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2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编5:数列 教师版


2013 年全国各地高考文科数学试题分类汇编 5:数列
一、选择题 1 . ( 2013 年 高 考 大 纲 卷 ( 文 )) 已 知 数 列

?an ?

满 足 ( )

4 3an ?1 ? an ? 0, a2 ? ? , 则?an ?的前10项和等于 3 1 -10 -10 -10 A. -6 ?1-3 ? B. ?1-3 ? C. 3 ?1-3 ? 9
【答案】C 2 . (2013 年高考安徽(文) 设 S n 为等差数列 )

-10 D. 3 1+3

?

?
( )

?an ? 的前 n 项和, S8 ? 4a3 , a7 ? ?2 ,则 a9 =
C. ?2 D.2

A. ?6
【答案】A

B. ?4

3 . (2013 年高考课标Ⅰ卷(文) 设首项为 1 ,公比为 )

2 的等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 3
( ) D. S n ? 3 ? 2an

则 A. S n ? 2an ? 1
【答案】D 4 . (2013 年高考辽宁卷(文) 下面是关于公差 d ? 0 的等差数列 )

B. S n ? 3an ? 2

C. S n ? 4 ? 3an

? an ? 的四个命题:

p1 : 数列?an ?是递增数列;
?a ? p3 : 数列 ? n ? 是递增数列; ?n?
其中的真命题为 A. p1 , p2
【答案】D 二、填空题

p2 : 数列?nan ?是递增数列; p4 : 数列?an ? 3nd?是递增数列;
( )

B. p3 , p4

C. p2 , p3

D. p1 , p4

5 . (2013 年高考重庆卷(文) 若 2、 a 、 b 、 c 、9 成等差数列,则 c ? a ? ____________. ) 【答案】

7 2

6 . (2013 年高考北京卷(文) 若等比数列 )

?an ? 满足 a2 ? a4 ? 20, a3 ? a5 ? 40,则公比

q =__________;前 n 项 Sn =_____.
【答案】2, 2
n?1

?2

7 . 2013 年 高 考 广 东 卷 ( 文 ) 设 数 列 {an } 是 首 项 为 1 , 公 比 为 ? 2 的 等 比 数 列 , 则 ( )

a1 ? | a2 | ?a3 ? | a4 |? ________

【答案】 15 8 . (2013 年高考江西卷(文) 某住宅小区计划植树不少于 100 棵,若第一天植 2 棵,以后每 )

天植树的棵树是前一天的 2 倍,则需要的最少天数 n(n∈N*)等于_____________. 【答案】6
9 . (2013 年高考辽宁卷(文) 已知等比数列 )

?an ? 是递增数列, Sn 是 ?an ? 的前 n 项和,若

a1,a3 是方程 x2 ? 5x ? 4 ? 0 的两个根,则 S6 ? ____________.
【答案】63 10. (2013 年高考陕西卷(文) 观察下列等式: )

(1 ? 1) ? 2 ? 1 (2 ? 1)(2 ? 2) ? 22 ? 1 ? 3 (3 ? 1)(3 ? 2)(3 ? 3) ? 23 ? 1 ? 3 ? 5

照此规律, 第 n 个等式可为________.
【答案】 (n ? 1)(n ? 2)(n ? 3)?(n ? n) ? 2
n

?1? 3 ? 5?? (2n ?1)

11. (2013 年上海高考数学试题(文科) 在等差数列 )

?an ? 中,若 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 30 ,则

a2 ? a3 ? _________.
【答案】15 三、解答题 12. (2013 年高考福建卷(文) 已知等差数列 {an } 的公差 d )

? 1 ,前 n 项和为 S n .

(1)若 1, a1 , a3 成等比数列,求 a1 ; (2)若 S5 ? a1a9 ,求 a1 的取值范围.
【答案】解:(1)因为数列 {an } 的公差 d

? 1 ,且 1, a1 , a3 成等比数列,

所以 a12 ? 1? (a1 ? 2) , 即 a12 ? a1 ? 2 ? 0 ,解得 a1 ? ?1 或 a1 ? 2 . (2)因为数列 {an } 的公差 d ? 1 ,且 S5 ? a1a9 , 所以 5a1 ? 10 ? a12 ? 8a1 ; 即 a12 ? 3a1 ? 10 ? 0 ,解得 ?5 ? a1 ? 2
13. (2013 年高考大纲卷(文) 等差数列 )

?an ? 中, a7 ? 4, a19 ? 2a9 ,

(I)求 ?an ? 的通项公式;

(II)设 bn ?

