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高中数学 人教A版 必修3 优秀教案6示范教案(234 平面向量共线的坐标表示)汇编

2.3.3 平面向量的坐标运算 2.3.4 平面向量共线的坐标表示 整体设计 教学分析 1.前面学习了平面向量的坐标表示,实际是平面向量的代数表示.在引入了平面向量的坐标表 示后可使向量完全代数化,将数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学 生熟知的数量运算. 2.本小节主要是运用向量线性运算的交换律、结合律、分配律,推导两个向量的和的坐标、差 的坐标以及数乘的坐标运算.推导的关键是灵活运用向量线性运算的交换律、结合律和分配 律. 3.引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,一个自然的想法是向量 的某些关系,特别是向量的平行、 垂直,是否也能通过坐标来研究呢?前面已经找出两个向量共 线的条件(如果存在实数 λ,使得 a=λb,那么 a 与 b 共线),本节则进一步地把向量共线的条件转 化为坐标表示.这种转化是比较容易的 ,只要将向量用坐标表示出来,再运用向量相等的条件 就可以得出平面向量共线的坐标表示.要注意的是,向量的共线与向量的平行是一致的. 三维目标 1.通过经历探究活动,使学生掌握平面向量的和、差、实数与向量的积的坐标表示方法.理解 并掌握平面向量的坐标运算以及向量共线的坐标表示. 2.引入平面向量的坐标可使向量运算完全代数化,平面向量的坐标成了数与形结合的载体. 3.在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯,以加深理解知识要点,增强应用 意识. 重点难点 教学重点:平面向量的坐标运算. 教学难点:对平面向量共线的坐标表示的理解. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.向量具有代数特征,与平面直角坐标系紧密相联.那么我们在学习直线和圆的方程 以及点、直线、平面之间的位置关系时,直线与直线的平行是一种重要的关系.关于 x、y 的二 元一次方程 Ax+By+C=0(A、 B 不同时为零)何时所体现的两条直线平行?向量的共线用代数 运算如何体现? 思路 2.对于平面内的任意向量 a,过定点 O 作向量 OA =a,则点 A 的位置被向量 a 的大小 和方向所唯一确定.如果以定点 O 为原点建立平面直角坐标系,那么点 A 的位置可通过其坐标 来反映,从而向量 a 也可以用坐标来表示,这样我就可以通过坐标来研究向量问题了.事实上, 向量的坐标表示,实际是向量的代数表示.引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化 ,将 数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.引进向量 的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,那么向量的平行、 垂直,是否也能通 过坐标来研究呢? 推进新课 新知探究 提出问题 ①我们研究了平面向量的坐标表示,现在已知 a=(x1,y1),b=(x2,y2),你能得出 a+b,a-b,λa 的坐标 表示吗? ②如图 1,已知 A(x1,y1),B(x2,y2),怎样表示 AB 的坐标?你能在图中标出坐标为(x2-x1,y2-y1)的 P 点吗?标出点 P 后,你能总结出什么结论? 活动:教师让学生通过向量的坐标表示来进行两个向量的加、减运算,教师可以让学生到 黑板去板书步骤.可得: 图1 a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)=(x1+x2)i+(y1+y2)j, 即 a+b=(x1+x2,y1+y2). 同理 a-b=(x1-x2,y1-y2). 又 λa=λ(x1i+y1j)=λx1i+λy1j.∴λa=(λx1,λy1). 教师和学生一起总结,把上述结论用文字叙述分别为: 两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 (差);实数与向量的积的坐标 等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.教师再引导学生找出点与向量的关系:将向量 AB 平 移,使得点 A 与坐标原点 O 重合,则平移后的 B 点位置就是 P 点.向量 AB 的坐标与以原点为 始点,点 P 为终点的向量坐标是相同的,这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系. 学生通过平移也可以发现:向量 AB 的模与向量 OP 的模是相等的. 由此,我们可以得出平面内两点间的距离公式: 2 2 | AB |=| OP |= ( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 ) . 教师对总结完全的同学进行表扬,并鼓励学生,只要善于开动脑筋,勇于创新,展开思维的 翅膀,就一定能获得意想不到的收获. 讨论结果:①能. ② AB = OB - OA =(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1). 结论:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标. 提出问题 ①如何用坐标表示两个共线向量? ②若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么 y1 y ? 2 是向量 a、b 共线的什么条件? x1 x2 活动 :教师引导学生类比直线平行的特点来推导向量共线时的关系 .此处教师要对探究 困难的学生给以必要的点拨:设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中 b≠0.我们知道,a、b 共线,当且仅当存 在实数 λ,使 a=λb.如果用坐标表示,可写为(x1,y1)=λ(x2,y2), 即? ? ? x1 ? ?x 2 , 消去 λ 后得 x1y2-x2y1=0. ? ? y1 ? ?y 2 . 这就是说,当且仅当 x1y2-x2y1=0 时向量 a、b(b≠0)共线. 又我们知道 x1y2-x2y1=0 与 x1y2=x2y1 是等价的,但这与 y1 y ? 2 是不等价的.因为当 x1=x2=0 x1 x2 时,x1y2-x2y1=0 成立,但 y1 y y y b 共线的充分不必要条件. ? 2 均无意义.因此 1 ? 2 是向量 a、 x1 x2 x1 x2 由此也看出向量的应用更具一般性,更简捷、实用,让学生仔细体会这点. 讨论结果:①x1y2-x2y1=0 时,向量 a、b(b≠0)共线. ②充分不必要条件. 提出问题 a 与非零向量 b 为共线向量的充要条件是有且


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