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2014-2015学年湖北省宜昌市高一(下)期末数学试卷(A卷)(Word版含解析)

2014-2015 学年湖北省宜昌市高一(下)期末数学试卷(A 卷)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.(5 分)(2015 春?宜昌期末)设全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合 A={1,3, 5,7,9},B={1,2,3,4,5},则(?UA)∩B=( )
A. {1,3,5} B. {1,2,3,4,5} C. {7,9} D. {2,4}
考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 根据集合的基本运算进行求解即可. 解答: 解:?UA={2,4,6,8}, 则(?UA)∩B={2,4}, 故选:D. 点评: 本题主要考查集合的基本运算,比较基础.
2.(5 分) +1 与 ﹣1,两数的等比中项是( )
A. 1 B. ﹣1 C. ±1 D.
考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 设出两数的等比中项为 x,根据等比中项的定义可知,x 的平方等于两数之积,得到 一个关于 x 的方程,求出方程的解即可得到两数的等比中项. 解答: 解:设两数的等比中项为 x,根据题意可知: x2=( +1)( ﹣1),即 x2=1, 解得 x=±1. 故选 C 点评: 此题考查学生掌握等比数列的性质,是一道基础题.学生做题时应注意等比中项有 两个.
3.(5 分)已知直线 l1:(k﹣3)x+(5﹣k)y+1=0 与 l2:2(k﹣3)x﹣2y+3=0 垂直,则 k 的值是( )
A. 1 或 3 B. 1 或 5 C. 1 或 4 D. 1 或 2
考点: 两条直线垂直的判定. 专题: 直线与圆. 分析: 由两直线 ax+by+c=0 与 mx+ny+d=0 垂直?am+bn=0 解得即可. 解答: 解:由题意得 2(k﹣3)2﹣2(5﹣k)=0, 整理得 k2﹣5k+4=0, 解得 k=1 或 k=4. 故选 C. 点评: 本题考查两直线垂直的条件.

4.(5 分)(2012?乌兰察布学业考试)设 a>1>b>﹣1,则下列不等式中恒成立的是( )

A.

B.

C. a>b2 D. a2>2b

考点: 不等关系与不等式. 专题: 计算题. 分析: 通过举反例说明选项 A,B,D 错误,通过不等式的性质判断出 C 正确.

解答: 解:对于 A,例如 a=2,b= 此时满足 a>1>b>﹣1 但

故A错

对于 B,例如 a=2,b= 此时满足 a>1>b>﹣1 但

故B错

对于 C,∵﹣1<b<1∴0≤b2<1∵a>1∴a>b2 故 C 正确

对于 D,例如 a=

此时满足 a>1>b>﹣1,a2<2b 故 D 错

故选 C 点评: 想说明一个命题是假命题,常用举反例的方法加以论证.

5.(5 分)(2015 春?宜昌期末)若正数 x,y 满足 + =1,则 xy 的( ) A. 最大值为 6 B. 最小值为 6 C. 最大值为 36 D. 最小值为 36

考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用.

分析: 由题意可得 1= + ≥2

= ,变形可得 xy 的范围,注意等号成立的条件即可.

解答: 解:∵正数 x,y 满足 + =1,

∴1= + ≥2

=,

∴ ≥6,xy≥36 当且仅当 = 即 x=2 且 y=18 时 xy 取最小值 36

故选:D. 点评: 本题考查基本不等式求最值,属基础题.

6.(5 分)(2007?北京)平面 α∥平面 β 的一个充分条件是( ) A. 存在一条直线 a,a∥α,a∥β B. 存在一条直线 a,a?α,a∥β C. 存在两条平行直线 a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α D. 存在两条异面直线 a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α

考点: 平面与平面平行的判定. 专题: 压轴题;阅读型.

分析: 依据面面平行的定义与定理依次判断排除错误的,筛选出正确的. 解答: 证明:对于 A,一条直线与两个平面都平行,两个平面不一定平行.故 A 不对; 对于 B,一个平面中的一条直线平行于另一个平面,两个平面不一定平行,故 B 不对; 对于 C,两个平面中的两条直线平行,不能保证两个平面平行,故 C 不对; 对于 D,两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面,可以保证两个平面平行, 故 D 正确. 点评: 考查面面平行的判定定理,依据条件由定理直接判断.

