没有公共点, B. 6.B 解析:设平面 ??过 l1,且 l2∥?,则 l1 上一定点 P 与 l2 确定一平面 ??,??与 ??的交线 l3∥l2,且 l3 过点 P. 又过点 P 与 l2 平行的直线只有一条,即 l3 有唯一性,所以经过 l1 和 l3 的平面是唯一的,即过 l1 且平行于 l2 的平面是唯一的. 7.C 解析:当三棱锥 D-ABC 体积最大时,平面 DAC⊥ABC,取 AC 的中点 O,则△DBO 是等腰直角三角形,即∠DBO= 第 23 页 共 32 页 (第 5 题) 外,但 AA1 与 BD , ② 不 正 确; l 与平面 α ④正确,应选 点、直线、平面之间的位置关系参考答案 A 组

45°. 8.D 解析:A.一组对边平行就决定了共面;B.同一平面的两条垂线互相平行,因而共面;C.这些直线都在同一个平面 内即直线的垂面;D.把书本的书脊垂直放在桌上就明确了. 9.B 解析:因为①②④正确,故选 B. 10.A 解析:异面直线 a , b 所成的角为 60° ,直线 c ⊥ a ,过空间任一点 P,作直线 a’∥a, b’∥b, c’∥c. 若 a’,b’,c’ 共面则 b’ 与 c’ 成 30° 角,否则 二、填空题 11.

b’



c’

所成的角的范围为(30° ,90° ],所以直线 b 与 c 所成角的范围为[30° ,90° ] .

1 3

2S1 S 2 S 3 .

解析:设三条侧棱长为 a,b,c. 则 ∴

1 1 1 ab=S1, bc=S2, ca=S3 三式相乘: 2 2 2

1 2 2 2 a b c =S1S2S3, 8

∴ abc=2 2 S1 S 2 S 3 . ∵ 三侧棱两两垂直, ∴ V=

1 1 1 abc? = 2 3 3

2S1 S 2 S 3 .

12.外,垂,内,中,BC边的垂直平分. 解析:(1)由三角形全等可证得 O 为△ABC 的外心; (2)由直线和平面垂直的判定定理可证得,O 为△ABC 的垂心; (3)由直线和平面垂直的判定定理可证得,O 为△ABC 的内心; (4)由三角形全等可证得,O 为 AB 边的中点; (5)由(1)知,O 在 BC 边的垂直平分线上,或说 O 在∠BAC 的平分线上. 13.60° . 解析:将△ABC 沿 DE,EF,DF 折成三棱锥以后,GH 与 IJ 所成角的度数为 60°. 14.[30° ,90° ]. 解析:直线 l 与平面???所成的 30°的角为 m 与 l 所成角的最小值,当 m 在???内适当旋转就可以得到 l⊥m,即 m 与 l 所 成角的的最大值为 90°. 15.

6 . 3
第 24 页 共 32 页

解析:作等积变换: 16.60°或 120°.

1 ? 3 ?(d1+d2+d3+d4)= 1 ? 3 ?h,而 h= 6 . 3 4 3 4 3

解析:不妨固定 AB,则 AC 有两种可能. 三、解答题 17.证明:(1)取 BC 中点 O,连结 AO,DO. ∵△ABC,△BCD 都是边长为 4 的正三角形, ∴AO⊥BC,DO⊥BC,且 AO∩DO=O, ∴BC⊥平面 AOD.又 AD ? 平面 AOD, ∴BC⊥AD. (第 17 题)

解:(2)由(1)知∠AOD 为二面角 A-BC-D 的平面角,设∠AOD=?,则过点 D 作 DE⊥AD,垂足为 E. ∵BC⊥平面 ADO,且 BC ? 平面 ABC, ∴平面 ADO⊥平面 ABC.又平面 ADO∩平面 ABC=AO, ∴DE⊥平面 ABC. ∴线段 DE 的长为点 D 到平面 ABC 的距离,即 DE=3. 又 DO=