1 , 求数列?bn ?的前n项和Sn . nan

【答案】(Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d,则 an

? a1 ? (n ?1)d

因为 ?

a1 ? 6d ? 4 ? a7 ? 4 ? ,所以 ? . ? a19 ? 2a9 ?a1 ? 18d ? 2(a1 ? 8d )
1 . 2

解得, a1 ? 1, d ?

所以 {an } 的通项公式为 an ? (Ⅱ) bn ?

n ?1 . 2

1 2 2 2 , ? ? ? nan n(n ? 1) n n ? 1
2 1 2 2 2 2 2 3 2 n 2 2n )? . n ?1 n ?1

所以 S n ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ?

14. (2013 年高考湖北卷(文) 已知 Sn 是等比数列 {an } 的前 n 项和, S4 , S2 , S 3 成等差数列, )

且 a2 ? a3 ? a4 ? ?18 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)是否存在正整数 n ,使得 Sn ? 2013 ?若存在,求出符合条件的所有 n 的集合;若不存 在,说明理由.

【答案】(Ⅰ)设数列 {an } 的公比为 q ,则 a1 ? 0 , q ? 0 . 由题意得

? S 2 ? S 4 ? S3 ? S 2 , ? ?a2 ? a3 ? a4 ? ?18, ? a ? 3, 解得 ? 1 ?q ? ?2.

? ?a q 2 ? a1q3 ? a1q 2 , ? 即 ? 1 2 ?a1q(1 ? q ? q ) ? ?18, ?

故数列 {an } 的通项公式为 an ? 3(?2)n?1 .

(Ⅱ)由(Ⅰ)有 Sn ?

3 ? [1 ? (?2)n ] ? 1 ? (?2)n . 1 ? (?2)

若存在 n ,使得 Sn ? 2013 ,则 1 ? (?2)n ? 2013 ,即 (?2)n ? ?2012. 当 n 为偶数时, (?2)n ? 0 , 上式不成立; 当 n 为奇数时, (?2)n ? ?2n ? ?2012 ,即 2n ? 2012 ,则 n ? 11 . 综上,存在符合条件的正整数 n ,且所有这样的 n 的集合为 {n n ? 2k ? 1, k ? N, k ? 5} .
15 .( 2013 年 高 考 湖 南 ( 文 )) 设

S n 为 数 列 { an } 的 前 项 和 , 已 知

a1 ? 0 ,2 a n ?a1 ? S1 ? S n , n ? N ?
(Ⅰ)求 a1 , a 2 ,并求数列{ a n }的通项公式;(Ⅱ)求数列{ na n }的前 n 项和.
【答案】解: (Ⅰ)

? S1 ? a1 . ? 当n ? 1时,a1 ? a1 ? S1 ? S1 ? a1 ? 0, a1 ? 1. 2
2a n ? a1 2a n ?1 ? a1 ? ? 2a n ? 2a n ?1 ? a n ? 2a n ?1 S1 S1

当n ? 1时,a n ? s n ? s n ?1 ?

? {a n }时首项为a1 ? 1公比为q ? 2的等比数列,a n ? 2 n ?1 , n ? N * .
(Ⅱ)

设Tn ? 1 ? a1 ? 2 ? a 2 ? 3 ? a3 ? ? ? n ? a n ? qTn ? 1 ? qa1 ? 2 ? qa 2 ? 3 ? qa3 ? ? ? n ? qa n

? qTn ? 1 ? a 2 ? 2 ? a3 ? 3 ? a 4 ? ? ? n ? a n ?1
上式左右错位相减:

(1 ? q )Tn ? a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a n ? na n ?1 ? a1
? Tn ? (n ? 1) ? 2 n ? 1, n ? N * .

1? qn ? na n ?1 ? 2 n ? 1 ? n ? 2 n 1? q

16. (2013 年高考重庆卷(文) (本小题满分 13 分,(Ⅰ)小问 7 分,(Ⅱ)小问 6 分) )

设数列 ?an ? 满足: a1 ? 1 , an?1 ? 3an , n ? N ? . (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式及前 n 项和 Sn ;zhangwlx (Ⅱ)已知 ?bn ? 是等差数列, Tn 为前 n 项和,且 b1 ? a2 , b3 ? a1 ? a2 ? a3 ,求 T20 .