7.(5 分)(2015 春?宜昌期末)在△ ABC 中,若 asinA+bsinB<csinC,则△ ABC 是( ) A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 都有可能

考点: 正弦定理;余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 利用正弦定理和余弦定理即可得出.
解答: 解:由正弦定理可得

>0,

∴sinA= ,sinB= ,sinC= . ∵asinA+bsinB<csinC, ∴ + < ,即 a2+b2<c2.

∴cosC=

<0.

∵0<C<π,∴ <C<π.
∴角 C 设钝角. ∴△ABC 的形状是钝角三角形. 故选:A. 点评: 本题主要考查了正弦定理,余弦定理在解三角形中的应用,熟练掌握正弦定理和余 弦定理是解题的关键,属于基本知识的考查.

8.(5 分)(2015 春?宜昌期末)设变量 x,y 满足约束条件

,则 z=x2+y2 的范

围是( ) A. [1,5] B. [1,25] C. [ ,25] D. [ ,5]

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 先画出满足条件的平面区域,再根据 z=x2+y2 的几何意义从而求出其范围. 解答: 解:画出满足条件的平面区域,如图示:





,解得:A(3,4),

而 z=x2+y2 的几何意义表示平面区域内的点到(0,0)的距离的平方, 由图象得平面区域内的 A(3,4)到原点的距离最大, ∴z 最大值=25, 设原点到直线 x+y=1 的距离为 d,
∴d= ,即 z 最小值= ,
故选:C. 点评: 本题考查了简单的线性规划问题,考查 z=x2+y2 的几何意义及点到直线的距离,本 题是一道中档题.

9.(5 分)(2015 春?宜昌期末)一个多面体的三视图如图所示,其中正视图是正方形,侧视 图是等腰三角形,则该几何体的表面积和体积分别为( )

A. 108,72 B. 98,60 C. 158,120 D. 88,48

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由三视图可知:该几何体是一个横放的直三棱柱,高为 4,底面是一个等腰三角形, 其高为 4,底边长为 6.据此即可计算出表面积和体积. 解答: 解:由三视图可知:该几何体是一个横放的直三棱柱,高为 4,底面是一个等腰三 角形,其高为 4,底边长为 6.

在 Rt△ ABD 中,由勾股定理可得 AB=

=5.

∴该几何体的表面积 S=4×5×2+4×6

V= 故选 D.

=48.

=88;

点评: 由三视图正确恢复原几何体是解题的关键.

10.(5 分)(2015 春?宜昌期末)已知甲乙两车间的月产值在 2011 年元月份相同,甲以后每 个月比前一个月增加相同的产值,乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同.到 2011 年 7 月份发现两车间的月产值又相同,比较甲乙两个车间 2011 年 4 月月产值的大小,则有 ()
A. 甲大于乙 B. 甲等于乙 C. 甲小于乙 D. 不确定

考点: 数列的应用.

专题: 等差数列与等比数列.

分析:设甲、乙两间工厂元月份的产值都是 m,甲以后每个月比前一个月增加相同的产值 a, 乙每个月比前一个月增加产值的百分比为 x,由 7 月份的产值相同列出等式,由此得到 4 月份乙的产值,将甲、乙两间工厂 4 月份的产值平方相减得到差值的符号,从而判断甲、乙 两间工厂 4 月份产值的大小. 解答: 解:设甲以后每个月比前一个月增加相同的产值 a,乙每个月比前一个月增加产值 的百分比为 x,甲乙两车间的月产值在 2011 年元月份相同为 m,则 由题意得 m+6a=m×(1+x)6 ①, 4 月份甲的产值为 m+3a,4 月份乙的产值为 m×(1+x)3,

由①知,(1+x)6=1+ ,即 4 月份乙的产值为

=



∵(m+3a)2﹣(m2+6ma)=9a2>0,∴m+3a>



即 4 月份甲的产值大于乙的产值, 故选 A. 点评: 本题考查指数函数的性质,以及比较两个式子大小的方法,考查等差数列与等比数 列的结合,体现了转化的数学思想.

11.(5 分)(2013?日照一模)如图,四边形 ABCD 是正方形,延长 CD 至 E,使得 DE=CD.若

动点 P 从点 A 出发,沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到 A 点,其中



下列判断正确的是( )

A. 满足 λ+μ=2 的点 P 必为 BC 的中点 B. 满足 λ+μ=1 的点 P 有且只有一个 C. λ+μ 的最大值为 3 D. λ+μ 的最小值不存在

考点: 向量的加法及其几何意义. 专题: 平面向量及应用.

