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湖北省巴东一中高二数学教案 选修2-1:曲线与方程2

§2.1.2 求曲线的方程
【学情分析】 :通过上节课的学习,领会了“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念及其关系, 并能作简单的判断与推理;对坐标法求点的轨迹方程有一定了解; 【教学目标】 : 知识与技能 1、 了解什么叫轨迹,并能根据所给的条件,选择恰当的直角坐标系求曲线的轨迹方程 2、 画出方程所表示的曲线 3、 能利用曲线的方程研究曲线的性质 过程与方法 1. 在形成概念的过程中,培养分析、抽象和概括等思维能力,掌握形数结合、函数与 方程、化归与转化等数学思想,以及坐标法、待定系数法等常用的数学方法; 2. 了解求点的轨迹方程的几种常用方法 3. 体会研究解析几何的基本思想和解决解析几何问题的方法. 情感态度与价值观 培养学生实事求是、合情推理、合作交流及独立思考等良好的个性品质,以及主动参与、 勇于探索、敢于创新的精神 【教学重点】 :求曲线方程的方法、步骤 【教学难点】 :利用方程研究曲线的性质 【课前准备】 :多媒体、实物投影仪 【教学过程设计】 :
教学环 节 教学活动 1、“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义: 设计意图 通过学生已熟悉的两种曲 线引入,有利于学生在已 有知识基础上开展学习; 提出新问题,创设情景,
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在直角坐标系中,如果某曲线 C 上的点与一个二元方程
一.复 习、引 入

f ( x, y) ? 0 的实数解建立了如下关系:
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;(纯粹性) (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. (完备性) 那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线
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引发学习兴趣。

1.坐标法 在笛卡尔以前,人们对代数方程已经有了一定的研究,但 是对于二元方程的研究较少,因为大家认识到二元方程
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能过对数学史的介绍激发 学生学习数学的兴趣。

二.坐 标法与 解析几 何主要 研究问 题

f ( x, y) ? 0 的 解 都 是 不 确 定 的

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对于这种“不定方程

f ( x, y) ? 0 ” ,除了有少数人研究它的整数解以外,大多数人
都认为研究它是没有意义的,是不必要的。笛卡尔却对对这个 “没有意义的课题”赋予了新的生命,他没有把 x , y 看成是未 知数,而是创造性地把 x 看成是变量(从此,变量引入了数学), 让 x 连续地变,则对每一个确定的 x 的值,一般来说都可以从 方程 f ( x, y) ? 0 算出相应的 y 值 ( 这就是函数思想的萌芽 )
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然后,他把这些点的集合便构成了一条曲线 C 由这样得出的曲
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-1-

线 C 和方程 f ( x, y) ? 0 有非常密切的关系:曲线上每一个点的 一对坐标都是方程的一个实数解;反之,方程的每一个实数解 对应的点都在曲线上 这就是说, 曲线上的点集和方程的实数解 集具有一一对应的关系 这个 “一一对应” 的关系导致了曲线的 研究也可以转化成对曲线的研究 这种通过研究方程的性质, 间 接地来研究曲线性质的方法叫做坐标法 (就是借助于坐标系研 究几何图形的方法) 2.解析几何的创立意义及其基本问题 在数学中, 用坐标法研究几何图形的知识形成的一门学科, 叫解析几何 它是一门用代数方法研究几何问题的数学学科, 产 生于十七世纪初期, 法国数学家笛卡尔是解析几何的奠基人 另 一位法国数学家费马也是解析几何学的创立者 他们创立解析 几何,在数学史上具有划时代的意义:一是在数学中首次引入 了变量的概念, 二是把数与形紧密地联系起来了 解析几何的创 立是近代数学开端的标志,为数学的应用开辟了广阔的领域 3.平面解析几何研究的主要问题 (1)根据已知条件,求出表示平面曲线的方程; (2)通过方程,研究平面曲线的性质
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1.例 2:设 A、B 两点的坐标分别是(-1,-1),(3,7),求

线段 AB 的垂直平分线的方程 解:如图设点 M(x,y)是线段 AB 的垂直平分线上的任意一点, 也就是属于集合: P ? {M | | MA |?| MB |}

三.例 题

由两点间的距离公式,点 M 的条件可表求为:

( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? ( x ? 3) 2 ? ( y ? 7) 2
上式两边平方,并整理得: x ? 2 y ? 7 ? 0 ①

我们证明方程①是线段 AB 的垂直平分线的方程。 (1) 由求方程的过程可知,垂直平分线上的每一点的坐标都 是方程①的解; (2) 设点 M 1 的坐标 ( x1 , y1 ) 是方程①的解,