3 BD=2 3 , 2 3 DE = , 2 DO 3 . 2

在 Rt△DEO 中,sin?=

故二面角 A-BC-D 的正弦值为

(3)当 ?=90°时,四面体 ABCD 的体积最大. 18.证明:(1)在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,BB1=BC=1,E 为 D1C1 的中点.∴△DD1E 为等腰直角三角形, ∠D1ED=45°.同理∠C1EC=45°.∴ ?DEC ? 90? ,即 DE⊥EC. 在长方体 ABCD- A1 B1C1 D1 中,BC⊥平面 D1 DCC1 ,又 DE ? 平面 D1 DCC1 , ∴BC⊥DE.又 EC ? BC ? C ,∴DE⊥平面 EBC.∵平面 DEB 过 DE,∴平面 DEB⊥平面 EBC. (2)解:如图, 过 E 在平面 D1 DCC1 中作 EO⊥DC 于 O. 在 - A1 B1C1 D1 中, ∵面 ABCD⊥面 D1 DCC1 , ∴EO⊥面 ABCD. 过 中作 OF⊥DB 于 F,连结 EF,∴EF⊥BD.∠EFO 为二面角 E- 角.利用平面几何知识可得 OF= 长方体 ABCD O 在平面 DBC DB-C 的平面

1 5



(第 18 题)

又 OE=1,所以,tan ? EFO= 5 .

第 25 页 共 32 页

1 19*.解:(1)直角梯形 ABCD 的面积是 M 底面= (BC+AD)? AB = 2
∴四棱锥 S—ABCD 的体积是 V=

1+ 2

1 2

? 1= 3 ,
4

1 1 3 1 ?SA?M 底面= ?1? = . 4 4 3 3

(2)如图,延长 BA,CD 相交于点 E,连结 SE,则 SE 是所求二面角的棱. ∵AD∥BC,BC=2AD, ∴EA=AB=SA,∴SE⊥SB ∵SA⊥面 ABCD,得面 SEB⊥面 EBC,EB 是交线. 又 BC⊥EB,∴BC⊥面 SEB,故 SB 是 SC 在面 SEB 上的射影,? ∴CS⊥SE,∠BSC 是所求二面角的平面角. ∵SB=

SA2+AB 2 = 2 ,BC=1,BC⊥SB,

∴tan∠BSC=

BC 2 , = SB 2

(第 19 题)

即所求二面角的正切值为

2 . 2
10 , A1A 和 面 AA1∥CC1,∴截 PO=6.

20*.解:如图,设斜三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧面 BB1C1C 的面积为 BB1C1C 的距离为 6,在 AA1 上取一点 P 作截面 PQR,使 AA1⊥截面 PQR, 面 PQR⊥侧面 BB1C1C,过 P 作 PO⊥QR 于 O,则 PO⊥侧面 BB1C1C,且 ∴V 斜=S△PQR?AA1= = =

1 ?QR?PO?AA1 2
(第 20 题)

1 ?PO?QR?BB1 2 1 ?10?6 2

=30. 第三章 直线与方程参考答案 A 组 一、选择题 1.C 解析:直线 x=1 垂直于 x 轴,其倾斜角为 90°. 2.D 解析:直线 l1 的倾斜角??1 是钝角,故 k1<0;直线 l2 与 l3 的倾斜角??2,?3 均为锐角且?2>?3,所以 k2>k3>0, 因此 k2>k3>k1,故应选 D. 3.A 解析:因为直线 l1 经过两点(-1,-2)、(-1,4),所以直线 l1 的倾斜角为 为

? ,而 l1∥l2,所以,直线 l2 的倾斜角也 2

? ,又直线 l2 经过两点(2,1)、(x,6),所以,x=2. 2
4.C 第 26 页 共 32 页

解析:因为直线 MN 的斜率为

2+ 3 - 3- 2

=-1 ,而已知直线 l 与直线 MN 垂直,所以直线 l 的斜率为 1,故直线 l 的

倾斜角是 5.C

? . 4

解析:直线 Ax+By+C=0 的斜率 k= ?

C A <0,在 y 轴上的截距 D=- >0,所以,直线不通过第三象限. B B

6.A 解析:由已知得点 A(-1,0),P(2,3),B(5,0),可得直线 PB 的方程是 x+y-5=0. 7.D 8.D 9.B 解析: 结合图形,若直线 l 先沿 y 轴的负方向平移,再沿 x 轴正方向平移后,所得直线与 l 重合,这说明直线 l 和 l’ 的 斜率均为负,倾斜角是钝角.设 l’ 的倾斜角为 ?,则 tan ?= - 10.D 解析:这是考察两点关于直线的对称点问题.直线 5x+4y+21=0 是点 A(4,0)与所求点 A'(x,y)连线的中垂线,列出 关于 x,y 的两个方程求解. 二、填空题 11.-1. 解析:设直线 l2 的倾斜角为??2,则由题意知: 180°-?2+15°=60°,?2=135°, ∴k2=tan ?2=tan(180°-45°)=-tan45°=-1. 12.