【答案】

17. (2013 年高考天津卷(文) 已知首项为 )

3 的等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn (n ? N *) , 且 2

?2S2 , S3 , 4S4 成等差数列.

(Ⅰ) 求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) 证明 Sn ?
【答案】

1 13 ? (n ? N *) . Sn 6

18. (2013 年高考北京卷 (文) 本小题共 13 分)给定数列 a1,a2, ,an .对 i ? 1, 2,?, n ? 1 , ) ?

该 数 列 前 i 项 的 最 大 值 记 为 Ai , 后 n ? i 项 ai ?1,ai ?2, ,an 的 最 小 值 记 为 ?

Bi , di ? Ai ? Bi .
(Ⅰ)设数列 ?an ? 为 3,4,7,1,写出 d1 , d2 , d3 的值; (Ⅱ)设 a1,a2, ,an ( n ? 4 )是公比大于 1 的等比数列,且 a1 ? 0 .证明: ?

d1 , d2 ,, d n?1 是等比数列;
(Ⅲ)设 d1 , d2 ,, d n ?1 是公差大于 0 的等差数列,且 d1 ? 0 ,证明: a1 , a2 ,, an ?1 是等差数 列
【答案】解:(I) d1

? 2, d2 ? 3, d3 ? 6 .

(II)因为 a1 ? 0 ,公比 q ? 1 ,所以 a1,a2, ,an 是递增数列. ? 因此,对 i ? 1, 2,?, n ? 1 , Ai ? ai , Bi ? ai ?1 . 于是对 i ? 1, 2,?, n ? 1 , di ? Ai ? Bi ? ai ? ai ?1 ? a1 (1 ? q)qi ?1 . 因此 di ? 0 且

di ?1 ? q ( i ? 1, 2,?, n ? 2 ),即 d1 , d2 ,, d n ?1 是等比数列. di

(III)设 d 为 d1 , d2 ,, d n ?1 的公差. 对

1? i ? n ? 2

,





Bi ? Bi ?1

,

d ?0

,





Ai ?1 ?

?i ?1 ? Bi di ?di ? d ? Bi ? di = Ai . B ?1

又因为 Ai ?1 ? max ? Ai , ai ?1? ,所以 ai ?1 ? Ai ?1 ? Ai ? ai . 从而 a1,a2, ,an?1 是递增数列,因此 Ai ? ai ( i ? 1, 2,?, n ? 2 ). ? 又因为 B1 ? A ? d1 ? a1 ? d1 ? a1 ,所以 B1 ? a1 ? a2 ? ? ? an?1 . 1 因此 an ? B1 . 所以 B1 ? B2 ? ? ? Bn?1 ? an .

所以 ai ? Ai = Bi ? di ? an ? di . 因此对 i ? 1, 2,?, n ? 2 都有 ai ?1 ? ai ? di ?1 ? di ? d ,即 a1 , a2 ,, an ?1 是等差数列.
19. 2013 年高考山东卷 ( (文) 设等差数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,且 S 4 )

? 4S 2 , a 2 n ? 2a n ? 1

(Ⅰ)求数列 ?a n ? 的通项公式

(Ⅱ)设数列 ?bn ? 满足
【答案】

b b1 b2 1 ? ? ? ?? n ? 1 ? n , n ? N * ,求 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ? a1 a2 an 2

20. (2013 年高考浙江卷(文) 在公差为 d 的等差数列{an}中,已知 a1=10,且 a1,2a2+2,5a3 成 )

等比数列. (Ⅰ)求 d,an; (Ⅱ) 若 d<0,求|a1|+|a2|+|a3|++|an| .

【答案】解:(Ⅰ)由已知得到:

(2a2 ? 2)2 ? 5a1a3 ? 4(a1 ? d ? 1)2 ? 50(a1 ? 2d ) ? (11 ? d ) 2 ? 25(5 ? d )

?d ? 4 ?d ? ?1 ? 121 ? 22d ? d 2 ? 125 ? 25d ? d 2 ? 3d ? 4 ? 0 ? ? 或? ?an ? 4n ? 6 ?an ? 11 ? n
; (Ⅱ)由(1)知,当 d

? 0 时, an ? 11 ? n ,

①当1 ? n ? 11时,

an ? 0? a1 | ? | a2 | ? | a3 | ?? ?? | an |? a1 ? a2 ? a3 ?? ??an ? | ? ?
②当12 ?

n(10 ? 11 ? n) n(21 ? n) ? 2 2

n 时,
11(21 ? 11) n(21 ? n) n2 ? 21n ? 220 ? ? 2 2 2

an ? 0 ?| a1 | ? | a2 | ? | a3 | ?? ?? | an |? a1 ? a2 ? a3 ?? ?? a11 ? (a12 ? a13 ?? ? an ) ? ? ?? ? 2(a1 ? a2 ? a3 ?? ?? a11 ) ? (a1 ? a2 ? a3 ?? ?? an ) ? 2 ? ? ?

