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高中数学第一章计数原理课时训练07二项式定理新人教B版选修2_3

高中数学第一章计数原理课时训练 07 二项式定理新人教 B 版
选修 2_3
(限时:10 分钟) 1.已知 f(x)=|x+2|+|x-4|的最小值为 n,则二项式 n 展开式 中含 x2 项的系数为( ) A.15 B.-15 C.30 D.-30 答案:A 2.(1+2x)5 的展开式中,含 x2 项的系数等于( ) A.80 B.40 C.20 D.10 答案:B 3.若 A=37+C·35+C·33+C·3,B=C·36+C·34+C·32+1, 则 A-B=__________. 答案:128 4.9 展开式的常数项为__________. 解析:因为 Tk+1=C9-kk=C·32k-9x9-k, 令 9-k=0,得 k=6, 即常数项为 T7=C·33=2 268. 答案:2 268 5.若二项式 6(a>0)的展开式中 x3 的系数为 A,常数项为 B,若 B=4A,求 a 的值. 解析:因为 Tk+1=Cx6-kk =(-a)kCx6-, 令 k=2,得 A=C·a2=15a2; 令 k=4,得 B=C·a4=15a4; 由 B=4A 可得 a2=4, 又 a>0,所以 a=2.
(限时:30 分钟) 一、选择题
1/4

1.若 7 展开式的第四项等于 7,则 x 等于( )

A.-5 B.-15

C.

D.5

答案:B

2.在二项式 5 的展开式中,含 x4 的项的系数是( )

A.-10 B.10

C.-5 D.5

答案:B

3.设函数 f(x)=则当 x>0 时,f(f(x))表达式的展开式中常数项

为( )

A.-20 B.20

C.-15 D.15

答案:A

4.(x2+2)5 的展开式的常数项是( )

A.-3 B.-2

C.2 D.3

答案:D

5.230-3 除以 7 的余数是( )

A.-3 B.-2

C.-5 D.5

解析:230-3=(23)10-3

=(8)10-3=(7+1)10-3

=C710+C79+…+C7+C-3

=7×(C79+C78+…+C)-2.

又因为余数不能为负数(需转化为正数),

所以 230-3 除以 7 的余数为 5.

答案:D

二、填空题

6.x7 的展开式中,x4 的系数是__________.(用数字作答)

解析:原问题等价于求 7 的展开式中 x3 的系数,7 的通项 Tr+1

=Cx7-rr

=(-2)rCx7-2r,

令 7-2r=3 得 r=2,

所以 x3 的系数为(-2)2C=84,

2/4

即 x7 的展开式中 x4 的系数为 84. 答案:84 7.若二项式(1+2x)n 展开式中 x3 的系数等于 x2 的系数的 4 倍, 则 n 等于________. 解析:(1+2x)n 的展开式通项为 Tr+1=C(2x)r=C2rxr,又 x3 的系数等于 x2 的系数的 4 倍,所以 C23=4C22,所以 n=8. 答案:8 8 . 二 项 式 (x + y)5 的 展 开 式 中 , 含 x2y3 的 项 的 系 数 是 __________.(用数字作答) 解析:根据二项式的展开式通项公式可得 Tr+1=Cx5-ryr,可得 含 x2y3 的项为 Cx2y3,所以其系数为 10. 答案:10 三、解答题 9.在二项式(x+)80 的展开式中,系数为有理数的项共有多少项? 解析:设系数为有理数的项为第 k+1 项, 即 C(x)80-k()k =240-×3Cx80-k, 因为系数为有理数,所以 k 能被 2 整除, 又因为 k=0,1,2,…,80, 所以当 k=0,2,4,6,…,80 时,满足条件,所以共有 41 项. 10.在 8 的展开式中,求 (1)第 5 项的二项式系数及第 5 项的系数. (2)x2 的系数. 解析:(1)T5=T4+1=C(2x2)8-44
20
=C·24·x. 3 所以第 5 项的二项式系数是 C=70,第 5 项的系数是 C·24=1 120. (2)8 的通项是 Tk+1=C(2x2)8-kk=(-1)kC·28-k·x16-k. 根据题意得,16-k=2,解得 k=6, 因此,x2 的系数是(-1)6C·28-6=112. 11.在二项式 n 的展开式中,前三项系数的绝对值成等差数列. (1)求展开式的第四项. (2)求展开式的常数项. 解析:Tk+1=C()n-kk =kCxn-k,
3/4

由前三项系数的绝对值成等差数列, 得 C+2C=2×C, 解这个方程得 n=8 或 n=1(舍去). (1)展开式的第四项为:
2
T4=3Cx=-7. 3 (2)当-k=0,即 k=4 时,常数项为 4C=.
4/4



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