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2018年高考数学一轮复习专题13导数的概念及其运算教学案文!


专题 13 导数的概念及其运算

1.了解导数概念的实际背景; 2.通过函数图象直观理解导数的几何意义; 1 3.能根据导数的定义求函数 y=c(c 为常数),y=x,y= ,y=x2,y=x3,y= x的导数; x 4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单复合 函数(仅限于形如 y=f(ax+b)的复合函数)的导数.

1.函数 f(x)在点 x0 处的导数 (1)定义 函数 y=f(x)在点 x0 的瞬时变化率Δ lim x→0 x0 处的导数,并记作 f′(x0),即Δ lim x→0 f?x0+Δ x?-f?x0? =l,通常称为 f(x)在点 Δx

f?x0+Δ x?-f?x0? =f′(x0). Δx

(2)几何意义 函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是曲线 y=f(x)在点(x0, f(x0))的切线的斜率 等于 f′(x0). 2.函数 f(x)的导函数 如果 f(x)在开区间(a,b)内每一点 x 导数都存在,则称 f(x)在区间(a,b)可导.这样,对开 区间(a,b)内每个值 x,都对应一个确定的导数 f′(x).于是,在区间(a,b)内,f′(x)构 成一个新的函数,我们把这个函数称为函数 y=f(x)的导函数,记为 f′(x)(或 y′x、y′). 3.基本初等函数的导数公式 y=f(x) y=C y=xn y=xμ (x>0,μ ≠0) y=ax (a>0,a≠1) y=ex y=logax(a>0,a≠1,x>0) y=ln x y=sin x y=cos x y′=f′(x) y′=0 y′=nxn-1,n 为自然数 y′=μ xμ -1,μ 为有理数 y′=axln a y′=ex 1 y′= xln a 1 y′= x y′=cos x y′=-sin x

4.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x); (2)[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);

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?f?x??′=f′?x?g?x?-f?x?g′?x? (3)? ? [g?x?]2 ?g?x??

(g(x)≠0).

5.复合函数的导数 复合函数 y=f(g(x))的导数和函数 y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 y′x=y′u·u′x, 即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积.

高频考点一 导数的运算 例 1、分别求下列函数的导数: 1 1? ? (1)y=exln x;(2)y=x?x2+ + ?; x x3? ? x x (3)y=x-sin cos ;(4)y=ln 1+2x. 2 2

【方法技巧】求导一般对函数式先化简再求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少 差错,常用求导技巧有: (1)连乘积形式:先展开化为多项式的形式,再求导; (2)分式形式:观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导; (3)对数形式:先化为和、差的形式,再求导; (4)根式形式:先化为分数指数幂的形式,再求导; (5)三角形式:先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导; (6)复合函数:由外向内,层层求导. 【变式探究】求下列函数的导数: (1)y=x2sin x; cos x (2)y= ; ex

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π? ? π? ? (3)y=xsin?2x+ ?cos?2x+ ?; 2? ? 2? ? (4)y=ln(2x-5).

1 2 则 y′=(ln u)′u′= ·2= , 2x-5 2x-5 2 即 y′= . 2x-5 高频考点二 导数的几何意义 例 2、(1)(2016·全国Ⅲ卷)已知 f(x)为偶函数,当 x≤0 时,f(x)=e-x-1-x,则曲线 y =f(x)在点(1,2)处的切线方程是________. (2)已知函数 f(x)=xln x,若直线 l 过点(0,-1),并且与曲线 y=f(x)相切,则直线 l 的 方程为( ) A.x+y-1=0 B.x-y-1=0 C.x+y+1=0 D.x-y+1=0 【解析】 (1)设 x>0,则-x<0,f(-x)=ex-1+x.

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解得 x0=1,y0=0. ∴切点为(1,0),∴f′(1)=1+ln 1=1. ∴直线 l 的方程为 y=x-1,即 x-y-1=0. 【答案】 (1)2x-y=0 (2)B 【方法规律】(1)求切线方程的方法: ①求曲线在点 P 处的切线,则表明 P 点是切点,只需求出函数在点 P 处的导数,然后利用点 斜式写出切线方程; ②求曲线过点 P 的切线,则 P 点不一定是切点,应先设出切点坐标,然后列出切点坐标的方 程解出切点坐标,进而写出切线方程. (2)处理与切线有关的参数问题,通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解 出参数:①切点处的导数是切线的斜率;②切点在切线上;③切点在曲线上. 【变式探究】(1)已知直线 y=x+1 与曲线 y=ln(x+a)相切,则 a 的值为( ) A.1 B.2 C.-1 D.-2 1 (2)若函数 f(x)= x2-ax+ln x 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是________. 2 y0=x0+1, x0=-1, ? ? ? 1 ? 1 =1, (1)设切点为(x0,y0),y′= ,所以有? 解得?y0=0, x0+a x+a ? ? ?y0=ln(x0+a), ?a=2.

