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2013-2014学年福建省三明一中高一下学期期中考试数学试卷(带解析)

2013-2014 学年福建省三明一中高一下学期期中考试数学试卷(带解 析)
一、选择题 1.如图所示的几何体,是由下列哪个平面图形旋转得到的( )

【答案】A 【解析】 试题分析:几何体上边是圆锥体,其纵截面是等腰三角形,下面是上大下小的圆台,其纵截 面是上大下小的等腰梯形,各取它们的一半可知,选择 . 考点:旋转几何体的形成. 2.数列 1, , ,…, A.递增数列 【答案】 【解析】 试题分析:显然该数列从第二项起,各项的分母是偶数且越来越大,所以数列的各项越来越小. 考点:数列增减性的判断. 3.如图 是一平面图形的直观图,斜边 ,则这个平面图形的面积是( ) ,….是( ) D.摆动数列

B.递减数列

C.常数列

A.

B.1

C.

D.

【答案】D 【解析】

试题分析:根据直观图 中, , 在 轴上,且

可知

,根据直观图与平面图的关系可知,平面图 ,所以 .

考点:直观图与平面图的关系 4.在 A. 【答案】C 【解析】 试题分析:根据正弦定理 所以根据题意有 考点:正弦定理. 5.过点 A. 和点 B. 的直线的倾斜角是( ) C. D. ,即 ( 为三角形外接圆半径),有 ,根据三角形中,大边对大角有 . , 中,若 B. C. ,则( ) D.不确定

【答案】B 【解析】 试题分析:根据斜率的计算式可知 考点:斜率的计算. 6.下列说法的正确的是 ( ) A.经过定点 B.经过定点 的直线都可以用方程 的直线都可以用方程 , 表示 D.不经过原点的直线都可以用方程 【答案】C 【解析】 试题分析: 中的方程 误原因与 相同; 中的方程 错误. 考点:直线方程的判断. 表示有斜率的直线,但过定点不一定有斜率,错误; 的错 表示在 轴有截距的直线,不过原点但可能在轴上,所以 表示 表示 表示 的直线都可以用方程 ,则 ,所以 .

C.经过任意两个不同的点

7.已知 m、n 为两条不同的直线, 、 为两个不同的平面,下列命题中正确的是( A.若 ∥ ,m∥ ,则 m∥ B.若 m⊥ ,m⊥ ,则 ∥ C.若 ⊥ ,m⊥ ,则 m⊥ D.若 m∥ ,m⊥n,则 n⊥ 【答案】B 【解析】 试题分析: 中当 时错误; 中若 ⊥ , 位置关系,可能垂直,可能平行,可能相交,所以错误. 考点:线面关系的判断. 8.设 A 为圆 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 试题分析:设圆心为 ,则半径为 ,设 .根据直线与圆相切,有 ,所以根据两点间距离公式化简可得 . 考点:直线与圆相切. 9.等差数列 A. B. , 的前 项和分别为 C. D. , ,若 ,则 =( ) 中, 上的动点,PA 是圆的切线且|PA|=1,则 P 点的轨迹方程是 ( ,则



或 ∥ ,错误. 中得看





【答案】C 【解析】 试题分析:因为等差数列的前 项和公式为 妨设 值为 . ,则有 形式,所以根据题意 , 不

,所以两者的比

考点:等差数列前 项和公式形式的灵活应用,利用 10.给出下列四个命题,其中错误的命题是( )

求 .

①若 ②若 ③若 ④若 A.①② 【答案】D 【解析】 试题分析: ,则

,则 是直角三角形; ,则 ,则 B.③④

是等边三角形

是钝角三角形; 是等腰三角形; C.①③ D.②④

①中三者乘积为 1,则其中一个应当大于 1,另外两个乘积小于 1,显然后者可以成立,但是前者 不成立,故前者只能取到 1,所以剩余两个乘积为 1,同理只能都为 1,因为 ,所以 , 正确; ②当 时, ,三角形是等边三角形,错误;

③三角形中,当内角是钝角时,余弦值为负数,所以三个内角中必有一个是钝角,两个是锐角,三 角形必然是钝角三角形,正确; ④当 时,有 角三角形,错误. 考点:利用角判断三角形的形状. 11.有一个数阵排列如下: 所以 ,三角形为等腰三角形或是直

则第 20 行从左至右第 10 个数字为 【答案】 【解析】

.

