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湖南省岳阳市2012届高三数学下学期教学质量检测试题(二) 理

岳阳市 2012 届高三教学质量检测试题(二)数 学(理科)
时量 120 分钟 参考公式:1、锥体的体积公式 V ? 2、 2 ? 2 列联表随机变量 K
P(K P(K
2 2

满分 150 分。

1 3

S h ,其中 S 为锥体的底面积, h 为锥体的高。

2

?

n ( ad ? bc )

2

( a ? b )( c ? d )( a ? c )( b ? d )

? k ) 与 k 对应值表:

? k)

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 1. 已知集合 A
1 ? ? ?y | y ? , x 2 ? ? x ? R? ?

, B ? ? y | y ? lo g 2 ( x ? 1), C. ? 1, ? ? ?

x ? 1? ,则 A ? B ?

( )

A 、 ? ? 1, ? ? ?

B . ? 0 , ?? ?

D. ? 2 , ? ? ? ( )
3 2 3 2 3 2

2.若复数 z 满足 ( 3 ? 3 i ) z ? 6 i (i 是虚数单位) ,则 z=
3 2 3 2 3 2 3 2 3 2

A.

?

?

i

B.

?

i

C.

?

i

D. ( )

?

?

i

3.如果执行右边的程序框图,那么输出的 S ? A.2400 C.2500 B.2450 D.2550

k ?1 S ? 0

?x ? y ? 5 ? 0 ? 4. 实数 x , y 满足不等式组 ? x ? y ? 0 , 那么目标函数 z ? 2 x ? 4 y ?x ? 3 ?

k ? 50
S

S ? S ? 2k

的最小值是 A.-2 B.-4 C.-6
2

( ) D.-8
2

k ? k ?1

5.已知直线 Ax ? By ? C ? 0 (其中 A ? B

? C , C ? 0 )与圆 x
2

2

? y

2

? 4 交于 M 、 N ,O

1

是坐标原点, OM · ON = 则
A.

( ) - 1
C. 1 D. 2

- 2

B.

6 . 连 续 投 掷 两 次 骰 子 得 到 的 点 数 分 别 为 m , n , m , n ? ?1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ? , 向 量 a ? ( m , n ) 与 向 量
? ? b ? (1, 0 ) 的夹角记为 ? ,则 ? ? ( 0 , ) 的概率为 4

?

( )
5 12

A.

5 18
x

B.

7 12
2

C.

D.

1 2

7.已知函数 f ( x ) ? e ? 1, g ( x ) ? ? x ? 4 x ? 3, 若有 f ( a ) ? g ( b ), 则 b 的取值范围为 A. [ 2 ?
2,2 ? 2]
2

( )

B. ( 2 ?

2,2 ?

2)

C. [1, 3 ]

D. (1, 3) ( )

8. 已知命题“ ? x ? R , x ? 2 ax ? 1 ? 0 ” 是真命题, 则实数 a 的取值范围是 A. ( ?? , ? 1) C. ( ?? , ? 1) U (1, ?? ) B. (1, ?? ) D. (-1,1)

二、填空题:本大题共 8 小题,考生作答 7 小题,每小题 5 分,共 35 分,把答案填在答题卡中对 应的题号后的横线上。 (一)选做题(请考生在第 9、10、11 三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分) 9.(极坐标系与参数方程选做题)以极坐标系中的点 ? 1 ,
? ?

? ?
? 6 ?

为圆心,1 为半径的圆的极坐标方程





10.(不等式选讲选做题)已知函数 f ( x ) ? 3 4 ? x ? 4 x ? 3 ,则函数 f ( x ) 的最大值为 11.(几何证明选讲选做题) 在圆内接△ABC 中,AB=AC= 5
A

3,

Q

Q 为圆上一点,AQ 和 BC 的延长线交于点 P, 且 AQ:QP=1:2,则 AP=_____。
B C P

(二)必做题(12—16 题)
2

12.一个几何体的三视图及其尺寸(单位: cm )如图所示,则该几何体的侧面积为_____cm 。 13. ( x ?
3

2

2 x

) 的展开式中的常数项是
5

(用数字作答) 。 5

5

5

5

5

14.若函数 f(x)=e -2x-a 在 R 上有两个零点,则实数 a 的取值范围是 ________。

x

55 5 5 8 8 5 正(主)视图 侧(左)视图

15 . 设 函 数 f(x) 的 原 函 数 F(x) 是 以 T 为 周 期 的 周 期 函 数 , 若

8 俯视图

?

T a

f ( x)dx ? u , 则 ?

a ?T

f ( x)dx ?


7 , AC ? 2 , 若 O 为 ?ABC 的 外 心 ,

T

16 . 在 ? A B C 中 , A B ? 3 , B C ?
A 则· A O · C ? ???? ???? B ; AO· C ? ???? ??? ?



