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高二年级数学竞赛试卷


高二年级数学竞赛试卷
总分:150 分 时量:90 分钟 命题人:罗永义
) A B 一、选择题: (5 分×10=50 分) 1.下列表示图形中的阴影部分的是( A. ( A ? C ) ? ( B ? C ) B. ( A ? B) ? ( A ? C ) C. ( A ? B) ? ( B ? C ) D. ( A ? B) ? C

C
4 2 2.已知集合 A ? ?1, 2,3, k ? , B ? 4, 7, a , a ? 3a ,且 a ? N * , x ? A, y ? B

?

?

使 B 中元素 y ? 3x ? 1 和 A 中的元素 x 对应,则 a, k 的值分别为( A 2, 3 B. 3, 4 C. 3, 5
2



D. 2, 5
2

3.已知函数 f ( x) ? (m ? 1) x ? (m ? 2) x ? (m ? 7m ? 12) 为偶函数,则 m 的值是( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4.有五条线段长度分别为 1,3,5,7,9 ,从这 5 条线段中任取 3 条, 则所取 3 条线段能构成一个三角形的概率为( ) A.



1 10

B.

3 10

C.

1 2

D.

7 10
,则

5.设 ? 角属于第二象限,且 cos
A.第一象限

?
2

? ? cos

?
2

? 角属于( 2
D.第四象限



B.第二象限

C.第三象限
2

6.已知条件 p : x ? 1 ? 2 ,条件 q : 5x ? 6 ? x ,则 ? p 是 ? q 的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件



C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

7.化简 AC ? BD ? CD ? AB 得(

????

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? A. AB



B. DA

C. BC
0

D. 0
0

?

8.在△ABC 中,若 C ? 90 , a ? 6, B ? 30 ,则 c ? b 等于( A. 1 B. ? 1 C. 2 3 D. ? 2 3
2



2 9.若 ? 2 x ? 5x ? 2 ? 0 ,则 4 x ? 4 x ? 1 ? 2 x ? 2 等于(



A. 4 x ? 5

B. ? 3

C. 3

D. 5 ? 4 x )

10.函数 y ? sin(2 x ? ? )(0 ? ? ? ? ) 是 R 上的偶函数,则 ? 的值是( A. 0 B.

? 4

C.

? 2

D. ? 。

二、填空题: (5 分×10=50 分) 1. 若集合 A ? ?x | x ? 6, x ? N? , B ? {x | x是非质数} , C ? A ? B ,则 C 的非空子集的个数为 2.函数 y ?

x?2 的定义域 x2 ? 4

。 则 不 等 式

3.设奇函数 f ( x) 的定义域为 ? ?5,5? ,若当 x ? [0,5] 时, f ( x) 的图象如右图,

f ( x) ? 0 的解是
4.设扇形的周长为 8cm ,面积为 4cm ,则扇形的圆心角的弧度数是
2

5.若椭圆 x2 ? my 2 ? 1 的离心率为

3 ,则它的长半轴长为_______________. 2

6.在△ABC 中,若 sin A ∶ sin B ∶ sin C ? 7 ∶ 8 ∶ 13 ,则 C ? _____________ 7.数列{ an }是等差数列, a4 ? 7 ,则 s7 ? _________ 8.把“五进制”数 1234(5) 转化为转化为“八进制”数_____________ 9.函数 y ?

x 2 ? x ? 1 的值域为_____________。
cos x ? sin x 的值为_____________。 。 cos x ? sin x

10.已知 tan x ? 2 ,则

三、解答题

? y ? x, ? 1.求 z ? 2 x ? y 的最大值,使式中的 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, ? y ? ?1. ?

2.已知向量 a与b 的夹角为 60 , | b |? 4,(a ? 2b).(a ? 3b) ? ?72 ,求向量 a 的模。
?

? ?

?

?

? ?

?

?

3.已知函数 f ( x ) 的定义域为 ? ?1,1? ,且同时满足下列条件: (1) f ( x ) 是奇函数;
2 (2) f ( x ) 在定义域上单调递减; (3) f (1 ? a) ? f (1 ? a ) ? 0, 求 a 的取值范围

2 4.命题 p : 方程 x ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的正实数根,

2 命题 q : 方程 4 x ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实数根。若“ p 或 q ”为真命题,求 m 的取值范围

5.已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ,试确定 m 的值,使得在此椭圆上存在不同 4 3

两点关于直线 y ? 4 x ? m 对称。

6、如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 是菱形, AB ? 2, ?BAD ? 60 .
?

(Ⅰ)求证: BD ? 平面 PAC; (Ⅱ)若 PA ? AB, 求 PB 与 AC 所成角的余弦值; (Ⅲ)当平面 PBC 与平面 PDC 垂直时,求 PA 的长.


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