分析: 建立坐标系可得

=(λ﹣μ,μ),A,B 选项可举反例说明,通过 P

的位置的讨论,结合不等式的性质可得 0≤λ+μ≤3,进而可判 C,D 的正误,进而可得答案. 解答: 解:由题意,不妨设正方形的边长为 1,建立如图所示的坐标系,

则 B(1,0),E(﹣1,1),故 =(1,0), =(﹣1,1),

所以

=(λ﹣μ,μ),

当 λ=μ=1 时, =(0,1),此时点 P 与 D 重合,满足 λ+μ=2,但 P 不是 BC 的中点,故 A
错误;
当 λ=1,μ=0 时, =(1,0),此时点 P 与 B 重合,满足 λ+μ=1,
当 λ= ,μ= 时, =(0, ),此时点 P 为 AD 的中点,满足 λ+μ=1,
故满足 λ+μ=1 的点不唯一,故 B 错误; 当 P∈AB 时,有 0≤λ﹣μ≤1,μ=0,可得 0≤λ≤1,故有 0≤λ+μ≤1, 当 P∈BC 时,有 λ﹣μ=1,0≤μ≤1,所以 0≤λ﹣1≤1,故 1≤λ≤2,故 1≤λ+μ≤3, 当 P∈CD 时,有 0≤λ﹣μ≤1,μ=1,所以 0≤λ﹣1≤1,故 1≤λ≤2,故 2≤λ+μ≤3, 当 P∈AD 时,有 λ﹣μ=0,0≤μ≤1,所以 0≤λ≤1,故 0≤λ+μ≤2, 综上可得 0≤λ+μ≤3,故 C 正确,D 错误. 故选 C

点评: 本题考查向量加减的几何意义,涉及分类讨论以及反例的方法,属中档题.

12.(5 分)(2011?天津)对实数 a 与 b,定义新运算“?”:

.设函数 f

(x)=(x2﹣2)?(x﹣x2),x∈R.若函数 y=f(x)﹣c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则 实数 c 的取值范围是( )

A.

B.

C.

D.

考点: 函数与方程的综合运用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据定义的运算法则化简函数 f(x)=(x2﹣2)?(x﹣x2)的解析式,并求出 f(x) 的取值范围,函数 y=f(x)﹣c 的图象与 x 轴恰有两个公共点转化为 y=f(x),y=c 图象的 交点问题,结合图象求得实数 c 的取值范围.

解答: 解:∵



∴函数 f(x)=(x2﹣2)?(x﹣x2)=



由图可知,当 c∈

函数 f(x) 与 y=c 的图象有两个公共点,

∴c 的取值范围是



故选 B.

点评: 本题考查二次函数的图象特征、函数与方程的综合运用,及数形结合的思想.属于 基础题.

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.(5 分)(2015 春?宜昌期末)若不等式﹣4<2x﹣3<4 与不等式 x2+px+q<0 的解集相同,

则=



考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 根据题意不等式 x2+px+q<0 的解集为(﹣ , ),x2+px+q=0 的解为 x=﹣ ,或 , 从而可以求得 p 与 q 的值,问题得以解决. 解答: 解:∵﹣4<2x﹣3<4, ∴ <x< ,
∴不等式﹣4<2x﹣3<4 的解集为(﹣ , ),
∴x2+px+q=0 的解为 x=﹣ ,或 ,
结合根与系数的关系﹣ + =3=﹣p,即 p=﹣3,
﹣ × =q=,即 q=﹣ ,
∴= = ,

故答案为: .

点评: 本题给出一元二次不等式的解集,求参数的取值,着重考查了一元二次不等式的解 法和根与系数的关系等知识点,属于基础题

14.(5 分)(2015 春?宜昌期末)长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1=1,则 AC1

与 BB1 所成角的正弦值为



考点: 异面直线及其所成的角.

专题: 空间位置关系与距离.

分析: 如图所示,连接 AC,由 B1B∥C1C,可得∠AC1C 是异面直线 AC1 与 BB1 所成的角, 再利用长方体的性质、直角三角形的边角关系即可得出.

解答: 解:如图所示,连接 AC, ∵B1B∥C1C, ∴∠AC1C 是异面直线 AC1 与 BB1 所成的角.

在 Rt△ AC1C 中,AC1=

=

=3,

AC=

=

=2 ,

∴sin∠AC1C= = ,

故答案为: .

