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西充县三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

西充县三中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 定义在[1,+∞)上的函数 f(x)满足:①当 2≤x≤4 时,f(x)=1﹣|x﹣3|;②f(2x)=cf(x)(c 为正 常数), 若函数的所有极大值点都落在同一直线上,则常数 c 的值是( A.1 B.±2 C. 或 3 D.1 或 2 )

姓名__________

分数__________

2. 函数 A.[0,+∞)

的定义域是( B.[1,+∞)

) C.(0,+∞) D.(1,+∞)

3. 已知数列{ an }满足 an ? 8 ? 和 m ,则 M ? m ? ( A. )

2n ? 7 ? ( n ? N ).若数列{ an }的最大项和最小项分别为 M 2n 27 2
C.

11 2

B.

259 32


D.

435 32

4. 已知椭圆 A.4 B.5 C.7

,长轴在 y 轴上,若焦距为 4,则 m 等于( D.8

5. 已知变量 x 与 y 负相关,且由观测数据算得样本平均数 =3, 程可能是( A. ) B. =0.4x+1.5
2

=2.7,则由该观测数据算得的线性回归方 =﹣2x+8.6 ) D.0.4 )

=﹣0.2x+3.3

C.

=2x﹣3.2 C.0.3

D.

6. 如果随机变量 ξ~N (﹣1,σ ),且 P(﹣3≤ξ≤﹣1)=0.4,则 P(ξ≥1)等于( A.0.1 B.0.2

7. 已知向量 =(1,1,0), =(﹣1,0,2)且 k + 与 2 ﹣ 互相垂直,则 k 的值是( A.1 A.(2,+∞) A.2︰3 B. B.(0,2) B.4︰3 C. C.(4,+∞) C.3︰1 D. ) D.(0,4)

8. 若方程 x2﹣mx+3=0 的两根满足一根大于 1,一根小于 1,则 m 的取值范围是(

9. 已知 a, b, c 为 ?ABC 的三个角 A, B, C 所对的边,若 3b cos C ? c(1 ? 3cos B) ,则 sin C:sin D.3︰2 【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理,意在考查转化能力、运算求解能力.

A ?(



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10.已知函数 f ( x) ? ?

?log2 x( x ? 0) ,函数 g ( x) 满足以下三点条件:①定义域为 R ;②对任意 x ? R ,有 ( x ? 0) ?| x |

1 g ( x) ? g ( x ? 2) ;③当 x ?[?1,1] 时, g ( x) ? 1 ? x 2 .则函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在区间 [?4,4] 上零 2
点的个数为( A.7 B.6 ) C.5 D.4

【命题意图】本题考查利用函数图象来解决零点问题,突出了对分段函数的转化及数形结合思想的考查,本题 综合性强,难度大. 11.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= 则方程 g(x)=f(x)﹣g(x)在区间[﹣3,7]上的所有零点之和为( A.12 B.11 C.10 D.9 ) D.k360°﹣257° ,且 f(x)=f(x+2),g(x)= ) ,

12.与﹣463°终边相同的角可以表示为(k∈Z)( A.k360°+463° B.k360°+103°

C.k360°+257°

二、填空题
13.等差数列 {an } 中, | a3 |?| a9 | ,公差 d ? 0 ,则使前项和 Sn 取得最大值的自然数是________. 14.(x﹣ )6 的展开式的常数项是 (应用数字作答).

15.一个总体分为 A,B,C 三层,用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 15 的样本,若 B 层中每个个体被 抽到的概率都为 ,则总体的个数为 . 个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵 . .

16.把函数 y=sin2x 的图象向左平移 坐标不变),所得函数图象的解析式为
2

17.曲线 y=x +3x 在点(-1,-2)处的切线与曲线 y=ax+ln x 相切,则 a=________. 18.函数 f(x)= ﹣2ax+2a+1 的图象经过四个象限的充要条件是

三、解答题
19.已知平面直角坐标系 xoy 中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为 0),设点 A(1, ). (1)求该椭圆的标准方程; (2)若 P 是椭圆上的动点,求线段 PA 的中点 M 的轨迹方程; ,右顶点为 D(2,

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(3)过原点 O 的直线交椭圆于 B,C 两点,求△ ABC 面积的最大值,并求此时直线 BC 的方程.

