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2017届高考数学(理)一轮复习对点训练:2-4-1二次函数.doc

1 ? 1 1.如果函数 f(x)= (m-2)x2+(n-8)x+1(m≥0,n≥0)在区间? ?2,2?上单调递减,那么 mn 2 的最大值为( A.16 C.25 答案 B 解析 1 ? 由 已 知 得 f′(x) = (m - 2)x + n - 8 , 又 对 任 意 的 x ∈ ? ?2,2? , f′(x)≤0 , 所 以 ) B.18 81 D. 2

1 ? ?f′?2?≤0 ? ? ? , ? ?f′? 2? ≤0 m≥0,n≥0 ? ? 即?m+2n≤18 ? ?2m+n≤12

,画出该不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,

t 令 mn=t,则当 n=0 时,t=0,当 n≠0 时,m= .由线性规划的相关知识知,只有当直 n

?-n =-2 t 线 2m+n=12 与曲线 m= 相切时,t 取得最大值.由? n 1 t ?6-2n=n
2

t

1 ,

解得 n=6,t=18,所以(mn)max=18,选 B. 2.已知 a,b,c∈R,函数 f(x)=ax2+bx+c.若 f(0)=f(4)>f(1),则( A.a>0,4a+b=0 C.a>0,2a+b=0 答案 A B.a<0,4a+b=0 D.a<0,2a+b=0 )

解析 由 f(0)=f(4)得 f(x)=ax2+bx+c 的对称轴为 x=- ∴f(x)先减后增,∴a>0,选 A.

b =2, ∴4a+b=0, 又 f(0)>f(1), 2a

3.两个二次函数 f(x)=ax2+bx+c 与 g(x)=bx2+ax+c 的图象可能是(

)

答案 D b a b 解析 函数 f(x)图象的对称轴为 x=- , 函数 g(x)图象的对称轴为 x=- , 显然- 2a 2b 2a a 与- 同号,故两个函数图象的对称轴应该在 y 轴的同侧,只有 D 满足.故选 D. 2b π π? 4.若函数 f(x)=cos2x+asinx 在区间? ?6,2?上是减函数,则 a 的取值范围是________. 答案 解析 (-∞,2] π π? ?1 ? f(x)=cos2x+asinx=1-2sin2x+asinx,令 t=sinx,x∈? ?6,2?,则 t∈?2,1?,原

1 ? 函数化为 y=-2t2+at+1, 由题意及复合函数单调性的判定可知 y=-2t2+at+1 在? ?2,1?上 a 1 是减函数,结合抛物线图象可知, ≤ ,所以 a≤2. 4 2 5.已知函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在 x∈[0,1]时有最大值 2,则 a 的值为________. 答案 2 或-1 解析 f(x)=-(x-a)2+a2-a+1,在 x∈[0,1]时,

当 a≥1 时,f(x)max=f(1)=a; 当 0<a<1 时,f(x)max=f(a)=a2-a+1; 当 a≤0 时,f(x)max=f(0)=1-a.
?a≥1, ?0<a<1, ?a≤0, ? ? ? 根据已知条件得,? 或? 2 或? ? ? ? ?a=2 ?a -a+1=2 ?1-a=2.

解得 a=2 或 a=-1. 3 4 5 6.对于 c>0,当非零实数 a,b 满足 4a2-2ab+4b2-c=0 且使|2a+b|最大时, - + a b c 的最小值为________. 答案 -2 解析 设 2a+b=t,则 2a=t-b,由已知得关于 b 的方程(t-b)2-b(t-b)+4b2-c=0

有解,即 6b2-3tb+t2-c=0 有解. 8 故 Δ=9t2-24(t2-c)≥0,所以 t2≤ c, 5 所以|t|max= 2 10c 5 1 3t 3t ,此时 c= t2,b= t,2a=t-b= ,所以 a= . 5 8 4 4 8

1 1? 3 4 5 8 16 8 故 - + = - + 2=8? ?t2- t ? a b c t t t 1 1?2 =8? ? t -2? -2≥-2. 7.已知函数 f(x)=|x2+3x|,x∈R.若方程 f(x)-a|x-1|=0 恰有 4 个互异的实数根,则 实数 a 的取值范围为________. 答案 (0,1)∪(9,+∞)

解析 在同一坐标系中分别作出函数 f(x)与 y=a|x-1|的图象,由图知,当 a=0 时,两 函数的图象只有 2 个交点,当 a<0 时,两图象没有交点,故必有 a>0.

若曲线 y=-x2-3x(-3≤x≤0)与直线 y=-a(x-1)(x≤1)相切,联立方程得 x2+(3-a)x+ a=0,则由 Δ=0 得 a=1(a=9 舍去),因此当 0<a<1 时,f(x)的图象与 y=a|x-1|的图象有 4 个交点; 若曲线 y=x2+3x(x>0)与直线 y=a(x-1)(x>1)相切,联立方程得 x2+(3-a)x+a=0,则 由 Δ=0 可得 a=9(a=1 舍去),因此当 a>9 时,f(x)的图象与 y=a|x-1|的图象有 4 个交点, 故当方程有 4 个互异实数根时,实数 a 的取值范围是(0,1)∪(9,+∞).



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