三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分)

已知函数 f ( x ) ?

3 2

s in 2 x ? c o s x ?
2

1 2

,x? R

(1)求函数 f ( x ) 的最小值和最小正周期;

(2)设△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a, b ,c 且 c= 3 , f ( C ) ? 0,若 sin B = 2 sin A , 求 a, b 的值。

18. (本小题满分 12 分)
3

现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查, 随机抽调了 50 人, 他们月收入的频 数分布及对楼市“楼市限购令”赞成人数如下表. [15,25 月收入(单位百元)
)

[25,35 ) 10 8

[35,45 ) 15 12

[45,55 ) 10 5

[55,65 ) 5 2

[65,75
)

频数 赞成人数

5 4

5 1

(1)由以上统计数据填下面 2 乘 2 列联表,并问是否有 99%的把握认为“月收入以 5500 元为分界 点对“楼市限购令” 的态度有差异? 月收入不低于 55 百元的人数 赞成 不赞成 合计 (2)若对在[15,25) ,[25,35)的被调查中各随机选取两人进行追踪调查,记选中的 4 人中不 赞成“楼市限购令”人数为 ? ,求随机变量 ? 的分布列及数学期望。
a ?
c ?

月收入低于 55 百元的人数
b ?

合计

d ?

19. (本小题满分 12 分) 如图,在四面体 ABOC 中,OC⊥OA,OC⊥OB,∠AOB=120°,且 OA=OB=OC=1 AB (Ⅰ)设 P 为 AC 的中点,证明:在 AB 上存在一点 Q 使 PQ⊥OA,并计算 的值; AQ (Ⅱ)求二面角 O﹣AC﹣B 的平面角的余弦值.

·

4

20. (本小题满分 13 分) 造船厂年造船量最多 20 艘,造船 x 艘产值函数为 R ? x ? ? 3 7 0 0 x ? 4 5 x 2 ? 1 0 x 3 (单位:万元) ,成本 函数 c ? x ? ?
Mf

,又在经济学中,函数 f 4 6 0 x ? 5 0 0 0(单位:万元)

? x ? 的边际函数 M f ? x ? 定义为

?x? ?

f

? x ? 1? ?

f

?x?

(1)求利润函数 P ? x ? 及边际利润函数 M P ? x ? (利润=产值—成本) (2)问年造船量安排多少艘时,公司造船利润最大?

21. (本小题满分 13 分) 已知抛物线和椭圆都经过点 M ? 1, 2 ? ,它们在 x 轴上有共同焦点,椭圆的对称轴是坐标轴,抛物线 的顶点为坐标原点. (Ⅰ)求这两条曲线的方程; (Ⅱ) 已知动直线 l 过点 P ? 3, 0 ? , 交抛物线于 A , B 两点, 是否存在垂直于 x 轴的直线 l ? 被以 A P 为直径的圆截得的弦长为定值?若存在,求出 l ? 的方程;若不存在,说明理由.

5

22、 (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ?
ln x x ?1
?

(Ⅰ)若函数 f ( x ) 在区间 ?t , ?? ??t ? N (Ⅱ)设 a n ? f ( n )( n ? N )
*

? 上存在极值,求 t 的最大值;

(1)问数列 { a n } 中是否存在 a s ? a t ( s ? t ) ?若存在,求出所有相等的两项;若不存在,请说明 理由。 (2)若 b n ? ( n ? 1) a n ,求证: ?
k ?2 n

1 k

< bn < ?

n ?1

1 k

k ?1

6

理科数学试卷参考答案及评分标准 1~8:B A DCACBDC 9、
? ? ? ? ? 2 cos ? ? ? ? 6 ? ?

10、5

11、15 12、80 cm

2

13、—80 14、 ? 2 ? 2 ln 2 , ?? ? (17)解:(1)
f (x) ? 3 s in 2 x ? 2

15 、-u
1 ? cos 2 x 2 ? 1 2

16、2、—5/2 ????????3分
? s in ( 2 x ?

?

) ?1

6

则 f ( x ) 的最小值是-2,???????????????????????4分 最小正周期是 T (2)
? 2? 2 ??

;?????????????????????5 分
?
6 ) ?1,

f ( C ) ? s in ( 2 C ?

?
6

) ? 1 ? 0 , 则 s in ( 2 C ?

∵0<C< ? ∴ 2C
?

∴0<2C<2 ?
?
2

∴? ?
6

? 2C ?

?
6

?

1 1? 6

,??????????6 分

?
6

?

,∴ C

?

