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高中数学 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积学案1新人教版必修2

第一章三节

课题柱体、锥体、台体的表面积与体积(1)

【学习目标】 1. 理 解和掌握柱、锥、台的表面积计算公式; 2. 能运用柱、锥、台的表面积公式进行计算和解决 有关实际问题. 【重点难点】 学习重点:柱、锥、台表 面积、体积的计算公式。 学习难点:利用相应公式求柱、锥、台表面积、体积。 【学习过程】 一、自主预习 (预习教材 P23~ P25,找出疑惑之处) 复习:斜二测画法画的 直观图中, x ? 轴与 y ? 轴的夹角为____,在原图中平行于 x 轴或 y 轴 的线段画成与___和___保持平行;其中平行于 x 轴的线段长度保持_____,平行于 y 轴的线 段长度____________. 引入:研究空间几何体,除了研究结构特征和视图以外,还得研究它的表面积和体积.表面 积是几何体表面的面积,表示几何体表面的大小;体积是几何体所占空间的大小.那么如何 求柱、锥、台、球的表面积和体积呢? 二、合作探究 归纳展示 探究 1:棱柱、棱锥、棱台的表面积 问题:我们学习过正方体和长方体的表面积,以及它们的展开图(下图) ,你觉的它们展开 图与其表面积有什么关系吗?

结论: 正方体、长方体是由多个平面围成的多面体,其表面积就是各个面的面积的和,也 就是展开图的面积. 新知 1:棱柱、棱锥、棱台都是多面体,它们的表面积就是其侧面展开图的面积加上 底面的 面积. 试试 1:想想下面多面体的侧面展开图都是什么样子,它们的表面 积如何计算?

正六棱柱

正四棱台

正四棱锥

探究 2:圆柱、圆锥、圆台的表面积 问题:根据圆柱、圆锥的几何特征,它们的侧面展开图是什么图形?它们的表面 积等于什么?你能推导它们表面积的计算公式吗?

新知 2: (1)设圆柱的底面半径为 r ,母线长为 l ,则它的表面积等于圆柱的侧面积(矩形) 加上底面积(两个圆) ,即 S ? 2? r 2 ? 2? rl ? 2? r (r ? l ) . (2)设圆锥的底面半径为 r ,母线长为 l ,则它的表面积等 于圆锥的侧面积(扇形)加上 底面积(圆形) ,即 S ? ? r 2 ? ? rl ? ? r (r ? l ) . 试试 2:圆台的侧面展开图叫扇环,扇环是怎么得到的呢?(能否看作是个大扇形减去个小 扇形呢)你能试着求出扇环的面积吗?从而圆台的表面积呢?

新知 3:设圆台的上、下底面半径分别为 r ? , r ,母线长为 l ,则它的表面积等上、下底面 的面积(大、小圆)加上侧面的面积(扇环) ,即 2 2 2 2 S ? ? r ? ? ? r ? ? (r ?l ? rl ) ? ? (r ? ? r ? r ?l ? rl ) . 反思:想想圆柱、圆锥、圆台的结构,你觉得它们的侧面积之间有什么关系吗?

例 1 已知棱长为 a ,各面均为等边三角形的四面体 S ? ABC ,求它的表面积.

例 2 如图,一个圆台形花盆盆口直径为 20 cm ,盆底直径为 15 cm ,底部渗水圆孔直径为 1.5cm ,盆壁长 15 cm .为了美化花盆的外 观,需要涂油漆.已知每平方米用 100 毫升油漆,涂 100 个这样的花盆需要多少油漆( ? 取 3.14,结果精确到 1 毫升)?

动手试试 练 1. 一个正三棱锥的侧面都 是直角三角形,底面边长为 a ,求它的表面积.

练 2. 粉碎机的上料斗是正四棱台形状, 它的上、 下底面边长分别为 80 mm 、 440 mm , 高(上 下底面的距离)是 20 0 mm , 计算制造这样一个下料斗所需铁板的面积.

三、讨论交流 点拨提升 师生点拨要点记载:

四、学能展示 课堂闯关 1. 正方体的表面积是 64,则它对角线的长为( D. 16

).

A. 4 3 B. 3 4 C. 4 2 2. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的表面积与侧面积的比是( ). 1 ? 2? 1 ? 4? 1 ? 2? 1 ? 4? A. B. C. D. 2? 4? ? 2? 3. 一个正四棱台的两底面边长分别为 m , n (m ? n) ,侧面积等于两个底面积 之和,则这个棱 台的高为( ). mn m?n mn m?n A. B. C. D. m?n mn m?n mn 4. 如果圆锥的轴截面是正三角形 ,则该圆锥的侧面积与表面积的比是_____________. 5. 已知圆台的上、下底面半径和高的比为 1 ︰ 4 ︰ 4, 母线长为 10, 则圆台的侧面积为 ___________. 五、学后反思 1. 棱柱、棱锥、棱台及圆柱、圆锥、圆台的表面积计算公式; 2. 将空间图 形问题 转化为平面图形问题,是解决立体几何问题最基本、最常用的方法.

知识拓展 当柱体、锥体、台体是一些特殊的几何体 ,比如直棱柱、正棱锥、正棱台时,它们的展开 图是一些规则的平面图形,表面积比较好求;当它们不是特殊的 几何体,比如斜棱柱、不 规则的四面体时,要注意分析各个面的形状、特点,看清楚题目所给的条件,想办法求出各 个面的面积,最后相加. 【课后 作业】 : 1、用长为 4,宽为 2 的矩形做面围成一个圆柱,则此圆柱的侧面积为 ( ) A.

2

?

B.

8

?

C.

4

?

D.8

r 2. 圆锥的底面半径为 r , 母线长为 l , 侧面展开图扇形的圆心角为 ? , 求证: . ? ? ? 360(度) l

3. 如图,在长方体中, AB ? b ,BC ? c ,CC1 ? a ,且 a ? b ? c ,求沿着长方体表面 A 到 C1 的最短路线长.

D? A? D
A B

C?

B?

C



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