20.在平面直角坐标系 xOy 中,点 B 与点 A(﹣1,1)关于原点 O 对称,P 是动点,且直线 AP 与 BP 的斜率 之积等于﹣ . (Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)设直线 AP 和 BP 分别与直线 x=3 交于点 M,N,问:是否存在点 P 使得△ PAB 与△ PMN 的面积相等? 若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由.

21.在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C1 的极坐标方程为 ρ(sinθ+cosθ)=1,曲线 C2 的参数方程为 (θ 为参数).

(Ⅰ)求曲线 C1 的直角坐标方程与曲线 C2 的普通方程; (Ⅱ)试判断曲线 C1 与 C2 是否存在两个交点?若存在,求出两交点间的距离;若不存在,说明理由.

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22.如图,在三棱锥 A﹣BCD 中,AB⊥平面 BCD,BC⊥CD,E,F,G 分别是 AC,AD,BC 的中点.求证: (I)AB∥平面 EFG; (II)平面 EFG⊥平面 ABC.

23.已知过点 P(0,2)的直线 l 与抛物线 C:y2=4x 交于 A、B 两点,O 为坐标原点. (1)若以 AB 为直径的圆经过原点 O,求直线 l 的方程; (2)若线段 AB 的中垂线交 x 轴于点 Q,求△ POQ 面积的取值范围.

24.如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧面 AA1C1C⊥底面 ABC,AA1=A1C=AC=2,AB=BC,且 AB⊥BC,O 为 AC 中点. (Ⅰ)证明:A1O⊥平面 ABC; (Ⅱ)求直线 A1C 与平面 A1AB 所成角的正弦值; (Ⅲ)在 BC1 上是否存在一点 E,使得 OE∥平面 A1AB,若不存在,说明理由;若存在,确定点 E 的位置.

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西充县三中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】D 【解析】解:∵当 2≤x≤4 时,f(x)=1﹣|x﹣3|. 当 1≤x<2 时,2≤2x<4, 则 f(x)= f(2x)= (1﹣|2x﹣3|), 此时当 x= 时,函数取极大值 ; 当 2≤x≤4 时, f(x)=1﹣|x﹣3|; 此时当 x=3 时,函数取极大值 1; 当 4<x≤8 时,2< ≤4, 则 f(x)=cf( )=c(1﹣| ﹣3|), 此时当 x=6 时,函数取极大值 c. ∵函数的所有极大值点均落在同一条直线上, 即点( , ),(3,1),(6,c)共线,



=



解得 c=1 或 2. 故选 D. 【点评】本题考查的知识点是三点共线,函数的极值,其中根据已知分析出分段函数 f(x)的解析式,进而 求出三个函数的极值点坐标,是解答本题的关键. 2. 【答案】A
x x 0 【解析】解:由题意得:2 ﹣1≥0,即 2 ≥1=2 ,

因为 2>1,所以指数函数 y=2 为增函数,则 x≥0. 所以函数的定义域为[0,+∞) 故选 A 【点评】本题为一道基础题,要求学生会根据二次根式的定义及指数函数的增减性求函数的定义域.

x

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3. 【答案】D 【解析】

2n ? 7 2n ? 5 2n ? 5 2n ? 7 ,? an ?1 ? 8 ? n ?1 ,? an ?1 ? an ? n ?1 ? n 2 2 2 2n 2n ? 5 ? 2 ? 2n ? 7 ? ?2n ? 9 ? ? ,当 1 ? n ? 4 时, an?1 ? an ,即 a5 ? a4 ? a3 ? a2 ? a1 ;当 n ? 5 时, an?1 ? an , 2n ?1 2n ?1 259 11 ? a1 ? ,? 最小 即 a5 ? a6 ? a7 ? ....因此数列 ?an ?先增后减,? n ? 5, a5 ? 为最大项,n ? ?, an ? 8 , 32 2 11 11 259 435 ? 项为 ,? m ? M 的值为 ? .故选 D. 2 2 32 32
试题分析:? 数列 an ? 8 ? 考点:数列的函数特性. 4. 【答案】D 【解析】解:将椭圆的方程转化为标准形式为 显然 m﹣2>10﹣m,即 m>6, ,解得 m=8 故选 D 【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质.要求学生对椭圆中对长轴和短轴即及焦距的关系要明了. 5. 【答案】A 【解析】解:变量 x 与 y 负相关,排除选项 B,C; 回归直线方程经过样本中心, 把 =3, 故选:A. 6. 【答案】A
2 【解析】解:如果随机变量 ξ~N(﹣1,σ ),且 P(﹣3≤ξ≤﹣1)=0.4,



=2.7,代入 A 成立,代入 D 不成立.

