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2019届高三数学一轮训练:第六篇第2节 一元二次不等式及其解法

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第 2 节 一元二次不等式及其解法

【选题明细表】

知识点、方法

题号

一元二次不等式的解法

1,9,14

已知不等式的解集求参数

2,7,11

一元二次不等式的恒成立问题

5,8,10,12

可化为一元二次不等式的解法

3

一元二次不等式的实际应用

4

综合应用

6,13

基础巩固(时间:30 分钟)

1.(2017·河北一模)不等式 2x2-x-3>0 的解集为( B )

(A){x|-1<x<} (B){x|x>或 x<-1}

(C){x|-<x<1} (D){x|x>1 或 x<-}

解析:不等式 2x2-x-3>0 因式分解为(x+1)(2x-3)>0,

解得 x>或 x<-1.

所以不等式 2x2-x-3>0 的解集为{x|x>或 x<-1}.

故选 B.

2.已知不等式 ax2-5x+b>0 的解集为{x|-3<x<2},则 a+b 为( A )

(A)25 (B)35 (C)-25 (D)-35

解析:因为 ax2-5x+b>0 的解集为{x|-3<x<2},

所以 ax2-5x+b=0 的根为-3,2,

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即-3+2=, -3×2=, 解得 a=-5,b=30, 所以 a+b=-5+30=25.故选 A.

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3.不等式 ≤x-2 的解集是( B )

(A)(-∞,0]∪(2,4] (B)[0,2)∪[4,+∞)

(C)[2,4)

(D)(-∞,2]∪(4,+∞)

解析:①当 x-2>0 即 x>2 时,原不等式等价于(x-2)2≥4,解得 x≥4.

②当 x-2<0 即 x<2 时,原不等式等价于(x-2)2≤4,

解得 0≤x<2.

故选 B.

4.已知产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系式是 y=3

000+20x-0.1x2, x∈(0,240).若每台产品的售价为 25 万元,则生产者

不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( C )

(A)100 台 (B)120 台 (C)150 台 (D)180 台

解析:由题设,产量 x 台时,总售价为 25x;欲使生产者不亏本时,必须

满足总售价大于等于总成本,

即 25x≥3 000+20x-0.1x2,

即 0.1x2+5x-3 000≥0,x2+50x-30 000≥0,

解之得 x≥150 或 x≤-200(舍去).

故欲使生产者不亏本,最低产量是 150 台.

故选 C.

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5.已知关于 x 的不等式 kx2-6kx+k+8≥0 对任意 x∈R 恒成立,则 k 的

取值范围是( A )

(A)[0,1]

(B)(0,1]

(C)(-∞,0)∪(1,+∞) (D)(-∞,0]∪[1,+∞)

解析:当 k=0 时,不等式 kx2-6kx+k+8≥0 化为 8≥0 恒成立,

当 k<0 时,不等式 kx2-6kx+k+8≥0 不能恒成立,

当 k>0 时,要使不等式 kx2-6kx+k+8≥0 恒成立,

需Δ =36k2-4(k2+8k)≤0,解得 0≤k≤1,

故选 A.

6.若关于 x 的不等式 2x2-8x-4-a>0 在 1<x<4 内有解,则实数 a 的取值

范围是( A )

(A)(-∞,-4) (B)(-4,+∞)

(C)(-12,+∞) (D)(-∞,-12)

解析:原不等式 2x2-8x-4-a>0 化为 a<2x2-8x-4,

只需 a 小于 y=2x2-8x-4 在 1<x<4 内的最大值即可,

因为 y=2x2-8x-4 在 1<x<4 内的最大值是-4.

则有 a<-4.

故选 A.

7. 导 学 号 38486106(2017· 闵 行 区 一 模 ) 若 关 于 x 的 不 等 式

>0(a,b∈R)的解集为(-∞,1)∪(4,+∞),则 a+b=

.

解析: >0?(x-a)(x-b)>0 的解集为(-∞,1)∪(4,+∞),

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则 a=1,b=4 或 a=4,b=1,

则 a+b=5,

答案:5

8.若关于 x 的不等式 x2-2x+3≤a2-2a-1 在 R 上的解集是 ? ,则实数 a

的取值范围是

.

