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3.3等差数列前n项和公式 (1)


等差数列前n项和

复习回顾
1.等差数列的概念

an-an-1=d (n∈N*且 n≥2) an+1-an=d (n∈N*)
2.等差数列的通项公式

an=a1+(n-1)d
若m+n=p+q,则am+an=ap+aq

an=am+(n-m)d

3.等差数列的常用性质

若数列{an}是公差为d的等差数列
1、d>0, {an}是递增数列;

d<0, {an}是递减数列;
d=0, {an}是常数列

2、下标成等差数列且公差为m的项
ak,ak+m,ak+2m, …组成公差为md的等差数列

3、数列{k1an+k1bn}(k、b是常数)是等差数列

一个公式来表示,这个公式就叫做这个数列的通项公式。

复习数列的有关概念 如果数列 ?an ? 的第n项 an 与n之间的关系可以用

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? an?1 ? an 叫做数列 ?a ? 的前n项和。 n
? S1 (n ? 1) an ? ? ?Sn ? Sn?1 (n ? 2)

问题:1+2+3+…+100=?
这个问题,德国著名数学家高斯(1777年—1855年)
10岁时曾很快求出它的结果。(你知道应如何算吗?)
高斯的算法是: 首项与末项的和:1+100=101,

第2 项与倒数第2 项的和:2+99=101,
第3 项与倒数第3项的和:3+98=101,
……

第50项与倒数第50项的和:50+51=101, 于是所求的和是: 101? 100 ? 5050 2

这个问题,可看成是求等差数列 1,2,3,…, n,…的前100项的和。

等差数列的前n项和公式的推导
等差数列 a1 , a 2 , a3 ,

…,

an ,

的前n项和 …,

Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an Sn=an+an-1+an-2+…+a2+a1 n个 ?????? ? ? ?????? ? 2S n ? (a1 ? an ) ? (a1 ? an ) ? ? ? (a1 ? an )

? n(a1 ? an )
n(a1 ? an ) Sn ? 2

由此得到等差数列的{an}前n项和的公式

Sn

n( a1 ? an ) ? 2
an = a1+(n-1)d

即:等差数列前n项的和等于首末项的和与项数乘积的一半。

由等差数列的通项公式
上面的公式又可以写成

n( n ? 1) S n ? na1 ? d 2 两个公式的共同点是需知 a1和 n,不同点是前者还需知 an, 后者还需知 d,解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。

等差数列的前n项和例题1
例1 一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔,往上 每一层都比它下面一层多放一支,最上面一层放120支. 这个V 形架上共放着多少支铅笔? 解:由题意可知,这个V形架上共放着120层铅笔, 且自下而上各层的铅笔数组成等差数 列,记为 a

? a1 ? 1, a120 ? 120, n ? 120
? S120 120 ? (1 ? 120 ) ? ? 7260 . 2

? n?

n(a1 ? an ) Sn ? 2

答:V形架上共放着7260支铅笔.

例2 求集合 M ? m | m ? 7 n, n ? 的元素个数,并求这些元素的和.

?

N

*

, 且m ? 100

?

100 2 ? 14 解:? 7 n ? 100 ? n ? 7 7
所以集合M中的元素共有14个. 将它们从小到大列出,得

7, 2 ? 7, 3 ? 7, 4 ? 7,


?,

14? 7,
n(a1 ? an ) Sn ? 2

7,14,21,28,…,98 这个数列是成等差数列,记为 ?an ?

? a1 ? 7, a14 ? 98, n ? 14
14 ? (7 ? 98) ? S14 ? ? 735 . 2

答:集合M共有14个元素,它们的和等于735.

等差数列的前n项和练习1 ?a ? 1. 根据下列条件,求相应的等差数列 n 的 S n
(1)a1 ? 5, an ? 95, n ? 10;
? S10 10 ? (5 ? 95) ? ? 500 . 2

n(a1 ? an ) Sn ? 2

(2)a1 ? 100 , d ? ?2, n ? 50;
S50

50 (50 ? 1) ? 50 ?100 ? ? (?2) ? 2550 2

n(n ? 1) S n ? na1 ? d 2

例3: 已知等差数列an中a2+a5+a12+a15=36. 求前16项的和? 分析:可以由等差数列性质,直接代入前n 项和公式

解: 由等差数列的性质可得: a1+a16=a2+a15=a5+a12=36/2=18 sn=16/2 × 18=144 答:前16项的和为144。
由以上例题可以得出:在求等差数列的前n项的和时,当

知道首项和公差,或者是知道首项和末项,均可以得出.

已知等差数列an中,已知a6=20,求S11=?

四项和为67,前n项和为286,求项数 解:由题意知

例4已知一个等差数列的前四项和为21,末

?a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 21 ? ?an ? an ?1 ? an ? 2 ? an ?3 ? 67 ? a1 ? an ? ? ? a2 ? an?1 ? ? ? a3 ? an?2 ? ? ? a4 ? an?3 ? ? 88

得4 ? a1 ? an ? ? 88 即a1 ? an ? 22
n ? a1 ? an ? 又 ? Sn ? ? 286 2

? n ? 26

例5

已知一个等差数列的前10项的和是310,前20项

的和是1220,求Sn.

解:

S10=310,S20=1 220

?10a1 ? 45d ? 310 ? ?20a1 ? 190d ? 1 220

n( n ? 1) 2 S n ? 4n ? ? 6 ? 3n ? n 2

? a1 ? 4, d ? 6

巩固练习
1、已知 a6+a9+a12+a15=192,求 S20

? a6+a9+a12+a15=192, a6+a15=a9+a12= a1+a20

(a1 ? a20 ) ? 20 ? 10 ? 96 ? 960 ? a1+a20=96 S 20 ? 2 2、凸 n 边形各内角成等差数列,公差为 10? ,最小 内角为 100? ,则n等于( B )
(A)7 (B)8 (C)9 ( D) 8 或 9

n(n ? 1)10 由题意,得 :100 n ? ? (n ? 2)180 2 解得 n=8 或 n=9(舍)

谈谈收获
1.首尾配对求和的思想,倒 序相加法 2.等差数列前n项和公式的推导过程
n ? a1 ? an ? 3.公式 Sn ? 2

n ? n ? 1? Sn ? na1 ? d 2

4.前n项和公式的巧妙应用



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