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陕西


2010 2010 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学
一、选择题: (1)已知集合 A = x x ≤ 2, x ∈ R , B = x (A) ( 0, 2 ) (2)已知复数 z = (B) [ 0, 2] (C) {0, 2}

{

}

{

x ≤ 4, x ∈ Z ,则 A I B =
(D) {0,1, 2}

}

(

3 +i

1 ? 3i

)

2

, z 是 z 的共轭复数,则 z ? z

(A)

1 4

(B)

1 2

(C)1

(D)2

(3)曲线 y =

x 在点 ( ?1, ?1) 处的切线方程为 x+2
(B) y = 2 x ? 1 (C) y = ?2 x ? 3 (D) y = ?2 x ? 2

(A) y = 2 x + 1

(4)如图,质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动,其初始位置为 P0

(

2, ? 2 ,角速度为 1,那么点 P 到 x 轴距离

)

d 关于时间 t 的函数图像大致为

(5)已知命题 p1 :函数 y = 2 x ? 2? x 在 R 为增函数, p2 :函数 y = 2 x + 2 ? x 在 R 为减函数, 则在命题 q1 : p1 ∨ p2 , q2 : p1 ∧ p2 , q3 : ( ? p1 ) ∨ p2 和 q4 : p1 ∧ ( ? p2 ) 中,真命题是 (A) q1 , q3 (B) q2 , q3 (C) q1 , q4 (D) q2 , q4

(6)某种种子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了 1000 粒 ,对于没有发芽的种子,每粒需再补种 2 粒,补种的种子 数记为 X,则 X 的数学期望为(A)100 (B)200 (C)300 (D)400

(7)如果执行右面的框图,输入 N = 5 ,则输出的数等于

5 4 4 (B) 5 6 (C) 5 5 (D) 6
(A)

1

(8)设偶函数 f ( x ) 满足 f ( x ) = x ? 8 ( x ≥ 0 ) ,则 x f ( x ? 2 )>0 =
3

{

}

(A) x x <- 2或x>4 (C) x x <0或x>6

{

}

(B) x x <0或x>4

{

} }
α

{

}

(D) x x <- 2或x>2

{

(9 )若 cos α = ?

(A) ?

1 2

4 2 = , α 是第三象限的角,则 α 5 1 ? tan 2 1 (B) (C)2 (D) ?2 2
7 3 11 2 πa 3
(D) 5π a

1 + tan

(10)设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为 a,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为 (A) π a
2

(B) π a

2

2

(C)

? lg x , 0<x ≤ 10, ? 若 a,b,c 互不相等,且 f ( a ) = f ( b ) = f ( c ) ,则 abc 的取值范围是 (11)已知函数 f ( x ) = ? 1 ?? x + 6, x>10 ? 2
(A) (1,10 ) (B) ( 5, 6 ) (C) (10,12 ) (D) ( 20, 24 )

(12) 已知双曲线 E 的中心为原点, F(3,0)是 E 的焦点, F 的直线 l 与 E 相交于 A, 两点, AB 的中点为 N(-12,-15), 过 B 且 则 E 的方程为

(A)

x2 y 2 ? =1 3 6

(B)

x2 y 2 ? =1 4 5

(C)

x2 y 2 ? =1 6 3

(D)

x2 y 2 ? =1 5 4

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13) 设 y=f(x)为区间[0,1]上的连续函数,且恒有 0≤f(x) ≤1,可以用随机模拟方法近似计算积分



1

0

f ( x)dx ,先产

生两组 (每组 N 个) 区间[0,1]上的均匀随机数 x1 , x2 …, xN 和 y1 , y2 …, y N ,由此得到 N 个点 x1 ,y1 ) ( (i=1,2,…,N) , 在数出其中满足 y1 ≤ f ( x1 ) ( (i=1,2,…,N) )的点数 N1 ,那么由随机模拟方法可得积分 为 . (14)正视图为一个三角形的几何体可以是 (15)过点 A(4,1)的圆 C 与直线 x ? y ? 1 = 0 相切于点 (16)在 ?ABC 中,D 为边 BC 上一点,BD=



1

0

f ( x)dx 的近似值

.(写出三种) B(2,1).则圆 C 的方程为 .

1 DC, ∠ABC =120°,AD=2,若 ?ADC 的面积为 3 ? 3 ,则 ∠BAC = 2

三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 (17)设数列 {an } 满足 a1 = 2 , an +1 ? an = 3 2 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式: (Ⅱ)令 bn = nan ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn . (18) 如圈,己知四棱锥 P-ABCD 的底面为等腰梯形,AB∥CD, AC ⊥BD 垂足为 H,PH 是四棱锥的高,E 为 AD 中点. (Ⅰ) 证明:PE⊥BC
2
2 n ?1

(Ⅱ)若 ∠APB = ∠ADB =60°,求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值.

(19) 为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老年人,结果如下: (Ⅰ) 估计该 地区老 年 人 中,需 要志愿者提供帮助的老年人的比例; (Ⅱ)能否有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关? (Ⅲ)根据(Ⅱ)的结论,能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例? 说明理由.

x2 y2 (20)设 F1 , F2 分别是椭圆 E: 2 + 2 = 1 (a>b>0)的左、右焦点,过 F1 斜率为 1 的直线 l 与 E 相较于 A,B 两点,且 a b

AF2 , AB , BF2 成等差数列.
(Ⅰ)求 E 的离心率; (Ⅱ)设点 P(0,-1)满足 PA = PB ,求 E 的方程. (21)设函数 f(x)= e ? 1 ? x ? ax .
x 2

(Ⅰ)若 a=0,求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若当 x≥0 时 f(x)≥0,求 a 的取值范围. (22) 如图, 已知圆上的弧 AC = BD ,过 C 点的圆的切线与 BA 的延长线交 于 E 点,证明: (Ⅰ) ∠ACE = ∠BCD ; (Ⅱ) BC = BE × CD ;
2

(23) 已知直线 C1 : ? (Ⅰ)当 α =

? x = 1 + t cos α . ? x = cos θ , (t 为参数) ,圆 C2 : ? ? y = t sin α , ? y = sin θ ,
时,求 C1 与 C2 的交点坐标;

( θ 为参数),

π
3

(Ⅱ)过坐标原 点 O 作 C1 的垂线,垂足为 A,P 为 OA 的中点,当 α 变化时,求 P 点轨迹的参数方程,并指出它是 什么曲线 (24) 设函数 f(x)= 2 x ? 4 + 1 (Ⅰ)画 出函数 y=f(x)的图像; (Ⅱ)若不等式 f(x)≤ax 的解集非空,求 a 的取值范围.

3

4

5

6

7



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