? n(21 ? n) ,(1 ? n ? 11) ? 2 ? 所以,综上所述: | a1 | ? | a2 | ? | a3 | ?? ? | an |? ? ; ?? n2 ? 21n ? 220 ? ,(n ? 12) ? ? 2
21. (2013 年高考四川卷(文) 在等比数列 {an } 中, a2 )

? a1 ? 2 ,且 2a2 为 3a1 和 a3 的等差中

项,求数列 {an } 的首项、公比及前 n 项和.
【答案】解:设

?an ? 的公比为 q.由已知可得

a1q ? a1 ? 2 , 4a1q ? 3a1 ? a1q 2 ,
所以 a1 (q ? 1) ? 2 , q 2 ? 4q ? 3 ? 0 ,解得 q ? 3 或 q ? 1 , 由于 a1 (q ? 1) ? 2 .因此 q ? 1 不合题意,应舍去, 故公比 q ? 3 ,首项 a1 ? 1 . 所以,数列的前 n 项和 S n ?

3n ? 1 2

22 . 2013 年 高 考 广 东 卷 ( 文 ) 设 各 项 均 为 正 数的数 列 ( )

?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , 满 足

2 4Sn ? an?1 ? 4n ?1, n ? N ? , 且 a2 , a5 , a14 构成等比数列.

(1) 证明: a2 ?

4a1 ? 5 ;

(2) 求数列 ?an ? 的通项公式; (3) 证明:对一切正整数 n ,有

1 1 1 1 ? ??? ? . a1a2 a2 a3 an an ?1 2

【答案】(1)当 n ? 1 时, 4a1
2

2 2 ? a2 ? 5, a2 ? 4a1 ? 5 ,? an ? 0 ? a2 ? 4a1 ? 5

2 2 (2)当 n ? 2 时, 4Sn?1 ? an ? 4 ? n ?1? ?1, 4an ? 4Sn ? 4Sn?1 ? an?1 ? an ? 4
2 2 an ?1 ? an ? 4an ? 4 ? ? an ? 2 ? ,? an ? 0 ? an?1 ? an ? 2 2

? 当 n ? 2 时, ?an ? 是公差 d ? 2 的等差数列.
2 ? a2 , a5 , a14 构成等比数列,?a5 ? a2 ? a14 , ? a2 ? 8 ? ? a2 ? ? a2 ? 24 ? ,解得 a2 ? 3 ,
2

2 由(1)可知, 4a1 ? a2 ? 5=4,?a1 ? 1

? a2 ? a1 ? 3 ?1 ? 2 ?

?an ? 是首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 2 的等差数列.

? 数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 1.
(3)

1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? ? ??? a1a2 a2 a3 an an?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 ? 2n ? 1?? 2n ? 1?

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ?? ? ? ?? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?? 3 ? ? 3 5 ? ? 5 7 ? ? 2 n ? 1 2 n ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ?1 ? ? . 2 ? 2n ? 1 ? 2 ?
23. (2013 年高考安徽(文) 设数列 )

?an ? 满足 a1 ? 2 , a2 ? a4 ? 8 ,且对任意 n ? N * ,函数
满足 f '( ) ? 0

f ( x) ? (an ? an ?1 ? an ? 2 ) x ? an ?1 ? cos x - an ? 2 ? sin x
(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;

?

2

(Ⅱ)若 bn ? (an ? 2
【答案】解:由 a1

1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n . ) 2an

?2

a2 ? a4 ? 8

f ( x) ? (an ? an ?1 ? an ? 2 ) x ? an ?1 ? cos x - an ? 2 ? sin x ? ? f(x) an - an ?1 ? an ? 2 - an ?1 ? sin x - an ? 2 ? cos x
f '( ) ? an - an ?1 ? an ? 2 - an ?1 ? 0 2
所以, 2an ?1 ? an ? an ? 2

?