解析:原不等式即 x2-2x-a2+2a+4≤0,在 R 上解集为 ? , 所以Δ =4-4(-a2+2a+4)<0,

即 a2-2a-3<0,

解得-1<a<3.

答案:(-1,3)

能力提升(时间:15 分钟)

9.关于 x 的不等式 ax2+bx+2>0 的解集为(-1,2),则关于 x 的不等式

bx2-ax-2>0 的解集为( B )

(A)(-2,1)

(B)(-∞,-2)∪(1,+∞)

(C)(-∞,-1)∪(2,+∞) (D)(-1,2)

解析:因为关于 x 的不等式 ax2+bx+2>0 的解集为(-1,2),

所以-1,2 是 ax2+bx+2=0(a<0)的两根

所以

,所以 a=-1,b=1

所以不等式 bx2-ax-2>0 为 x2+x-2>0,

所以 x<-2 或 x>1

故选 B.

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10.若不等式(a-a2)(x2+1)+x≤0 对一切 x∈(0,2]恒成立,则 a 的取值 范围是( C ) (A)(-∞, ] (B)[ ,+∞) (C)(-∞, ]∪[ ,+∞] (D)[ , ]

解析:因为 x∈(0,2],所以 a2-a≥ = ,

要使 a2-a≥ 在 x∈(0,2]时恒成立,

则 a2-a≥( )max,由基本不等式得 x+≥2,当且仅当 x=1 时,等号成立,

即( )max=,

故 a2-a≥,解得 a≤ 或 a≥ .

故选 C.

11.已知函数 f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于 x 的不

等式 f(x)<c 的解集为(m,m+6),则实数 c 的值为

.

解 析 : 因 为 f(x) 的 值 域 为 [0,+ ∞ ), 所 以 Δ =0, 即 a2=4b, 所 以 由

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x2+ax+ -c<0 的解集为(m,m+6),易得 m,m+6 是方程 x2+ax+ -c=0 的两

根,由一元二次方程根与系数的关系得

解得 c=9.

答案:9

12.若关于 x 的不等式 x2+x-()n≥0 对任意 n∈N*在 x∈(-∞,λ ]上恒

成立,则实数λ 的取值范围是

.

解析:由题意得 x2+x≥() =,解得 x≥或 x≤-1.又 x∈(-∞,λ ],所以 λ 的取值范围是(-∞,-1].

答案:(-∞,-1]

13.已知 f(x)=-3x2+a(6-a)x+6.

(1)解关于 a 的不等式 f(1)>0;

(2)若不等式 f(x)>b 的解集为(-1,3),求实数 a,b 的值.

解:(1)由题意知 f(1)=-3+a(6-a)+6=-a2+6a+3>0,即 a2-6a-3<0,解得

3-2 <a<3+2 .

所以不等式的解集为{a|3-2 <a<3+2 }.

(2)因为 f(x)>b 的解集为(-1,3),

所以方程-3x2+a(6-a)x+6-b=0 的两根为-1,3,

所以

解得

14.解关于 x 的不等式 ax2+(a-1)x-1<0.

解:(1)a=0 时,原不等式可化为 x+1>0,即 x>-1,此时原不等式的解集

为{x|x>-1}.

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(2)a≠0 时,Δ =(a-1)2+4a=(1+a)2≥0,方程 ax2+(a-1)x-1=0 可化为 (ax-1)(x+1)=0, 所以 x=-1 或 x=; ①当 a>0 时, >-1,所以原不等式可化为(x-)(x+1)<0, 所以其解集为{x|-1<x<}. ②当-1<a<0 时, <-1,且原不等式可化为 (x-)(x+1)>0, 所以其解集为{x|x<或 x>-1}; ③当 a=-1 时, =-1,且原不等式可化为(x+1)2>0, 其解集为{x|x≠-1}; ④当 a<-1 时, >-1,且原不等式可化为(x-)(x+1)>0, 所以其解集为{x|x<-1 或 x>}. 综上,a=0 时,不等式的解集为{x|x>-1}; a>0 时,不等式的解集为{x|-1<x<}; -1<a<0 时,不等式的解集为{x|x<或 x>-1}; a=-1 时,不等式的解集为{x|x≠-1}; a<-1 时,不等式的解集为{x|x<-1 或 x>}.
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