?
3

,?????????????????????7 分
? 1 2

∵sinB=2sinA,由正弦定理,得 a
b

,①??????????????8 分
2 2

由余弦定理,得 c 2

? a ? b ? 2 ab cos
2 2

?
3

,即 a ? b ? ab ? 3

,②??????9 分

由①②解得 a=1,b=2????????????????????????10 分 18.解:(1)2乘2列联表 月收入不低于 55 百元人数 月收入低于 55 百元人数 合计 赞成 32 b ? 29 a ? 3 c ? 7 不赞成 18 d ? 11 合计 10 40 50
K
2

(2 分)

?

5 0 ? (3 ? 1 1 ? 7 ? 2 9 )

2

(3 ? 7 )( 2 9 ? 1 1)(3 ? 2 9 )(7 ? 1 1)

? 6 .2 7 ? 6 .6 3 5

.

(4 分)

所以没有 99%的把握认为月收入以 5500 为分界点对“楼市限购令”的态度有差异. (6 分) (2) ? 所有可能取值有 0,1,2,3, P ? ?
P ?? ? 1? ? P ?? ? 2 ? ? C4 C5
1 2

? 0? ?
? 6 10 ? 6 10 ?

C4 C5
16 45

2 2

?

C8

2

C 10
? 104 225 ? 35 225

2

?

6 10

?

28 45

?

84 225



?

C8

2

C 10 ? C 8C 2 C 10
2 1 1

2

?

C4 C5 ?

2 2

? C4 C5
2

C 8C 2 C 10
2

1

1

?

4 10

?

28 45

C4 C5

1 2

2

?

C2

2

C 10

2

?

4 10

?

16 45

?

1 45

P ?? ? 3 ? ?

C4 C5

1 2

?

C2

2

C10

2

?

4 10

?

1 45

?

2 225

所以 ? 的分布列是
?

0

1

2

3
(10 分) 7

P

84 225

104 225

35 225

2 225

所以 ? 的期望值是 E ?

? 0?

104 225

?

70 225

?

6 225

?

4 5



(12 分)

(19)解法一: (Ⅰ)在平面OAB内作ON⊥OA交AB于N,连接NC。 又OA⊥OC,∴OA⊥平面ONC ∵NC? 平面ONC, ∴OA⊥NC。 取Q为AN的中点,则PQ∥NC。 ∴PQ⊥OA?????????????????????3分 在等腰△AOB中,∠AOB=120°, ∴∠OAB=∠OBA=30° 在Rt△AON中,∠OAN=30°, ∴ 在△ONB中,∠NOB=120°﹣90°=30°=∠NBO, ∴NB=ON=AQ。 ∴ ?????????????????????6 分 解:(Ⅱ)连接PN,PO, 由OC⊥OA,OC⊥OB知:OC⊥平面OAB。 又ON? OAB, ∴OC⊥ON 又由ON⊥OA,ON⊥平面AOC。 ∴OP是NP在平面AOC内的射影。??????????8分 在等腰Rt△COA中,P为AC的中点, ∴AC⊥OP 根据三垂线定理,知: ∴AC⊥NP ∴∠OPN为二面角O﹣AC﹣B的平面角???????10分 在等腰 Rt△COA 中,OC=OA=1,∴ 在 Rt△AON 中, ∴在 Rt△PON 中, ∴ , . ??????????????12 分

解法二: (I)取O为坐标原点,分别以OA,OC所在的直线为x轴,z轴, 建立空间直角坐标系O﹣xyz(如图所示) 则 ∵P 为 AC 中点,∴ 设 ,

8

∵ ∴ ∴ ∵ ∴ , 即

. , . , . 使得 PQ⊥OA 且 . , , 且 ,

所以存在点

(Ⅱ) 记平面ABC的法向量为 = 1 , 2 , 3 ) 则由 (n n n , 得 ,故可取

又平面 OAC 的法向量为 =(0,1,0) . ∴cos< , >= .

两面角 O﹣AC﹣B 的平面角是锐角,记为 θ ,则 20、(本小题满分13分) 解: (1) P ? x ? ? R ? x ? ? C ? x ? ?

?10 x ? 45 x ? 3240 x ? 5000,
3 2

?x? N

?

,1 ? x ? 2 0 ? ;

????????????????????????3 分
2 ?

M P ? x ? ? P ? x ? 1 ? ? P ? x ? ? ? 3 0 x ? 6 0 x ? 3 2 7 5, ? x ? N ,1 ? x ? 1 9 ?