a . a+ 1

1 . 2

(第 11 题)

解:∵A,B,C 三点共线, ∴kAB=kAC,

1 -2-3 m-3 .解得 m= . = 1 3+2 2 +2 2

13.(2,3). 解析:设第四个顶点 D 的坐标为(x,y), ∵AD⊥CD,AD∥BC, ∴kAD?kCD=-1,且 kAD=kBC. ∴

y-1 y-2 y-1 ? =-1, =1. x-0 x-3 x-0
第 27 页 共 32 页

解得 ?

? x=0 ? x=2 (舍去) ? ? y=1 ? y=3

所以,第四个顶点 D 的坐标为(2,3). 14.-

3 或不存在. a

解析:若 a=0 时,倾角 90°,无斜率. 若 a≠0 时,y=- ∴直线的斜率为- 15.P(2,2). 解析:设所求点 P(x,2),依题意: ( x ? 2) ? (2 ? 1) = ( x ? 1) ? (2 ? 2) ,解得 x=2,故所求 P 点的坐标为(2,
2 2 2 2

3 1 x+ a a 3 . a

2). 16.10x+15y-36=0. 解析:设所求的直线的方程为 2x+3y+c=0,横截距为- c= -

c c ,纵截距为- ,进而得 2 3

36 . 5

17.x+2y+5=0. 解析:反射线所在直线与入射线所在的直线关于 x 轴对称,故将直线方程中的 y 换成 -y. 三、解答题 18.①m=-

5 4 ;②m= . 3 3

解析:①由题意,得

2m ? 6 =-3,且 m2-2m-3≠0. m 2 ? 2m ? 3
解得 m=- ②由题意,得 解得 m=

5 . 3

m 2 ? 2m ? 3 =-1,且 2m2+m-1≠0. 2m 2 ? m ? 1

4 . 3

19.x-2y+5=0. 解析:由已知,直线 AB 的斜率 k=

1?1 1 = . 3 ?1 2
1 . 2
第 28 页 共 32 页

因为 EF∥AB,所以直线 EF 的斜率为

因为△ CEF 的面积是△CAB 面积的 直线 EF 的方程是 y- 20.x+6y=0.

1 5 ,所以 E 是 CA 的中点.点 E 的坐标是(0, ). 4 2

5 1 = x,即 x-2y+5=0. 2 2

解析:设所求直线与 l1,l2 的交点分别是 A,B,设 A(x0,y0),则 B 点坐标为 (-x0,-y0). 因为 A,B 分别在 l1,l2 上,

所以 ?

? ?4 x0+y0+6=0 ? ?-3 x0+5 y0-6=0

① ②

①+②得:x0+6y0=0,即点 A 在直线 x+6y=0 上,又直线 x+6y=0 过原点,所以直线 l 的方程为 x+6y=0. 21.2x+y-4=0 和 x+y-3=0. 解析:设直线 l 的横截距为 a,由题意可得纵截距为 6-a. ∴直线 l 的方程为

x y + = 1. a 6-a 1 2 x y + = 1 ,a2-5a+6=0,解得 a1=2,a2=3.当 a=2 时,直线的方程为 ? ? 1 , 2 4 a 6-a x y ? ? 1 ,直线经过第一、二、四象限. 3 3

∵点(1,2)在直线 l 上,∴

直线经过第一、二、四象限.当 a=3 时,直线的方程为

综上所述,所求直线方程为 2x+y-4=0 和 x+y-3=0. 第四章 圆与方程 参考答案 一、选择题

(-3+7) =5. 1.B 圆心 C 与点 M 的距离即为圆的半径, (2-5) +
2.C 解析一:由圆心在直线 x+y-2=0 上可以得到 A,C 满足条件,再把 A 点坐标 (1,-1)代入圆方程.A 不满足条件. ∴选 C. 解析二:设圆心 C 的坐标为(a,b),半径为 r,因为圆心 C 在直线 x+y-2=0 上,∴b=2-a.由|CA|=|CB|,得(a -1)2+(b+1)2=(a+1)2+(b-1)2,解得 a=1,b=1. 因此所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4. 3.B 解析:∵与 x 轴相切,∴r=4.又圆心(-3,4), ∴圆方程为(x+3)2+(y-4)2=16. 4.B 解析:∵x+y+m=0 与 x2+y2=m 相切, 第 29 页 共 32 页