点评: 本题考查了异面直线所成的角、长方体的性质、直角三角形的边角关系,考查了推 理能力与计算能力,属于中档题.
15.(5 分)(2015?银川模拟)在数列{an}中,a1=1,a2=2,且 an+2﹣an=1+(﹣1)n(n∈N*), 则 a1+a2+a3+…+a51= 676 .
考点: 数列的求和. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 依题意,可求得 a1=a3=a5=…=a51=1,{a2n}是以 2 为首项,2 为公差的等差数列,从 而可求得 a1+a2+a3+…+a51 的值. 解答: 解:∵数列{an}中,a1=1,a2=2,且 an+2﹣an=1+(﹣1)n(n∈N*), ∴a3﹣a1=0, a5﹣a3=0, … a51﹣a49=0,

∴a1=a3=a5=…=a51=1; 由 a4﹣a2=2,得 a4=2+a2=4,同理可得 a6=6,a8=8,…,a50=50; ∴a1+a2+a3+…+a51 =(a1+a3+a5+…+a51)+(a2+a4+…+a50) =26+ =676. 故答案为:676. 点评: 本题考查数列的求和,着重考查等差数列的判定与求和,突出考查分组求和,属于 中档题.
16.(5 分)(2015 春?宜昌期末)若将函数 f(x)=2sin(2x+φ)(|φ|≤ )的图象向右平移
个长度单位后所得到的图象关于直线 x= 对称,则 φ= ﹣ .
考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 先求得函数平移后函数的解析式,进而根据对称轴所在的函数值为最大或最小,进 而求得 2× ﹣ +φ=kπ+ ,k∈Z,结合范围|φ|≤ ,即可求出 φ 的值.
解答: 解:函数 y=2sin(2x+φ)的图象向右平移 个单位,得 y=2sin[2(x﹣ )+φ]=2sin
(2x﹣ +φ),
∵函数图象关于直线 x= 对称,
∴2× ﹣ +φ=kπ+ ,k∈Z,
求得:φ=kπ+ ,k∈Z,
∵|φ|≤ ,
∴φ=﹣ .
故答案为:﹣ . 点评: 本题主要考查了三角函数的图象的变换和三角函数的对称性问题.考查了考生对三 角函数基础知识的掌握,属于基本知识的考查.
三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17.(10 分)(2015 春?宜昌期末)已知直线 l 经过点 P(﹣2,5),且斜率为﹣ (1)求直线 l 的方程;

(2)若直线 m 与 l 平行,且点 P 到直线 m 的距离为 3,求直线 m 的方程.

考点: 直线的一般式方程;直线的斜率. 专题: 待定系数法. 分析: (1)由点斜式写出直线 l 的方程为 y﹣5=﹣ (x+2),化为一般式.
(2)由直线 m 与直线 l 平行,可设直线 m 的方程为 3x+4y+c=0,由点到直线的距离公式求 得待定系数 c 值,即得所求直线方程. 解答: 解:(1)由点斜式写出直线 l 的方程为 y﹣5=﹣ (x+2),化简为 3x+4y﹣14=0.
(2)由直线 m 与直线 l 平行,可设直线 m 的方程为 3x+4y+c=0,

由点到直线的距离公式,得

,即



解得 c=1 或 c=﹣29,故所求直线方程 3x+4y+1=0,或 3x+4y﹣29=0. 点评: 本题考查用点斜式求直线方程,用待定系数法求直线的方程,点到直线的距离公式 的应用,求出待定系数是解题的关键.
18.(12 分)(2015 春?宜昌期末)已知边长为 6 的正方形 ABCD 所在平面外一点 P,且 PD⊥ 平面 ABCD,PD=8 (Ⅰ)连接 PB、AC,证明:PB⊥AC; (Ⅱ)连接 PA,求 PA 与平面 PBD 所成的角的正弦值.

考点: 直线与平面所成的角;空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 综合题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ)欲证 PB⊥AC,只需证明 AC 垂直 PB 所在平面即可,因为 PB 在平面 PBD 中,AC 垂直平面 PBD 中的两条相交直线 PD 和 BD,所以问题得证. (Ⅱ)欲求 PA 与平面 PBD 所成的角的大小,只需找到 PA 在平面 PBD 中的射影,PA 与它 的射影所成角即为所求,再放入三角形中,解三角形即可. 解答: (Ⅰ)证明:连接 BD,在正方形 ABCD 中,AC⊥BD, 又 PD⊥平面 ABCD,所以,PD⊥AC, 所以 AC⊥平面 PBD,故 PB⊥AC. (Ⅱ)解:因为 AC⊥平面 PBD,设 AC 与 BD 交于 O,连接 PO,则∠APO 就是 PA 与平面 PBD 所成的角, 在△ APO 中,AO=3 ,AP=10,
所以 sin∠APO= ,

所以∠APO=arcsin , 所以 PA 与平面 PBD 所成的角的大小为 arcsin .

