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2016-2017学年辽宁省重点高中协作校高一(上)期中数学试卷


2016-2017 学年辽宁省重点高中协作校高一(上)期中数学试卷
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)设 P={质数},Q={偶数},则 P∩Q 等于( A.{2} B.2 C.N D.? ) )

2. (5 分)若 a>0 且 a≠1,那么函数 y=ax 与 y=logax 的图象关于( A.原点对称 B.直线 y=x 对称 C.x 轴对称 D.y 轴对称

3. (5 分)无论 a 取何值,函数 f(x)=logax﹣2 的图象必过( A. (0,﹣2) B. (1,0) C. (1,﹣2) D. (0,2) 4. (5 分)下列四组函数中,表示同一函数的是( A.f(x)=lgx4,g(x)=4lgx C. ,g(x)=x+2 B. D. ) , ,

)点.

5. (5 分)已知 f(x)是一次函数,且 3f(1)﹣2f(2)=﹣5,2f(0)﹣f(﹣1) =1,则 f(x)的解析式为( A.f(x)=3x﹣2 )

B.f(x)=3x+2 C.f(x)=2x+3 D.f(x)=2x﹣3 )

6. (5 分)下列说法正确的是( A.对于任何实数 a, B.对于任何实数 a,

都成立 都成立

C.对于任何实数 a,b,总有 ln(a?b)=lna+lnb D.对于任何正数 a,b,总有 ln(a+b)=lna?lnb 7. (5 分)已知集合 A={0,1},B={x,y,z},则从集合 A 到集合 B 的映射可能 有( A.6 )种. B.8 C.9 D.12

8. (5 分)下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数是 ( A. ) B. C. D.
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9. (5 分)函数 y= A.[﹣1,1]

(x≥1)的值域是(

) D. (﹣1,1)

B.[﹣1,1) C. (﹣1,1]

10. (5 分)若 x0 是函数 f(x)=2 ∞) ,则( )

的一个零点,x1∈(0,x0) ,x2∈(x0,+

A.f(x1)<0,f(x2)<0 B.f(x1)>0,f(x2)>0 C.f(x1)>0,f(x2) <0 D.f(x1)<0,f(x2)>0 11. (5 分)下列四个命题: (1)函数 f(x)在 x>0 时是增函数,x<0 时也是增函数,所以 f(x)是增函 数; (2)若 m=loga2,n=logb2 且 m>n,则 a<b; (3)函数 f(x)=x2+2(a﹣1)x+2 在区间(﹣∞,4]上是减函数,则实数 a 的 取值范围是 a≤﹣3; (4)y=log (x2+x﹣2)的减区间为(1,+∞) . ) D.3

其中正确的个数是( A.0 B.1 C.2

12. (5 分)已知函数 f(x)=( )x,g(x)=x2,对于不相等的实数 x1,x2,设 m= ,n= ,则下列说法正确的有( )

①对于任意不相等的实数 x1,x2,都有 m<0; ②对于任意不相等的实数 x1,x2,都有 n<0; ③存在不相等的实数 x1,x2,使得 m=n. A.① B.①③ C.②③ D.①②③

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13. (5 分)设 f(x)的图象在区间[a,b]上不间断,且 f(a)f(b)<0,用二 分法求相应方程的根时,若 f(a)<0,f(b)>0,f( 区间为 . ﹣2)的定义域 )>0,则取有根的

14. (5 分)设函数 f(x+1)的定义域为[﹣1,0],则函数 f(
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. 为奇函数,则 a= .

15. (5 分)若函数 y=ln

16. (5 分)设 x∈R,[x]表示不超过 x 的最大整数,若存在实数 t,使得[t]=1, [t2]=2,…,[tn]=n 同时成立,则正整数 n 的最大值是 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.) 17. (10 分)已知集合 A=[2,log2t],集合 B={x|y= },

(1)对于区间[a,b],定义此区间的“长度”为 b﹣a,若 A 的区间“长度”为 3, 试求实数 t 的值. (2)若 A?B,试求实数 t 的取值范围. 18. (12 分)化简: (1) (2) (lg2)?[(ln ?( ) ; 5].