试题分析:观察该数阵的第一列,设其为数列

,则其各项为

,显然该数列具

有性质

,则

根据叠加法有

,所以 一个数就是数列 的第 20 项,所以 .

.则该数阵的第 20 行的第

观察该数阵的每一行,则会发现,第一行中的数满足:从第二个数起,每个数与其前一个数的差为 ;第二行中的数满足:从第二个数起,每个数与其前一个数的差为 行中的数满足:从第二个数起,每个数与其前一个数的差为 可得第 20 行的第 10 个数是 . 考点:特殊数列的分析. 二、填空题 1.若 【答案】 【解析】 试题分析:设 ,根据 ,利用空间中两点间的距离公式,计算可得 . , ,点 在 轴上,且 ,则点 的坐标为 . ;则第 20 ;所以以此类推

考点:空间中两点间的距离公式. 2.圆 【答案】内切 【解析】 试题分析:通过利用两点间的距离公式计算 ,所以内切. 考点:两圆位置关系的判断. 3.如图所示的三个等腰直角三角形是某几何体的三视图, 则该几何体的外接球的表面积 为 . ,寻找其与两圆的半径和,差的关系,判断可知 和圆 的位置关系为 .

【答案】 【解析】 试题分析:根据三视图可知,该几何体是棱长为 1 的正方体的一角,所以其外接球的半径为该 正方体体对角线的一半 ,所以该球体的表面积为 .

考点:观察三视图寻找原几何体,构建空间球体. 4.已知直线 与直线 方程为 【答案】 平行,并且与两坐标轴围成的三角形的面积为 6,则直线 的 .

【解析】 试题分析:根据直线的平行可设其方程为 ,当 . 考点:直线的平行,未知字母系数的讨论. 三、解答题 1.在直角坐标系 【答案】 【解析】 试题分析:要求圆的方程,需知圆的圆心与半径,由题可知圆心为 ,半径为原点 到直线 的距离,根据点到直线的距离公式可求得. 由题意圆 的半径 等于原点 到直线 即 , . 的距离, 中,以 为圆心的圆与直线 相切,求圆 的方程. 时,有 ,此时 ,则其与坐标轴的交点分别为 ;当 时,有 ,此时

所以圆 的方程为: 考点:圆的方程,半径的求法. 2.(本小题满分 8 分)在 (1)求角 C; (2)若 ,

中,a,b,c 分别是内角 A,B,C 所对的边,



,求

的面积.

【答案】(1) (2) 【解析】 试题分析: 根据 出角 . ,可联想到余弦定理,则利用余弦定理可求得 ,根据 和 的范围,可求

因为知道边 和角 (由(1)知),所以可利用面积公式 ,利用正弦定理可得 (1) 又由余弦定理得 ,即可求得面积.

,则需要求出边 .根据

. (2) , 由正弦定理得

考点:正弦定理,余弦定理,三角形面积公式的选择与计算. 3.风景秀美的湖畔有四棵高大的银杏树,记做 、 、 、 ,欲测量 、 两棵树和 、 两棵树之间的距离,但湖岸部分地方围有铁丝网不能靠近,现在可以方便的测得 、 两点 间的距离为 米,如图,同时也能测量出 , , , ,则 、 两棵树和 、 两棵树之间的距离各为多少?