∵P(﹣3≤ξ≤﹣1) = ∴ ∴P(ξ≥1)= .

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【点评】一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和,它就服从或近似的服 从正态分布,正态分布在概率和统计中具有重要地位. 7. 【答案】D 【解析】解:∵ =(1,1,0), =(﹣1,0,2), ∴k + =k(1,1,0)+(﹣1,0,2)=(k﹣1,k,2), 2 ﹣ =2(1,1,0)﹣(﹣1,0,2)=(3,2,﹣2), 又 k + 与 2 ﹣ 互相垂直, ∴3(k﹣1)+2k﹣4=0,解得:k= . 故选:D. 【点评】本题考查空间向量的数量积运算,考查向量数量积的坐标表示,是基础的计算题. 8. 【答案】C 【解析】解:令 f(x)=x ﹣mx+3, 若方程 x ﹣mx+3=0 的两根满足一根大于 1,一根小于 1, 则 f(1)=1﹣m+3<0, 解得:m∈(4,+∞), 故选:C. 【点评】本题考查的知识点是方程的根与函数零点的关系,二次函数的图象和性质,难度中档.
2 2

9. 【答案】C 【解析】由已知等式,得 c ? 3b cos C ? 3c cos B ,由正弦定理,得 sin C ? 3(sin B cos C ? sin C cos B) ,则

sin C ? 3sin( B ? C ) ? 3sin A ,所以 sin C : sin A ? 3 :1 ,故选 C.
10.【答案】D

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第 Ⅱ卷(共 100 分)[.Com] 11.【答案】B 【解析】解:∵f(x)=f(x+2),∴函数 f(x)为周期为 2 的周期函数, 函数 g(x)= 对称, 函数 f(x)与 g(x)在[﹣3,7]上的交点也关于(2,3)对称, 设 A,B,C,D 的横坐标分别为 a,b,c,d, 则 a+d=4,b+c=4,由图象知另一交点横坐标为 3, 故两图象在[﹣3,7]上的交点的横坐标之和为 4+4+3=11, 即函数 y=f(x)﹣g(x)在[﹣3,7]上的所有零点之和为 11. ,其图象关于点(2,3)对称,如图,函数 f(x)的图象也关于点(2,3)

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故选:B.

【点评】本题考查函数的周期性,函数的零点的概念,以及数形结合的思想方法.属于中档题. 12.【答案】C 【解析】解:与﹣463°终边相同的角可以表示为:k360°﹣463°,(k∈Z) 即:k360°+257°,(k∈Z) 故选 C 【点评】本题考查终边相同的角,是基础题.

二、填空题
13.【答案】或 【解析】 试题分析: 因为 d ? 0 , 且 | a3 |?| a9 | , 所以 a3 ? ?a9 , 所以 a1 ? 2d ? ?a1 ? 8d , 所以 a1 ? 5d ? 0 , 所以 a6 ? 0 , 所以 an ? 0 ?1 ? n ? 5? ,所以 Sn 取得最大值时的自然数是或. 考点:等差数列的性质. 【方法点晴】 本题主要考查了等差数列的性质, 其中解答中涉及到等差数列的通项公式以及数列的单调性等知 识点的应用,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力,属于中档试题,本题的解答 中,根据数列的单调性,得出 a1 ? 5d ? 0 ,所以 a6 ? 0 是解答的关键,同时结论中自然数是或是结论的一个 易错点. 14.【答案】 ﹣160

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6 【解析】解:由于(x﹣ ) 展开式的通项公式为 Tr+1=