)﹣1+log

19. (12 分)设全集 U=R,A={x|2x2﹣x=0},B={x|mx2﹣mx﹣1=0},其中 x∈R, 如果(?UA)∩B=?,求 m 的取值范围. 20. (12 分)如图所示的函数 F(x)的图象,由指数函数 f(x)=ax 与幂函数 g (x)=xb“拼接”而成. (1)求 F(x)的解析式; (2)比较 ab 与 ba 的大小; (3)已知(m+4)﹣b<(3﹣2m)﹣b,求 m 的取值范围.

21. (12 分) 某产品关税与市场供应量 P 的关系近似地满足: P (x) =2
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(其中 t 为关税的税率,且 t∈[0, ],x 为市场价格,b,k 为正常数) ,当 t= 时,市场供应量曲线如图所示: (1)根据函数图象求 k,b 的值; (2)若市场需求量 Q,它近似满足 Q(x)=2 .当 P=Q 时的市场价格为

均衡价格,为使均衡价格控制在不低于 9 元的范围内,求税率 t 的最小值.

22. (12 分)已知函数 f(x)=x+ (x>0,m>0)和函数 g(x)=a|x﹣b|+c(x ∈R,a>0,b>0) .问: (1)证明:f(x)在( ,+∞)上是增函数;

(2)把函数 g1(x)=|x|和 g2(x)=|x﹣1|写成分段函数的形式,并画出它们的 图象,总结出 g2(x)的图象是如何由 g1(x)的图象得到的.请利用上面你的结 论说明:g(x)的图象关于 x=b 对称; (3)当 m=1,b=2,c=0 时,若 f(x)>g(x)对于任意的 x>0 恒成立,求 a 的取值范围.

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2016-2017 学年辽宁省重点高中协作校高一(上)期中数 学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. (5 分) (2016 秋?辽宁期中)设 P={质数},Q={偶数},则 P∩Q 等于( A.{2} B.2 C.N D.? )

【分析】通过唯一的质偶数是 2,与 Q 集合求出交集即可. 【解答】解:因为 P={质数},Q={偶数}, P 中唯一的偶数是 2, 所以 P∩Q={2}. 故选 A. 【点评】本题考查集合的交集的求法,质数与偶数的定义,基本知识的应用.

2. (5 分) (2016 秋?辽宁期中)若 a>0 且 a≠1,那么函数 y=ax 与 y=logax 的图 象关于( A.原点对称 ) B.直线 y=x 对称 C.x 轴对称 D.y 轴对称

【分析】利用互为反函数的图象关于直线 y=x 对称即可得出. 【解答】解:∵a>0 且 a≠1,那么函数 y=ax 与 y=logax 互为反函数,因此其图象 关于直线 y=x 对称. 故选:B. 【点评】本题考查了互为反函数的图象关于直线 y=x 对称的性质,属于基础题.

3. (5 分) (2016 秋?辽宁期中)无论 a 取何值,函数 f(x)=logax﹣2 的图象必 过( )点.

A. (0,﹣2) B. (1,0) C. (1,﹣2) D. (0,2) 【分析】根据对数函数的性质,令 x=1,求出 f(1)的值即可.
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【解答】解:令 x=1,得:f(x)=﹣2, 故函数 f(x)过(1,﹣2) , 故选:C. 【点评】本题考查了对数函数的性质,考查函数求值问题,是一道基础题.