点评: 本题主要考查了直线与直线垂直的证明,直线与平面所成角的计算,以及点到平面 的距离的求法,属于立体几何的常规题.

19.(12 分)(2015 春?宜昌期末)某投资公司计划投资 A,B 两种金融产品,根据市场调查 与预测,A 产品的利润 y1 与投资金额 x 的函数关系为 y1=18﹣ ,B 产品的利润 y2 与投
资金额 x 的函数关系为 y2= (注:利润与投资金额单位:万元).
(1)该公司已有 100 万元资金,并全部投入 A,B 两种产品中,其中 x 万元资金投入 A 产 品,试把 A,B 两种产品利润总和表示为 x 的函数,并写出定义域; (2)在(1)的条件下,试问:怎样分配这 100 万元资金,才能使公司获得最大利润?其最 大利润为多少万元?

考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 应用题;函数的性质及应用. 分析: (1)其中 x 万元资金投入 A 产品,则剩余的 100﹣x(万元)资金投入 B 产品,根
据 A 产品的利润 y1 与投资金额 x 的函数关系为 y1=18﹣ ,B 产品的利润 y2 与投资金额

x 的函数关系为 y2= ,可得利润总和;

(2)f(x)=40﹣ ﹣ ,x∈[0,100],由基本不等式,可得结论.

解答: 解:(1)其中 x 万元资金投入 A 产品,则剩余的 100﹣x(万元)资金投入 B 产品,

利润总和 f(x)=18﹣ +

=38﹣ ﹣ (x∈[0,100]).…(6 分)

(2)∵f(x)=40﹣ ﹣ ,x∈[0,100],

∴由基本不等式得:f(x)≤40﹣2 =28,取等号,当且仅当 = 时,即 x=20.…
(12 分) 答:分别用 20 万元和 80 万元资金投资 A、B 两种金融产品,可以使公司获得最大利润,最 大利润为 28 万元.…(13 分)

点评: 本题考查利用数学知识解决实际问题,考查基本不等式的运用,考查函数模型的建 立,属于中档题.

20.(12 分)(2015?湖南模拟)已知函数 (1)求函数 f(x)在[0,π]上的单调递减区间; (2)△ ABC 中,
别是 a,b,c,且 C=60°,c=3,求△ ABC 的面积.

的最大值为 2. ,角 A,B,C 所对的边分

考点: 两角和与差的正弦函数;正弦定理;余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1)将 f(x)解析式利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,由 正弦函数的值域表示出 f(x)的最大值,由已知最大值为 2 列出关于 m 的方程,求出方程
的解得到 m 的值,进而确定出 (f x)的解析式,由正弦函数的递减区间为[2kπ+ ,2kπ+ ]
(k∈Z),列出关于 x 的不等式,求出不等式的解集即可得到 f(x)在[0,π]上的单调递减 区间;
(2)由(1)确定的 f(x)解析式化简 f(A﹣ )+f(B﹣ )=4 sinAsinB,再利用正
弦定理化简,得出 a+b= ab①,利用余弦定理得到(a+b)2﹣3ab﹣9=0②,将①代入② 求出 ab 的值,再由 sinC 的值,利用三角形的面积公式即可求出三角形 ABC 的面积.

解答: 解:(1)f(x)=msinx+ cosx=

sin(x+θ)(其中 sinθ=

,cosθ=

),

∴f(x)的最大值为





=2,

又 m>0,∴m= , ∴f(x)=2sin(x+ ),

令 2kπ+ ≤x+ ≤2kπ+ (k∈Z),解得:2kπ+ ≤x≤2kπ+ (k∈Z),

则 f(x)在[0,π]上的单调递减区间为[ ,π];

(2)设△ ABC 的外接圆半径为 R,由题意 C=60°,c=3,得

===

=2 ,

化简 f(A﹣ )+f(B﹣ )=4 sinAsinB,得 sinA+sinB=2 sinAsinB,

由正弦定理得: + =2 ×

,即 a+b= ab①,

由余弦定理得:a2+b2﹣ab=9,即(a+b)2﹣3ab﹣9=0②, 将①式代入②,得 2(ab)2﹣3ab﹣9=0,

解得:ab=3 或 ab=﹣ (舍去),

则 S△ ABC= absinC= .
点评: 此题考查了正弦、余弦定理,三角形的面积公式,两角和与差的正弦函数公式,以 及正弦函数的单调性,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.