?(﹣2)r?x6﹣2r, =﹣160,

6 令 6﹣2r=0,求得 r=3,可得(x﹣ ) 展开式的常数项为﹣8

故答案为:﹣160. 【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项式系数的性质,二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的 系数,属于基础题. 15.【答案】 300 . 【解析】解:根据分层抽样的特征,每个个体被抽到的概率都相等, 所以总体中的个体的个数为 15÷ 故答案为:300. 【点评】本题考查了样本容量与总体的关系以及抽样方法的应用问题,是基础题目. 16.【答案】 y=cosx . 【解析】 解: 把函数 y=sin2x 的图象向左平移 故答案为:y=cosx. 17.【答案】 【解析】由 y=x2+3x 得 y′=2x+3, ∴当 x=-1 时,y′=1, 则曲线 y=x2+3x 在点(-1,-2)处的切线方程为 y+2=x+1, 即 y=x-1,设直线 y=x-1 与曲线 y=ax+ln x 相切于点(x0,y0), 1 由 y=ax+ln x 得 y′=a+ (x>0), x 1 a+ =1 x0 个单位长度, 得 , 即 y=cos2x 的图象, 把 y=cos2x =300.

的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),得到 y=cosx 的图象;

? ? ∴?y =x -1 ,解之得 x =1,y =0,a=0. ? ?y =ax +ln x
0 0 0 0 0 0 0

∴a=0. 答案:0 18.【答案】 ﹣ .

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【解析】解:∵f(x)= ①a=0 时,f(x)=1,不符合题意;

﹣2ax+2a+1,

∴求导数,得 f′(x)=a(x﹣1)(x+2). ②若 a>0,则当 x<﹣2 或 x>1 时,f′(x)>0;当﹣2<x<1 时,f′(x)<0, ∴f(x)在(﹣2,1)是为减函数,在(﹣∞,﹣2)、(1,+∞)上为增函数; ③若 a<0,则当 x<﹣2 或 x>1 时,f′(x)<0;当﹣2<x<1 时,f′(x)>0, ∴f(x)在(﹣2,1)是为增函数,在(﹣∞,﹣2)、(1,+∞)上为减函数 因此,若函数的图象经过四个象限,必须有 f(﹣2)f(1)<0, 即( )( )<0,解之得﹣ .

故答案为:﹣ 【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值、函数的图象、充要条件的判断等知识,属于基础 题.

三、解答题
19.【答案】 【解析】解;(1)由题意可设椭圆的标准方程为 ∵右顶点为 D(2,0),左焦点为 ∴a=2, , . , . ,c 为半焦距.

∴该椭圆的标准方程为

(2)设点 P(x0,y0),线段 PA 的中点 M(x,y).

由中点坐标公式可得

,解得

.(*)

∵点 P 是椭圆上的动点,∴



把(*)代入上式可得

,可化为



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即线段 PA 的中点 M 的轨迹方程为一焦点在 x 轴上的椭圆 (3)①当直线 BC 的斜率不存在时,可得 B(0,﹣1),C(0,1). ∴|BC|=2,点 A 到 y 轴的距离为 1,∴ =1;



②当直线 BC 的斜率存在时,设直线 BC 的方程为 y=kx,B(x1,y1),C(﹣x1,﹣y1)(x1<0). 联立 ∴ ∴|BC|=
2 2 ,化为(1+4k )x =4.解得



. =2 = .

又点 A 到直线 BC 的距离 d=





=

=





=

=



令 f(k)=

,则 .列表如下:



令 f′(k)=0,解得

又由表格可知:当 k=

时,函数 f(x)取得极小值,即 →1.

取得最大值 2,即



而当 x→+∞时,f(x)→0,

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综上可得:当 k=

时,△ABC 的面积取得最大值

,即



【点评】熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、中点坐标公式及“代点法”、分类讨论的思想方法、直线与椭圆相 交问题转化为直线的方程与椭圆的方程联立解方程组、两点间的距离公式、点到直线的距离公式、三角形的面 积计算公式、利用导数研究函数的单调性及其极值. 20.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)因为点 B 与 A(﹣1,1)关于原点 O 对称,所以点 B 得坐标为(1,﹣1). 设点 P 的坐标为(x,y)

2 2 化简得 x +3y =4(x≠±1). 2 2 故动点 P 轨迹方程为 x +3y =4(x≠±1)

(Ⅱ)解:若存在点 P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等,设点 P 的坐标为(x0,y0) 则 因为 sin∠APB=sin∠MPN, 所以 所以 = .