【解析】

1 1 (2)∵f(x)= x2-ax+ln x,∴f′(x)=x-a+ . 2 x ∵f(x)存在垂直于 y 轴的切线, 1 ∴f′(x)存在零点,∴x+ -a=0 有解, x 1 ∴a=x+ ≥2(x>0). x 【答案】 (1)B (2)[2,+∞) 【举一反三】(2015·全国Ⅱ卷)已知曲线 y=x+ln x 在点(1,1)处的切线与曲线 y=ax2+(a +2)x+1 相切,则 a=________.

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【答案】 8 高频考点三、导数与函数图象的关系 例 3、如图,点 A(2,1),B(3,0),E(x,0)(x≥0),过点 E 作 OB 的垂线 l.记△AOB 在直线 l 左 侧部分的面积为 S,则函数 S=f(x)的图象为下图中的( )

【答案】 D 【解析】 函数的定义域为[0,+∞),当 x∈[0,2]时,在单位长度变化量 Δ x 内面积变化量 Δ S 大于 0 且越来越大,即斜率 f′(x)在[0,2]内大于 0 且越来越大,因此,函数 S=f(x)的 图象是上升的,且图象是下凸的;

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当 x∈(2,3)时,在单位长度变化量 Δ x 内面积变化量 Δ S 大于 0 且越来越小,即斜率 f′(x) 在(2,3)内大于 0 且越来越小,因此,函数 S=f(x)的图象是上升的,且图象是上凸的; 当 x∈[3,+∞)时,在单位长度变化量 Δ x 内面积变化量 Δ S 为 0,即斜率 f′(x)在[3,+ ∞)内为常数 0,此时,函数图象为平行于 x 轴的射线. 【感悟提升】导数的几何意义是切点处切线的斜率,应用时主要体现在以下几个方面: (1)已知切点 A(x0,f(x0))求斜率 k,即求该点处的导数值:k=f′(x0). (2)已知斜率 k,求切点 A(x1,f(x1)),即解方程 f′(x1)=k. (3) 若 求 过 点 P(x0 , y0) 的 切 线 方 程 , 可 设 切 点 为 (x1 , y1) , 由
? ?y1=f?x1?, ? ?y0-y1=f′?x1??x0-x1? ?

求解即可.

(4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况,由切线 的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢. π 【变式探究】(1)已知函数 f(x)=3x+cos2x+sin2x,a=f′( ),f′(x)是 f(x)的导函数, 4 则过曲线 y=x3 上一点 P(a,b)的切线方程为( ) A.3x-y-2=0 B.4x-3y+1=0 C.3x-y-2=0 或 3x-4y+1=0 D.3x-y-2=0 或 4x-3y+1=0 (2)若直线 y=2x+m 是曲线 y=xlnx 的切线,则实数 m 的值为________. 【答案】 (1)C (2)-e

∵P(a,b)在曲线 y=x3 上,且 a=1,∴b=1. ∴1-x3 0=3x2 0(1-x0), ∴2x3 0-3x2 0+1=0,∴2x3 0-2x2 0-x2 0+1=0,

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1? ? 1 ∴(x0-1)2(2x0+1)=0,∴切点为?- ,- ?, 8? ? 2 1 3? 1? ∴此时的切线方程为 y+ = ?x+ ?, 8 4? 2? 综上,满足题意的切线方程为 3x-y-2=0 或 3x-4y+1=0,故选 C. (2)设切点为(x0,x0lnx0), 1 由 y′=(xlnx)′=lnx+x· =lnx+1, x 得切线的斜率 k=lnx0+1, 故切线方程为 y-x0lnx0=(lnx0+1)(x-x0), 整理得 y=(lnx0+1)x-x0,与 y=2x+m 比较得
?lnx0+1=2, ? ? ? ?-x0=m,

解得 x0=e,故 m=-e.

【2016 高考山东理数】若函数 y ? f ( x) 的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切 线互相垂直,则称 y ? f ( x) 具有 T 性质.下列函数中具有 T 性质的是( (A) y ? sin x 【答案】A (B) y ? ln x (C) y ? e
x


3

(D) y ? x

【2015 高考福建,理 10】若定义在 R 上的函数 足

f ? x?