-2-

即 x1 ? 2 y1 ? 7 ? 0

,即 x1 ? 7 ? 2 y1

点 M 1 到 A、B 的距离分别是

M1 A ? ( x1 ? 1)2 ? ( y1 ? 1)2 ? (8 ? 2 y1 )2 ? ( y1 ? 1)2 ? 5( y12 ? 6 y1 ? 13) M1B ? ( x1 ? 3)2 ? ( y1 ? 7)2 ? (4 ? 2 y1 )2 ? ( y1 ? 7) 2 ? 5( y12 ? 6 y1 ? 13)
所以 M1 A ? M1B ,即点 M 在线段 AB 的垂直平分线上 由(1)、(2)可知,方程①是线段 AB 的垂直平分线的方程 2.讨论,求简单的曲线方程的一般步骤是怎样的? 引导学生归纳求曲线的方程的一般步骤: (1)建立适当的坐标系,用有序实数对表示曲线上任意一 点 M 的坐标; (2)写出适合条件 P 的点 M 的集合; (3)用坐标表示条件 P(M) ,列出方程 f ( x, y) ? 0 ; (4)化方程 f ( x, y) ? 0 为最简形式; (5) 证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点 一般地,步骤(5)可以省略不写,如有特殊情况,可以适 当说明。
3. 例 3: 已知一条直线 l 和它上方的一个点 F, 点 F 到 l 的距离是 2, 一条曲线也在 l 的上方,它上面的每一点到 F 的距离减去到 l 的距 离的差都是 2,建立适当的坐标系,求这条曲线的方程。 例题巩固。

学生通过讨论归纳,培养 学生总结归纳能力及合作 交流精神。

引导学生分析探索解题思路,由学生板演解题过程 解:如图,取直线 l 为 x 轴,过点 F 且垂直于直线 l 为 y 轴,建立 坐标系 xOy 设点 M(x,y)是曲线上任意一点,作 MB ? x 轴,垂足为 B,则 点 M 属于集合 P ? {M |

MF ? MB ? 2}

由两点间距离公式,点 M 适合的条件可表示为

-3-

x 2 ? ( y ? 2) 2 ? y ? 2
将①式移项后两边平方,得 x 化简得
2



? ( y ? 2)2 ? ( y ? 2)2

y?

1 2 x 8

因为曲线在 x 轴的上方,所以 y ? 0 .虽然原点的坐标(0,0)是 这个方程的解,但不属于已知曲线,所以曲线的方程应是

y?

1 2 x (x ? 0) 8

它的图形是关于 y 轴对称的抛物线,但不包括抛物线的顶点. 1.教科书 P37 练习 3

2.设 A、B 两点的坐标是(1,0)、(-1,0),若 k MA

? k MB ? ?1 ,

求动点 M 的轨迹方程

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解 : 设 M 的 坐 标 为 ( x, y ) , M 属 于 集 合 P= { M |

k MA ? k MB ? ?1 }.由斜率公式,点 M 所适合的条件可表示为
y y ? ? ?1( x ? ?1) , x ?1 x ?1
整理后得

x 2 ? y 2 ? 1 ( x ≠±1)
2 2

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下面证明 x ? y ? 1 (x≠±1)是点 M 的轨迹方程
五.练 习
2 2

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(1)由求方程的过程可知, M 的坐标都是方程 x ? y ? 1 (x ≠±1)的解; (2)设点 M 1 的坐标 ( x1 , y1 ) 是方程 x ? y ? 1 (x≠±1)的
2 2

解, 即 x1 ? y1 ? 1( x1 ? ?1), y1 ? 1 ? x1 ( x1 ? ?1) ,
2 2 2 2

y1 y ? 1 ? ?1 x1 ? 1 x1 ? 1


k M1 A ? k M1B ? ?1
由上述证明可知,方程 x ? y ? 1 (x≠±1)是点 M 的轨
2 2

迹方程

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-4-

说明:所求的方程 x 2 ? y 2 ? 1 后面应加上条件x≠±1
y R
O

M Q x

六.小 结

1.求简单的曲线方程的一般步骤 2.求动点的轨迹方程中的注意点: (1).注意方程的纯粹性和完备性即不多不少。 (2).注意平面几何知识的运用。 (3).注意要求是求轨迹方程还是轨迹
3.求点的轨迹的常用方法

1.直接法; 2.定义法(和几何法联系) 3.相关点法; 4.参数法
五、作 业 教科书习题 2.1 A 组 3、4、5 B 组 1、2

练习与测试:
1.由动点 P 向圆 x 2 ? y 2 ? 1 引两条切线 PA 、 PB ,切点分别为 A 、 B , ?APB ? 60? ,动 点 P 轨迹方程是 1 2. 已知 A﹑B﹑D 三点不在一条直线上, 且A (-2, 0) , B (2, 0) , | AD |=2,AE = ( AB + AD ). 2 则 E 点的轨迹方程是 ; 3.已知点 H(-6,0) ,点 P 在 y 轴上,点 Q 在 x 轴的正半轴上,点 M 在直线 PQ 上,且满足