2 2 即(3﹣x0) =|x0 ﹣1|,解得 2 2 因为 x0 +3y0 =4,所以

故存在点 P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等,此时点 P 的坐标为 【点评】本题主要考查了轨迹方程、三角形中的几何计算等知识,属于中档题. 21.【答案】



【解析】解:(Ⅰ)由曲线 C1 的极坐标方程为 ρ(sinθ+cosθ)=1,可得它的直角坐标方程为 x+y=1, 根据曲线 C2 的参数方程为 (Ⅱ)把曲线 C1 与 C2 是联立方程组 故曲线 C1 与 C2 是相交于两个点. (θ 为参数),可得它的普通方程为 +y2=1.

2 ,化简可得 5x ﹣8x=0,显然△=64>0,

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解方程组求得

,或

,可得这 2 个交点的坐标分别为(0,1)、( ,﹣ ).

【点评】 本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程, 把参数方程化为普通方程的方法, 求两条曲线的交点, 属于基础题.

22.【答案】 【解析】证明:(I)在三棱锥 A﹣BCD 中,E,G 分别是 AC,BC 的中点. 所以 AB∥EG… 因为 EG?平面 EFG,AB?平面 EFG 所以 AB∥平面 EFG… (II)因为 AB⊥平面 BCD,CD?平面 BCD 所以 AB⊥CD… 又 BC⊥CD 且 AB∩BC=B 所以 CD⊥平面 ABC… 又 E,F 分别是 AC,AD,的中点 所以 CD∥EF 所以 EF⊥平面 ABC… 又 EF?平面 EFG, 所以平面平面 EFG⊥平面 ABC.… 【点评】本题考查线面平行,考查面面垂直,掌握线面平行,面面垂直的判定是关键. 23.【答案】 【解析】解:(1)设直线 AB 的方程为 y=kx+2(k≠0), 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 由 ,得 k2x2+(4k﹣4)x+4=0,

则由△=(4k﹣4)2﹣16k2=﹣32k+16>0,得 k< , = , ,

所以 y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4= , 因为以 AB 为直径的圆经过原点 O,

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所以∠AOB=90°, 即 所以 解得 k=﹣ , 即所求直线 l 的方程为 y=﹣ . , ,

(2)设线段 AB 的中点坐标为(x0,y0), 则由(1)得 所以线段 AB 的中垂线方程为 令 y=0,得 = = 或 , , , , ,

又由(1)知 k< ,且 k≠0,得 所以 所以 = ,



所以△POQ 面积的取值范围为(2,+∞). 【点评】本题考查直线 l 的方程的求法和求△POQ 面积的取值范围.考查抛物线标准方程,简单几何性质, 直线与抛物线的位置关系等基础知识.考查运算求解能力,推理论证能力;考查函数与方程思想,化归与转化 思想. 24.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)证明:因为 A1A=A1C,且 O 为 AC 的中点, 所以 A1O⊥AC. 又由题意可知,平面 AA1C1C⊥平面 ABC, 交线为 AC,且 A1O?平面 AA1C1C, 所以 A1O⊥平面 ABC. (Ⅱ)如图,以 O 为原点,OB,OC,OA1 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系. 由题意可知,A1A=A1C=AC=2,又 AB=BC,AB⊥BC,∴ ,

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所以得:

则有:



设平面 AA1B 的一个法向量为 n=(x,y,z),则有 令 y=1,得 所以 . 因为直线 A1C 与平面 A1AB 所成角 θ 和向量 n 与 (Ⅲ)设 即 所以 令 OE∥平面 A1AB,得 即﹣1+λ+2λ﹣λ=0,得 , , ,得 , ,得 , 所成锐角互余,所以 .





即存在这样的点 E,E 为 BC1 的中点.

【点评】本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成的角、三角函数等知识,考查数形结合、化归与转化 的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力

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