满足

f ? 0? ? ?1

,其导函数

f ? ? x?



f ? ? x? ? k ? 1
?1? 1 f ? ?? A. ? k ? k
【答案】C

,则下列结论中一定错误的是(



1 ?1? f ? ?? B. ? k ? k ? 1

1 ? 1 ? f? ?? C. ? k ? 1 ? k ? 1

k ? 1 ? f? ?? ? k ?1 ? k ?1 D.

' ' 【解析】由已知条件,构造函数 g ( x) ? f ( x) ? kx ,则 g ( x) ? f ( x) ? k ? 0 ,故函数 g ( x) 在

R 上单

1 1 1 k 1 1 ?0 g( ) ? g (0) f( )? ? ?1 f ( )? k ?1 , 调递增,且 k ? 1 ,故 k ? 1 ,所以 k ? 1 k ? 1 , k ?1
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所 以 结 论 中 一 定 错 误 的 是 C , 选 项 D 无 法 判 断 ; 构 造 函 数 h( x) ? f ( x) ? x , 则

1 1 ?0 h( ) ? h (0) h' ( x) ? f ' ( x) ?1 ? 0 ,所以函数 h( x) 在 R 上单调递增,且 k ,所以 k ,即 1 1 1 1 f ( ) ? ? ?1 f ( ) ? ? 1 k k k ,选项 A,B 无法判断,故选 C. , k
【2014·安徽卷】设函数 f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中 a>0. (1)讨论 f(x)在其定义域上的单调性; (2)当 x∈[0,1]时 ,求 f(x)取得最大值和最小值时的 x 的值.

在?

?-1- 4+3a -1+ 4+3a? , ?内单调递增. 3 3 ? ?

(2)因为 a>0,所以 x1<0,x2>0, ①当 a≥4 时,x2≥1. 由(1)知,f(x)在[0,1]上单调递增, 所以 f(x)在 x=0 和 x=1 处分别取得最小值和最大值. ②当 0<a<4 时,x2<1. 由(1)知,f(x)在[0,x2]上单调递增,在[x2,1]上单调递减, -1+ 4+3a 所以 f(x)在 x=x2= 处取得最大值. 3 又 f(0)=1,f(1)=a, 所以当 0<a<1 时,f(x)在 x=1 处取得最小值; 当 a=1 时,f(x)在 x=0 和 x=1 处同时取得最小值; 当 1<a<4 时,f(x)在 x=0 处取得最小值.

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【2014·安徽卷】设实数 c>0,整数 p>1,n∈N*. (1)证明:当 x>-1 且 x≠0 时,(1+x)p>1+px; 1 p-1 c 1 (2)数列{an}满足 a1>c ,an+1= an+ a1 n-p,证明:an>an+1>c . p p p p

1 (2)方法一:先用数学归纳法证明 an>c . p 1 ①当 n=1 时,由题设知 a1>c 成立. p 1 ②假设 n=k(k≥1,k∈N*)时,不等式 ak>cp成立. p-1 c 由 an+1= an+ a1 n-p易知 an>0,n∈N*. p p ak+1 p-1 c 当 n=k+1 时, = + ak -p= ak p p 1? c ? 1+ ? -1?. k ? p?ap 1 1 1? c ? 由 ak>c >0 得-1<- < ? -1?<0. k ? p p p?ap 由(1)中的结论得? c ? ?ak+1? =?1+1? -1? ?? >1+p· ? ? p? ap k ak ? ?? ? ? ? p p 1? c ? c. ? k-1?=ap p?ap ? k

1 因此 ap k+1>c,即 ak+1>c , p 1 所以当 n=k+1 时,不等式 an>c 也成立. p 1 综合①②可得,对一切正整数 n,不等式 an>c 均成立. p an+1 1? c an+1 ? 再由 =1+ ? -1?可得 <1, n ? an p?ap an 即 an+1<an. 1 综上所述,an>an+1>c ,n∈N*. p

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p-1 c 1 方法二:设 f(x)= x+ x1-p,x≥c ,则 xp≥c, p p p c p-1 c p-1? 1- ? 所以 f′(x)= + (1-p)x-p= ? ?>0. p p p ? xp?