??????6 分 分

(2) P ' ? x ? ?
? x ? 0 ,? P
?x
'

? 3 0 x ? 9 0 x ? 3 2 4 0 ? ? 3 0 ? x ? 1 2 ? ? x ? 9 ? ???????????9
2

' ' ? x ? ? 0 , x ? 1 2 ? 0 ? x ? 1 2时 P ? x ? ? 0; x ? 1 2时 P ? x ? ? 0 , ? 1 2 , P ' ? x ? 有最大值;即每年建造 12 艘船,年利润最大????????????13

分 21、(本小题满分13分) 解:(Ⅰ)设抛物线方程为 y
? 抛物线方程为: y ? 4x
2

2

? 2 px ? p ? 0 ?

,将 M ?1, 2? 代入方程得
,F 2

p ? 2

??????????????????(2分)
1

由题意知椭圆、双曲线的焦点为 F ? ? 1, 0? 对于椭圆, 2 a ?
? ? ? ? a ?1? a ? 1?
2 2 2

? 1, 0 ?
2

,

? c=1

???????(3分)

M F1 ? M F 2 ?

?1 ? 1 ?

2

?2 ?
2

?1 ? 1 ?

?4 ? 2?2 2

2 2
2

?

?

2

?3? 2 2

????????????(4 分)
? y
2

b ? a ?c ? 2? 2 2 椭圆方程为: x
2

3?2 2

2?2 2

?1

………………………………(6 分)

(Ⅱ)设 A P 的中点为 C , l ? 的方程为: x ? a ,以 A P 为直径的圆交 l ? 于 D , E 两点, D E 中 点为 H 令 A ? x , y ? , ? C ? x ? 3 , y ? ??????????????????(7 分) ? ?
1 1 1 1

?

2

2 ?

9

?

DC ? CH ?
2

1 2

AP ? x1 ? 3 2

1 2

?x

1

? 3 ? ? y1
2

2

?a ?

1 2

?x
?

1

? 2a ? ? 3

?

DH

? DC

2

? CH

2

1

2 1 2 ?? x ? 3 ? ? y 2 ? ? ?? x ? 2a ? ? 3? 1 1 ? ? 4? 1 4?

? ? a - 2 ? x1 ? a ? 3 a
2

当 a ? 2时 , D H ?

2

? ? 4 ? 6 ? 2为 定 值 ; 2为 定 值

????(12 分)

DE ? 2 DH ? 2

此 时 l ?的 方 程 为 : x ? 2

22、解: (Ⅰ) f ? ( x ) ? 令 g (x) ? 1 ?
g ?( x ) ? ? 1 x
2

1?

? 1n x x 2 ( x ? 1)

1

,由于函数 f ( x ) 在 ?t , ?? ??t ? N * ? 上存在极值,

1 x

? 1n x ? 0

,则方程 g ( x ) ? 0 在 ?t , ?? ??t ? N * ? 上有解。

?

1 x

? 0



∴ g ( x ) 在 (0, ? ? ) 上为减函数,?????????????????3 分 又 g (3) ?
g (4) ? 5 4
4 3 ? ln 3 ? 1 3 ln e
5
4

?

1 3

ln

2 .5 27
5

4

? 0



27

? ln 4 ?

1 4

ln

e

?

1 4

ln

3

? 0,

256

256

∴函数 g ( x ) 的零点 x ? x 0 ? (3, 4 ) 。
? ∵方程 g ( x ) =0 在 ? t, ? ? 上有解,且 t ? N * ,

∴ t ≤3,∴t 的最大值为 3.????????????????????(6 分) (Ⅱ) a n
? ln n ?1

an ?

ln n n ?1

,由(Ⅰ)可知,函数 f ( x ) 在 ( 0 , x 0 ) 单调递增,在 ( x 0 , ? ? ) 单调递

减。 又 x 0 ? (3, 4 ) , ∴ a 1 < a 2 < a 3 , a 4 > a 5 > a 6 >? ∵ a 1 ? 0, 且 n ? 1时 , a n ? 0 。 若数列 ? a n ? 中存在相等的两项,只能是 a 2 , a 4 与后面项可能相等。???????????8 分 又 a2
a3 ? a3 ?
? ln 2 3 ? ln 8 9 ? as



ln 3 4 ln 3 4

>a5
? a8 ? 1 3 ln 2

所以数列 ? b n ? 中存在唯一相等的两项,即 a 2 (2)通过构造函数易证
1?
1?

。??????????????10 分

1 x
x y

? ln x ? x ? 1( x ? 0 ),
? ln y x ? y x ? 1( x ? 0 , y ? 0 ),

10

2 ?1 2

? ln 2 ? ln 1 ?

2 ?1 3 ? 2 3?2 , ? ln 3 ? ln 2 ? 1 3 2
n ? ( n ? 1) n ?1

,?

n ? ( n ? 1) n

? ln n ? ln ( n ? 1) ?

再叠加得

1 2

?

1 3

?? ?

1 n

<ln n < ?
1

1

1 2

?? ?

1 n ?1

?????????????????13 分

11



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