2

2

∴(0,0)到直线距离等于 m .



m 2

= m,

∴m=2. 5.A 解析:令 y=0, ∴(x-1)2=16. ∴ x-1=±4, ∴x1=5,x2=-3. ∴弦长=|5-(-3)|=8. 6.B 解析:由两个圆的方程 C1:(x+1)2+(y+1)2=4,C2:(x-2)2+(y-1)2=4 可求得圆心距 d= 13 ∈(0,4),r1=r2 =2,且 r 1-r 2<d<r 1+r2 故两圆相交,选 B. 7.A 解析:对已知圆的方程 x2+y2-2x-5=0,x2+y2+2x-4y-4=0,经配方,得 (x-1)2+y2=6,(x+1)2+(y-2)2=9. 圆心分别为 C1(1,0),C2(-1,2). 直线 C1C2 的方程为 x+y-1=0. 8.C 解析:将两圆方程分别配方得(x-1)2+y2=1 和 x2+(y+2)2=4,两圆圆心分别为 O1(1,0),O2(0,-2),r1=1,r2 =2,|O1O2|= 1 +2 = 5 ,又 1=r2-r1< 5 <r1+r2=3,故两圆相交,所以有两条公切线,应选 C. 9.C 解:①②③错,④对.选 C. 10.D 解析:利用空间两点间的距离公式. 二、填空题 11.2. 解析:圆心到直线的距离 d=
2 2

3+4+8 5

=3,

∴动点 Q 到直线距离的最小值为 d-r=3-1=2. 12.(x-1)2+(y-1)2=1. 第 30 页 共 32 页

解析:画图后可以看出,圆心在(1,1),半径为 1. 故所求圆的方程为:(x-1)2+(y-1)2=1. 13.(x+2)2+(y-3)2=4. 解析:因为圆心为(-2,3),且圆与 y 轴相切,所以圆的半径为 2.故所求圆的方程为(x+2)2+(y-3)2=4. 14.0 或±2 5 . 解析:当两圆相外切时,由|O1O2|=r1+r2 知 4 +a =6,即 a=±2 5 . 当两圆相内切时,由|O1O2|=r1-r2(r1>r2)知
2 2

4 2+a 2 =4,即 a=0.
∴a 的值为 0 或±2 5 . 15.(x-3)2+(y+5)2=32. 解析:圆的半径即为圆心到直线 x-7y+2=0 的距离; 16.x+y-4=0. 解析:圆 x2+y2-4x-5=0 的圆心为 C(2,0),P(3,1)为弦 AB 的中点,所以直线 AB 与直线 CP 垂直,即 kAB?kCP= -1,解得 kAB=-1,又直线 AB 过 P(3,1),则所求直线方程为 x+y-4=0. 三、解答题 17.x2+y2=36. 解析:设直线与圆交于 A,B 两点,则∠AOB=120° ,设 所求圆方程为:x2+y2=r2,则圆心到直线距离为 以 r=6,所求圆方程为 x2+y2=36. 18.x +y -ax-by=0. 解析:∵圆过原点,∴设圆方程为 x +y +Dx+Ey=0. ∵圆过(a,0)和(0,b), ∴a2+Da=0,b2+bE=0. 又∵a≠0,b≠0, ∴D=-a,E=-b. 故所求圆方程为 x2+y2-ax-by=0. 19.x2+y2-2x-12=0. 解析:设所求圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0. ∵A,B 两点在圆上,代入方程整理得: 第 31 页 共 32 页
2 2 2 2

y 4 2 -2 -4

r 15 ,所 ? 2 5

A -5

O r B

5 x

第 17 题

D-3E-F=10 4D+2E+F=-20

① ②

设纵截距为 b1,b2,横截距为 a1,a2.在圆的方程中,令 x=0 得 y2+Ey+F=0, ∴b1+b2=-E;令 y=0 得 x2+Dx+F=0,∴a1+a2=-D. 由已知有-D-E=2.③ ①②③联立方程组得 D=-2,E=0,F=-12. 故所求圆的方程为 x2+y2-2x-12=0. 20.解:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2. 根据题意:r=

10 ? 6 =2, 2

圆心的横坐标 a=6+2=8, 所以圆的方程可化为:(x-8)2+(y-b)2=4. 又因为圆过(8,3)点,所以(8-8)2+(3-b)2=4,解得 b=5 或 b=1, 所求圆的方程为(x-8)2+(y-5)2=4 或(x-8)2+(y-1)2=4.