所以当 n=k+1 时,原不等式也成立. 1 综合①②可得,对一切正整数 n,不等式 an>an+1>c 均成立. p 【2014·福建卷】已知函数 f(x)=ex-ax(a 为常数)的图像与 y 轴交于点 A,曲线 y=f(x)在 点 A 处的切线斜率为-1. (1)求 a 的值及函数 f(x)的极值; (2)证明:当 x>0 时,x2<ex; (3)证明:对任意给定的正数 c,总存在 x0,使得当 x∈(x0,+∞)时,恒有 x2<cex. 【解析】解:方法一:(1)由 f(x)=ex-ax,得 f ′(x)=ex-a. 又 f ′(0)=1-a=-1,得 a=2. 所以 f(x)=ex-2x,f ′(x)=ex-2. 令 f ′(x)=0,得 x=ln 2. 当 x<ln 2 时,f ′(x)<0,f(x)单调递减; 当 x>ln 2 时,f ′(x)>0,f(x)单调递增. 所以当 x=ln 2 时,f(x)取得极小值, 且极小值为 f(ln 2)=eln 2-2ln 2=2-ln 4, f(x)无极大值. (2)证明:令 g(x)=ex-x2,则 g′(x)=ex-2x. 由(1)得,g′(x)=f(x)≥f(ln 2)=2-ln 4>0, 故 g(x)在 R 上单调递增,又 g(0)=1>0, 所以当 x>0 时,g(x)>g(0)>0,即 x2<ex. (3)证明:①若 c≥1,则 ex≤cex.又由(2)知,当 x>0 时,x2<ex. 故当 x>0 时,x2<cex. 取 x0=0,当 x∈(x0,+∞)时,恒有 x2<cex.

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1 ②若 0<c<1,令 k= >1,要使不等式 x2<cex 成立,只要 ex>kx2 成立. c

综上,对任意给定的正数 c,总存在 x0,当 x∈(x0,+∞)时,恒有 x2<cex. 方法二:(1)同方法一. (2)同方法一. 4 (3)对任意给定的正数 c,取 x0= , c x x ?x?2 ?x?2 由(2)知,当 x>0 时,ex>x2,所以 ex=e ·e >? ? ·? ? , 2 2 ?2? ?2? 2 2 2 ?x? ?x? 4?x? 1 当 x>x0 时,ex>? ? ? ? > ? ? = x2, ?2? ?2? c?2? c 因此,对任意给定的正数 c,总存在 x0,当 x∈(x0,+∞)时,恒有 x2<cex. 方法三:(1)同方法一. (2)同方法一. 1 (3)首先证明当 x∈(0,+∞)时,恒有 x3<ex. 3 证明如下: 1 令 h(x)= x3-ex,则 h′(x)=x2-ex. 3 由(2)知,当 x>0 时,x2<ex, 从而 h′(x)<0,h(x)在(0,+∞)上单调递减, 1 所以 h(x)<h(0)=-1<0,即 x3<ex. 3 3 1 1 取 x0= ,当 x>x0 时,有 x2< x3<ex. c c 3 因此,对任意给定的正数 c,总存在 x0,当 x∈(x0,+∞)时,恒有 x2<cex.

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【2014·广东卷】 曲线 y=e-5x+2 在点(0,3)处的切线方程为________. 【答案】y=-5x+3 【解析】本题考查导数的几何意义以及切线方程的求解方法.因为 y′ =-5e-5x,所以切线的斜率 k=-5e0=-5,所以切线方程是:y-3=-5(x-0),即 y= -5x+3. 【2014·江西卷】若曲线 y=e-x 上点 P 处的切线平行于直线 2x+y+1=0,则点 P 的坐标是 ________. 【答案】(-ln 2,2) 【解析】设点 P 的坐标为(x0,y0),y′=-e-x.又切线平行于直 线 2x+y+1=0,所以-e-x0=-2,可得 x0=-ln 2,此时 y=2,所以点 P 的坐标为(-ln 2,2). 【2014·江西卷】已知函数 f(x)=(x2+bx+b) 1-2x(b∈R). (1)当 b=4 时,求 f(x)的极值;

? 1? (2)若 f(x)在区间?0, ?上单调递增,求 b 的取值范围. ? 3?

【2014·全国卷】 曲线 y=xex-1 在点(1,1)处切线的斜率等于( ) A.2e B.e C.2 D.1 【答案】C 【解析】因为 y′=(xex-1)′=ex-1+xex-1,所以 y=xex-1 在点(1,1) 处的导数是 y′|x=1=e1-1+e1-1=2,故曲线 y=xex-1 在点(1,1)处的切线斜率是 2. 【2014·新课标全国卷Ⅱ】设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a =( ) A.0 B.1 C.2 D.3 1 【答案】D 【解析】y′=a- ,根据已知得,当 x=0 时,y′=2,代入解得 a=3. x+1 【2014·陕西卷】设函数 f(x)=ln(1+x),g(x)=xf′(x),x≥0,其中 f′(x)是 f(x)的导 函数. (1)令 g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x)),n∈N+,求 gn(x)的表达式; (2)若 f(x)≥ag(x)恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)设 n∈N+,比较 g(1)+g(2)+…+g(n)与 n-f(n)的大小,并加以证明.