??an ? 是等差数列.
而 a1 ? 2

a3 ? 4

d ?1

? an ? 2 ? n -1 ?1 ? n ? 1 ( )
(2) bn ? (an ? 2

1 1 1 ) (n ? 1 ? n ?1 ) (n ? 1 ? n ?2 ?2 ) an 2 2 2 1 1 ( n) 1(2 ? n ? 1 n 2 2 ) 2 Sn ? ? 1 2 12

1 2n 1 ? n 2 ? 3n ? 1- n 2 =(n ? 3) 1n ?
24. (2013 年高考课标Ⅱ卷(文) 已知等差数列 )

?an ? 的公差不为零,a =25,且 a ,a
1 1

11

,a13 成等

比数列. (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求 a1 ? a4 ? a7 ? ? ? a3n?2 .

【答案】

25. (2013 年高考江西卷(文) 正项数列{an}满足 an )

2

? (2n ?1)an ? 2n ? 0 .

(1)求数列{an}的通项公式 an; (2)令 bn ?

1 ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. (n ? 1)an
2

【答案】解: (1)由an

? (2n ?1)an ? 2n ? 0得(an -2n)(an +1)=0

由于{an}是正项数列,则 an ? 2n . (2)由(1)知 an ? 2n ,故 bn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) (n ? 1)an (n ? 1)(2n) 2 n (n ? 1)

?Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 n (1 ? ? ? ? ... ? ? ) ? (1 ? )? 2 2 2 3 n n ?1 2 n ? 1 2n ? 2

26. (2013 年高考陕西卷(文) )

设 Sn 表示数列 {an } 的前 n 项和. (Ⅰ) 若 {an } 为等差数列, 推导 Sn 的计算公式; (Ⅱ) 若 a1 ? 1, q ? 0 , 且对所有正整数 n, 有 Sn ?
【答案】解:(Ⅰ) 设公差为 d,则 an

1 ? qn . 判断 {an } 是否为等比数列. 1? q

? a1 ? (n ? 1)d

?S n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n?1 ? a n ? 2S n ? (a1 ? a n ) ? (a2 ? a n?1 ) ? ? ? (a n?1 ? a1 ) ? (a n ? a1 ) ? ?S n ? an ? an?1 ? ? ? a 2 ? a1
? 2S n ? n(a1 ? a n ) ? S n ? n(a1 ? a n ) n ?1 ? n(a1 ? d) . 2 2

(Ⅱ) a1 ? 1 q ? 0,由题知q ? 1. ,

?n ? N *,S n ?

1? qn 1 ? q n?1 1 ? q n q n ? q n?1 ? an?1 ? S n?1 ? S n ? ? ? ? qn 1? q 1? q 1? q 1? q

?1 a n ? ? n?1 ?q

n ?1 n?2

? a n ? q n?1,n ? N * .

所以, 数列 an } 是首项 a1 ? 1 ,公比 q ? 1 的等比数列. {
27. (2013 年上海高考数学试题(文科) 本题共有 3 个小题.第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满 )

分 5 分,第 3 小题满分 8 分. 已知函数 f ( x) ? 2? | x | .无穷数列 {an } 满足 an?1 ? f (an ), n ? N * . (1)若 a1 ? 0 ,求 a2 , a3 , a4 ; (2)若 a1 ? 0 ,且 a1 , a2 , a3 成等比数列,求 a1 的值; (3)是否存在 a1 ,使得 a1 , a2 , a3 ,, an 成等差数列?若存在,求出所有这样的 a1 ;若不存 在,说明理由.
【答案】

28. (2013年高考课标Ⅰ卷(文) 已知等差数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足 S3 )

? 0 , S5 ? ?5 .

(Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {

1 } 的前 n 项和. a2 n ?1a2 n ?1
n(n ? 1) d. 2

【答案】(1)设{a n }的公差为 d,则 S n = na1 ?

?3a1 ? 3d ? 0, 解得a1 ? 1, d ? ?1. ? 由已知可得 ?5a1 ? 10d ? ?5,

故?an ?的通项公式为an =2-n.
(2)由(I)知

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), a2 n?1a2 n?1 (3 ? 2n)(1 ? 2n) 2 2n ? 3 2n ? 1

从而数列 ?

?

? 1 1 1 1 1 1 1 n 1 ? )? . ?的前n项和为 ( - + - +? + 2 -1 1 1 3 2n ? 3 2n ? 1 1 ? 2n a2 n ?1a2 n ?1 ? ?



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