第 32 页 共 32 页



更多相关文章:
高中数学必修2第二章知识点总结.doc
高中数学必修2第二章知识点总结 - 高中数学必修 2 知识点总结 立体几何初步
高中数学必修2第二章知识点总结..doc
高中数学必修2第二章知识点总结._数学_高中教育_教育专区。高中数学必修2第二章知识点总结.,高中数学必修一第二章知识点,高中数学必修一第二章知识点总结,高中...
高中数学必修2知识点总结归纳(人教版最全).doc
高中数学必修2知识点总结归纳(人教版最全) - 高中数学必修二:第一章认识几何体,第二章点线面位置关系,第三章直线方程,第四章圆的方程
高中数学必修第二章总结_图文.ppt
高中数学必修二第二章总结 - 高中数学必修2第二章 知识点总结 2.1空间点、直
数学必修2第二章知识点小结及典型习题.doc
数学必修2第二章知识点小结及典型习题_数学_高中教育_教育专区。数学必修2第二章知识点小结及典型习题花了大量时间整理,希望对你有所帮助! ...
高中数学必修第二章知识点总结与检测.doc
高中数学必修第二章知识点总结与检测 - 学习必备 欢迎下载 第二章 点、直线、
高中数学必修2知识点总结:第二章_直线与平面的位置关系.doc
高中数学必修 2 知识点总结第二章 直线与平面的位置关系 2.1 空间点、直线、
高中数学必修2知识点总结.doc
高中数学必修2知识点总结 - 高中数学必修 2 知识点总结 第一章 空间几何体
高中数学必修2 知识点总结(史上最全).doc.doc
高二数学必修 2 知识点总结第1章 空间几何体 一、空间几何体的结构 1.多面体
新课标人教A版高中数学必修2知识点总结(完整版).doc
新课标人教A版高中数学必修2知识点总结(完整版) - 高中数学必修 2 知识点总结 第一章 1.1 柱、锥、台、球的结构特征 空间几何体 (1)棱柱:定义:有两个面...
新课标高中数学必修2知识点总结经典.doc
新课标高中数学必修2知识点总结经典 - 新课标高中数学必修 2 知识点总结经典
高中数学必修2知识点总结:第二章-直线与平面的位置关系.doc
高中数学必修 2 知识点总结 第二章 直线与平面的位置关系 2.1 空间点、直线
高中数学必修2知识点总结:第二章 直线与平面的位置关系.doc
归海木心 QQ:634102564 高中数学必修 高中数学必修 2 知识点总结第二章 直线与平面的位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 空间点、直线、 2.1.1 ...
高中数学必修二知识点总结.doc
高中数学必修二知识点总结 - 高中数学必修二 第一章 空间几何体 1.1 空间几
高中数学必修2知识点总结:第二章_直线与平面位置关系.doc
高中数学必修 2 知识点总结第二章 直线与平面的位置关系 2.1 空间点、直线、
高中数学必修2第二章知识点与典型试题精讲精练.doc
高中数学必修2第二章知识点与典型试题精讲精练 - 第二章 点、直线、平面之间的位
高中数学必修2知识点总结及其在解题中的运用(最全).doc
高中数学必修2知识点总结及其在解题中的运用(最全) - 高中数学必修 2 知识点总结及其在解题中的运用(最全) 第一章 1.1 柱、锥、台、球的结构特征 空间几何...
新人教版高中数学必修2知识点总结.doc
新人教版高中数学必修2知识点总结 - 高中数学必修 2 知识点总结 1.1 柱、
新人教版高中数学必修2知识点总结.pdf
新人教版高中数学必修2知识点总结 - 高中数学必修 2 知识点总结 第一章 1.
高中数学必修2知识点归纳.doc
高中数学必修2知识点归纳 - 必修 2 知识点归纳 第一章 空间几何体 1、空间

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图