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x 1+kx gk(x) x 那么,当 n=k+1 时,gk+1(x)=g(gk(x))= = = ,即结 1+gk(x) x 1+(k+1)x 1+ 1+kx 论成立. 由①②可知,结论对 n∈N+成立. ax (2)已知 f(x)≥ag(x)恒成立,即 ln(1+x)≥ 恒成立. 1+x ax 设 φ (x)=ln(1+x)- (x≥0), 1+x 1 a x+1-a 则 φ ′(x)= - = , 1+x (1+x)2 (1+x)2 当 a≤1 时,φ ′(x)≥0(仅当 x=0,a=1 时等号成立), ∴φ (x)在[0,+∞)上单调递增,又 φ (0)=0, ∴φ (x)≥0 在[0,+∞)上恒成立, ∴a≤1 时,ln(1+x)≥ ax 恒成立(仅当 x=0 时等号成立). 1+x

当 a>1 时,对 x∈(0,a-1]有 φ ′(x)<0, ∴φ (x)在(0,a-1]上单调递减, ∴φ (a-1)<φ (0)=0. 即 a>1 时,存在 x>0,使 φ (x)<0,

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ax 故知 ln(1+x)≥ 不恒成立. 1+x 综上可知,a 的取值范围是(-∞,1]. 1 2 n (3)由题设知 g(1)+g(2)+…+g(n)= + +…+ , 2 3 n+1 比较结果为 g(1)+g(2)+…+g(n)>n-ln(n+1). 证明如下:

即结论成立. 由①②可知,结论对 n∈N+成立. 1 1 1 方法二:上述不等式等价于 + +…+ <ln(n+1), 2 3 n+1 x 在(2)中取 a=1,可得 ln(1+x)> ,x>0. 1+x 1 n+1 1 令 x= ,n∈N+,则 ln > . n n n+1 1 故有 ln 2-ln 1> , 2 1 ln 3-ln 2> , 3 …… 1 ln(n+1)-ln n> , n+1 1 1 1 上述各式相加可得 ln(n+1)> + +…+ , 2 3 n+1 结论得证.

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x x 1 2 方法三:如图,?n dx 是由曲线 y= ,x=n 及 x 轴所围成的曲边梯形的面积,而 + x + 1 x + 1 2 3 ?0 +…+ n 是图中所示各矩形的面积和, n+1

1 2 n x ∴ + +…+ > n dx= 2 3 n+1 ? x + ?0 1

?1- 1 ?dx=n-ln(n+1), ? ?n? ?0? x+1?
结论得证. 【2014·四川卷】 设等差数列{an}的公差为 d, 点(an, bn)在函数 f(x)=2x 的图像上(n∈N*). (1)若 a1=-2,点(a8,4b7)在函数 f(x)的图像上,求数列{an}的前 n 项和 Sn; ?an? 1 (2)若 a1=1, 函数 f(x)的图像在点(a2, b2)处的切线在 x 轴上的截距为 2- , 求数列? ? ln 2 ?bn? 的前 n 项和 Tn.

1 1 由题意有 a2- =2- ,解得 a2=2. ln 2 ln 2 所以 d=a2-a1=1.

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2n+1-n-2 所以,Tn= . 2n

1.设曲线 y=eax-ln(x+1)在 x=0 处的切线方程为 2x-y+1=0,则 a=( A.0 B.1 C.2 D.3

)

1 【解析】 ∵y=eax-ln(x+1),∴y′=aeax- ,∴当 x=0 时,y′=a-1.∵曲线 y x+1 =eax-ln(x+1)在 x=0 处的切线方程为 2x-y+1=0,∴a-1=2,即 a=3.故选 D. 【答案】 D 2.若 f(x)=2xf′(1)+x2,则 f′(0)等于( ) A.2 B.0 C.-2 D.-4 【解析】 ∵f′(x)=2f′(1)+2x,∴令 x=1,得 f′(1)=-2, ∴f′(0)=2f′(1)=-4. 【答案】 D 3.曲线 f(x)=x3-x+3 在点 P 处的切线平行于直线 y=2x-1,则 P 点的坐标为( ) A.(1,3) B.(-1,3) C.(1,3)和(-1,3) D.(1,-3) 【解析】 f′(x)=3x2-1,令 f′(x)=2,则 3x2-1=2,解得 x=1 或 x=-1,∴P(1,3) 或(-1,3),经检验,点(1,3),(-1,3)均不在直线 y=2x-1 上,故选 C. 【答案】 C 4.已知曲线 y=ln x 的切线过原点,则此切线的斜率为( ) A.e B.-e C. 1 e 1 D.- e