4. (5 分) (2016 秋?辽宁期中)下列四组函数中,表示同一函数的是( A.f(x)=lgx4,g(x)=4lgx C. ,g(x)=x+2 B. D. , ,



【分析】根据两个函数的定义域相同,对应关系也相同,判断它们是同一函数即 可 【解答】解:对于 A:f(x)=lgx4 的定义域是{x|x≠0},而 g(x)=4lgx 的定义 域是{x|x>0},定义域不相同,∴不是同一函数; 对于 B: 同,∴是同一函数; 对于 C: 的定义域是{x|x≠2},而 g(x)=x+2 的定义域是 R,定义域 =|x|, ,定义域相同,对应关系也相

不相同,∴不是同一函数; 对于 D: 的定义域是{x|﹣1≤x≤1},而 g(x)= 的定义

域是{x|1≤x 或 x≤﹣1},定义域不相同,∴不是同一函数; 故选:B. 【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题,是基础题目.

5. (5 分) (2016 秋?辽宁期中)已知 f(x)是一次函数,且 3f(1)﹣2f(2)= ﹣5,2f(0)﹣f(﹣1)=1,则 f(x)的解析式为( A.f(x)=3x﹣2 )

B.f(x)=3x+2 C.f(x)=2x+3 D.f(x)=2x﹣3

【分析】根据题意,设 f(x)=kx+b,利用 3f(1)﹣2f(2)=﹣5,2f(0)﹣f (﹣1)=1,求出 k,b 的值即可得 f(x)的解析式.
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【解答】解:由题意:f(x)是一次函数,设 f(x)=kx+b, ∵3f(1)﹣2f(2)=﹣5,2f(0)﹣f(﹣1)=1, 可得:3k+3b﹣4k﹣2b=﹣5,2b+k﹣b=1, 解得:k=3,b=﹣2. 所以得 f(x)的解析式为 f(x)=3x﹣2 故选:A. 【点评】本题考查了函数的解析式的求法和计算能力.属于基础题.

6. (5 分) (2014?埇桥区校级学业考试)下列说法正确的是( A.对于任何实数 a, B.对于任何实数 a, 都成立 都成立



C.对于任何实数 a,b,总有 ln(a?b)=lna+lnb D.对于任何正数 a,b,总有 ln(a+b)=lna?lnb 【分析】利用排除法,举反例即可得正确结果. 【解答】解:∵ ≠|﹣3|,排除 B

∵a=﹣2,b=﹣3 时 ln(a?b)=ln6,但 lna、lnb 无意义,排除 C ∵a=1,b=1 时 ln(a+b)=ln2≠0 而 lna?lnb=0,排除 D 故选 A 【点评】本题考查了根式的性质、对数的运算性质,属基础题

7. (5 分) (2016 秋?辽宁期中)已知集合 A={0,1},B={x,y,z},则从集合 A 到集合 B 的映射可能有( A.6 B.8 C.9 )种.

D.12

【分析】运用分步计数原理求解. 【解答】解:集合 A 中的元素 0 在集合 B 中有 3 种不同的对应方式(x,y,z 三 选一) , 集合 A 中的元素 1 在集合 B 中也有 3 种不同的对应方式(x,y,z 三选一) , 根据“分步计数原理(乘法原理)”,
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集合 A 到集合 B 的映射共有 N=3×3=9, 故选 C. 【点评】本题主要考查了映射的概念,以及两集合间构成映射个数的确定,可用 列举法,也可用乘法计数原理,属于基础题.

8. (5 分) (2016 秋?辽宁期中)下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞) 上单调递减的函数是( A. B. ) C. D.

【分析】根据函数的奇偶性和函数的单调性分别判断即可. 【解答】解:对于 A:y= 对于 B:y= = = ,是偶函数,递增,不合题意;

,是奇函数,不合题意;

对于 C:函数在(0,+∞)递增,不合题意; 对于 D:y= 故选:D. 【点评】本题考查的知识点是函数的单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断, 是一道基础题. = 是偶函数,在(0,+∞)递减,符合题意;

9. (5 分) (2016 秋?辽宁期中)函数 y= A.[﹣1,1] B.[﹣1,1) C. (﹣1,1]

(x≥1)的值域是( D. (﹣1,1)