21.(12 分)(2015 春?宜昌期末)已知数列{an}是首项为 2 的等差数列,其前 n 项和 Sn 满 足 4Sn=an?an+1,数列{bn}是以 为首项的等比数列,且 log2b1+log2b2+log2b3=﹣6 (Ⅰ)求数列{an}.{bn}的通项公式; (Ⅱ)设数列{bn}的前 n 项和 Tn,若对任意 n∈N*不等式 + +…+ ≥ λ﹣ Tn 恒成立,
求 λ 的取值范围.

考点: 数列的求和;对数的运算性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: I)利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出;
(II)利用“裂项求和”可得 ,利用等比数列的前 n 项和公式可得 Tn,利用数列的单调性

即可得出 解答: 解:(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为 d,由题意得, ∴an=2n, 由 log2b1+log2b2+log2b3=﹣6,
得出 b1b2b3=b23= ,

4a1=a1(a1+d),解得 d=2,

b2= ,

∵b1= ,

从而公比 q= ,

∴bn= ;

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,Sn=n(n+1),

∴=



又 Tn=



∴不等式 + +…+ ≥ λ﹣ Tn,

即1

λ (1﹣ ),

﹣ ∵g(n)=

λ, 对 n∈N*递增,

∴g(n)min=

=,

∴只需要

λ.即 λ 的取值范围为(﹣∞,3].

点评: 本题考查了递推式的应用、等比数列与等差数列的通项公式及其前 n 项和公式、“裂 项求和”、数列的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题

22.(12 分)(2015 春?宜昌期末)已知函数 f(x)=x2+4x+4 (Ⅰ)若 x∈[﹣4,a],求 f(x)的值域; (Ⅱ)定义在[a,b]上的函数 f(x),g(x)如果满足,对任意 x∈[a,b],都有 f(x)≤g(x) 成立,则称 f(x)是 g(x)在[a,b]上的弱函数,已知 f(x+a)是 g(x)=4x 在 x∈[1,t] 上的弱函数,求实数 a 的最大值.

考点: 二次函数的性质;二次函数在闭区间上的最值.
专题: 函数的性质及应用;不等式的解法及应用.
分析: (Ⅰ)求出 f(x)的对称轴,讨论 a,①当﹣4<a≤﹣2 时,②当﹣2<a<0 时, ③当 a≥0 时,运用单调性和二次函数的性质,即可得到所求值域; (Ⅱ)f(x+a)是 g(x)=4x 在 x∈[1,t]上的弱函数,可得(x+a+2)2≤4x 在 1≤x≤t 恒成立, 由参数分离可得 a+2≤2 ﹣x,运用配方和二次函数的值域求法,可得右边的最小值,进而 得到 a 的范围,可得 a 的最大值. 解答: 解:(Ⅰ)f(x)=(x+2)2 的对称轴为 x=﹣2, ①当﹣4<a≤﹣2 时,f(x)递减, 由 f(﹣4)=4,f(a)=a2+4a+4, 即有 f(x)的值域为[a2+4a+4,4); ②当﹣2<a<0 时,f(﹣2)取得最小值 0,f(﹣4)>f(a), 即有 f(x)的值域为[0,4]; ③当 a≥0 时,f(﹣2)取得最小值 0,f(﹣4)<f(a), 即有 f(x)的值域为[0,a2+4a+4]. (Ⅱ)f(x+a)是 g(x)=4x 在 x∈[1,t]上的弱函数, 可得(x+a+2)2≤4x 在 1≤x≤t 恒成立, 即为 x+a+2≤2 ,即 a+2≤2 ﹣x, 由 2 ﹣x=﹣( ﹣1)2+1, 1≤x≤t,可得 1≤ ≤t, 即有﹣( ﹣1)2+1≥1﹣(t﹣1)2, 则 a+2≤1﹣(t﹣1)2, 即有 a+2≤1,即 a≤﹣1. 则 a 的最大值为﹣1. 点评: 本题考查二次函数的值域的求法,注意讨论对称轴和区间的关系,同时考查新定义
的理解和运用,不等式恒成立问题的求法,属于中档题.



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