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【答案】 C 5.已知 y=f(x)是可导函数,如图,直线 y=kx+2 是曲线 y=f(x)在 x=3 处的切线,令 g(x) =xf(x),g′(x)是 g(x)的导函数,则 g′(3)=( )

A.-1

B.0

C.2

D.4

1 1 【解析】 由题图可知曲线 y=f(x)在 x=3 处切线的斜率等于- ,∴f′(3)=- ,∵g(x) 3 3 =xf(x),∴g′(x)=f(x)+xf′(x),∴g′(3)=f(3)+3f′(3),又由题图可知 f(3)=1,

? 1? 所以 g′(3)=1+3×?- ?=0. ? 3?
【答案】 B 6.已知 f1(x)=sin x+cos x,fn+1(x)是 fn(x)的导函数,即 f2(x)=f1′(x),f3(x)= f′2(x),…,fn+1(x)=fn′(x),n∈N+,则 f2 017(x)等于( ) A.-sin x-cos x B.sin x-cos x C.-sin x+cos x D.sin x+cos x 【解析】 ∵f1(x)=sin x+cos x, ∴f2(x)=f1′(x)=cos x-sin x, ∴f3(x)=f2′(x)=-sin x-cos x, ∴f4(x)=f3′(x)=-cos x+sin x, ∴f5(x)=f4′(x)=sin x+cos x, ∴fn(x)是以 4 为周期的函数, ∴f2 017(x)=f1(x)=sin x+cos x,故选 D. 【答案】 D 7.已知函数 f(x)=g(x)+x2,曲线 y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为 y=2x+1,则曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为( ) A.4 1 B.- 4 C.2 1 D.- 2

【解析】 f′(x)=g′(x)+2x.∵y=g(x)在点(1, g(1))处的切线方程为 y=2x+1, ∴g′(1) =2,∴f′(1)=g′(1)+2×1=2+2=4, ∴曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为 4. 【答案】 A 1 8.已知点 M 是曲线 y= x3-2x2+3x+1 上任意一点,曲线在 M 处的切线为 l,求: 3 (1)斜率最小的切线方程; (2)切线 l 的倾斜角 α 的取值范围.

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1 4 9.已知曲线 y= x3+ . 3 3 (1)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程; (2)求曲线过点 P(2,4)的切线方程. 1 4 解 (1)∵P(2,4)在曲线 y= x3+ 上,且 y′=x2, 3 3 ∴在点 P(2,4)处的切线的斜率为 y′|x=2=4. ∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y-4=4(x-2), 即 4x-y-4=0. 1 4 1 4 ? 0+ ? (2)设曲线 y= x3+ 与过点 P(2,4)的切线相切于点 A?x0, x3 ?,则切线的斜率为 y′|x 3 3? 3 3 ? =x0=x2 0. 2 4 ?1 0+4?=x2 ∴切线方程为 y-? x3 0(x-x0),即 y=x2 0·x- x3 0+ .∵点 P(2,4)在切线上,∴4 3? 3 3 ?3 ? 2 4 =2x2 0- x3 0+ ,即 x3 0-3x2 0+4=0,∴x3 0+x2 0-4x2 0+4=0, 3 3 ∴x2 0(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得 x0=-1 或 x0=2,故所 求的切线方程为 x-y+2=0 或 4x-y-4=0. b 10.设函数 f(x)=ax- ,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 7x-4y-12=0. x (1)求 f(x)的解析式; (2)曲线 f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形面积为定值, 并求此 定值. 7 解 (1)方程 7x-4y-12=0 可化为 y= x-3, 4

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b 1 2a- = , ? ? 2 2 1 b 当 x=2 时,y= .又 f′(x)=a+ ,于是? 2 x2 b 7 a+ = , ? ? 4 4
?a=1, ? 3 解得? 故 f(x)=x- . x ?b=3. ?

故曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形面积为定值,且此定值 为 6.

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