【分析】利用分离常数法求函数的值域.注意定义域范围. 【解答】解:由题意:函数 y= ∵ ∴y≠﹣1 又∵x≥1, ∴0< . = =﹣1

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则:y=﹣1

∈(﹣1,1],

所以得函数 y 的值域为(﹣1,1], 故选 C. 【点评】本题考查了函数值域的求法.高中函数值域求法有:1、观察法,2、配 方法,3、反函数法,4、判别式法;5、换元法,6、数形结合法,7、不等式法, 8、分离常数法,9、单调性法,10、利用导数求函数的值域,11、最值法,12、 构造法,13、比例法.要根据题意选择.注意定义域范围.

10. (5 分) (2016?大庆一模)若 x0 是函数 f(x)=2 x0) ,x2∈(x0,+∞) ,则( )

的一个零点,x1∈(0,

A.f(x1)<0,f(x2)<0 B.f(x1)>0,f(x2)>0 C.f(x1)>0,f(x2) <0 D.f(x1)<0,f(x2)>0 【分析】因为 x0 是函数 f(x)的一个零点 可得到 f(x0)=0,再由函数 f(x)的 单调性可得到答案. 【解答】解:∵x0 是函数 f(x)=2x﹣ 的一个零点, ∴f(x0)=0, 又∵f′(x)=2xln2+ >0,

∴f(x)=2x﹣ 是单调递增函数,且 x1∈(0,x0) ,x2∈(x0,+∞) , ∴f(x1)<f(x0)=0<f(x2) . 故选:D. 【点评】本题考查了函数零点的概念和函数单调性的问题,属中档题

11. (5 分) (2016 秋?辽宁期中)下列四个命题: (1)函数 f(x)在 x>0 时是增函数,x<0 时也是增函数,所以 f(x)是增函 数; (2)若 m=loga2,n=logb2 且 m>n,则 a<b; (3)函数 f(x)=x2+2(a﹣1)x+2 在区间(﹣∞,4]上是减函数,则实数 a 的 取值范围是 a≤﹣3;
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(4)y=log

(x2+x﹣2)的减区间为(1,+∞) . ) D.3

其中正确的个数是( A.0 B.1 C.2

【分析】根据函数的单调性以及对数函数、二次函数的性质分别判断即可. 【解答】解:对于(1) ,例如 f(x)=﹣ 在 x>0 时是增函数,x<0 也是增函数; 但 f(x)在定义域上不是增函数,故(1)错; 对于(2)若 m=loga2,n=logb2 且 m>n,a>1,b>1 时则 a<b;0<a<1,0<b <1 时,a>b,故(2)错误; 对于(3)函数 f(x)=x2+2(a﹣1)x+2 的对称轴 x=1﹣a, 若函数在区间(﹣∞,4]上是减函数,则 1﹣a≥4,解得:a≤﹣3, 则实数 a 的取值范围是 a≤﹣3;故(3)正确; 对于(4)由 y=x2+x﹣2>0,解得:x>1 或 x<﹣2, 对称轴 x=﹣ ,故 y=x2+x﹣2 在(1,+∞)递增, 故 y=log 故选:C. 【点评】本题考查了函数的单调性问题,考查对数函数以及二次函数的性质,考 查复合函数的性质,是一道中档题. (x2+x﹣2)的减区间为(1,+∞) , (4)正确;

12. (5 分) (2016 秋?辽宁期中)已知函数 f(x)=( )x,g(x)=x2,对于不 相等的实数 x1,x2,设 m= 的有( ) ,n= ,则下列说法正确

①对于任意不相等的实数 x1,x2,都有 m<0; ②对于任意不相等的实数 x1,x2,都有 n<0; ③存在不相等的实数 x1,x2,使得 m=n. A.① B.①③ C.②③ D.①②③

【分析】画出函数的图象,以及根据 m,n 的几何意义即可判断. 【解答】解:分别画出函数 f(x) ,g(x)的图象,
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则 m=

表示曲线 f(x)上两点的斜率,n=

表示曲线 g

(x)上两点的斜率, 由图象可知,①对于任意不相等的实数 x1,x2,都有 m<0,故①正确, 对于任意不相等的实数 x1,x2,都有 n>0 或 n<0,故②错误, 存在不相等的实数 x1,x2,使得 m=n,故③正确, 故选:B

【点评】本题考查了函数图象的画法和函数图象的几何意义,属于基础题.