??? ? ???? ? ???? ? 1 ???? ? HP ? PM ? 0, PM ? MQ. 当点 P 在 y 轴上移动时,则点 M 的轨迹方程为 2
4.求点 P 到点 F(4,0)的距离比它到直线 x +5=0 的距离小 1 的点的轨迹方程
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5.过点 P(2,4)作互相垂直的直线 l1 , l 2 ,若 l1 交 x 轴于 A, l 2 交 y 轴于 B,求线段 AB 中点 M 的轨迹方程 6.已知 A、B 为两定点,动点 M 到 A 与到 B 的距离比为常数λ ,求点 M 的轨迹方程,并注明轨 迹是什么曲线
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练习与测试解答:
1. x ? y ? 4
2 2

由圆的几何性质知 P、 A 、 O 组成一个以 ?APO ? 30? , ?OAP ? 90? ,且 OA ? 1
2 2 的直角三角形,故 OP ? 1 ,∴点 P 轨迹方程为 x ? y ? 4 2 2 2.x +y =1

1 解:设 E(x,y), AC = AB + AD ,则四边形 ABCD 为平行四边形,而 AE = ( AB + AD ), 2

-5-

∴E 为 AC 的中点,∴OE 为Δ ABD 的中位线, 1 2 2 ∴| OE |= | AD |=1,∴E 点的轨迹方程是 x +y =1 2 3. y 2 ? 8x. ( x ? 0 ) 解:设点 M 的坐标为 ( x, y ), 则PM ? 由 HP ? PM ? 0, 得(6,

??? ? ???? ?

1 3y MQ , 得P(0, ), (3x,0), 2 2

3y y ) ? ( x, ? ) ? 0, 所以y 2 ? 8 x. 2 2

由点 Q 在 x 轴的正半轴上,得 x ? 0 . 故,所求点的轨迹方程为: y 2 ? 8x. ( x ? 0 )

4.解:设 P ( x, y ) 为所求轨迹上任意一点, ∵点 P 到 F 的距离比它到直线 x +5=0 的距离小 1. 故点 P 到 F(4,0)的距离与点 P 到直线 x +4=0 的距离|PD|相等 ∴|PF|=|PD|
2 2 ∴ ( x ? 4) ? y =| x -(-4)|

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∴ y 2 ? 16x

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5.解法一:设 M ( x, y ) 为所求轨迹上任一点, ∵M 为 AB 中点,∴A(2 x ,0),B(0,2 y ), ∵ l1 ⊥ l 2 且 l1 , l 2 过点 P(2,4) ,∴PA⊥PB ∵ k PA = ∴ k PA ? k PB ? ?1

4 4 ? 2y (x≠1), k PB = 2 ? 2x 2 4 4 ? 2y ∴ · =-1 即 x +2 y -5=0( x ≠1) 2 ? 2x 2
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当 x =1 时, A (2, 0) 、 B (0, 4) ,此时 AB 中点 M 的坐标为 (1, 2) , 它也满足方程 x +2 y -5=0. ∴所求点 M 的轨迹方程为 x +2 y -5=0
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解法二:连结 PM. 设 M ( x, y ) ,则 A(2 x ,0),B(0,2 y )

y B

P

∵ l1 ⊥ l 2 ,∴△PAB 为直角三角形 ∴|PM|=

1 |AB| 2
2 2

M
O

A

x

即 ( x ? 2) ? ( y ? 4) ?

1 4x 2 ? 4 y 2 2
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化简: x +2 y -5=0 ∴所求点 M 的轨迹方程为 x +2 y -5=0
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6.解 以 AB 所在直线为 x 轴,以 AB 垂直平分线为 y 轴,建立直角坐标系, 设|AB|=2a,则 A(-a,0),B(a,0)
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设 M(x,y)是轨迹上任意一点 则由题设,得
2 2

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( x ? a) 2 ? y 2 | MA | =λ ,坐标代入,得 =λ ,化简得 | MB | ( x ? a) 2 ? y 2
2 2 2 2 2

(1-λ )x +(1-λ )y +2a(1+λ )x+(1-λ )a =0 (1)当λ =1 时,即|MA|=|MB|时,点 M 的轨迹方程是 x=0,点 M 的轨迹是直线(y 轴) (2)当λ ≠1 时, 点 M 的轨迹方程是 x +y +
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2a(1 ? ?2 ) 2 x+a =0 2 1? ?

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点 M 的轨迹是以(-

a (1 ? ?2 ) , 0) 1 ? ?2

为圆心,

2 a? 为半径的圆 | 1 ? ?2 |

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