【答案】 【解析】

,

试题分析:要求 长,将其放入 中,已知 ,可根据正弦定理求得 长,将其放入 中,已知 ,需找到 ,利用余弦定理求 .将 放入 , ,即可求出 . 因为在 中,

;要求 中,根据

所以由正弦定理有: 因为在 因为在 中,有 中, , , , 所以

所以由余弦定理有: 则 . 米,A、P 两棵树之间的距离为 米.………8 分

答:P、Q 两棵树之间的距离为 考点:正弦定理,余弦定理. 4.已知数列 (1)求 (2)求 【答案】(1) 【解析】 是一个等差数列且 通项公式; 的前 项和

,

,

的最小值. 时, 取得最小值 .

(2) 当

试题分析: 根据等差数列前 项和公式 的通项公式. (2)法一:根据等差数列前 项和公式 论其最小值; 法二:根据(1)可知,该数列是首项为负,公差为正的递增数列,所以其前 项和先递减后 递增,当 中的 取最大值时,前 项和最小. (1)设 的首项为 ,公差为 ,则根据等差数列前 项和公式有 ,将 转化为关于 的二次函数,并讨 展开题中所给条件,可得首项与公差,即可得到数列





(2)法一: 时, 法二:由 当 取得最小值 ,得 . ,



时, 取得最小值

考点:等差数列前 项和公式及其最值的讨论,通项公式; 5.如图,已知三棱锥 A-BPC 中,AP⊥PC,AC⊥BC,M 为 AB 中点,D 为 PB 中点,且△ PMB 为正三角形.

(1)求证 DM∥平面 APC; (2)求证平面 ABC⊥平面 APC; (3)若 BC=PC=4,求二面角 P-AB-C 的正弦值. 【答案】(3) 【解析】

试题分析: (1)从平面 证明. 内找一条与 平行的直线,根据题意可知, 是 的中位线,有 ,进而有 ∥ ,则

(2)要证面面垂直得有线面垂直,根据题意可证 ,最终可证 .

,从而得到

(3)首先得做出二面角的平面角,所以过 作 ,垂足为 ,连接 ,猜想 为二面角 的平面角,根据二面角的平面角定义,只需证明 ,显然根据已知以及(1)中的结 论,可证 平面 ,则可证明猜想.将 放入 中,即可求其正弦值. 证明 为 中,有 又 ∥平面 (2)证明 又由(1)知, 又 , 为正三角形,且 为 ∥ . 中点, 中点, ∥ , , 为 中点,

(3)

过 作

,垂足为 ,连接 , 为 中点, 平面 , , 的平面角



,又由(2)知 , 又 为二面角 , 为 又 , 为 平面 平面



中点,,又由(2) 中点,

平面

,∴





为正三角形,

∴ ∴ ∴

, ,

∴在 即二面角

, 的正弦值为 .

考点:线面平行,面面垂直,二面角. 6.已知曲线 C: (1)当 为何值时,曲线 C 表示圆; (2)在(1)的条件下,若曲线 C 与直线 的值. 交于 M、N 两点,且 ,求

(3)在(1)的条件下,设直线 与圆 交于 , 两点,是否存在实数 ,使得以 为直径的圆过原点,若存在,求出实数 的值;若不存在,请说明理由. 【答案】(1) 【解析】 试题分析: (1)根据圆的一般式可知, ,可得 范围; ,先求出圆心到 (2) (3)存在,

(2)将(1)中圆变形为标准方程,可知 存在于半径中,所以根据圆中 直线的距离 ,即可求半径得 .

(3)假设存在,则有 ,设出两点坐标,可得 .根据直线与圆的位置关系是相交,所 以联立后首先根据 初步判断 的范围,而后利用根与系数的关系用 表示出 ,将其 带入 解之,如有解且在 的范围内,则存在,否则不存在. (1)由 (2) 所以圆心 圆心 ,半径 到直线 ,即 , 的距离 . ,得 . ,



,在圆中 ,即 , . ,所以 .

(3)假设存在实数 使得以

为直径的圆过原点,则



,则有

,即 , ,即

.





,又由(1)知



故 根据根与系数的关系知: ,

故存在实数 使得以

为直径的圆过原点, 的使用.

考点:圆的一般方程的判断,直线与圆的位置关系的应用,



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