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13. (5 分) (2016 秋?辽宁期中)设 f(x)的图象在区间[a,b]上不间断,且 f (a)f(b)<0,用二分法求相应方程的根时,若 f(a)<0,f(b)>0,f( >0,则取有根的区间为 【分析】根据零点存在定理即可判断 【解答】解:f(a)<0,f(b)>0,f( ∴f(a)?f( )>0, , ,
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)>0,

取有根的区间为: 故答案为:

【点评】本题考查二分法,考查零点存在定理,考查学生的计算能力,属于基础 题.

14. (5 分) (2016 秋?辽宁期中)设函数 f(x+1)的定义域为[﹣1,0],则函数 f( ﹣2)的定义域为 [4,9] . ﹣2 在 f(x)的定义

【分析】由 f(x+1)的定义域求出 f(x)的定义域,再由 域范围内求得 x 的取值范围得答案.

【解答】解:∵函数 f(x+1)的定义域为[﹣1,0],即﹣1≤x≤0, ∴0≤x+1≤1,即函数 f(x)的定义域为[0,1], 由0 ∴函数 f( ,解得 4≤x≤9, ﹣2)的定义域为[4,9].

故答案为:[4,9]. 【点评】本题考查函数的定义域及其求法,关键是掌握该类问题的求解方法,是 中档题.

15. (5 分) (2016 秋?辽宁期中)若函数 y=ln

为奇函数,则 a=

2 .

【分析】根据函数奇偶性的定义和性质建立方程进行求解即可. 【解答】解:若函数 y=ln 则 f(﹣x)=﹣f(x) , 即 f(﹣x)+f(x)=0, 则 ln 则 ln( 则 ? +ln ? =0, )=0, =1, 为奇函数,

即(ax+1) (ax﹣1)=(2x﹣1) (2x+1) , 则 a2x2﹣1=4x2﹣1, 即 a2=4,则 a=2 或 a=﹣2, 当 a=﹣2 时,f(x)=ln =ln(﹣1)无意义,

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当 a=2 时,f(x)=ln 故答案为:2

,满足条件.

【点评】 本题主要考查函数奇偶性的应用,根据函数奇偶性的定义建立方程是解 决本题的关键.

16. (5 分) (2016 秋?辽宁期中)设 x∈R,[x]表示不超过 x 的最大整数,若存 在实数 t, 使得[t]=1, [t2]=2, …, [tn]=n 同时成立, 则正整数 n 的最大值是 【分析】由新定义可得 t 的范围,验证可得最大的正整数 n 为 4. 【解答】解:若[t]=1,则 t∈[1,2) , 若[t2]=2,则 t∈[ 若[t3]=3,则 t∈[ 若[t4]=4,则 t∈[ 若[t5]=5,则 t∈[ 其中 ≈1.732, , , , , ) (因为题目需要同时成立,则负区间舍去) , ) , ) , ) , ≈1.495, ≈1.431<1.495, 4 .

≈1.587,

通过上述可以发现,当 t=4 时, 可以找到实数 t 使其在区间[1,2)∩[ 上, 但当 t=5 时,无法找到实数 t 使其在区间[1,2)∩[ [ , )∩[ , )上, , )∩[ , )∩ , )∩[ , )∩[ , )

∴正整数 n 的最大值 4, 故答案为:4. 【点评】本题考查简单的演绎推理,涉及新定义,属基础题.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.) 17 . ( 10 分 ) ( 2016 秋 ? 辽 宁 期 中 ) 已 知 集 合 A=[2 , log2t] , 集 合 B={x|y= },
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(1)对于区间[a,b],定义此区间的“长度”为 b﹣a,若 A 的区间“长度”为 3, 试求实数 t 的值. (2)若 A?B,试求实数 t 的取值范围. 【分析】 (1)由已知列关于 t 的等式求得 t 值; (2)求函数的定义域得到 B,再由 A?B,分类求解得答案. 【解答】解: (1)由题意可得,log2t﹣2=3,即 log2t=5,∴t=25=32; (2)A=[2,log2t], 由(x﹣2) (5﹣x)≥0,得(x﹣2) (x﹣5)≤0,得 2≤x≤5, ∴B=[2,5], ∵A?B, ∴若 log2t<2,即 0<t<4,符合题意; 若 t≥4,则 log2t≤5,得 t≤32,∴4≤t≤32. 综上,实数 t 的取值范围为(0,32]. 【点评】本题考查函数的定义域及其求法,考查了集合的包含关系及其应用,考 查数学转化思想方法,是中档题.

18. (12 分) (2016 秋?辽宁期中)化简: (1) (2) (lg2)?[(ln ?( ) ; 5].

)﹣1+log

【分析】 (1)利用根式以及有理指数幂化简求解即可. (2)利用对数运算法则化简求解即可. 【解答】解: (1) = = ; )﹣1+log 5]=lg2(2+2log25) ?( )

(2) (lg2)?[(ln =2lg2(log22+log25)

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=2lg2× =2. 【点评】本题考查有理指数幂的运算以及对数运算法则的应用,考查计算能力.

19. (12 分) (2016 秋?辽宁期中)设全集 U=R,A={x|2x2﹣x=0},B={x|mx2﹣mx ﹣1=0},其中 x∈R,如果(?UA)∩B=?,求 m 的取值范围. 【分析】把集合 A 化简后,求其补集,然后根据(?UA)∩B=?选取 m 的取值范 围. 【解答】解:由题意 ,

因为(?UA)∩B=?,所以 B? A, 当 B=?时,当 m=0,符合题意, 当 m≠0 时,△=m2+4m<0,解得﹣4<m<0,符合题意, 当 B≠?时,当 B 中只有一个元素时, △=0,即 m2+4m=0,解得 m=0(舍) ,m=﹣4, 检验,此时 当 B 中有两个元素时,由题意 ,符合题意; ,将 0, 代入方程可知此时无解.

综上所述,m 的取值范围为﹣4≤m≤0. 【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算,解答的关键是熟练交、并、补集 的概念,同时注意端点值得选取,属易错题.

20. (12 分) (2016 秋?辽宁期中)如图所示的函数 F(x)的图象,由指数函数 f (x)=ax 与幂函数 g(x)=xb“拼接”而成. (1)求 F(x)的解析式; (2)比较 ab 与 ba 的大小; (3)已知(m+4)﹣b<(3﹣2m)﹣b,求 m 的取值范围.

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【分析】 (1)根据图象过点( , ) ,求出 a,b,可得 F(x)的解析式; (2)根据指数函数和幂函数的图象比较即可; (3)根据幂函数的单调性,即可求 m 的取值范围.

【解答】解: (1)由题意得

解得

,∴

因(2)为 (3)由题意 所以 解得

,所以 ,

,即 ab<ba.



所以 m 的取值范围是



【点评】本题考查了指数函数和幂函数图象和性质,关键是求出 a 和 b,属于中 档题.

21. (12 分) (2016 秋?辽宁期中) 某产品关税与市场供应量 P 的关系近似地满足: P(x)=2 (其中 t 为关税的税率,且 t∈[0, ],x 为市场价格,b,

k 为正常数) ,当 t= 时,市场供应量曲线如图所示: (1)根据函数图象求 k,b 的值; (2)若市场需求量 Q,它近似满足 Q(x)=2 .当 P=Q 时的市场价格为

均衡价格,为使均衡价格控制在不低于 9 元的范围内,求税率 t 的最小值.
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【分析】 (1)能根据图象知

时,有

,即可求出 k、b 的值;

(2)能根据题意构造函数,并能在定义域内求函数的最小值. 【解答】解: (1)由图可知 时,有 解得

(2)当 P=Q 时,得 解得 令 在 ∴ ,∵x≥9,∴ ,

, .

中,对称轴为直线 时,t 取得最小值 ,此时 x=9.



,且图象开口向下,

【点评】 此题是个指数函数的综合题,但在求解的过程中也用到了构造函数的思 想及二次函数在定义域内求最值的知识.考查的知识全面而到位!

22. (12 分) (2016 秋?辽宁期中)已知函数 f(x)=x+ (x>0,m>0)和函数 g(x)=a|x﹣b|+c(x∈R,a>0,b>0) .问: (1)证明:f(x)在( ,+∞)上是增函数;

(2)把函数 g1(x)=|x|和 g2(x)=|x﹣1|写成分段函数的形式,并画出它们的 图象,总结出 g2(x)的图象是如何由 g1(x)的图象得到的.请利用上面你的结 论说明:g(x)的图象关于 x=b 对称; (3)当 m=1,b=2,c=0 时,若 f(x)>g(x)对于任意的 x>0 恒成立,求 a 的取值范围. 【分析】 (1)利用函数单调性的定义可直接证明 f(x)在
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是增函数. ;

(2)由题意知 g2(x)的图象是由 g1(x)的图象向右平移 1 个单位得到的;根 据函数的性质与平移可证明 g(x)的图象关于 x=b 对称; (3)利用转化思想:由题意可知 2 时,不等式化为 , 对于任意的 x>0 恒成立.当 x≥

即(a﹣1)x2﹣2ax﹣1<0 对于任意 x≥2 恒成立. 【解答】证明: (1)在 ﹣x1>0, 因为 , 内任取两个实数 x1,x2,且 x1<x2,则△x=x2 , ,所以 x1x2>m>0,又有 x2﹣x1>0,所以△y>0, 是增函数. , ;

所以 f(x)在 解: (2)

g2(x)的图象是由 g1(x)的图象向右平移 1 个单位得到的, 先考虑函数 h(x)=a|x|+c(x∈R,b>0) , 在 h(x)的定义域内任取一个实数 x,则﹣x 也在其定义域内, 因为 h(﹣x)=a|﹣x|+c=a|x|+c=h(x) ,所以函数 h(x)是偶函数, 即其图象的对称轴为 x=0, 由上述结论,g(x)的图象是由 h(x)的图象向右平移 b 个单位得到, 所以 g(x)的图象关于 x=b 对称. (3)由题意可知 当 x≥2 时,不等式化为 对于任意的 x>0 恒成立. ,

即(a﹣1)x2﹣2ax﹣1<0 对于任意 x≥2 恒成立, 当 a﹣1=0 时,即 a=1,不等式化为 2x+1>0,满足题意; 当 a﹣1≠0 时,由题意 进而对称轴 ,

所以(a﹣1)22﹣2a?2﹣1<0,解得 0<a<1; 结合以上两种情况 0<a≤1.
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当 0<x<2 时,不等式



即(a+1)x2﹣2ax+1>0 对于任意 0<x<2 恒成立, 由题意 进而对称轴 , ,

所以△=4a2﹣4(a+1)<0,即 a2﹣a﹣1<0,解得 所以 .

综上所述,a 的取值范围为(0,1].

【点评】 本题主要考查了函数单调性的定义法证明,函数图形的平移与函数性质 以及恒等转化问题,属中等偏上题.

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参与本试卷答题和审题的老师有:whgcn;沂蒙松;刘老师;左杰;xize;lcb001; sxs123;maths;qiss;wzhlq(排名不分先后) 菁优网 2017 年 3 月 8 日

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